Nâng cao và phát triển lớp 8 tập 1

Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành một tích đôi một các số nguyên t ố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì.. Trường [r]

Tổng quát của các hằng đẳng thức 1, 2, 4, 5, ta có công thức Niu-tơn (xem chuyên đề Tính chia hết đối với số nguyên)

Ví d ụ 3 Chứng minh rằng số 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1

3599=3600 1 60− = − =1 60 1 60 1− + =61.59

Ví d ụ 4 Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương

của hai biểu thức:

( )2 ( )2 ( )2 2

1 2 3 4 99 100100.101

50502

Rút gọn biểu thức trên, ta được 3 2 3

x +y =b Tính giá trị của biểu thức 3 3

x +y theo a và b

47 Chứng minh rằng:

a) Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương b) Nếu số 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương c) Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì 2

n cũng là tổng của hai số chính phương d) Nếu mỗi số m và nđều là tổng của hai số chính phương thì tích mn cũng là tổng của hai

16; 1156; 111556;

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương

51 Chứng minh rằng ab+1 là số chính phương với 11 12; 11 14.

 là số lập phương của một số tự nhiên

57 Chia 27 quả cân có khối lượng 10, 20, 30, , 270 gam thành ba nhóm có khối lượng

bằng nhau

58* Chia 18 quả cân có khối lượng 2 2 2 2

1 ; 2 ; 3 ; ;18 gam thành ba nhóm có khối lượng

bằng nhau

59* Chia 27quả cân có khối lượng 2 2 2 2

1 ; 2 ; 3 ; ; 27 gam thành ba nhóm có khối lượng

bằng nhau

Ví d ụ: 40; 41; 43 đến 45; 47; đến 49

Bài t ập: 192 đến 194; 196; 202; 205; 208 đến 214; 216; 218 đến 221; 229; 234 đến 258

3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Để phân tích một đa thức thành nhân tử, ta thường dùng các phương pháp:

- Đặt nhân tử chung;

- Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ;

- Nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc

xuất hiện nhân tử chung mới

Để phân tích đa thức thành nhân tử, người ta còn dùng các phương phác khác Xem chuyên

đề Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Ví d ụ 9 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

14

Cần nhớ kết quả của câu a) để vận dụng vào giải toán

ụ 12: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Chú ý: Cần nhớ kết quả của câu a) để vận dụng giải toán

Ví d ụ 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

B x ≠ , tồn tại duy nhất cặp đa thức Q x( ) và R x( ) sao cho A x( )=Q x B x( ) ( ) +R x( ).

Trong đó R x( )=0 hoặc bậc của R x( ) nhỏ hơn bậc của B x( )

Nếu R x( )=0 thì A x( ) chia hết cho B x( ) Nếu R x( )≠0 thì A x( ) không chia hết cho B x( ), khi đó Q x( ) là thương và R x( ) là dư của phép chia A x( ) cho B x( )

Ví d ụ 15: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:

1 6 1 4 3

3 n 5 n : 2 n

A= x − y − x + y B= x y

Tìm thương A B: trong trường hợp đó

Gi ải: Điều kiện để A chia hết cho Blà:

Cách 3 (Phương pháp xét giá trị riêng)

Gọi thương khi chia 3

− Nếu nhân cả tử thức và mẫu thức của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được

một phân thức bằng phân thức đã cho

− Nếu chia cả tử thức và mẫu thức của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho

Muốn rút gọn một phân thức đại số, ta có thể:

− Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;

− Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung

00

Gi ải Để chứng minh phân số đã cho là tối giản, ta sẽ chứng tỏ rằng tử và mẫu chỉ có ước

Nếu x= thì hai vế của (1) đều bằng 32 Do đó 1 A= B

Trong tất cả các trường hợp đẳng thức (1) đều đúng

−

98 Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức:

x y

−

=+ Biết rằng 2 2

7

;1

x x

++

106 Tìm số hữu tỉ x để phân thức 10

+ có giá trị là số nguyên

107* Chứng minh rằng nếu các chữ số , ,a b c≠ thỏa mãn điều kiện :0 ab bc=a c: thì

Muốn cộng các phân thức, ta quy đồng mẫu thức, cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên

mẫu thức chung, rồi rút gọn phân thức vừa tìm được

Muốn trừ đi một phân thức, ta lấy phân thức bị trừ cộng với phân thức đối của phân thức trừ

Muốn nhân các phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau, rồi rút gọn phân thức vừ tìm được

Muốn chia cho một phân thức khác 0, ta lấy phân thức bị chia nhân với phân thức nghịch đảo của phân thức chia

Gi ải: Đương nhiên không thể quy đồng mẫu tất cả các phân thức Ta tìm cách tách mỗi phân thức

thành hiệu của hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp Ta có:

10

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau

119 Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên:

a)

;3

=+ :

127* Cho a3+b3+c3 =3abc và a b c+ + ≠ Tính giá trị của biểu thức: 0

x+ +y z có thể cùng có giá trị bằng 0 được hay không?

144 Tính giá trị của biểu thức M = 1 1 1

x + y +z

+ + + , biết rằng

+ c) 4

4

1

x x

+ d) 5

5

1

x x

x x x

+ +

2 2

2 2 2

2 2

,2

=

Tính giá trị của biểu thức x + y + xy

159 Tìm hai số tự nhiên a và b sao cho:

a) a – b = a

b b) a – b = 2

a b

160 Cho hai số nguyên a và b trong đó a > b Tìm hai số nguyên dương c khác b sao cho

161 Cho dãy a a a1, 2, 3, sao cho: 1 2 1

163 * Cho hai số tự nhiên a và b (a <b) Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số

lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b

164 a) Mức sản xuất của một xí nghiệp năm 2001 tăng a% so với năm 2000, năm 2002 tăng b% so

với năm 2001 Mức sản xuất của xí nghiệp đó năm 2002 tăng so với năm 2000 là:

Hãy chọn câu trả lời đúng

165 * Chứng minh rằng các tổng sau không là số nguyên:

CHUYÊN ĐỀ

M ỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Trong chuyên đề này, ta chỉ phân tích đa thức thành nhân tử với các hệ số nguyên

PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

Ví d ụ 26(3): Phân tích đa thức thành nhân tử:

2

3x – 8 x + 4

Gi ải: Đa thức trên không chứa nhân tử chung, không hạng tử chung, không có dạng một hằng đẳng

thức đáng nhớ nào, cung không thể nhóm các hạng tử Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có

nhiều hạng tử hơn

3x – 8 x + 4, hệ số của các hạng tử là 3; -6; -2; 4 Các hệ số thứu hai và thứ tư đều gấp -2 lần

hệ số liền trước, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung x – 2

Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai 2

ax +bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b x b x1 + 2 sao cho 1

2

a =b , tức là b b1 2=ac Trong thực hành ta làm như sau:

Bước 1: Tìm tích ac

Bước 2: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách

Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b

Trong ví dụ trên, đa thức 3x2

- 8x + 4 có a= 3, b=-8, c = 4 Tích ac= 12 Phân tích 12 ra tích của hai thừa số, hai thừa sô này cùng dấu (vì tích của chúng bằng 12), và cùng âm ( để tổng của

Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1)

Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2)

Với các đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, người ta thường dung cách tìm nghiệm của đa thức

Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) =

0 Như vậy, nếu đa thức f(a) có nghiệm x = a thì nó chứa nhân tử x – a

Ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là ước của hệ số tự do

Thật vậy, giả sử đa thức 1

0 n 1 n n 1 n

a x +a x − + +a − x+a với các hệ số a0, a , , a1 n nguyên, có nghiệm x = a ( a∈Z) Thế thì

1

0 n 1 n n 1 n

a x +a x − + +a −x+a = ( x –a )( b x0 n−1+b x1 n−2+ + b n−1)

Trong đó b b0, , ,1 b n−1 nguyên Hạng tử có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng −ab n−1, hạng tử

có bậc thấp nhất của vế trái bằng a n Do đó −ab n−1=a n, tức a là ước của a n

Ví d ụ 28(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:

Chú ý 1 Khi xét nghi ệm nguyên của đa thức, nên nhớ hai định lí sau:

a) N ếu đa thức f x ( ) có t ổng các h ệ thức bằng 0 thì1là nghi ệm của đa thức, do đó

đa thức chứa nhân tử x − 1

Ch ẳng hạn, đa thức 3 2

x − x + x − có 1 5 8 − + − = 4 0 nên 1là nghi ệm của đa

th ức, đa thức chứa nhân tử x − 1

b) N ếu đa thức f x ( ) có t ổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số

c ủa hạng tử bậc lẻ thì 1 − là nghiệm của đa thức, đa thức chứa nhân tử x + 1

Ch ẳng hạn, đa thức 3 2

x − x + x + có 9 5 − = + 3 1 nên − là nghiệm của đa 1

th ức, đa thức chứa nhân tử x + 1

Ch ứng minh hai định lí trên, xem các ví dụ 51 và 52

N ếu a là nghiệm nguyên của đa thức f x ( ) và f ( ) 1 , f ( ) − 1 khác 0 thì ( ) 1

− + là s ố nguyên

Ta th ấy 44

2 1

− + không nguyên nên 2 không là nghi ệm của f x ( ) Ch ỉ còn 2 − và3.

Ki ểm tra ta thấy3là nghiệm của f x ( ) Do đó, ta tách các hạng tử như sau:

II PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ

1.Thêm và b ớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương

Ví d ụ 30(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:

2.Thêm và b ớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

Ví d ụ 32(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:

III PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Ví d ụ 34(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:

Nh ận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến, ta đã đưa đa thức bậc

b ốn đối với x thành đa thức bậc hai đối với y

Ví d ụ 35(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:

D ạng phân tích này cũng đúng với x = 0

Chú ý: Có th ể trình bày lời giải của ví dụ trên như sau:

+ax+b

x x + cx + d Phép nhân này

V – PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG

Trong phương pháp này, trước hết ta xá định các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các

biếm các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại

Ví dụ 37(3) Phân tích đa thức thành nhân tử:

P=x y− +z y z− +x z x−y ( ví dụ 13)

Gi ải: Thử thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi (ta nói đa thức P có hoán vị vòng

quanh x→ → → ) Do đó , nếu P đã chia hết cho x – y, thì cũng chia hêt cho y z x

y – z, z – x Vậy P có dạng (k x−y y)( −z z)( − x)

Ta thấy k phải là hằng số ( không chứa biến) vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến , ,x y z , còn tích

(x−y y)( −z z)( − cũng có bậc ba đối với các tập hợp ấc biến , ,x) x y z

x y− +z y z− +x z x−y =k x−y y−z z− đúng với mọi , ,x x y z nên ta

gán cho các biến , ,x y z các giá trị riêng, chẳng hạn x=2,y=1,z=0, ta được:

4.1 1.( 2) 0+ − + =k.1.1 ( 2)⋅ − ⇔ = −2 2k ⇔ = − k 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (từ bài 166 đến bài 179) 166(3). a) 6x2−11x+3 : b) 2x2+3x−27 c) 2x2−5xy−3y2

181(3) Chứng minh rằng số 4 4

A= n+ +n + chia hết cho một ssos chính phương khác một với

mọi số n nguyên dương

182(3) Tìm các số nguyên dương , , a b csao cho khi phân tích đa thức (x+a x)( − − thành 4) 7nhân tử ta được (x+b)(x+c)

183(3) Tìm các số hưu tỉ , , a b c sao phân tích đa thức 3 2

x +ax +bx+c thành nhân tử ta được (x+a)(x+b)(x+c)

184(3) Số tự nhiên n có thể nhận bao nhiêu giá trị, biết rằng khi phân tích đa thức 2

x + =x n

thành nhân tử ta được (x a− )(x b+ với ,) a b là các số tự nhiên và 1< <n 100

185(3) Cho A=a2+b2+c2, trong đó a, b là hai số tự nhiên liên tiếp, c ab= Chứng minh rằng

A là một số tự nhiên lẻ

TÍNH CHIA H ẾT ĐỐI VỚI SỐ NGUYÊN

Tính chia hết đối với số nguyên đã được trình bày ở các cuốn Nâng cao và phát triễn toán 6, Nâng

cao và phát tri ễn toán 7 Nhờ sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và phân tích đa thức thành

nhân tử, ở lớp 8 ta có khả năng giải quyết nhiều bài toán về chia hết phức tạp hơn ở lớp dưới

I - CH ỨNG MINH QUAN HỆ CHIA HẾT

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n n N ∈ hoặc n Z∈

Chú ý 1: để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số m, ta thường phân tích biểu thức A(n) thành

thừa số, trong đó một thừa số là m Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành một tích đôi một các số nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó Nên lưu ý đến nhận xét: Trong k số nguyên liên tiếp, bao giờ cúng tồn tại một bội của k

Ví d ụ 38(3) Chứng minh rằng:

3 2

A=n n − − n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n

Gi ải: phân tích ra thừa số 4 2

đây là tích của bảy số nguyên liên tiếp Trong bảy số nguyên liên tiếp:

- Tồn tại một bội của 5 ( nên A chia hết cho 5)

- Tồn tại một bội của 7 ( nên A chia hết cho 7)

- Tồn tại hai bội của 3 ( nên A chia hết cho 9)

- Tồn tại ba bội của 2, trong đó có một bội của 4 ( nên A chia hết cho 16)

A chia hết cho các số 5, 7, 9, 16 đôi một nguyên tố cúng nhau nên A chia hết cho 4 2

5040=2 3 5.7

Nếu a=5 k (k∈Z) thì a chia hết cho 5

Nếu a=5k±1 (k∈Z) thì a2−1 chia hết cho 5

Nếu a=5k±2 (k∈Z) thì a2+1 chia hết cho 5

Trường hợp nào cũng có một thừa số của A chia hết cho 5

Cách 2: Phân tích a5−a thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5

Một số hạng là tích cuae năm số nguyên liên tiếp, một số hạng chứa thừa số 5

Cách 3: Giải tương tự cách 2: xét hiệu 5

a −a và tích của năm số nguyên liên tiếp

(a−2)(a−1) (a a+1)(a+ , được 2) ( 2 )

5a a − Do đó 1 5

a −a chia hết cho 5;

d)Bạn đọc tự chứng minh

Chú ý: Bài toán trên là trường hợp riêng của bài toán Phéc ma Định lú này thường được

biểu diễn dưới hai dạng:

- D ạng 1: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên thì p

Ví d ụ 40(2)

a) Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1

b) Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1

c) Các số sau có là số chính phương không?

n= k± k∈N ⇒A = k ± k+ , chia cho 3 dư 1

Vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1

Vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1

Chú ý: Từ bài toán trên ta thấy:

- Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4

- Số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1( hơn nữa, chia cho 8 cũng dư 1)

c) Các số 19932, 19942 là số chính phương không chia hết cho 3 nên chia cho 3 dư 1, còn

19922 chia chết cho 3 Số M là số chia cho 3 dư 2, không là số chính phương

Các số 19922, 19942 là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4 Các số 19932,

19952 là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1 Số N là số chia cho 4 dư 2, không là số chính

phương

Các số 94100

, 1994100 lầ số chính phương chẵn nên chia hết cho 4 Còn 9100

là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1 Số P là số chia cho 4 dư 2, không là số chính phương

d) Mọi số của dãy đều tận cùng bởi 11 nên là số chia cho 4 dư 3 mặt khác, số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1

Vậy không có số nào của dãy là số chính phương

Chú ý 3: Khi chứng minh về tính chia hết cho các lũy thừa , ta còn sử dụng các hằng đẳng thức 8,9 ở bài 2 và các công thức Niu-tơn sau đây:

a b+ = a + c a −b+c a − b +… + c −ab − + b

Trong công thức trên, vế phải là một đa thức có n+1 hạng tử, bậc của mỗi hạng tử đối

với tập hợp các biến a,b là n ( Phần biến số của mỗi hạng tử có dạng aibk, trong s=đó i+k=n

với 0≤ i≤ n; 0≤ k≤ n các hệ số c1,c2 ….cn-1được xác định bởi bảng tam giác Pa-xcan (H1)

Trong hình 1, các số dọc theo một cạnh góc vuông bằng 1, các số dọc theo cạnh huyền

bằng 1 Cộng mỗi số với số liền sau bên phải thì được số đứng dưới của số liền sau ấy,

41(2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n

-1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn

Nếu n lẻ thì 16n 1 – 2

A= + , mà 16n + 1 chia hết cho 17 theo hằng đẳng thức 9 , nên

A không chia hết cho 17

Vậy A chia hết 17 ⇔ n chẵn

Cách 2: A= 16n− = 1 17 ( − 1)n − 1 = BS17 + −( )1n – 1( Theo công thức Niu tơn)

Nếu n chẵn thì A= BS 17 + 1 - 1 = BS 17

Nếu n lẻ thì A= BS 17 – 1 - 1, không chia hết cho 17

Chú ý 4: Người ta còn dùng phương pháp phản chứng, nguyên lí Đi- rích- lê để

chứng minh quan hệ chia hết

Ví d ụ 42(1) Chứng minh rằng tồn tại một bội của 2003 có dạng:

Ví du 43(2) Tìm sô dư khi chia 2100

a) Cho 9 b) Cho 25 c) Cho 125

Gi ải: a) Lũy thừa của 2 sát với một bội số của 9 là 23 = 8 = 9 – 1

Không kể phần hệ số của khai triển Niu tơn thì 48 số hạng đầu đã chia hết cho lũy

thừa của 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3nên chia hết cho 125 hai số hạng tiếp theo cũng