2. PTH day vong Truong - HS

Ngoaøi caùc pheùp toaùn cô baûn vaø tính thöù töï, taäp hôïp caùc soá töï nhieân coù nhieàu tính chaát soá hoïc thuù vò, ví duï ñònh lyù cô baûn cuûa soá hoïc, caùc vaán ñeà bieåu dieãn[r]

Trang 1

Giáo trình Bồi dưỡng Olympic vòng Trường - Chuyên đề Phương Trình Hàm

PHẦN 1: NỘI DUNG CÁC BÀI GIẢNG

Bài 1: LÝ THUYẾT BỔ SUNG CHO PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Tiết PP: 217-220

A Tóm tắt lý thuyết:

Một phương trình hàm bao gồm 3 thành phần chính: tập nguồn (miền xác định), tập đích (miền giá trị); phương trình hay hệ phương trình hàm; các điều kiện bổ sung cho hàm số (lớp hàm) Từ ba thành phần này có những phân loại tương ứng Phương trình hàm trên , phương trình hàm trên , phương trình hàm trên  …; phương trình hàm với 1 biến tự do, 2 biến tự do, nhiều biến tự 2

do, phương trình hàm chuyển đổi các giá trị trung bình …; phương trình hàm trên lớp hàm khả vi,

phương trình hàm trên lớp hàm liên tục, phương trình hàm đa thức …

Đây là các yếu tố quan trọng cần xét đến khi giải phương trình hàm Điều này có thể thấy rõ qua ví dụ về phương trình hàm Cauchy Bài toán tổng quát tìm tất cả các hàm số f : thoả mãn phương trình f(x+y) = f(x) + f(y) với mọi x, y thuộc , theo một nghĩa nào đó không có lời giải, thế nhưng với những giới hạn trên tập nguồn, tập đích, các tính chất của hàm số (đơn điệu, liên tục,

đa thức …) thì phương trình này giải được trọn vẹn Sau đây là một số vấn đề lý thuyết cơ sở:

1 Hàm số đơn điệu:

* Hàm số y = f(x) tăng trên (a;b)  x x1; 2( ; ),a b x1x2  f x( )1  f x( )2

* Hàm số y = f(x) giảm trên (a;b)  x x1; 2( ; ),a b x1x2  f x( )1  f x( )2

VD 1: Hàm số yax b a ( 0) là hàm số tăng trên R khi a > 0; là hàm số giảm trên R khi a < 0

Hay hs trên là nghịch biến trên 0( ;)

VD 2: Cho hai hàm số f(x) và g(x) cùng xác định và đồng biến trên khoảng I

a/ CMR hàm số s(x) = f(x) + g(x) cũng đồng biến trên I

b/ Giả sử thêm các hàm số trên là dương trên I Tức là:  x I f x, ( )0và g x( )0 Hãy CM: hàm số p(x) = f(x).g(x) cũng đồng biến trên I

c/ Giả sử thêm các hàm số trên là âm trên I Tức là:  x I f x, ( )0và g x( )0 Hãy CM: hàm số p(x) = f(x).g(x) là nghịch biến trên I

2 Hàm f(x) là chẵn trên M, (M D f)

VD 3: Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R

3 Hàm f(x) là lẻ trên M, (M D f)

VD 4: Hàm số y = sinx là hàm số chẵn trên R

VD 5: a/ Vẽ đồ thị của hàm số

và cho biết tập xác định, tập giá trị của nó

b/ Xét tính chẵn lẻ của hàm số trên

Trang 2

VD 6: Cho 2 hàm số f(x) và g(x) Hàm số h(x) = f(x) + g(x) gọi là tổng của 2 hàm số đã cho Chứng

minh rằng:

a/ Nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số chẵn thì h(x) là hàm số chẵn

b/ Nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số lẻ thì h(x) là hàm số lẻ

VD 7: Cho 2 hàm số f(x) và g(x) Hàm số h(x) = f(x).g(x) gọi là tích của 2 hàm số đã cho

Chứng minh rằng:

a/ Nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì h(x) là hàm số chẵn

b/ Nếu f(x) là hàm số chẵn, còn g(x) là hàm số lẻ thì h(x) là hàm số lẻ

VD 8: Chminh mọi hs xác định trên  đều có thể viết thành tổng của một hs chẵn và 1 hàm số lẻ

g x  f x f x  g x => g(x) là hàm số lẻ

VD 9: Cho a   Xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho: ( f a x ) f x( ),  x

hs lẻ trên tùy ý

4 Hàm số f(x) liên tục tại x0 ;

Trang 3

;( ) sin( ) sin( ) sin( ) ( )

Vậy f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b trên M

7 Hàm f(x) là tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a 0 1 1; ; ) trên M (M D f)

1



Trang 4

e Hàm lũy thừa y f x x có tính chất f x y f x f y x y



f/ Các hàm lượng giác:

3 3

22

11

10 Phương trình hàm Cauchy:

Xác định các hàm f(x) liên tục trên R thỏa: f x y(  ) f x( ) f y( ),x y;  

Trang 5

11 Phương trình hàm mũ:

VD 16: Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa: f x y   f x f y( ) ( ), ;x y 

f x tức là f x e g x liên tục trên 

12 Phương trình hàm lũy thừa:

VD 18: Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R\ 0

Trang 6

13 Phương trình hàm logarit:

VD 19: Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R\ 0 thỏa:

VD 20: Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa: f xy( ) f x( ) f y( ),x y;   ( )1

VD 21: Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R+ thỏa: f( )x f x( ) f y( ), x y; ( )1

y



114

* Các BT trên nếu thay "liên tục" bởi "có đạo hàm" (khả vi) thì kết quả không đổi

Ví dụ: Xác định các hàm f(x) xác định và có đạo hàm trên R thỏa: f(x+y) = f(x) + f(y); ;x y   (1)

- Lấy đạo hàm 2 vế của (1) lần lượt theo x; y, ta được:

Trang 7

Bài 2: CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN

- Thế vào biểu thức đã cho ta được f(t) = 1

( )

v u  t 

- Khi đó thay t bởi x ta được: f(x)

VD1: Tìm hàm số f(x) thỏa từng tính chất sau:

- Từ hệ thức đã cho suy ra hệ thức mới chỉ chứa f u x ( ) và f v x ( )

- Ta được hệ pt chứa 2 ẩn f u x ( ) và f v x ( )

- Giải hệ này ta đưa bài toán về dạng 1

Tìm f(x) , biết f u x ( ) = v(x)

Tìm f(x) biết a f u x  ( )  b f v x  ( ) r x( )

Trang 8

2 (f x)f x( ) x 12x 4 (2) Nhân 2 vào hai vế của (1) xong cộng với (2) theo từng vế ta được:

3 ( )f x 3x 12x 12  f x( ) x 4x  4b/ Ta có : (x – 1).f(x) + 1 1

Trang 9

Bài tập tự luyện:

1 Tìm hàm số thỏa:

Trang 10

2 102

Trang 11

Bài tập tự luyện:

1 Tìm các hàm f(x) và g(x), biết:

a/

1

22

x

f x f

Trang 12

Bài 3: PHƯƠNG PHÁP CHỌN GIÁ TRỊ Tiết PP: 225-230

A Lý thuyết:

+ Đây là phương pháp cơ sở của các phương pháp khác

+ Khi vận dụng phương pháp cần chú ý sử dụng kết quả vừa có được

+ Khi thực hiện ta có thể:

* Hoặc cho các biến x, y, nhận các giá trị bằng số Thường các giá trị đặc biệt là

- Thử lại thấy đúng

* Chú ý: Ngay tại (*), ta có thể loại f(x) = - ½ vì 1 trong các lý do:

+ vì đề cho 0 1

2( )

hay f x  c Thay vào (1) ta được 2

1

c    c c

Vậy f x  Thử lại ta thấy hàm này thỏa đề ( ) 1

Trang 13

- Thử lại thấy đúng

4 Tìm f :thỏa mãn f x f y: ( ) ( ) f x y(  ) sin sin , x y x y,  ( )7

- Ta thấy f(x) = cos x là 1 hàm số thỏa mãn

0 1

( )( ( )) ( )

Thử lại ta được x y x y vô lý

Vậy f x không là nghiệm của

f   thì cho

2;

x y  thế vào (7) suy ra:

02

f   tương tự trên ta được: f y( ) cos , y   y

Vậy hàm số cần tìm là: f(x) = cosx

5 Tìm f g, : thỏa mãn f x: ( ) f y( ) cos( x y g x y ) (  ),x y,  ( )8

Trang 14

Vậy f(x) = 0 Thử lại thấy đúng

7 Tìm hàm số f(x) thỏa: ( ) ( ) ( ) 2012x y

f x

Từ (4) và (6) ta suy ra : f x ( ) 2012x Đảo lại xem h/số f x ( ) 2012x

Trang 15

Ta nhận thấy f(x) thỏa yêu cầu của bài toán

C Bài tập tự luyện:

15 VMO 2013 - Bài 5 (7 điểm): HSG QG 2013

Tìm tất cả các hàm số f : thỏa f( )0 0; ( )f 1 2013và:

Trang 16

19 VMO 2005: - Bảng A và B

Hãy xác định tất cả các hàm số f : thỏa mãn các điều kiện:

f f x y  f x f y  f x  f y xy x y 

20 Tìm f : ( ; )0 1  thỏa mãn f xyz: ( )xf x( )yf y( )zf z( ),x y z, , ( ; )0 1

21 Tìm hàm số y = f(x) biết rằng:f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1 x y, R

22 Cho hàm f(x) x , không đồng nhất 0 thỏa pt: f(x).f(y) = f(x – y) x y, (*) Tìm f(x)

23 Tìm hàm số f(x) nếu:

Trang 17

Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN CÁC TẬP RỜI RẠC Tiết PPCT: 231-236

ra thừa số nguyên tố

Cách tiếp cận của bài viết là: Ví dụ – Phân tích – Lời giải – Nhận xét

Phần cuối là một số bài tập áp dụng tự giải

II Nội dung: (các pp giải)

1 Phương Pháp 1: Dùng quy nạp và Thứ tự trên để giải phương trình hàm

Một trong những công cụ quan trọng ta thường sử dụng khi giải các bài toán trên  là *

Nguyên lý quy nạp toán học Công cụ đơn giản này cho chúng ta một phương pháp hiệu quả để công

phá các bài toán PP quy nạp không xa lạ trong Toán, nó là công cụ thực sự hiệu quả để giải các bài toán xác định trên tập số nguyên (Tất nhiên cũng có quy nạp trên tập thực, quy nạp hình học, nhưng

ta chỉ xét những dạng quen thuộc thôi) Điều quan trọng là việc thiết lập giá trị hàm số tại các điểm lớn hơn về các điểm đã biết giá trị hàm số (theo giả thiết quy nạp), cụ thể ta cần để ý đến những đẳng thức truy hồi đã biết

f n    với n

 Trước tiên dễ dàng chứng minh:

f n n Với f n  f  f n a trong đó a  f n b trong đó b

Mặt khác nếu f n( )3 n thì ta cũng có f m(3 )m, mn do( ( )).1

Trang 18

Ta có f  f  f c Giả sử rằng với mọi xn n ta có f x c (x   )

Gọi t là số tự nhiên thuộc [1; n] sao cho (n +1) + t là bội 3 Khi đó: 1 1

Vì tn và   n ta có f n c có nghĩa là f x c  x

* Xét k là một số âm Khi đó tồn tại l > 0 sao cho l + k > 0 và l + k là bội của 3 Cho x = l; y = k vào phương trình ban đầu, ta được f(k) = c

Vậy ta có f(x) = c với hằng số c  

Tìm mọi n sao cho f n

*Với k , ,n kiểm tra trực tiếp thấy thỏa mãn

* Xét với n > 7; k > 3, khi đó:

Trang 19

1.2 Bài tập tự luyện:

VD4: Tìm tất cả các hàm số * *

:

f   sao chof( )1 1 và f m n(  ) f m( ) f n( ),n m,  * (1)

VD5: Tìm tất cả các hàm số :f  sao cho f f n( ( ))2f n( )3n8,  n ( )2

(b) f(mn) = f(m)f(n) với mọi m, n thuộc  *(c) f(m) < f(n) với mọi m < n

(b) f(mn) = f(m)f(n) với mọi m, n thuộc N*

(c) f(m) < f(n) với mọi m < n

2 Phương Pháp 2: Sử dụng đánh giá bất đẳng thức

BĐT là 1 lĩnh vực rộng có nhiều ứng dụng Trong phần này, ta không chú tâm quá nhiều vào bất đẳng thức mà là những ứng dụng thiết thực của nó trong việc xử lý các bài toán phương trình hàm Cần chú ý đến vài điểm:

1 Tính đơn điệu của hàm và nếu cần thiết ta cí thể kẹp hàm số trên một khoảng giá trị nào đó Ví dụ, ta có f là hàm đơn điệu khi đó nếu f a( )n  f a( n1) với a n a n1 thì f x( ) f a( )n  f a( n1)

1[ ;n n ]

với mọi x a a    Hoặc có thể kẹp: a n  f m( ) f a( n1) rồi lý luận để loại các TH không thỏa mãn bằng cách xét tuần tự các giá trị có thể trong khoảng ( ;a a n n1) 

2 Dùng các BĐT cơ bản, ví dụ 2

Trang 20

Cho hàm số f : thỏa các điều kiện:

- Từ (1) và (2) suy ra: f n( 1) f n( )   1, n ( )3

- Aùp dụng liên tiếp (3) ta được: f n( 2012) f n( )2012 ( )4

- Mà theo giả thiết ta có: f n( 2012) f n( )2012 (5)

- Từ (4) và (5) suy ra: f n( 2012) f n( )2012,  n

tức nó lại thỏa gt của

Suy ra f n  n  n Bây giờ ta chứng minh bằng quy nạp rằng f n( )n2(  n *)

* Với n 36 thì hiển nhiên đúng theo cm trên

* Với n > 36, giả sử kết luận đúng với mọi m < n Khi đó:

Vậy có duy nhất 1 hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là f n( )n2,  n *

VD4: Cho hàm số * *

Trang 21

Giả sử tồn tại n1 sao cho f n( 01) f n( )0 1 Suy ra f(n) tăng thực sự với nn1 (2) Suy ra tồn tại n2 n12 sao cho f n( 21)n1 Từ đó:

VD5: (Austrian 2002) Cho hàm số * *

i f xy  f x f y ii f x x iii f f  Tìm giá trị nhỏ nhất của f(133)

:

f   thỏa mãn: f xy( ) f xz( ) f x f yz( ) ( ) 1, x y z, ,  *

3 Phương Pháp 3: Dùng Các tính chất số học của 

Ngoài các phép toán cơ bản và tính thứ tự, tập hợp các số tự nhiên có nhiều tính chất số học thú vị, ví dụ định lý cơ bản của số học, các vấn đề biểu diễn số (additive number theory), sự chia hết, phép chia Euclid … Tất cả các tính chất này có thể ứng dụng trong việc giải các phương trình hàm Chúng ta xem xét một số ví dụ minh hoạ

Trang 22

Cho m = n = 0 vào phương trình hàm, ta được f(0) = 2 2

0( )

f Nếu f(0)  0 thì từ đây suy ra f(0)

= 1/2, điều này mâu thuẫn vì f nhận các giá trị trong  Vậy f(0) = 0 và điều này dẫn đến

10 6 8 để thu được f(6) = 6

Như vậy ta có f(n) = n với mọi n  10 Ta sử dụng các hằng đẳng thức sau

Từ đó tính được f(11) = 11 (Vì đã biết f(2) = 2, f(10) = 10, f(5) = 5.)

Vậy ta có thể kết luận rằng f(n) = n với mọi n thuộc 

Bài toán dưới đây có thể giải được bằng kỹ thuật tương tự Bài này đăng trên AMM năm 1999 và được nhiều nước sử dụng làm đề thị chọn đội tuyển (Pháp 2004, Hà Nội 2005, Việt Nam 2005)

Ta chứng minh bằng quy nạp mệnh đề sau: f n( )nf( ),1   n

* Với n = 1 hiển nhiên đúng

* Giả sử n = k 0 đúng, ta chứng minh với n = k + 1 cũng đúng Với k = 2t, sử dụng đẳng thức:

(Do f lẻ nên f(4-t) = - f(t-4) = - (t-4)f(1))

Hay: f(2t1) ( 2t1) ( )f 1 Tương tự cho f( )2t 2tf( )1 Vì thế ta có với mọi n thì f n( )nf( )1Thay vào phương trình ta nhận được 3 nghiệm: f(x) = 0 ; f(x) = x; f(x) = -x

Trang 23

VD3: Tìm tất cả các hàm số f :  

f x  f x với mọi x thuộc 

Từ b), cho x = 1 suy ra f(1) = 1 Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được rằng f(n) = n với mọi n thuộc N*, hơn nữa, f(x+n) = f(x) + n với mọi n nguyên dương Xét x = p/q Ta chứng minh rằng f(x)

Đây là một phương trình bậc 2 theo f(x) Giải ra, chú ý rằng f(x) > 0, ta được f(x) = p/q = x

Trang 24

BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHUYỂN ĐỔI ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH

:max ;

Trang 25

Trang 26

6 Tìm f(x) xác định và liên tục trên R+, thỏa: 1

Vì x > 0 ; y > 0 nên có thể đặt: x = eu ; y = ev; f(eu) = g(u)

- Vì f liên tục => g liên tục trên R và có:

Vì x > 0 ; y > 0 nên có thể đặt: x = eu ; y = ev; [f(eu)]2 = g(u) g u( )0,u

- Vì f liên tục => g liên tục trên R+ và có:

Trang 27

B Bài tập tự luyện:

9 Tìm f(x) xác định và liên tục trên \ 0 , thỏa: 2 2 0 0 1

Trang 28

Bài 6: PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC Tiết PP: 241-242

Phần 6.1: CÁC VẤN ĐỀ CHUNG

A Lý thuyết:

I/ Một số khái niệm cơ bản:

- Đa thức f(x) có dạng:

     đồng nhất 0 khi và chỉ khi: a n a n1a n2  a0

- Mỗi đa thức khác không có duy nhất 1 cách biểu diễn

- Hai đa thức khác 0 mà bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng bậc và các hạng tử (hệ số) bằng nhau

- Đa thức mà có tất cả các hệ số thực thì kí hiệu là [ ]x , tương tự cho [ ];x [ ]x

II/ Phép chia đa thức:

- Với hai đa thức f(x) và g(x) (g x ( ) 0) luôn tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) sao cho:

( ) ( ) ( ) ( )

f x q x g x r x (deg r < deg g)

- Nếu r(x) = 0 thì nói f(x) chia hết cho g(x), kí hiệu là: f x g x( ) ( )

- Số  là nghiệm của f(x)  f( ) 0 hoặc f x( ) ( x)

- ta nói  là nghiệm bội k ( k,k2) của đa thức f(x) nếu tồn tại đa thức g(x) ( ( )g x 0) sao cho

( ) ( ) ( )k

III/ Phương trình hàm đa thức:

1/ Tổng quát:

- Giả sử  1, 2, , là các nghiệm của đa thức f(x) với các bộitương ứng là n k k1, 2, ,k n khi đó tồn

(với g x( )  , degf k k  k ndeg )g

- Mọi đa thức có bậc n1 đều có không quá n nghiệm

- Đa thức bậc lẻ luôn có ít nhất 1 nghiệm (có thể cm bằng giải tích)

- Nếu đa thức f có deg f = n, mà tồn tại n + 1 nghiệm phân biệt  1, 2, ,  n, n1, thì f(x) = 0

VD: Chứng minh đa thức có dạng: f(x) = f(x + a) (*) thì f(x) là 1 đa thức hằng

1 1

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	524,84 KB