CĐ 3 chuyên đề chia hết (r)

CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾTA... HD: Giả sử A chưa tối giản.

CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT

A LÝ THUYẾT.

- Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n

- Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c

- Với p là số nguyên tố Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc

b chia hết cho p

- Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho nn 1 luôn nhận được hai

số dư bằng nhau

- Trong nn 1 số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n

- Nếu a b;  d

thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: ax by d 

- Ta có: a n b n a b a  n1 bn1 a n b a b n  

- Ta có: a n b n a b a  n 1 b n 1 a n b a b n  

với n là số tự nhiên lẻ

B LUYỆN TẬP

Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP

Phương pháp :

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có: n35 6n

HD:

Ta có: n3  5nn3  n 6n

, như vậy ta cần chứng minh

   

Do n n  1 n 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 Bài 2: Chứng minh rằng : n311 6,n  n Z

HD :

Ta có: n3  11n n 3  n 12n n n  2  1 12 n n n   1 n 1 12 n

Vì n n  1 n 1

là ba số nguyên liên tiếp n n  1 n 1 6

và

3

12 6n n  11 6n

Bài 3: Chứng minh rằng: A n n   1 2  n 1 6,  n N

HD:

Ta có: A n n  1  n 1  n2 n 1 n n1n n 1 n2 6

Bài 4: Chứng minh rằng: m33m2  m 3 48, m lẻ

HD:

Vì m là số lẻ, Đặt m 2k 1,k N 

Khi đó ta có : A m 3 3m2 m 3 m 3 m2 1 m 1 m 1 m 3

Thay m 2k 1 vào A ta được : A 8k 2 k 1k

Vì k k  1 k 2 là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên 6 Vậy A48

Bài 5: Chứng minh rằng: n4 4n3 4n216 384,n n chẵn

HD:

Vì n chẵn, Đặt n 2 ,k k N   , Khi đó ta có:

   

4 4 3 4 2 16 4 2 4

, Thay n 2k vào A ta được:

     

A k k k k , Vì k 2 k 1 k k 1 là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp

Nên chia hết cho cả 3 và 8

Bài 6: Chứng minh rằng: B n 5  5n3  4 120,n  n N

HD:

Ta có: B n n  4 5n2  4 n n 2 1 n2 4 n n  1 n 1 n 2 n 2 120

Bài 7: Cho n là số nguyên, Chứng minh A n 4 14n371n2154n120 24

HD:

Ta cần chứng minh A3 và A8 , ta có :

4 14 3 71 2 154 120 3 2 12 2 2 47 2 60 2

 2 2 3 9  3 20  3  2  3  3 5  4

 2  3  4  5

, Vì A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp =>A3 Ngoài ra trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có hai số chẵn liên tiếp, một số 2 và

1 số  4

Vậy A 8

Bài 8: Chứng minh rằng: n46n311n26 24n

HD:

Ta có:

     

4 6 3 11 2 6 1 2 3

nên A3

Và A cũng là tích của 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và 1 số chia

hết cho 4, Nên A8

Bài 2: CMR: n4 2n3 n2 2n chia hết cho 24 với mọi nZ

HD :

4  2 3  2  2   2  2   2    1  1  2

là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho

4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3

Bài 9: Chứng minh rằng:

2 3

là một số nguyên với mọi a nguyên

HD:

Ta có:

   

a a a

  

Vì a a  1 a 2 là tích của 3 số nguyên liên tiếp =>6

Bài 10: Chứng minh rằng: n5 n30,n

HD:

Ta có: A n 5  nn 1 n n 1 n2  1

, là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2

và 3

Mặt khác:

                 

Thấy n 2 n 1 n n 1 n 2

là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên A5 Bài 11: Chứng minh rằng: n31964 48, nn  chẵn

HD:

Vì n là số chẵn, Đặt n 2 ,k k N   Khi đó ta có :

   

Vì k 1 k k 1

là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 Bài 12: Chứng minh rằng: n4  7 7 2  n3 64, n

lẻ

HD:

Vì n lẻ, Đặt n 2k 1,k N 

, Khi đó ta có: A n 4  7 7 2  n2  n2  72

, Thay n 2k 1 vào ta được: A 16k2  k 22

, Vì k2  k 2 k k  1 2 2 

Bài 13: Chứng minh rằng: n46n2 7 64, n lẻ

HD:

Vì n lẻ, Đặt: n 2k 1,k N 

, Khi đó: A n 4  6n2  7 n2  1 n2  7

, Thay n 2k 1 vào ta được: A 16k k  1 k2  k 2

Bài 14: Chứng minh rằng: A n 2 4n3 8, n lẻ

HD:

Ta có: An 1 n 3 , Vì n là số lẻ, Đặt

Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9

HD:

Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n 1; ;n n 1, n Z

Gọi

 13 3  13 3 3 3 18 9 2 9 3 1  1 9  2 1 18

Thấy: n 1 n n 1 3  3n 1 n n 1 9 Vậy A9

Bài 16: Cho a, b, c là các số nguyên Chứng minh rằng : a3b3c36 khi và chỉ khi a b c  6

HD :

Xét A a 3 b3 c3  a b c  a3  a  b3  b  c3  c

Mà a3 a a a   1 a 1

là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên

 1  1 6

Như vậy A6 =>a3b3c36a b c  6

Bài 17: Chứng minh rằng: n12 n8 n4 1 512, n lẻ

HD:

Vì n lẻ, Đặt n 2k 1,k N 

, Khi đó:

12 8 4 1 4 1 8 1 2 1 2 1 4 1

Thay n 2k 1 vào A ta được: A64 k k 122k22k1 2 n41

Bài 18: Tìm số tự nhiên n sao cho: n 5 n 6 6n

HD:

Ta có: An 5 n 6 n2  11n 30 12  n n 2  n 30

Vì 12 6n n cần chứng minh

 

2

n n











(1) (2)

Từ (1) n 3k hoặc n 3k 1,k N 

Từ (2)  n 1;2;3;5;6;10;15;30  n 1;3;10;30

là thỏa mãn

Bài 20: Chứng minh rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ

số chia hết cho 27

HD:

Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: n n, 1,n2, ,n1989 (1)

Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: n n, 1,n2, ,n999 phải có 1 số chia hết cho 1000,

giả sử là n0 , Khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0

Giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n n0, 0  9,n0 19, ,n0  899

Có tổng các chữ số lần lượt là: s s, 1,s2, ,s26 , sẽ có 1 số chia hết cho 27

Bài 3: Cho a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab a b   1

chia hết cho 48

ta có: ab a b   1 a1 b1 ,

HD :

Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên:

2 1 ;2 2 32

a n b n với nZ

Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48

Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : A n n 2  7 7  n 7 6

HD :

Ta có : n hoặc 7n 7 là số chẵn với mọi số tự nhiên n nên A2

Lấy n chia cho 3 ta được : n 3k r k N   ,0  r 2

Với r 0 n3k A 3

Với r 1 n3k 1 2n 7 6k9 3  A3

Với r 2 n3k 2 7n 1 21k15 3 A3

Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chứng minh rằng :

2

4 3 5 6

A a  a 

HD :

Vì a không chia hết cho 2 và 3 nên a có dạng : a 6m 1,m Z 

Với a 6m  1 A 4 6 m 12 3 6 m 1 5 6 24   m2  11m 2 6

Với a 6m 1 A 4 6 m 12 3 6 m 1 5 6 24   m2  5m 1 6

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: n29n 2 11

HD:

Ta có: n2  9n 2 11  n2  2n 2 11   4n2  2n 2 11  4n2  8n 1 11 

2n 1 2  n 3 11

,

Khi đó: 2n  1 11 hoặc 2n  3 11n 11m 6 hoặc n 11m 7,m N 

Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho 4n  2 1 5 và chia hết cho 13

HD:

Đặt n 65k r k N ,  ,0  r 64

Chọn r sao cho 4r2 1 65 r 4, Vậy với mọi số n 65k 4 đều thỏa mãn

Bài 5: Chứng minh rằng nếu n 3 thì A 32n3 1 13, n Nn   

HD:

Vì n    3 n 3k r k N ,  ,1 r 2   

Khi đó: A 32 3 k r 3 3k r 1 3 3 2r 6k 1 3 3 r 3k 1 3 2r 3 1r

Thấy: 3 6k 1  3 3 2k 1 3 1 3   M  26 13M

và 3 3k 1 3 1 3   N  26 13N

Với r  1 32r3 1 3r   2  3 1 13 A 13

Với r  2 32r 3 1 3n  43 1 91 132     A 13

Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2 1 7n 

HD:

Lấy n chia cho 3 ta có: n 3k r k N ,  ,0  r 2

Với r  0 n 3k 2 1 2n  3k  1 8 1  k  8 1   M 7M 7

,

Mà 2k  1 7 2 1n chia 7 dư 1

Mà 23k 1 7 2 1n chia 7 dư 3

Vậy với n 3 ,k k N  

thì 2 1 7n 

Bài 7: Chứng minh rằng: A n n  2  1 n2  4 5,  n Z

HD:

Lấy n chia cho 5 ta được: n 5q r q r Z , ,  ,0  r 4

Với r 0 n5A5

Với r1,4n24 5 A5

Với r2,3n2 1 5 A5

Bài 8: Cho A a a 1  2  a n và B a 15a25 a n5 , Chứng minh rằng: A B 30

HD:

Ta có:  5   5 

1 1 n n

Xét 5  4       2 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 30

Bài 9: Chứng minh rằng nếu n;6  1

thì n2  1 24,  n Z

HD:

Vì n;6   1 n 6k r k r N r , ,  ,  1

Với r 1 n2  1 24

Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: 22n2n 1 7

HD:

Xét n 3k r k r N , ,  ,0  r 2

Ta có: 2 2n 2 1 2 2n 2r 6k 1 2 2 r 3k 1 2 2n 2 1n

Xét các TH cụ thể ta được: 22n2n  1 7

Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24m4  1 n2 , Chứng minh rằng: mn5

HD:

Ta có: 24m4   1 n2  25m4  m4  1  25m4  m 1 m 1 m2  1

Nếu m5mn5 ĐPCM

Nếu m   5 m;5 1 

=>m5  m m m  4  1 m m  1 m 1 m2  1

 1  1  2 4 5  2  1  1  2 5  1  1 5

Nên m4 1 5 n25n5mn5 , ĐPCM

Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho : x3 8x2 2x x 21

HD :

Ta có : x3  8x2  2x x x  2  1 8 x2  1 x 8 x2   1 x 8 x2  1

Nếu x   8 0 x 8 thỏa mãn

Nếu x  8 x 8 x2    1 x 0 1; 2     x 0;2

Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 5a215ab b 2493a b 7 HD:

Ta có:

 2

5a  15ab b  49  5a  15ab b  7  9a  6ab b  7  3a b  7  3a b  7

Mặt khác: 3a b  7  3a b  7k k Z   b 7k 3a 5a2  15ab b 2

   2  

Bài 15: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a2b2 chia hết cho tích a.b

Tính giá trị của biểu thức:

2 2

A ab





HD:

1 1 1

b db

 





1 1

a b d a b và ab d a b 2 1 1

Vì a2b ab2 a12b a b12 1 1 a12b a121 và b1 2

1 1

a b

  và b a12 1

Vì a b1 ; 1   1 a b1  1

và b a1  1 a1 b1  1

Vậy

2 2 2 2 2

2. 2

d a b d a A

d a b d a



Bài 16: Cho m, n là hai số nguyên tố cùng nhau Hãy tìm ước số chung lớn nhất của hai số A m n 

và B m 2n2

HD :

Gọi d UCLN A B  ; 

, Vì m n;    1 A B,

cùng tính chẵn lẻ khi đó :

2

2mn A  B d và 2mn2n2 2nA d 2n d2 (1)

Nếu A, B chẵn thì m, n lẻ và d chẵn, Từ (1) =>2dd2

Nếu A, B lẻ thì d lẻ, Từ  1 n d2 

, tương tự : m d2

Vì m n;    1 d 1

Bài 17: Cho số tự nhiên n 3 , Chứng minh rằng: nếu 2n  10a b , 0 b 10

thì

6

ab

HD:

Ta có: 2n 10a b b2ab2 , ta cần chứng minh ab3

Mặt khác : 2n 10a b 2n có chữ số tận cùng là b

Đặt n 4k r k r N , ,  ,0  r 3  2n  16 2k r

Nếu r  0 2n 16k có tận cùng là 6b 6 ab6

Nếu 1   r 3 2n 2x  2 16 1 10r k   2n

tận cùng là 2r b2r

Bài 18: Cho số tự nhiên n 1 , Chứng minh rằng:

5 5 5 5

HD:

Đặt: 2A 2 1 2 3     n n n  1

Mặt khác, với n lẻ ta có: a nb a b n  ,(a,b N *)

Nên 2S1 5n5 2 5n 15n51 n1

 

 5 5  5  5   5  5

Mà n n;  1 1   2S n n   1  2AS A

Bài 19: Cho 1 1 1 1 , , 

2 3 1319

p

p q Z

q       Chứng minh rằng p1979

HD:

Ta có:

p q

2 1979.

p B q

A

Mà B 1979 p1979

Bài 20: Cho    *

1 , , , a 2 3 n 1; 1 ,

, thỏa mãn: a a1 2 a a2 3 a a3 4  a a n 1  0 , Chứng minh rằng: n4

HD:

Đặt x1 a a x1 2 , 2 a a2 3 , ,x n a a n 1 x x x1 , , 2 3 1; 1  

, Hơn nữa

1 2 n 0

Thì trong đó các số bằng 1 và -1 là bằng nhau Giả sử có m số 1 và m số -1

*

(m N )

2

  và x x x x  1 2 3 n  1 m

và x x x x1 2 3 n a a a1 2 n2  1

Từ đó ta được m là số chẵn => n chia hết cho 4

Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b sao cho: ab a b    7 và a b 7 a7 b7 77

HD:

Ta có: a b 7 a7  b7  7ab a b a    2 ab b 22

Vì ab a b    7 a2 ab b 2  7 3

Chọn b 1 a2  a 1 73 a

Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG

Bài 1: Chứng minh rằng : S n 23n 38 49,   n N

HD:

Giả sử tồn tại số tự nhiên n để S n 23n 38 49

Khi đó: S n 2  3n 38 7  n 6 n2  4n 4

,

Mà S 49 S 7 n 2 72  n 2 7  n 7 2t , thay vào S ta được:

trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n

Bài 2: Chứng minh: n2 n 2 15,   n Z

HD:

Giả sử: n2  n 2 15  n2  n 2 3  n n  1 2 3 

(1)

Từ (1)







   

2 1 1 1 3

Lại có: n2 n 2n2 1  n 3 3 mâu thuẫn với giả thiết, Vậy n2   n 2 15

Bài 3: Chứng minh rằng: n2 3n5 121,   n N

HD:

Giả sử:

 2

Nhưng A n 2 3n 5 11 nhưng A 121 vì 11 121

Bài 4: Xét phân số

2 4 5

n A n





 Hỏi có bao nhiêu phân số tự nhiên n trong khoảng từ

1 đến 2002 sao cho

phân số A chưa tối giản

HD:

Giả sử A chưa tối giản Đặt dn2  4;n 5 d 1

Ta có: n 52 n2  4d 10n 21 d  10n 5 29  d  29 dd  29

Ngược lại:

Nếu n 5 29    n 5 29 ,k k N  * n2  4 29 29   m2  5k 1 29 A

chứ tối giản

Do đó, ta chỉ cần tìm n sao cho

Vậy có tất cả 69 giá trị của m thì n sẽ có 69 giá trị để A chưa tối giản

Bài 5: Chứng minh rằng: 9n39n23n 16 343,   n N

HD:

Bài 6: Có tồn tại số tự nhiên n sao cho n2   n 2 49 không

HD:

Giả sử tông tại số tự nhiên n để

2 2 49 4 2 4 8 49 2 1 7 49 2 1 7

Vì 7 là số nguyên tố  2n 1 7  2n 12  7 49  từ đó  7 49 ( vô lý) Bài 7: Chứng minh rằng: n2  n 1 9,  n N*

HD:

Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho n2  n 1 9  n 2 n 1 3 9 

Vì 3 là số nguyên tố nên n  2 3 hoặc n  1 3

Nếu n 2 3 n 2 n 1 3 3  nhưng không chia hết cho 9

Nếu n 1 3 n 2 n 1 3

nhưng không chia hết cho 9 Bài 8: Chứng minh rằng: 4n2 4n18 289,  n N

HD:

Giả sử tồn tại số tự nhiên n để

4n  4n 18 289   2n 1  17 17   2n 1 17 

Vì 17 là số nguyên tố nên 2n 1 17 2n 1 2892 Khi đó:

2n 12 17 289  

Bài 9: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a b; 

sao cho: a b 2 a b2  1

HD:

Gỉả sử a b a b 2  2  1   k N a b* :  2 k a b 2  1 a k b ka  2  b

Đặt m ka 2  b m Z,     a k mb , Do a b k N, ,  * m N * , khi đó ta có:

m 1 b 1 mb m b      1 a k ka2  1 a 1 k ka  1 ,

Vì m b N,  * m 1 b 1  0   1 k a  1 , Do k a N,  * a 1 0 ta có : TH1 : k a  1   0 a 1

thay vào đẳng thức ta được :

m 1 b 1  a 1 k ka  1

Ta được:  1  1 2 1 1 2

TH2: k a  1 1  k a  1 1  k 1 và a 2, Thay k1,a2 vào đẳng thức ta được:

m 1 b 1  a 1 k ka  1 ta được: m 1 b 1   0 m b  1

Nếu m 1 thì từ a k mb  b3

Vậy các cặp số a b ;  1;2 , 1;3 , 2;1 , 2;3      

Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: A nB nA B , n LẺ

Bài 1: Chứng minh rằng A2005n 60 1897 168 2004,n  n  n  n N

HD:

Ta có: 2004 12.167  , ta cần chứng minh A12, 167A

Ta có : A 2005 1897n n  168 60n n

Áp dụng tính chất : a n b a b n  ,

với mọi n tự nhiên và a b  0

Khi đó : 2005 1897 2005 1897n n  

   và 168n 60 168 60n  

   => Vậy A12 Tương tự : A 2005 168n n  1897n 60n

Khi đó A167 Bài 2: Cho n N , CMR : A 5 5 1 6 3n n   n n 2 91n

HD:

Ta cần chứng minh A7 và A13

Ta có : A 25n 5 18 12n n n 25 18n n  12n 5n

Áp dụng tính chất : a n b a b n    A 7

Tương tự : A25 12n  n  18n 5n A13

Bài 3: Cho n N , Chứng minh rằng: 62n 19n 2n117

HD:

Ta có: A 6 2n 19n 2n 1 36 19n n 2.2n 36n 2n 19n 2n

Vì 36n 2 36 2 34n  

Bài 4: Chứng minh rằng: 1 3 53 3 37 23 3

HD :

Ta có: A  1 3 5 7 3 3  3  3 1 7 3  3  3 5 3  3  8N 8M 8

Bài 5: Chứng minh rằng: 2 58n 6n 1980n 441 1 1979,n   n N

HD:

Ta có: A 2 5 8n 6n  1980n 441 1  4 6n 441n  1980 1n n

Vì 46n 441n 4000000n 441 3999559n và 1980 1 1979n  n

Bài 6: Chứng minh rằng: 36n  2 35,6n  n N

HD:

Ta có: 3 6n 2 6n     3 6 n  2 6 n  3 2 6  6 M 3 2 3 2 3  3  3  3 M  35.19M 35

Bài 7: CMR với mọi số tự nhiên n ta có : 5n226.5n82n159

HD :

Ta có:5n 2 26.5n 8 2n 1 59

Vì 64n 5 2 64 5

   nên ta có đpcm

Bài 8: Chứng minh rằng: 92n14 15

HD:

Ta có: 9 2n 14 9  2n 1 15  81 1 15 80n   n 15 5 

Bài 9: Chứng minh rằng: A20 16n  n  3 1 232,n   n N

HD:

Tách 232 17.19 

Khi đó: A 20n 3n  16 1n 

Lại có: 20n 3n 20 3   M  17 17M , và 16 1 16 1 n    N  17 17N

Khi đó: A17

Mặt khác: A 20 1n   16n 3n

,

Mà 20 1n 20 1   P 19 19P và 16n 3n 16 3   Q 19 19Q  A 19