20 de thi chon HSG

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC.. Chứng minh rằng: Bài 6: 2đ Từ một điểm A ở ngoài đường tròn O ; R, ta kẻ hai tiếp tuyến AB

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC Từ đỉnh M vẽ góc 450 sao

cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F Chứng minh rằng:

Bài 6: (2đ)

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn(B và C là các tiếp điểm) Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của

AB và AC Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O) Chứng minh MK = MA

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010

0,75đ0,25đ

0,25đ0,5đ

0,25đ

0,25đ0,5đ0,253

Với điều kiện ta có:

0,75đ0,5đ0,75đ

(vì y dương)

Suy ra: M =

Vậy giá trị lớn nhất của M là x = 2, y = 8

0,25đ0,5đ

4

(vì )

0,25đ0,5đ0,5đ

0,5đ0,5đ0,5đ0,5đ

0,5đ

5

Kẻ MP AB tại P, MQ AC tại Q

Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ tại K và cắt MF tại N

Do EMF = 450 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ

0,25đ0,25đ

B

M P

N

và ( vì có cùng chiều cao nhưng đáy EN

bé hơn đáy EK)

0,5đ0,5đ

0,5đ0,5đ

0,25đ

6

Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC Giao điểm của OA và PQ là I

AB và AC là hai tiếp tuyến nên AB = AC và AO là tia phân giác của

BAC

PAQ cân ở A và AO PQ

Áp dụng Pitago ta có:

MK2 = MO2 – R2 ( MKO vuông tại K)

MK2 = (MI2 + OI2) – R2 ( MOI vuông tại I)

MK2 = (MI2 + OI2) – (OP2 – PB2) ( BOP vuông tại B)

MK2 = (MI2 + OI2) – [(OI2 + PI2) – PA2] ( IOP vuông tại I và PA = PB)

0,25đ0,25đ

0,25đ

MK2 = MI2 + OI2 – OI2 + (PA2 – PI2)

MK2 = MI2 + AI2( IAP vuông tại I)

MK2 = MA2( IAM vuông tại I)

MK = MA

0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ

Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức

a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2

b/ Cho x +2y = 8 T ìm giá trị lớn nhất của B=xy

Bài 5(2đ): Giải phương trình

a)

Bài 6(2,5đ):

Cho hình vuông cạnh a Đường tròn tâm O, bán kính a cắt OB tại M D làđiểm đối xứng của O qua C Đường thẳng Dx vuông góc với CD tại D cắt CM tạiE.CA cắt Dx tại F Đặt

a/ Chứng minh AM là phân giác của Tính độ dài DM, CE theo a và

b/ Tínhđộ dài CM theo a Suy ra giá trị của

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

=

b (0,5 đ) Thay x = +2010 vào A ta có:

A

0.250.25

0.250.25

0,5

2(1đ)

Rút gọn biểu thức

0.250.25

0.250.25

3(1đ)

0.250.25

a) Chứng minh rằng với hai số thực bất kì ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

b) Cho ba số thực không âm sao cho

Chứng minh: Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

c) Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức có giá trị bé nhất ? Chobiết giá trị bé nhất đó

2) Cho tam giác ABC cân tại A có Chứng minh : là số vô tỉ

0,25b

Điều kiện :

Từ (2) (x2 – 4)(x2 + 4) kết hợp với (1) và (3)

suy ra x = 2

Thay vào (4): y2 – 2y + 1 ; Đỳng với mọi giỏ trị của y

Thay x = 2 vào phương trỡnh và giải đỳng, tỡm được y = 1,5

Vậy nghiệm của phương trỡnh: (x = 2; y = 1,5)

0.50,25

c Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0 0,25

x2 – 2y – 5 = 0 x2 = 2y2 + 5 x lẻĐặt x = 2k + 1 ; ( k ) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5 2y2 = 4k2 + 4k – 4

y2 = 2(k2 + k – 1) y chẵnĐặt y = 2n; (n ) 4n2 = 2(k2 + k – 1) 2n2 + 1 = k(k + 1) (*)

Nhỡn vào (*) ta cú nhận xột: Vế trỏi nhận giỏ trị lẻ, vế phải nhận giỏ trị

chẵn (Vỡ k và k + 1 là hai số nguyờn liờn tiếp) (*) vụ nghiệm pt đó

(1,5đ) + Gọi số ô tô lúc đầu là ( x nguyên và x ≥ 2)

Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1

+ Theo giả thiết: Nếu số xe là thì số học sinh phân phối đều cho tất

cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y ≤ 30)

+ Do đó ta có phương trình:

0,250,25

0,25+ Vì x và y đều là số nguyên dương, nên phải là ước số của 23

Mà 23 nguyên tố, nên: hoặc

− Nếu thì < 30 (thỏa điều kiện bài toán)

+ Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là:

học sinh

0,250,25

0,25

Bài 5

(3,0đ)

I E

K M

D

O

là đường trung trực của đoạn thẳng BD,BD là đường trung trực của AC.Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đường trung trực của đoạnthẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I,K là tâm đường tròn ngoại tiếp cáctam giác ADB,ABC

Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy một điểm E đối xứng với điểm I qua

M , Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đường chéo EI và AB vuông gócvới nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )

0,25

1a

Xét EBK có ,đường cao BM.Theo hệ thức trong tam giác

D

B

A

0,25

Kẻ tia Cx sao cho CA là tia phân giác của , tia Cx cắt đường thẳng

B Theo tính chất đường phân giác trong tam giác BCD

PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2009-2010

MÔN THI : TOÁN

-Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

a) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 Chứng minh :

b) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho : với n là số nguyên lớn hơn 2

Bài 3: (4đ)

a) (2đ) Phân tích thành nhân tử: M = với

b) (2đ) Giải phương trình

Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình:

a) (0,5đ)Xác định m đểđường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1)

b) (1,5đ)Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cốđịnh

a d b c

a d b c

+ − −

=+ − −

1

a+ b+ c+ d

Nên PT vô nghiệm với x >1

Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1

Bài 4

a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên

b) Gọi là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua

Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1,0 đ)

Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE

Hay A là điểm chính giữa của cung AB

Môn thi: Toán Thời gian: 150 Phút

Bài 1: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm

a) Cho a, b là 2 số tự nhiên lẻ Chứng minh rằng: a2 – b2 chia hết cho 8

Bài 2: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm

a) Cho a, b, c là các số thực khác nhau Chứng minh rằng:

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x−2009+ 2010−x

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 7y = 55

b) Cho a, b, c, d là các số dương và Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau:

Bài 4 (4 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm nằm trên đoạn OA, vẽ đường

tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I là trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J

a) Đường thẳng IJ là gì của đường tròn (O’) ? Giải thích

b) Xác định vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất

1

a+ b+ c+ d

a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB CD : gt) ACMD là hình

Mà (do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là trung tuyến)

(do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); và đối đỉnh)(0,5 điểm) IJ là tiếp tuyến của (O’), J là tiếp điểm

b) Ta có IA = IM IO’ = = R (R là bán kính của (O))

O’M = O’B (bán kính (O’)

JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2

Mà IJ2 + O’J2 2IJ.O’J = 4SJIO’

Do đó SJIO’

SJIO’ = khi IJ = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên :

2O’J2 = O’I2 = R2 O’J =

Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R

Bài 5 (4 điểm)

O1 R1

C

B

R2 O2

Tương tự với O2BC : 2R2 BC Suy ra R2 nhỏ nhất BC là đường kính của (O2) và giả

sử đường tròn (O2) đường kính BC cắt AC tại H’ thì = 900 (2)

Từ (1) và (2) suy ra H’ H Vậy điểm M phải tìm là chân đường cao kẻ từ đỉnh B

Mặt khác, nếu r là bán kính của đường tròn nội

tiếp thì SABC = r(AB + BC + CA)

r =

Do a, h, BC không đổi nên r sẽ có giá trị lớn nhất khi AB + AC có giá trị nhỏ nhấtGọi C’ là điểm đối xứng của C qua xy thì AB + AC = AB + AC’ C’B

Khi đó : AB + AC = C’B khi A A1 ABC cân tại A

PGD&ĐT huyện Long Điền Trường THCS Trần Nguyên Hãn

ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

Năm học 2009 – 2010Thời gian 150 phút

Cho biểu thức K =

a/ Rút gọn K

b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên

Bài 2: (3 điểm) Cho A = 111…….111 ( 2m chữ số 1)

ĐÁP ÁN

Bài 1(4 điểm)

a/

Bài 3:(4 điểm)

a/ Cho abc = 1

Đường thẳng qua M vuông góc với d cắt (O) tại N

Vì = 900 nên AN làđường kính củađường tròn (O) N cốđịnh

Đường thẳng qua M’ vuông góc với d cắt (O’) tại N’

Vì = 900 nên AN’ làđường kính củađường tròn (O’) N’ cốđịnh

B thuộcđường trònđường kính AN nên = 900

B thuộcđường trònđường kính AN’ nên = 900

= + = 1800 Vậy N, B, N’ thẳng hàng

b/ Chứng minh trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’)

OI đi qua trung điểm của NA và NN’ nên OI làđường trung bình của ANN’

mà R’ + r = R nên O’I = R’ + r (I; r) tiếp xúc ngoài với (O’; R’)

Vậy trung điểm I của NN’ là tâm củađường tròn tiếp xúc vớiđường tròn (O) và (O’)

Bài 5

C

D M

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM

Ta có CA = CM; BD = BM ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà CD = CM + MD nên CD = AC + BD

KẻMH AB (H AB) ta cóMH MO = R

Tứ giác ABDC là hình thang vuông nên CD AB = 2R

Thì SACM + SBDM nhỏ nhất và bằng R2

Phòng GD Huyện Long Điền ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

a) Rút gọn P

b) Chứng minh rằng : nếu 0 < x < 1 thì P > 0

c) Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 3 : ( 5 điểm )

Cho nhọn Trên đường cao AD ( ) lấy điểm I sao cho Trên đường

cao BE ( ) lấy điểm K sao cho Chứng minh : CI = CK

Vậy

3) ( 2 đđiểm )

Viết được

Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5 99 (3) Mặt khác : 100

Với MH , MK khụng đổi ( vỡ M , H , K cố định )

Luực ủoự c/m ủửụùc D & E laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AB vaứ AC

Vậy khi D , E lần lượt là trung ủieồm cuỷa AB , AC thỡ SMDE nhỏ nhất

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO YấN ĐỊNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2008 - 2009 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao

đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn biểu thức P

b) Tìm tất cả các giá trị của x để P nguyên

Câu 2: (5,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng (d): và

(d') : cắt nhau tại C và lần lượt cắt trục Ox tại A, B

a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C

b) Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục là cm

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn Chứng minh bất đẳng thức:

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Câu 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB; Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC và

BD cắt nhau tại N Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đường tròn cắt nhau tại M Gọi P là giao điểm củahai đường thẳng AD và BC

a, Chứng minh PN vuông góc với AB

b, Chứng minh P,M,N thẳng hàng

Câu 5: (2,0 điểm) Chứng minh rằng:

-Hết -• Học sinh không được sử dụng tài liệu gì.

• Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH NĂM HỌC 2008 - 2009

1,0

⇔ Vậy B(3 ; 0)

• Gọi H là hình chiếu của Ctrên trục Ox thì CH là đườngcao của tam giác CAB và

CH = 3 cm ( tung độ củađiểm C) ; cạnh đáy AB = AO+ OB = 1 + 3 = 4 (cm)

3 -1

C

B A

y = 9-3x2

y = 3x+32

Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do

đó ta có thể hạn chế giải với x là số tự nhiên

Khi đó: y+3+x y+3-x

Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ Ta lại có tíchcủa chúng là số chẵn , vậy 2 số 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 sốchẵn

Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây

- 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong đó thừa số đầu bằng giá trị(y+3+x)

Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta có x= 5 , y= 0

Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta có x= 4 , y= -3

Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta có x= 5 , y= -6

Vì thế phương trình đã cho có các nghiệm ( x,y) = (

0.50.50.5

b

Trong tam giác PAB ta có AC và BD là các đường cao nên N làtrực tâm tam giác Do đó PN là đường cao còn lại nên vuông gócvới cạnh AB

Gọi I là trung điểm của PN thì IC là trung tuyến của tam giácvuông PAC nên IPC cân tại I Do đó :

Tam giác OAC cân tại O nên :

Mặt khác (do có các cạnh tương ứng vuông góc)

0.50.50.50.5

-PHÒNG GD-ĐT CẨM THỦY KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (ĐỀ SỐ 3)

Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:

Bài 3( 3,0 điểm)

Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a = ; b =

1/ Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn)

2/ Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên

1/ Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN Chứng minh rằng đường thẳng EFvuông góc với đường thẳng AB

2/ Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB Đường thẳng MNcắt đường tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD

Bài 5: (4đ): Cho ∆ ABC đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự Là E , F , N

a) Chứng minh :

b) Giả sử đường thẳng d // BC Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại

P đường thẳng KM cắt AC tại Q Chứng minh PQ//BC.

Bài 6: (2 điểm) Cho 0 < a, b,c <1 Chứng minh rằng :

-

HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM: ĐỀ SỐ 3 Câu 1 (3,0 điểm)

m

 Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P = P

 Nếu b , a dương tuỳ ý thì P =

Ta có: , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1

Mặt khác: , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1

Vậy P , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1

KL: Giá trị nhỏ nhất của P =

Câu 2 (3,0 điểm)

m

Biến đổi tương đương hệ ta có

Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được:

(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1) 2 (y+1) 2 (z+1) 2 = - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)

(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0

x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2

Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2

Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho

1,00

0,50

0,25 0,25 0,25 0,50 0,25

Do a + b =3; ab =1 nên theo 1 ta có: với n ≥ 1 thì S n+2 = 3S n+1 - S n

Do S 1 , S 2 Z nên S3 Z;do S2 , S 3 Z nên S4 Z

Tiếp tục quá trình trên ta được S 5 ; S 6 ; ; S 2008 Z

3.(1.0 điểm)

0,25 0,50 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

O1 E O O2

C M

I

N

D S

Tiếp tục quá trình trên ta được U n nguyên n lẻ

Vậy S n – 2 là số chính phương n = 2k+1 với k Z và 0 1003

1 (2,5 điểm) O1 M; O 2 N MN O 1 M/ / O 2 N

Do O 1 ; E; O 2 thẳng hàng nên MO 1 E = NO 2 B

Các tam giác O 1 ME; O 2 NB lần lượt cân tại O 1 và O 2 nên ta có: MEO 1 = NBO 2

(1)

Mặt khác ta có: AME = 90 0 MAE + MEO 1 = 90 0 (2)

MAE + NBO 2 = 90 0 AFB = 90 0

Tứ giác FMEN có 3 góc vuông Tứ giác FMEN là hình chữ nhật

MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B.

Gọi I là trung điểm CD CD OI OI// O 1 M //O 2 N

SO 2 = 2SO 1 SO 1 +O 1 O 2 = 2SO 1 SO 1 = O 1 O 2

Do O 1 O 2 = 3 + 6 = 9 cm SO 1 = O 1 O 2 = 9 cm SO =SO 1 + O 1 O = 15cm

Mặt khác: OI = 5 cm

0,25 0.25 0,25 0,25 0,50

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,5

0,25 0,25 0,5

0,25 0,25

Xét tam giác COI vuông tại I ta có: CI 2 + OI 2 = CO 2 CI 2 + 25 = CO 2

Ta có: CO = 9 cm CI 2 + 25 = 81 CI =

CD = 4 cm

Câu 5 (2,0 điểm)

Điể m

I

S M

N

C B

A

Khi là trung điểm của EF

+Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP tại L

UBND HUYỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2013-2014

MÔN: TOÁN LỚP 9

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của P với

Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm số:

a) Vẽ đồ thị (D) và (L)

b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N Chứng minh OMN là tam giác vuông

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình:

Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC

ở M và cắt đường thẳng DC ở I

Bài 5: (6 điểm)

Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O )

và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E( O ) và F ( O/ ) Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC Chứngminh rằng: