Phương trình p(f) = q(g) và BI URS cho hàm phân hình trên trường không acsimet

Phương trình p(f) = q(g) và BI URS cho hàm phân hình trên trường không acsimet

Lời mở đầu

Năm 1926, Nevanlinna đã chứng minh: hàm phân hình trên C xác định mộtcách duy nhất bởi ảnh ngược, không tính bội của năm giá trị phân biệt Định

lý năm điểm của Nevanlinna suy ra hai hàm nguyên khác hằng chung nhau bốngiá trị hữu hạn phải trùng nhau (ta nói rằng hai hàm f và g chung nhau giá trị anếu f ư1 (a) = g ư1 (a)). Kết quả này không thể tốt hơn, vì hai hàm e z và e ưz chungnhau tại 0, 1, ư1. Lý thuyết về tập xác định duy nhất của các hàm phân hình đượcGross nêu ra một cách tự nhiên: Liệu chỉ xét nghịch ảnh của một tập con S màkhông phải là nghịch ảnh của từng phần tử, chúng ta có nhận được các kết quảtương tự định lý năm điểm Nevanlinna không? Tức là có tồn tại hay không tập S

để với bất kỳ các hàm phân hình f, g thoả mãn fư1(S) = gư1(S) kéo theo f = g?

Ký hiệu W là trường số phức C hoặc trường K đóng đại số, đặc số 0, đầy đủvới chuẩn không Acsimet, A(W) là vành các hàm chỉnh hình trên W, M(W) làtrường các hàm phân hình trênW, A n

E f (S) =

a ∈S {z ∈ W | z là không điểm của f ư a}.

Hai hàm phân hình f, g được gọi là chung nhau S, tính cả bội (tương ứng, không

tính bội) nếu E f (S) = E g (S) (tương ứng, E f (S) = E g (S)). Tập S gọi là tập xác

định duy nhất (tương ứng, tập xác định duy nhất không tính bội) cho họ các

hàm F, kí hiệu là U RS (tương ứng, U RSIM), nếu với mọi hàm f, g ∈ F thoả mãn

E f (S) = E g (S) (tương ứng, E f (S) = E g (S)) thì f = g.

Khái niệm sau đây được đưa ra bởi Gross - Yang

Họ S = (S 1 , S 2 , , S n ) các tập không rỗng S 1 , S 2 , , S n ⊂ W, S i ∩ S j = φ, 1 a

i = j a n được gọi là n-URS (tương ứng, n-URSIM) cho họ các hàmFnếu với mọihàm f, g ∈ F thoả mãn E f (S) = E g (S) (tương ứng, E f (S) = E g (S)) thì f = g, với

E f (S) = (E f (S 1 ), E f (S 2 ), E f (S n )), E f (S) = (E f (S 1 ), E f (S 2 ), E f (S n )) 1-URS(tương ứng, 1-URSIM) là URS (tương ứng, URSIM), 2-URS (2-URSIM) gọi là

bi-URS (bi-URSIM).

Với mỗi họ S = (S 1 , S 2 , , S n ), định nghĩa số các phần tử của S là #S =

#S 1 + #S 2 + + #S n , trong đó, #S i là số phần tử của S i Ký hiệu

c n (F) := min {#S | S là nưURS cho F}, i n (F) := min {#S | S là nưURSIM cho F}.

Lý thuyết về tập xác định duy nhất hiện nay nghiên cứu theo các hướng sau:

(1) Tìm các n-URS và n-URSIM cho A(W), M(W) với số phần tử bé nhất cóthể Từ đó xác định các c n , i n cho A(W), M(W) với mỗi n.

(2) Tìm các đặc trưng của n-URS và n-URSIM cho A(W), M(W).

Theo hướng nghiên cứu thứ hai, năm 1997, Boutabaa, Escassut và Haddad đưa

ra đặc trưng của URS cho các đa thức trên trường đóng đại số bất kỳ Năm 1999,Cherry và Yang đã mở rộng kết quả này cho A(K). Hai năm sau, Khoái - An đã

đưa ra một đặc trưng của URS cho M(C). Năm 2002, Wang đưa ra đặc trưng củabi-URS cho M(L) với L là trường đóng đại số có đặc số p ≥ 0.

Theo hướng thứ nhất, trên C, định lý năm điểm của Nevanlinna tương ứng với

n = 5. Trường hợp n = 1, kết quả tốt nhất cho đến nay là chỉ ra URS cho M(C)

có 11 phần tử Trên K, Hu - Yang đã chỉ ra tồn tại URS cho M(K) có 10 phần

tử, và đó cũng là tập có số phần tử ít nhất đã tìm được Trường hợp n = 2, năm

1996, Li -Yang đã chứng minh, trên Ctồn tại bi-URS cho hàm phân hình có dạng(S, {∞}) với #S ≥ 15. Trên trường K, năm 1971, Adams và Straus đã chỉ ra: vớimọi a = b, cặp ( {a}, {b}) là bi-URS cho hàm nguyên Năm 1998, Boutabba vàEscassut đã chỉ ra: với mọi n ≥ 5 và ω ∈ K ∪ {∞}, tồn tại bi-URS cho M(K) códạng ( {z 1 , z 2 , , z n }, {ω}). Cũng tại đây, các tác giả đã chứng minh không tồntại bi-URS cho M(K) có dạng ( {z 1 , z 2 , z 3 }, {ω}). Năm 2001, Khoái - An chỉ ra sựtồn tại của bi-URS cho M(K) dạng ( {z 1 , z 2 , z 3 , z 4 }, {ω}). Như vậy, vấn đề tồn tạibi-URS choM(K) kiểu (1, n)đã giải quyết trọn vẹn và n = 4 là số tốt nhất có thể.Khi nghiên cứu bài toán về tập xác định duy nhất và đa thức duy nhất, các tácgiả trước đây vẫn thường tìm các điều kiện cho đa thứcP (z) để với hằng sốC = 0,

phương trình P (f ) = CP (g) và P (f ) = P (g) chỉ có nghiệm f = g. Năm 2003, H.

H Khoái và C C Yang ([41]) đã tổng quát thành vấn đề trên C : “Tồn tại hay

không nghiệm phân hình của phương trình hàm P (f ) = Q(g) với P, Q ∈ C[z]?”Ngay lập tức, bài toán này nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thếgiới Ngoài những kết quả của H H Khoái - C C Yang ([41]), của C C Yang -

P Li ([53]) trên C, trong những năm gần đây, người ta mở rộng việc nghiên cứubài toán này trên các trường có đặc số mà tiêu biểu là A Escassut và C C Yang([20]), A Escassut - T T H An ([5])

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu hai vấn đề sau:

Vấn đề 1. Nghiệm phân hình của phương trình hàm P (f ) = Q(g) trên trườngW.

Vấn đề 2. Các tập song xác định duy nhất (bi-URS) cho M(K) kiểu (2, m).Luận án được chia thành ba chương cùng với phần mở đầu, kết luận, danhmục các công trình đã công bố và 57 tài liệu tham khảo

Chương 1 dành cho việc trình bày các kiến thức cơ sở sẽ dùng trong luận án

Chương 2 dành giới thiệu những kết quả nghiên cứu phương trình tổng quát

P (f ) = Q(g) trong M(K) và M(C). Nội dung chính của chương là phát biểu vàchứng minh các điều kiện đủ để phương trình P (f ) = Q(g) không có nghiệm kháchằng trong M(K) và M(C), điều kiện cần và đủ để phương trình P (f ) = P (g)không có nghiệm khác hằng phân biệt trong M(K). Ngoài ra, ở một số trườnghợp đặc biệt, chúng tôi cố gắng chỉ ra một họ nghiệm phân hình khác hằng củacác phương trình này

Chương 3 nghiên cứu về bi-URS cho các hàm phân hình trên trường khôngAcsimet Kết quả chính của chương này là đưa ra một lớp bi-URS tổng quát choM(K) kiểu (2, m) với mọi m ≥ 3 và khẳng định m = 3 là bé nhất có thể

Kết quả nghiên cứu của luận án đã đóng góp cụ thể trong đề tài “Lý thuyếtNevanlinna p-adic và ứng dụng”, chương trình nghiên cứu cơ bản cấp nhà nước,chủ nhiệm đề tài GS TSKH Hà Huy Khoái, Viện Toán học, Hà nội

(1) | x |= 0 ⇐⇒ x = 0,

(2) | xy |=| x || y |,

(3’) | x + y |a max {| x |, | y |}

Trường với chuẩn không Acsimet được gọi là trường không Acsimet.

Không gian p-adic Một ví dụ của chuẩn không Acsimet là chuẩn p-adic,

được xác định như sau:

Chop là số nguyên tố Số nguyên a bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạnga = p v a ,

p không chia hết a Số tự nhiên v được xác định duy nhất bởi a và p, cho nên tathu được hàm v p : Z \ {0} ư→ Z + , v p (a) = v. Có thể mở rộng hàm v p lên trường

các số hữu tỷ: Với mỗi x = a

được trường các số p-adic, kí hiệu là Q p Gọi Q p là bao đóng đại số của Q p Tuy

đóng đại số nhưng Q p không đầy đủ theo tôpô không Acsimet Kí hiệu C p = Q p

là trường mở rộng đầy đủ theo tôpô không Acsimet bao đóng đại số của Q p , và

được gọi là trường các số phức p-adic.

Hàm chỉnh hình và hàm phân hình p-adic.

Định nghĩa 1.1.4. Một chuỗi luỹ thừa f (z) = ∞n=0a n z n , a n ∈ C p , hội tụ trên

đĩa D(0, r) gọi là hàm chỉnh hình p-adic trên đĩa ấy Hàm chỉnh hình trên toàn

C p được gọi là hàm nguyên p-adic.

Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm chung trênmột đĩa Khi đó hàm ϕ = f

g được gọi là hàm phân hình p-adic trên đĩa đó Nếu

f, g là các hàm nguyên p-adic thì ϕ là hàm phân hình trên C p , còn gọi là hàm

ChoX là không gian con phức liên thông,x, y ∈ X.Xét dãy các hàm chỉnh hình

f i : D ư→ X, i = 1, 2, , m, và các điểm a i , b i ∈ D sao cho f 1 (a 1 ) = x, f m (b m ) =

y, f i (b i ) = f i+1 (a i+1 ), i = 1, 2, , m ư1.Khi đó, ta nói rằngxvàyđược nối với nhau

bởi chuỗi các đĩa Kobayashi Đặt d kob,X (x, y) = d X (x, y) := inf mi=1d hyp (a i , b i ),trong đó, cực tiểu lấy với mọi cách chọn f i , a i , b i Hàm d X (x, y) xác định mộtnửa khoảng cách trên X, được gọi là nửa khoảng cách Kobayashi của hai điểm

x, y ∈ X.Trường hợpX là không gian không liên thông, ta định nghĩad X (x, y) = ∞nếu x và y thuộc hai thành phần liên thông khác nhau

Định nghĩa 1.2.3. Không gian X được gọi là hyperbolic Kobayashi nếu nửa

khoảng cách Kobayashi d X là khoảng cách, nghĩa là với mọi x, y ∈ X, d X (x, y) = 0khi và chỉ khi x = y.

Định nghĩa 1.2.4. Không gian X được gọi là hyperbolic Brody nếu mọi ánh xạ

ta thường sử dụng mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 1.2.6. Mọi diện Riemann compact có giống g ≥ 2 là đa tạp hyperbolic Kobayashi và do đó cũng là đa tạp hyperbolic Brody.

Nếu W là trường không Acsimet, chúng ta có định lý:

Định lý 1.2.7. (Picard - Berkovich) Giả sử X ⊂ P2(K) là đường cong đại số trơn xác định trên trường K, đầy đủ với chuẩn không Acsimet không tầm thường, có giống g X ≥ 1. Khi đó, mọi ánh xạ chỉnh hình từ đường thẳng affine A1(K) lên X

1.2 Các 1-dạng chính quy trên đường cong Đại số.

Gọi R(X, Y, Z), S(X, Y, Z) là các đa thức thuần nhất trên W. Đặt

S(X, Y, Z)Wi, i = 1, 2, 3, gọi là các 1-dạng hữu tỷ trên P 2

(W) 1-dạng ω i gọi là xác định tốt nếu deg R + 2 = deg S.

Giả sử F (x, y) là đa thức bậc n ≥ 2 của W[x, y]. Kí hiệu F là đa thức thuầnnhất của F, C và C theo thứ tự là các đường cong đại số xác định bởi F trên

Nếu W là C, chúng ta có kết quả sau:

Định lý 1.3.6. Giả sử C là đường cong đại số bất khả quy bậc n trên A2(C) xác

định bởi phương trình affine F (x, y) = 0 sao cho ∂F

∂y ≡ 0, X là diện Riemann thu

được từ phép giải kỳ dị của C. Khi đó các 1-dạng vi phân chính quy trên X (và cũng là trên C) chỉ là các dạng vi phân có dạng

Chương 2

2.1 Những vấn đề chung

Giả sử P (z), Q(z) là các đa thức không tuyến tính trên W. Sử dụng các công

cụ của hình học đại số, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại các hàm phân hình kháchằng f, g trên W để P (f ) = Q(g).

Gọi f, g là các hàm phân hình thoả mãn P (f ) = Q(g). Khi đó, với mỗi z ∈ W,

điểm (f (z), g(z)) thuộc đường cong Γ = {P (x) ư Q(y) = 0}. Nếu Γ là hyperbolicthì f = g. Một vấn đề cơ bản của Hình học Đại số là giống của đường cong đại

số bằng số chiều của không gian các 1-dạng hữu tỷ, chính quy xác định trên nó.Vì vậy, để nghiên cứu tính hyperbolic của đường cong {P (x) ư Q(y) = 0}, chúngtôi ước lượng giống của nó bởi việc xây dựng vừa đủ các 1-dạng kiểu Wronskian

độc lập tuyến tính trên đường cong này

Khi đó,

P (x) = na n (x ư α 1 )n1

ã ã ã (x ư α k )nk , Q (y) = mb m (y ư β 1 )m1

ã ã ã (y ư β l )ml , (1.2)Không mất tính tổng quát, ta có thể xem n ≥ m. Đặt

, Q (Y, Z) := Zmư1Q (y)

y= Y Z

∆ := {α i | tồn tại không điểm β j của Q’ để (α i : β j : 1) ∈ Γ},

Λ := {β j | tồn tại không điểm α i của P’ để (α i : β j : 1) } ∈ Γ},

I := #∆, J := #Λ.

Các kết luận trong phần còn lại của chương này chỉ phát biểu cho trường hợp

n ≥ m. Nếu m > n, bằng cách thay đổi vai trò của P và Q một cách thích hợp,chúng ta sẽ nhận được các kết quả tương tự

2.2 Phương trình hàm P (f ) = Q(g) trên K.

Trường hợp P = Q.

Định lý sau là điều kiện đủ để phương trình P (f ) = Q(g) không có nghiệmphân hình khác hằng trên K.

Định lý 2.2.1. Giả sử P (x), Q(y) là các đa thức không tuyến tính khác nhau bậc

n, m tương ứng. ∆, Λ, I, J là các kí hiệu đã cho ở trên, k và l theo thứ tự là chỉ

số đạo hàm của P và Q. Khi đó, không tồn tại các hàm phân hình khác hằng

f, g trên K để P (f ) = Q(g) nếu một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

(i) k ư I ≥ n ư m + 2,

(ii) l ư J ≥ 2,

(iii) k ư I = 1 và gọi α là không điểm của P có bội n α sao cho α / ∈ ∆, thì

n α ≥ n ư m + 2,

(iv) l ư J = 1 và gọi β là không điểm duy nhất của Q sao cho β / ∈ Λ, thì β

phải là không điểm bội.

Để chứng minh định lý này, chúng ta cần bổ đề sau:

Mệnh đề 2.2.3. Giả sửP (x), Q(y) là hai đa thức không tuyến tính khác nhau bậc

n, m tương ứng, C là đường cong xác định bởi (1.4), P thoả mãn điều kiện tách nghiệm và J ≥ 2. Sắp xếp các β j trong Λ sao cho m 1 ≥ m 2 ≥ ≥ m J và lấy

(α i 1 : β 1 : 1), (α i 2 : β 2 : 1) ∈ Γ. Khi đó, đường cong C là hyperbolic trên K nếu một trong các điều kiện sau thoả mãn:

(i) m 1 ≥ m 2 ≥ 2, m 1 ≥ n i 1 và m 2 ≥ n i 2 ,

(ii) n i 1 > m 1 ≥ m 2 ≥ n i 2 , m 2 > 2 và m1+ 1

m 1 ≥ ni1 ư m 1

m 2 ư 2 ,(iii) m1 ≥ n i 1 , n i 2 > m 2 ≥ 2, m 1 > 2 và m2+ 1

m 2 ≥ ni2 ư m 2

m 1 ư 2 ,(iv) ni1 > m 1 , n i 2 > m 2 , m 2 > 2, m1+ 1

Mệnh đề 2.2.5. Giả sử P (x), Q(y) là hai đa thức không tuyến tính khác nhau bậc

n, m tương ứng, C là đường cong xác định bởi (1.4), Γ, ∆, Λ, J đã cho ở trên và

J = 1. Kí hiệu n i là bội của α i ∈ ∆ tương ứng, β 1 ∈ Λ có bội m 1 Khi đó, C là hyperbolic nếu

Tổng hợp các Mệnh đề 2.2.3, 2.2.5 và Chú ý 2.2.6, ta có:

Định lý 2.2.7. Cho P (z), Q(z) là hai đa thức không tuyến tính bậc n, m, tương ứng, và Γ, Λ, I, J là các kí hiệu được định nghĩa ở trên Sắp xếp các β j ∈ Λ sao cho m 1 ≥ m 2 ≥ ≥ m J

1 Giả sử J ≥ 2, P thỏa mãn điều kiện tách nghiệm và (α i t : β t : 1) ∈ Γ với

m 2 ≥ ni2 ư m 2

m 1 ư 2 ,(iv) ni1 > m 1 , n i 2 > m 2 , m 2 > 2, m1+ 1

2 Giả sử J = 1, ký hiệu α 1 , α 2 , , α I là các không điểm phân biệt của P

với bội n 1 , n 2 , , n I tương ứng, sao cho (α i : β 1 : 1) ∈ Γ, i = 1, 2, , I. Khi đó, không tồn tại các hàm phân hình khác hằng f và g thoả mãn P (f ) = Q(g) nếu

Cần và đủ để không tồn tại các hàm phân hình khác hằng phân biệt f, g thoả mãn P (f ) = P (g) là k ≥ 3 hoặc k = 2 và min {n 1 , n 2 } ≥ 2.

Từ tính chính quy của θ suy ra điều kiện cần của định lý.

Ngược lại, nếu k = 1, ký hiệu n = 1 và h là hàm phân hình khác hằng bất kỳtrên K, thì

√ 3 2i }h + {i +

√ 3 2i }1

h ư b3a,

g = {b

2

ư 3ac 9a 2 }{i +

√ 3 2i }h + {iư

√ 3 2i }h1 ư 3ab ,

là các nghiệm phân hình khác hằng phân biệt của phương trình P (f ) = P (g).Nếu k = 2, n 1 ≥ 2 và n 2 = 1, thì đường cong C ∗ có giống 0,nghĩa là tồn tại cáchàm phân hình khác hằng f, g để (f (z) : g(z) : 1) ∈ C ∗ Định lý đã được chứngminh

2.3 Phương trình hàm P (f ) = Q(g) trên C.

Định lý 2.3.1. Giả sử P (x), Q(y) là hai đa thức không tuyến tính khác nhau trên

C bậc n, m tương ứng. ∆, Λ, I, J đã cho ở trên, k và l theo thứ tự là chỉ số đạo hàm của P và Q. Khi đó, không tồn tại các hàm phân hình khác hằng f, g trên

C để P (f ) = Q(g) nếu một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

(i) k ư I ≥ n ư m + 3,

(ii) l ư J ≥ 3,

(iii) k ư I = 2 và n 1 + n 2 ≥ n ư m + 3, trong đó n 1 , n 2 là số bội của các không

điểm phân biệt α 1 , α 2 của P sao cho α 1 , α 2 ∈ ∆, /

(iv) l ư J = 2 và m 1 + m 2 ≥ 3, trong đó m 1 , m 2 là số bội của các không điểm phân biệt β 1 , β 2 của Q sao cho β 1 , β 2 ∈ Λ, /

(v) k ư I = 1 và n 1 ≥ n ư m + 3 với n 1 là số bội của không điểm α 1 của P

sao cho α 1 ∈ ∆, /

(vi) l ư J = 1 và m 1 ≥ 3 với m 1 là số bội của không điểm β 1 của Q sao cho

Mệnh đề 2.3.4 sau đây là một sự tương tự của Mệnh đề 2.2.3 trên C.

Mệnh đề 2.3.4. Giả sử P, Q là hai đa thức không tuyến tính khác nhau bậc n, m

tương ứng, P thoả mãn điều kiện tách nghiệm và C là đường cong xạ ảnh xác

định bởi (1.4),Γ, Λ, J được định nghĩa ở trên và J ≥ 2.Sắp xếpβ 1 , β 2 , , β J ∈ Λ

sao cho m 1 ≥ m 2 ≥ ≥ m J và lấy hai điểm (α 1 : β 1 : 1), (α 2 : β 2 , : 1) ∈ Γ. Khi đó,

đường cong C là hyperbolic nếu một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

(i) m 1 ≥ m 2 ≥ 3, m 1 ≥ n 1 , m 2 ≥ n 2 ,

(ii) m 1 ≥ n 1 , m 1 > 3, n 2 > m 2 ≥ 3,m2+ 1

m 2 ≥ n2ư m2

m 1 ư 3 ,(iii) n 1 > m 1 ≥ m 2 > 3, m 2 ≥ n 2 ,m1+ 1

m 1 ≥ n1 ư m1

m 2 ư 3 ,(iv) n 1 > m 1 ≥ m 2 > 3, n 2 > m 2 , m1+ 1

Mệnh đề 2.3.6. Giả sử P (x), Q(y) là hai đa thức không tuyến tính khác nhau bậc

n, m tương ứng, C là đường cong xác định bởi (1.4), Γ, ∆, Λ, J đã cho ở trên và

J = 1. Kí hiệu n i là bội của α i ∈ ∆ tương ứng, β 1 ∈ Λ có bội m 1 Khi đó, C là hyperbolic nếu

i |α i ∈∆

n i ư (n ư m + 3) ≥ m 1 ≥ max

i |α i ∈∆ {n i }.

Nếu k = I = J = l = 1, phương trình P (f ) = Q(g) sẽ trở thành a(f ư α)n = b(g ư β) m Gọi h là hàm phân hình khác hằng bất kỳ, thì

√

b,