Đa thức duy nhất và tập bi URS cho hàm phân hình p adic

PHẠM VĂN MẠNHĐA THỨC DUY NHÁT VÀ TẬP BI-URS CHO HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM THÁI NGUYÊN - 2017... Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể cácthầy

PHẠM VĂN MẠNH

ĐA THỨC DUY NHÁT VÀ TẬP BI-URS

CHO HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐA THỨC DUY NHÁT VÀ TẬP BI-URS

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

Hướng dẫn khoa học TS.VŨ HOÀI AN

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quảnêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kìcông trình nào khác Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo sự

trung thực và chính xác, tuân thủ các qui định về quyền sở hữu trí tuệ

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2017

Tác giả

Phạm Văn Mạnh

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới TS.Vũ Hoài An, người thầy tận tình hướng dẫn tôi trong

suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể cácthầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạođiều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đãgiúp đỡ và chia sẻ với tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luậnvăn của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2017

Tác giả

Phạm Văn Mạnh

2.1 URS tính bội chặn cho các hàm nguyên và hàm phân hình

trên Cp 102.2 Đa thức duy nhất cho các hàm phân hình 23

2.3 Bi-URScho M(C p ) 35

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

• •

Chuẩn không Acsimet

Định nghĩa 1.1 Một chuẩn trên một trường K là một hàm

|.| : K ! R+

thỏa mãn các điều kiện sau:

3) |x + y| < |x| + \y| với mọi x, y 2 K.

Nếu hàm này thỏa mãn thêm điều kiện

4) |x + y| < max{\x\; |y|g với mọi x,y 2 K

thì ta gọi đây là chuẩn không Acsimet Ngược lại, ta gọi là chuẩn Acsimet.

Mỗi chuẩn |.| trên trường K cảm sinh một hàm khoảng cách d xác định

bởi

d(x, y) = | x — y | ; với x, y 2 K

và do đó cảm sinh một tôpô trên K Trường mở rộng của trường Q theo

chuẩn không Acsimet được gọi là trường không Acsimet.

Với mỗi số thực r > 0 và điểm x 2 K, ta kí hiệu đĩa mở, đĩa đóng, vòng

tròn tâm x bán kính r tương ứng là:

D(x,r) = {y 2 K : d(x,y) < r};

D(x,r) = {y 2 K : d(x,y) < r};

D < x,r >= {y 2 K : d(x,y') = r} = D(x, r)\D(x, r);

D = D(0; 1) và được gọi là đĩa đơn vị.

Với hằng số c > 1, hàm V c : K ! R u {+1} cho bởi

{—logc|x| nếu x 2 K*

■ 1 nếu x = 0

được gọi là hàm cộng tương ứng của chuẩn |.|

Bổ đề 1.1 Một chuẩn trên trường K là không Acsimet nếu và chỉ nếu hàm

cộng V tương ùng của nó thỏa mãn các điều kiện sau:

3) v(x + y) > min{v(x); v(y)}; với mọi x,y 2 K.

Số p-adic và trường p-adic

Cho p là số nguyên tố cố định Với mỗi số nguyên a khác không có thể

biểu diễn dưới dạng sau:

a = p v a', p không chia hết cho a' 2 Z+,

khi đó V được xác định duy nhất bởi p và a Ta kí hiệu V p (a) = V Khi đó

Với mỗi x 2 Q, ta thu được chuẩn p-adic tương ứng, kí hiệu I I p được chobởi

Íp '■" xnếu x = 0

Định nghĩa 1.2 Hai chuẩn trên trường K gọi là tương đương nếu nó cùng

cảm sinh ra một hàm khoảng cách và do đó nó cảm sinh một tô pô trên K

Định lý 1.1 (Định lí Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều

tương đương với một trong hai chuẩn sau:

Chuẩn p-adic;

Giá trị tuyệt đối thông thường.

Như vậy chỉ có hai hướng mở rộng trường các số hữu tỉ Q đó là mở rộngtheo chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường các số thực R và

mở rộng theo chuẩn p-adic ta được trường các số p-adic, kí hiệu là Qp

Kí hiệu Q p là bao đóng đại số của Qp Tuy nhiên Q p không đầy đủ theotôpô không Acsimet Kí hiệu Cp = Q p là mở rộng đầy đủ theo tôpô khôngAcsimet của bao đóng đại số của Qpvà được gọi là trường số phức p-adic

Kí hiệu A(Cp) là vành hàm nguyên trong Cp và M(Cp) là trường cáchàm phân hình, có nghĩa là trường các hàm thương của A(Cp)

Ta kí hiệu:

n(r, 0, f) = số không điểm của f trong D;

n(r, 1, f) = số cực điểm của f trong D r =

Định nghĩa 1.4 (Hàm đếm mức k) Với mỗi số nguyên dương k, kí hiệu

Nk (r, f) là tổng trong Định nghĩa 1.3 sao cho mỗi cực điểm của f được tính

cả bội nếu bội của nó nhỏ hơn k, và bằng k trong trường hợp còn lại Ta

Với mỗi số thực x > 0, ta định nghĩa:

log+x = logmax{1,x} = max{logx, 0},

Định nghĩa 1.5 (Hàm xấp xỉ) Cho g là một hàm nguyên trên D p c Cp,biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa hội tụ trong Dp

Mở rộng ịi cho các hàm phân hình như sau:

Giả sử f là một hàm phân hình trên Dpc CP: Ta viết f — g, trong đó g, h

là các hàm nguyên không có không điểm chung trên Dp: Định nghĩa:

„(, f) — -■■,

m(r; f) — log+^(r, f) — max{0, log^(r, f)}

Ta gọi hàm m(r, f) là hàm xấp xỉ của hàm f.

Nhận xét 1.1 Hàm xấp xỉ m(r,f) đo độ lớn của tập hợp mà tại đó hàm

nhận giá trị gần với 1 trong hình tròn bán kính r.

Định nghĩa 1.6 (Hàm đặc trưng) Hàm

T (r f) — T (f 1, f) — m(r f)■ N ( r f)

được gọi là hàm đặc trưng của hàm f.

Mệnh đề sau đây trình bày một số tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ, hàmđếm, hàm đặc trưng

Mệnh đề 1.2 Cho các hàm phân hình f i (z); f 2 (z); , f n (z), khi đó:

(1) m ( r ; X f

j(z)) < Xm rf(z)) + O(1);

Định lý 1.4 (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sứ r là một số thực, f (z) là

hàm phân hình khác hằng trên C p ,a 1 ,a 2 , ,a q 2 Cp(q > 2) là các số phân

các giá trị 1 1 ,1 2 , ,a q và S(r,f) = o(T(r,f)) khi r ! 1, r nằm ngoài

một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.

ỗ f (a) được gọi là số khuyết, Q f (a) gọi là số khuyết không kể bội, ỡ f (a) gọi

là bậc của bội của số

khuyết-Định lý 1.5 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C p Khi đó tập hợp

các giá trị của a mà Q f (a) > 0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có

’

T (r,f) N(r, f~) - N(r, f

ỡf (a) = lim inf J a J a

Giả sử m 0 là số nguyên dương hoặc 1 ,F là họ các hàm xác định trên

Cp lấy giá trị trên C p Với f 2 F và S c Cp U {1} là tập khác rỗng, ta kýhiệu:

Vỹ(S) |^J {(z,m) 2 CpX N|f (z) = a với bội n và m = min(n,m0)}

aeS

Trong trường hợp m 0 = 1 (tương ứng m 0 = 1), ta viết:

Ef°(S) := E f (S) ( tương ứng E f (S) := E f (S))

Định nghĩa 2.1 Tập S được gọi là tập xác định duy nhất tính bội chặn

m 0 , ký hiệu URS nếu với mọi cặp hàm khác hằng f; g 2 F thỏa mãn điều

kiện Ef” 0 (S) = Em (S) thì f = g Khi đó ta cũng có thể nói rằng hai hàm

f và g phân chia tập S tính bội chặn m0

Để đơn giản, trong trường hợp m 0 = 1 tập S thỏa mãn điều kiện trên

được gọi là URS, còn với m 0 = 1 ta gọi S là URS không tính bội.

Nhận xét 2.1 Hiển nhiên một tập không phải URS cho họ các hàm phân

hữu tỉ C p (z) thì cũng không URS cho M(C p ), không URS tính bội chặn cho

C (z) và do đó cũng không URS tính bội chặn cho M(C ) Trong thực tế

F và G có cực điểm bậc 1 tại điểm z 0 thì — có có không điểm tại z 0

Chứng minh Vì F và G là các hàm phân hình có cực điểm bậc 1 tại z0 nên

Dặc biệt, nếu f và g là các hàm nguyên thì q < 2k + 4 cho trường hợp

Xét trường hợp m0 > 2 Khi đó, nếu z 0 2 Cp mà f (z0) = a i với bội

đơn thì g(z 0 ) = a j với bội đơn Theo Bổ đề 2.2 ta có L(z0) = 0 Trong các

trường hợp còn lại, mỗi điểm z 0 2 f-1(S) là không điểm của f-1 (và g-1)

N(r, ị) < T(r, ị) = T(r, ị) + O(1) = N(r, L) + O(1).

Ta xét các cực điểm của L:

Vì L(z) = ', ( — nên các cực điêm của L phai là cực điêm đơn.F

0(z) G'(z)

Từ công thức (2.1) ta có: ở ngoài tập hợp f 1 (1) ug 1 (1 ) mỗi cực điểm

của L là không điểm của một trong các hàm P'(f); P0(g); P(f); P(g); f0;g.

Trong trường hợp m = 1 khi đó P (f) và P (g) nhận không điểm với

cùng bội nên từ công thức (2.1) L chỉ có cực điểm tại những giá trị không

g j (z o ) = 1 thì zo là không điểm của

L vì vậy zo không thể là cực điểm của L Trong các trường hợp còn lại

zo là không điểm của f' hoặc g' Dễ thấy rằng zo là cực điểm của L nếu

^/ /(zo) > mo — 1 hoặc Vg/(z o ) > m o — 1 Do đó L chỉ có cực điểm đơn nên

Vì vậy trong mọi trường hợp ta có bất đẳng thức:

N V f)+N V’+<T V’ f)+T V’ go

< T (r,f} + T (r,g') + O(1)

< m(r, f') + N(r, f') + m(r, g') + N(r, g') + O(1)

< m(r, f) + m ( r, + m(r, g) + m ( r

Với các trường hợp tương ứng của m 0 thay các giá trị của ỗ, m 0 và các

Mệnh đề 2.2 (xem [7] ) Giả sứ S = {ữi, a 2 , , ang là một tập con của C p

và đa thức liên kết P(z) của S có chỉ số đạo hàm k > 3 hoặc k = 2 và

min(q1,q2) > 2 Nếu các hàm phân hình khác hằng f và g thỏa mãn điều kiện E(' (S) = lớ (S), hơn nữa q > 2k + 11 cho trường hợp m 0 = 1;

-cho trường hợp m 0 = 1 Điều này mâu thuẫn với giả thiết của mệnh đề

Như vậy L = 0, do đó tồn tại c0= 0 nào đó để F0 = c 0 G', kéo theo

Chứng minh Giả sử C1 = 0 Khi đó f và g không thể có cực điểm chung.

Giả sử g(z0) = e j với j(1 < j < l) nào đó Ta có Q(e j) = 0 nên từ côngthức (2.5) suy ra P(ej) = 0 và vì vậy P(g(z0)) = 0 Từ công thức (2.6) suy

Từ công thức (2.5) ta có: P0(z) = Q0(z) Do đó trong trường hợp e ị = d h

thì m ị = q h + 1 và trong trường hợp còn lại, ej = d s , với s nào đó thì m j = 1.Bằng việc đánh lại chỉ số (nếu cần thiết), ta có thể giả sử m2 = m3 = =

mi = 1 Từ m1 + m2 + + mi = q kéo theo m1 = q — l + 1 < q — 2 Vì vậy

v e

g j (zo) là số nguyên và v e

g 1 (zo) > m > qq 2 > 1.

Do đó, nếu j = 1 thì z0 là không điểm của g — e1 với bội ít nhất là 2; nếu

2 < j < l thì z0là không điểm của g — e j với bội ít nhất là q

Điều này kéo theo q < — -7 Mâu thuẫn với giả thiết.

(2l - 5)Trường hợp 2: l < 2

Nếu l = 1 thì P0(z) = Q'(z) = m 1 (z — e1)mi-1 và do đó k = 1 Mâu

thuẫn với giả thiết

Nếu l = 2, bằng việc thay đổi chỉ số thì m 1 = q 1 — 1, m 2 = 1 Q(z) được

Nhận xét 2.3 Từ định lí 2.1 , nếu P là đa thức thỏa mãn các điều kiện (H), p j=1 P(d j ) = 0 và với k > 3 thì P là đa thức duy nhất mạnh Vì vậy với k > 3 ta dễ dàng đưa ra nhúng ví dụ tường minh của URS cho các hàm phân hình và các hàm nguyên.

Hệ quả 2.1 (xem [5] ) Giả sứ c 2 Cp\{0, —1} Xét đa thức Q(z) xác định bởi

Q(z) = (n - 1 t (n - 2) zn - n(n - 2)z"-1 + n(n - 1 z»-2 - c

22

Giả sứ S = fz|Q(z) = 0} Khi đó, với mọi số nguyên n > 10, S là URS cho các hàm phân hình; với mọi số nguyên n > 16, S là URS không kể bội cho các hàm phân hình và với mọi số nguyên n > 9, S là URS không kể bội cho các hàm nguyên.

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh Q(z) là đa thức duy nhất mạnh.

Thật vậy, ta có:

Q(z) + c = ———2)z2 n 2(z - ci)(z - C2),

trong đó c 1 , c 2 2 C p Giả sử f và g là các hàm phân hình khác hẳng thỏa

mãn Q(f) = AQ(g), với A = 0 là một hằng số nào đó Khi đó,

Điều này kéo theo n < 7, mâu thuẫn với giả thiết

không mất tính tổng quát, giả sử n — 5 nghiệm đó là t1, t2, , tn _ 5.

Điều này mâu thuẫn với các giả thiết của Hệ quả

Vậy Q(z) là đa thức duy nhất mạnh.

UM( L )= {SI là URS cho M(L)},

UA(L ) = {SI là URS cho A(L)},

AM( L ) = min{#S|S 2 U M ( L } ,

ĂA(L) = min{#S|S 2 U

A(L},

Trong phần này chúng ta giả sử rằng P(z) là đa thức bậc q không có

nghiệm bội Ta viết

P0(z) = q(z - d i ) q 1 (z - dr (z - d k ) q k ; với k là chỉ số đạo hàm của P và qi + + qk= q — 1

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử d 1 ;d 2 ; ;d k 2 Cp\{0}

Nhận xét 2.4 Xét trường hợp k = 1 Khi đó ta viết P(z) dưới dạng

P(z) = (z — a) q — c với a,;C 2 C p và c = 0 Với bất kì hàm khác hằng

f 2 M(Cp) và hằng số Ệ = 1, trong đó Ệ q = 1, hàm g := f + (1 — Ệ)a thỏa mãn điều kiện P(f) = P(g); nhưng g = f Như vậy, P(z) không thể

là đa thức duy nhất mạnh cũng như yếu Do đó, từ nay về sau ta chỉ xét với

trong trường hợp còn lại

Với điều kiện C cho trước, ta định nghĩa

nếu thỏa mãn điều kiện C và f (z) = d j với mọi jtrong các trường hợp còn lại

Chú ý: Trong [2], Escassut, Haddad và Vildal đã chứng

Định lý 2.2 (xem [6] ) Giả sứ P(z) là đa thức thỏa mãn điều kiện (H), có chỉ số đạo hàm k > 3 Khi đó P(z)là các đa thức duy nhất yếu.

Chứng minh Giả sử tồn tại hai hàm phân hình khác hằng f và g sao cho

P(f) = P(g) Đặt

' f gKhi đó, ' ^ 0 và

Từ giả thiết P(f) = P(g) chúng ta có f và g có cực điểm với cùng bội

Do đó x 1 ( z ) = x 1 ( z)

Mặt khác, từ giả thiết P (f) = P (g) nên f(z )P 0 (f (z)) = g'(z )P'(g(z)).

Do P thỏa mãn điều kiện (H) nên nếu f (z) = dj (1 6 j 6 k) thì g(z) = dj

là đa thức duy nhất yếu và do đó cũng không phải là đa thức duy nhất mạnh.

Thật vậy, dễ dàng chọn các điểm a j (1 6 j 6 n), trong đó n > 1, sao cho

đa thức

P (z) = z 2n + a i z‘ 2n ~ 2 + + an _iz2+ a n , không có nghiệm bội và đạo hàm

P '(z) = 2nz2n-1+ ai(2n - 2)z2n “ 3+ + 2an-iz,

có 2n — 1 nghiệm phân biệt 0, ±d1, , ±dn _ 1

Ta có P (d1) = P (—d ì ) và P(f) = P (—f) với mọi hàm phân hình f Như vậy, P không phải là đa thức duy nhất yếu.

Với mỗi đa thức P(z) = anzn + + a1z + ao 2 Cp[z] bậc n xác định một

bộ (a n , , a1, a0) 2 Cpn +1 Ta đồng nhất họ các đa thức một biến bậc n trên

C p với '.'

Định nghĩa 2.5 Họ P nào đó các đa thức bậc n được gọi là họ các đa

thức đủ tổng quát (hay mở Zaiski) nếu tồn tại một tập con đóng đại số

thực sự X c Cpn +1 sao cho với mọi P(z) = anzn + + a1z + a0 2 P thì

(a

n; ; a

1; a

0) 2s

Như vậy, họ S các tập hợp có n phần tử là đủ tổng quát nếu họ các đa

thức liên kết tương ứng là đủ tổng quát

Rõ ràng các điều kiện của giả thiết trong Định lí 2.2 là các điều kiện đại

số Do đó ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả 2.2 (xem [6] ) Tập hợp các đa thức duy nhất yếu bậc n,n > 4, là

đủ tổng quát.

Định nghĩa 2.6 Đa thức khác không P(z) được gọi là thỏa mãn điều kiện

(G) nếu P(di) + P(d2) + + P(d k) = 0

Định lý 2.3 (xem [6] ) Giả sứ P(z) là các đa thức thỏa mãn các điều kiện

(H) và (G) Hơn nữa k > 3 Khi đó P(z) là đa thức duy nhất mạnh.

Chứng minh Theo Định lí 2.2, P(z) là đa thức duy nhất yếu.

Giả sử P(z) không phải là đa thức duy nhất mạnh Khi đó tồn tại hai hàm phân hình khác hằng f và g sao cho P(f) = cP(g) với hằng số c = 1

nào đó

Xét tập hợp

A := f(l,m) : P(d i ) = cP(d m )},

và đặt số phần tứ của A là k 0 Trong trường hợp A = ; ta đặt k0= 0

Để chứng minh định lí này ta cần các mệnh đề và bổ đề sau:

Bổ đề 2.3 (xem [6] ) Với các giả thiết như trong DỊnh lí 2.2 , và giả sứ thêm

f = c

0g C1 với c 0 , c 1 ,c 2 , c 3 2 Cp, c0= 0 Khi đó k 0 = k

C2g + c3

Chứng minh Dễ thấy rằng, nếu (m1, l1), (m2, l2) là các phần tử nào đó của

A mà thỏa mãn hoặc m 1 = m 2 hoặc l1 = l2 thì (m1,l1) = (m2,l2) Điềunày kéo theo k0 6 k

Ta xét các trường hợp có thể thấy sau đây:

Trường hợp 1: k 0 = 0

Đặt

11' = — -