Toàn bộ kiến thức lượng giác lớp 11

Bài toán này chúng ta đã được làm quen trong phần “Phương trình lượng giác thường gặp” với các phép đặt để đưa về một phương trình đại số đơn giản.. Ngoài các phép đặt trên ra chúng ta c[r]

Trang 1

I/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.

1 Phương trình: sin x a

+ Nếu | a | (hay a1  [ 1;1])

thì phương trình vô nghiệm + Nếu | a | (hay 1   1 a 1)

Khi đó: sin x a

 sin x sin 



x x



   



k2 k2

 

VD 01 Giải các phương trình lượng giác sau:

1 sin x

2



; c)

1 sin x

2



2 sin x

2



; e)

2 sin x

2



3 sin x

2



3 sin x

2



;

2 sin x

3



;

Lưu ý:

(1) Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt

hàm sin (arcsin) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:

sin x a



x arcsin a







 



k2 k2

 

(2) Các trường hợp đặc biệt:

2



2



2



    

2 Phương trình: cos x a

+ Nếu | a | (hay a1  [ 1;1])

thì phương trình vô nghiệm + Nếu | a | (hay 11    )a 1

Khi đó: cos x a

 cos x cos 



x x

 





 



k2 k2

 

1 cos x

2



;

Trang 2

c)

1 cos x

2



2 cos x

2



; e)

3 cos x

2



3 cos x

2



1 cos x

4



Lưu ý:

(1) Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt

hàm cos (arccos) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:

cos x a



x arccos a





 



k2 k2

 

(2) Các trường hợp đặc biệt:

2



    

cos x1  sin x 0  x k 

cos x 1  x k2  cos x 1 x k2

3 Phương trình: tan x a , x 2 k



  

tan x a

 tan x tan 

 x  k 

d)

3 tan x

3



Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt

3

  thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan (arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:

tan x a

 x arctan a  k

4 Phương trình: cot x a , (x k ) 

cot x a

 cot x cot 

 x  k 

3 cot x

3



6 cot x

5



;

Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt

3

  thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan (arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:

cot x a

 x arcot a  k

Trang 3

5 Mở rộng:

Mở rộng 1 Sử dụng MTBT để giải phương trình lượng giác:

VD 05 Giải các phương trình sau:

a) 2sin x 1 0  b) 2cos x 2 0 c) tan x 32 

Mở rộng 2 (Cung chứa bội):

a) 3sin 2x 2 0  b)

2 cos3x

2



c)

x

3 

Mở rộng 3 (Cung chứa tổng):

a)

sin(x 45 )

2

b)

cos(x 60 )

2

c)

cos(x 30 )

2

d) tan(3x 15 ) o  3 e)

2 cot 4 cot

7

x 

f)

cot(2 10 )

3

g) cos3x cos12 o h)

 

cos 2x

4



Mở rộng 4 Phương trình tích (đơn giản):

A.B = 0 

A 0

B 0





 



a) cos 2x.tan x 0 b) sin 3x.cot x 0 c) tan 3 tan x 1x 

d) sin x.cos x cos x 0  e) 2sin x 3sin x 1 02    f) (cos 2x cos x).(sin x sin 3x) 0  

BÀI TẬP

1) Giải các phương trình:

1 sin(2x 1)

2

 

; d)

1 cos 2x

3



g) cos(2x 1) cos(2x 1)   ; h) tan 3x tan x ; i)

1 cos 2x



 

j)

tan x tan 2x

4



cot 2x cot x

4



2) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm

a) 3sin x m 1 0   ; b) 4cos x m 32   ; c) 2m sin x 1 3m 

a)

3

 

cos3x cos x

3



   

d)

sin x sin 2x 0

3



sin 3x sin 2x

3



g)

5

4







; i) sin x cos x 0  ; j) sin x cos3x 0  ; k) tan 3x tan x 0  ; l) tan x cot x 0 

a) sin x cos x 1  ; b) cos 3x.cos 2x cos5x ; c) sin 4x.cos x sin 3x 0  ;

Trang 4

d) sin 2x cos 2x  2 ; e) sin 2x.sin 3x cos 2x.cos3x f) cos 2x.cos5x cos 7x

a)

sin x

 

b)

2

6



 

3



d)

4



 

2 sin(x x) sin x

3



g) tan(x22x 3) tan 2  h) cos(x21) 0 i) cos(x2x) cos(x 1) 

j) cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0    k)

2

Đừng bi quan khi mình không lối thoát,

Đừng chán nản khi dồn dập khó khăn,

Đừng thờ ơ khi mình mang tủi nhục,

Cố gắng kiên trì tất cả sẽ thành công

(KIỂM TRA PHẦN I)

II/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.

1 Phương trình đại số hóa đơn giản:

a) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a sin x bsin x c 02    , …

Phương pháp:

+ Đặt t sin x (hay cos x, tan x,cot x)

Khi đó ta được một phương trình bậc 2 theo t: at2bt c 0 

+ Giải phương trình bậc 2 theo t

+ Với mỗi giá trị của t ta tìm nghiệm x

Lưu ý: Điều kiện của t khi đặt t sin x (hay cos x) là | t | 1

a) 2sin x 5sin x 3 02    ; b) cos 2x 3cos x 4 0   ; c) 2cos x 7sin x 5 02    ;

d) c 2x 3sin x 2os   ; e)

x cos x cos 1 0

2

1 3tan x 1 0 cos x    .

b) Phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác:

Phương pháp:

+ Biến đổi để đưa về dạng phương trình đại số đơn giản

+ Đặt ẩn t theo mỗi hàm số lượng giác

+ Giải và kiểm tra lại nghiệm

a) 4sin x 4sin x 3 3sin x3  2   ; b) sin 3x 1 2sin x  2 ; c) 1 + sin3x – sinx = cos2x;

d) tan x tan x tan x 3 03  2    ; e) tan x tan x 03   ; f)

3

2

1



2 Phương trình lượng giác cổ điển:

a) Phương trình bậc nhất đối với sin và cos: a sin x b cos x c 

Trang 5

Phương pháp:

+ Thử xem phương trình cĩ nghiệm hay khơng, bằng cách:

Nếu a2 b2 c2 phương trình cĩ nghiệm Nếu a2 b2 c2 phương trình vơ nghiệm + Chia 2 vế của phương trình cho a2b2 , ta được:

a b  a b  a b

a sin

 

b cos

 

 Sau đĩ áp dụng cơng thức cộng để đưa về phương trình lượng giác cơ bản:

2 2

c sin sin x cos cos x



c cos(x )

  

+ Giải phương trình (*)

a) cos x sin x 1  ; b) 4cos 2x 3sin 2x 5  ; c) cos 2x sin 2x  2; d) cos x 3 sin x 1 0  e) cos3x 1 sin 3x  ; f) sin 3x 3 cos3x 2

b) Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng: a(sin x cos x) bsin x.cos x c 0   

Phương pháp:

+ Đặt t sin x cos x,| t |   2 Khi đĩ:

2

t 1 sin x.cos x

2





, sin 2x t21 2

2

t 1

t sin x cos x,| t | 2 sin x.cos x ,sin 2x (t 1)

2 Khi đó:

+ Phương trình cĩ dạng

2

t 1

2

   

  (dạng phương trình bậc 2 theo t) + Giải phương trình được nghiệm t

+ Với mỗi giá trị của t ta đi tìm giá trị của x

Lưu ý:

sin x cos x 2 sin x 2 cos x

a) 2(sin x cos x) sin 2x 5 0    ; b) 2(sin x cos x) sin 2x 1 0    ;

c) sin 2x 2 2(sin x cos x) 5 0    ; d) 2(sin x cos x) 3sin x cos x 1 0   

c) Phương trình lượng giác đẳng cấp: a sin x bsin x.cos x c cos x d2   2 

Phương pháp:

Cách 1: + Xét cos x 0 thì sin x 12  Phương trình trở thành: a d (*)

Nếu (*) đúng thì cos x 0 là nghiệm của phương trình

Nếu (*) sai thì cos x 0 khơng phải là nghiệm của phương trình

+ Xét cos x 0 , chia 2 vế của phương trình cho cos , ta được phương trình bậc 2 2x theo tan x

(Lưu ý: Ta cĩ thể xét sin x thay cho việc xét cos x )

Trang 6

2

1

1 tan x



1

1 cot x

sin x

Cách 2: + Biến đổi với các công thức:

2 1 cos 2x sin x

2





,

2 1 cos 2x cos x

2





,

sin 2x sin x cos x

2



Khi đó phương trình trở thành dạng “phương trình bậc nhất đối với sin và cos ” + Giải phương trình mới ta được nghiệm cần tìm

a) 2cos x sin x cos x 2sin x 1 02   2   ; b) sin x sin 2x cos x 1 02   2   ;

c) cos x 2sin x cos x sin x 02   2  ; d) sin x 3sin x cos x 12  

BÀI TẬP

1) Giải các phương trình sau:

a) sin x 2sin x 3 02    ; b) cos 2x sin x 2 0   ; c) 3cos x 2cos x 5 02    ;

d) tan x 5 tan x 6 02    ; e) 2cos 2x 5sin x 2 0   ; f) cos 2x 7 cos x 1 0   ;

g) cos 2x 4sin x 1 0   ; h) cos 4x 2sin 2x 1 0   i) 2cos 2x 4sin x 5 0   ;

j) 3cos25sin x 5 0  ; k) sin x 3cos x 3 02    ; l) tan x(1 cot x) 2 2  ;

m) cos x(tan x 2cos x) 2 0   ; n) 2

2 3tan x 9 0

1 ( 2 1) tan x 2 3

a)

2 cos x

1 cos 2x





2 sin x sin x

2 sin x 1





c)

cos 2x sin x

1 0 sin x 1



 

2 cos x cos x 2

cos x 3 cos x 1

 

a) sin 5x cos5x 1 0   ; b) sin 3x cos3x 1  ; c) 2sin 5x 6 2cos5x ;

d) 3cos 2x 4sin 2x 1  ; e) sin x 3 cos x 1 ; f) 3 sin 2x cos 2x 2  ;

g) 1 2sin x 2cos x  ; h) 4 cos x 3sin x 3  ; i) 3cos3x 4sin 3x 5  ;

a) 2(sin x cos x) 4sin x cos x 1   b) sin 2x 3(sin x cos x) 3 0    c) sin 2x 5(sin x cos x 1)   d) 2sin 2x sin x cos x 1   ; e) 3(sin x cos x) 2sin 2x  ; f) sin x cos x sin 2x 

a)

sin x sin x cos x

2

1 4sin x 6cos x

cos x

c)2sin 5x sin10x 4cos 5x 32   2  d) ( 3 1)(sin x cos x) cos x 1   e) 2sin 2x sin 4x 2 02    ; f) cos x sin x cos 4x4  4 

g) cos x sin x cos3x4  4  ; h) cos x sin x cos 4x6  6 

a) cos 2x cos x ; b) cos 2x 9cos x 5 0   ; c) sin x 3 cos x 1 ;

d) cos x cos 2x sin 3x  ; e) sin x cos x 3 sin 2x 0 ; f) cos x cos 2x 1 0   ;

g) 3 sin x cos x  2; h) cos8x sin 4x 0  ; i) cos 2x cos x 2 0   ;

j) 2 sin x sin 2x 0  ; k) sin x  ;1 l)

2 cos x sin x

2

;

Trang 7

m)

sin x cos x sin 2x

4

; n)

sin x sin x 0

4



   

5

2



p) cos 2x 3(sin 2x 1) q) sin x cos x 14  4  ; r) 2(sin x cos x) 1 2sin 2x   s) 2cos x ( 3 2)sin x2    3 2 t) sin 2x (cos x sin x)  2; u)

cos x sin x

2

; v)

cos x sin 2x sin x 0

2

; w) sin 2x 3 cos 2x 3; x) sin 2x 2 2(sin x cos x) 3 0    7) Cho phương trình: msin x 3 cos x m 1 

a) Giải phương trình khi m = 1; b) Tìm m để phương trình vô nghiệm

8) Cho phương trình: cos x sin x m4  4 

a) Giải phương trình khi m = 1; b) Tìm m để phương trình vô nghiệm

9) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

a) m sin x 2cos x 3  ; b) (m 2) cos x msin x 3m 2   

(KIỂM TRA PHẦN II)

III/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT.

Phương pháp: Dùng các phép biến đổi, các phương pháp giải phương trình đưa phương trình về các

dạng phương trình lượng giác đơn giản, phương trình đại số hóa đơn giản, phương trình lượng giác cơ bản rồi giải Có 2 hướng:

Hướng 1: Biến đổi phương trình đã cho về các dạng phương trình đơn giản.

+ Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đại số đơn giản.

VD 15 Giải phương trình: 2cos x sin x 12  

+ Phương pháp hạ bậc để đưa về phương trình có bậc thấp hơn.

VD 16 Giải phương trình: sin 32 x sin 22 x sin x 02 

+ Phương pháp biến đổi về phương trình tích:

A 0 A.B 0

B 0







VD 17 Giải phương trình: sin 2x sin 4x 2cos x 

+ Phương pháp tổng các số hạng không âm:

B 0







VD 18 Giải phương trình: 2sin x 2 2 sin x 3tan x 2 3 tan x 2 02   2   

+ Phương pháp đánh giá: Sử dụng điều kiện, pitago, các bất đẳng thức côsi, bunhiacốpski

VD 19 Giải phương trình: cos x.cos 2005x 1

+ Phương pháp hàm số: Sử dụng các tính chất của hàm số để đánh giá phương trình.

VD 20 Giải phương trình: 2cos x 2sin x sin x cos x

Hướng 2: Chứng minh phương trình vô nghiệm (khi không thể giải bằng các cách trên).

VD 21 Giải phương trình: sin 2x  cos 2x tan x cot x 

1 Phương pháp đặt ẩn phụ.

Bài toán này chúng ta đã được làm quen trong phần “Phương trình lượng giác thường gặp” với các phép đặt để đưa về một phương trình đại số đơn giản Ngoài các phép đặt trên ra chúng ta còn một số phép đặt như:

+ Áp dụng công thức lượng giác biểu diễn qua hàm tan của góc chia đôi:

Đặt

x

t tan

2



Khi đó:

2

sin x ; cos x ; tan x



+ Đặt

1 t

sin x



hoặc

1 t cos x



với điều kiện | t | 1

Trang 8

+ Đặt t a sin x b cos x  với điều kiện | t | a b

+ Dùng ẩn t để đổi biến

VD 22 Giải các phương trình sau (phương trình thuàn nhất bậc cao đối với sinx và cosx):

a) 4sin x 3sin x.cos x sin x cos x 03  2   3  ; b) sin x 3sin x.cos x 4sin x.cos x 3cos x 04  2 2  3  4  ; c) (tan x 1)sin x 3(cos x sin x)sin x 3 2    ; d)

3

4



 

VD 23 Giải các phương trình sau (Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx):

a) (tan x 7).tan x (cot x 7).cot x 14 0     ;

b) 3(tan x cot x) 2( 3 1)(tan x cot x) 4 2 3 02  2      

a) cot x tan x 2 tan 2x  ; b)

cos x

;

a)

6 32cos x sin 6x 1

4



c)

3



 

2cos x sin 3x cos3x

6



2 Phương pháp hạ bậc.

Ta áp dụng các công thức sau:

2 1 cos 2x sin x

2





;

2 1 cos 2x cos x

2





;

2 2

2

sin x 1 cos 2x tan x

cos x 1 cos 2x



3 3sin x sin 3x sin x

4





;

3 3cos x cos3x cos x

4





;

3 3

3

sin x 3sin x sin 3x tan x

cos x 3cos x cos3x



a)

sin 2x cos 8x sin 10x

2



  ; b) sin x cos 2x cos 3x2  2  2 ; c)

cos x cos

3



sin x cos x



   

3 Phương pháp biến đổi về phương trình tích.

Dùng các phép biến đổi, các công thức để đưa phương trình về dạng phương trình tích:

A.B 0 

A 0

B 0









(Dùng phép biến đổi tổng hiệu thành tích)

a) 1 cos x cos 2x cos 3x 0    ; b) cos x cos 2x cos3x cos 4x 0    ;

c) 1 sin x cos3x cos x sin 2x cos 2x     ; d) sin x sin x sin x cos x cos x cos x2  3  4  2  3  4

(Dùng phép biến đổi tích thành tổng, công thức nhân đôi)

a) 2cos x.cos 2x.cos3x 7 7 cos 2x  ; b) 2cos x cos 2x sin x 03    ;

c) 2sin x cos 2x cos x 03    ; d) sin x cos x cos 2x3  3  ;

e) 4sin 2x 3cos 2x 3(4sin x 1)   ; f) sin x cos 2x 2 cos x 04   6 

(Luận hệ số, dùng phép nhân thêm hạng tử)

Trang 9

a) cos x cos 3x 2cos 5x 0   ; b) 5sin 3x 3sin 5x ;

c) 3(cot x cos x) 5(tan x sin x) 2    ; d) 2sin x cot x 2sin 2x 1  

e)

(sin x 3)sin (sin x 3)sin 1 0

; f)

3

sin 5cos x.sin

a) cos x sin x cos x 02  3   ; b) cos x sin x sin 2x sin x cos x3  3    ;

c) cos10x 2cos 4x 6cos3x.cos x cos x 8cos x.cos 3x 2    3

4 Phương pháp biến đổi về phương trình tổng các số hạng không âm.

Các đại lượng không âm bao gồm: A , | B |, 2 1 sin x , 1 cos x

Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình về dạng các đại lượng không âm:

A A  A  với 0 Ai   0, i 1, n



1 2

N











 Giải hệ ta được nghiệm cần tìm

Lưu ý: Sử dụng vòng tròn lượng giác khi giao các nghiệm trên.

a) cos 4x cos 8x sin 12x sin 16x 22  2  2  2  ; b) 4cos x 3tan x 4 3 cos x 2 3 tan x 4 02  2    

5 Phương pháp đánh giá.

Xét phương trình: f (x) g(x) có tập xác định D Nếu với mọi x D mà f (x) k , g(x) k thì:

f (x) g(x) 

f (x) k g(x) k









Ta có thể dùng bất đẳng thức Với A k, B h  thì:

A B k h   

A k

B h









(Sử dụng tính chất của các hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác)

a) (sin x 3 cos x)sin 3x 2 ; b) sin 4x cos 4x 1 4(sin x cos x)    ;

c) 4cos x 2cos 2x cos 4x 1   ; d) cos 2x cos 4x cos 6x cos x.cos 2x.cos3x 2    ; e) 4(sin x cos x) 8(sin x cos x) 5cos 2x8  8  10  10 

(Phương trình lượng giác dạng pitago)

a)

(sin x cos x)



 ; b) cos x sin x sin 2x cos 2x 15  5     2

(Sử dụng bất đẳng thức Cauchy)

a)

sin 2x cos 2x

8

1 (tan x cot x) sin x cos x

4

(Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski)

a) sin x 2 sin x sin x 2 sin x 3 2   2  ; b) 2cos x 2 sin10x 3 2 2cos 28x.sin x 

Trang 10

6 Phương pháp hàm số.

(Yêu cầu học sinh đã học tính biến thiên của đồ thị hàm số – lớp 12)

7 Chứng minh phương trình vô nghiệm.

a) cos 2x cos5x 3 0   ; b) cos3x.cos 5x 10

BÀI TẬP

1 Giải các phương trình sau:

a)

3 sin x

2



2 sin x

3



1



d)

 

    ; e) 2cos x 2 0 ; f) cos(2x 1) cos(2x 1)   ; g) tan x1; h) tan 5x tan 25 o; i) tan 2x tan x ;

1 cot

3







; m)

sin(x 20 )

2

cos(3x 15 )

2

x

3  ;

a)

2

3



6



  ; c) 2cos(x  ) 1 0 ; d) tan 2x 15  o 1

x



g)

tan 3x cot(5x ) 1

2



j)

    ; k) sin 2x.sin 6x cos x.cos3x ; l) cos 7x.cos 6x cos5x.cos8x

a)

2 sin 3x

2



x

2 cos 2x

2



; d)

3 cot 2x

3



4



4



 

g)

cos 2x

 

5

2



j)

cot 2x cot x

3



 

  ; l) sin 3x cos 4x ; m)

sin x

4





sin 2x cos 2x

2

; o) sin 5x sin x 2sin x 1  2  ; p) sin x sin 2x cos 3x cos 4x2  2  2  2 ; q) cos x sin x sin x cos x3  3   ;

r)

1 tan x

1 sin 2x

1 tan x



 

t) cos10x 2cos 4x 6cos3x cos x cos x 8cos x cos 3x 2    3

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,15 MB