ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG TRƯỜNG

Gọi I là trung điểm của AC.. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại E.. Chứng minh rằng AE  BI.. Các đường phân giác trong và n

TRƯỜNG THCS ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH

GIỎI

TRẦN THỊ NHƯỢNG NĂM HỌC 2009- 2010

Môn: TOÁN

Ngày thi: 13- 9- 2009

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi có: 01 trang)

Câu 1(3 điểm):

a/ Rút gọn biểu thức: 32 12 ( 3)(5  2)











x x x

x

x A

b/ Tính giá trị của biểu thức A khi x ( 2 ) 4

Câu 2(4 điểm):

a/ Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:

B 29  12 5; C  6  20

b/ Chứng minh rằng: 5  3  29  12 5  1

Câu 3(5 điểm):

a/ Tìm ba số x, y, z biết rằng: 2x 3y 4z và x+ 2y- 3z = -20

b/ Với a>0, chứng minh rằng 1  2

a a

c/ Tính tổng S 11.221.331.4  20091.2010

Câu 4(4 điểm):

Tam giác ABC vuông tại A có AB< AC Gọi I là trung điểm của AC Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại E Chứng minh rằng AE  BI.

Câu 5(4 điểm):

Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB= 6cm và AC= 8cm Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại

M và N Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AM và AN.

Hết

TRƯỜNG THCS Đáp án đề thi chọn HSG vòng trường

TRẦN THỊ NHƯỢNG NĂM HỌC 2009- 2010

1a

) 2 )(

3 (

5 2

1 3

2

















x x x

x

x

A

) 2 )(

3 (

5 ) 3 ( ) 2 )(

2 (

















x x

x x

x

) 2 )(

3 (

5 3 4

2















x x

x x

) 2 )(

3 (

12 2











x x

x x

=((x x33)()(x x 24))

2

4







x

x

) 2 (



2 4

4 4







2a B 29  12 5  20  12 5  9  ( 20 ) 2  2 ( 2 5 ) 3  3 2

=( 20 ) 2  2 20 3  3 2

=( 20  3 ) 2

C 6  20  5  1  4 5  ( 5 ) 2  2 5 1  1 2 =( 5  1 ) 2

b Xét vế trái, ta có: 5  3  29  12 5  5  3  ( 20  3 ) 2

= 5  3  ( 20  3 )

= 5  6  20

= 5  ( 5  1 ) 2

= 5  ( 5  1 )

=1 (vế phải)

4 3 2

z y x





12 6 2

3 2 12

3 6

2











(vì x+ 2y- 3z = -20 )

1

20

20









Do đó: x=2.(-1) =-2

2y=6.(-1)  y=-3

3z=12.(-1) z=-4

b Với a>0, chứng minh rằng 1 2





a a

Áp dụng, bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a và a1 ta có

2

1 1

2 1 1

2

1

















a

a a

a a a a

a

(đpcm)

4 Từ A kẻ Ax// BC cắt EC tại D Vì EIBC EIAD

Mặt khác AC  ED (Vì D EC )

 I là trực tâm của ADE

Ta cần chứng minh: DB là đường cao thứ ba của ADE

(hay ba điểm D, I, B thẳng hàng).

Thật vậy, AB//CD và AD//BC

 ABCD là Hình bình hành

Khi đó AC và BD là hai đường chéo, chúng cắt nhau tại trung điểm I của AC Tức D, I, B thẳng hàng

 DB là đường cao thứ ba của ADE

Vậy AE  BI (đpcm)