CĐ 13. Chuyên đề chia hết 7

CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT

Tính chất:

- Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n

- Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c

- Với p là số nguyên tố Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p

- Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n n  1 

luôn nhận được hai số dư bằng nhau

- Trong nn 1

số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n

- Nếu  a b ;   d

thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: ax by d 

DẠNG 1: SỬ DỤNG CÁC DẤU HIỆU, TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIA

Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

   chia hết cho 10

Bài 2 : Chứng tỏ rằng:

A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100

Bài 3 : Cho m, n ¿ N* và p là số nguyên tố thoả mãn:

p

m+n

p (1)

Chứng minh rằng : p2 = n + 2

Bài 4: a) Sè A=101998−4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?

b) Chøng minh r»ng: A=3638+ 4133 chia hÕt cho 7

Bài 5 :

a) Chứng minh rằng: 3n 2 2n 4 3n 2n







chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương

b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z)

Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3 a  2 b  17  10 a  b  17 (a, b  Z )

b) Cho đa thức f ( x )  ax2 bx  c (a, b, c nguyên)

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3

Bài 7 : a) Chøng minh r»ng

2006

9



lµ mét sè tù nhiên

b) Cho 2n+1 lµ sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2n−1 lµ hîp sè

DẠNG 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : A n n 2 7 7  n7 6

Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chứng minh rằng : A  4 a2  3 a   5 6

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: n2 9 n  2 11 

Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho 4 n  2 1 5 và chia hết cho 13

Bài 5: Chứng minh rằng nếu n  3 thì A  32n 3 1 13, n Nn   

Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2 1 7n

 

Bài 7: Chứng minh rằng: A n n   2  1   n2  4 5,      n Z 

Bài 9: Chứng minh rằng nếu n;6 1

thì n2  1 24,    n Z

Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: 22n 2 1 7n

Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24 m4  1 n2 , Chứng minh rằng: mn 5

Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho : x3 8 x2  2 x x  2 1

Bài 17: Cho số tự nhiên n  3 , Chứng minh rằng: nếu 2n 10a b , 0 b10

thì ab 6

Bài 18: Cho số tự nhiên n  1 , Chứng minh rằng: S1 25 5 3 5 n51 2 3    n Bài 19: Cho 1 1 1 1 , , 

2 3 1319

q       Chứng minh rằng p 1979

DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: An Bn  A B   ,  n

LẺ

Bài 1: Chứng minh rằng A  2005n 60 1897 168 2004,n  n n   n N

Bài 2: Cho n N  , CMR : A  5 5 1 6 3 2 91n n    n n  n 

Bài 3: Cho n N  , Chứng minh rằng: 62n 19n 2n1 17

Bài 4: Chứng minh rằng: 1 3 5 7 23 3 3 3 3

Bài 5: Chứng minh rằng: 2 58n 6n  1980n 441 1 1979,n    n N

Bài 7: CMR với mọi số tự nhiên n ta có :

5n 26.5n 8 n 59

Bài 9: Chứng minh rằng: A  20 16n n 3 1 232,n    n N

Bài 10: Chứng minh rằng: n n n2 n 1n 1 ,2  n 1

Bài 14: Tìm giá trị của n để: A  20 16n n 3 1 323n 

Bài 15: Tìm số tự nhiên n để A 32 3n 24 1n 25

Bài 16: Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: a a   1   b  1 192  

Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: a2  b2 c2 , Chứng minh rằng: abc 60

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

Bài 1: Chứng minh A  16 15n n  1 225,    n N*

Bài 2: Chứng minh rằng: 33 3n 26 n 27 29, n 1