Tính duy nhất và ổn định của bài toán calderón luận văn ths toán học60 46 01 02

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS... sü tçn t⁄i nghi»m CGO complex geomet

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS ĐẶNG ANH TUẤN

Hà Nội – 2015

Tæi xin ÷æc gßi líi c£m ìn tîi c¡c thƒy cæ trong Bº mæn Gi£i t‰ch, Khoa To¡n - Cì

nhœng trao Œi bŒ ‰ch trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v cæng t¡c Tæi xin ÷æc gßilíi c£m ìn tîi c¡c th nh vi¶n lîp K53A1T khâa 2008-2012 tr÷íng HKHTN - HQGHN v•vi»c gióp ï tæi trong vi»c sß döng latex

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, PhÆng Sau ⁄i håc, Ban chı nhi»mKhoa To¡n - Cì - Tin håc, PhÆng o t⁄o, PhÆng CTCT - SV, tr÷íng ⁄i håc Khoa håc

Tü nhi¶n, HQGHN ¢ t⁄o i•u ki»n thu“n læi v gióp ï tæi trong qu¡ tr…nh håc t“p côngnh÷ nhi¶n cøu

CuŁi còng, tæi xin ÷æc gßi líi c£m ìn tîi ng÷íi th¥n, b⁄n b– nhœng ng÷íi ¢ gióp ï,ºng vi¶n tæi trong qu¡ tr…nh thüc hi»n Lu“n V«n n y

H Nºi, ng y 23 th¡ng 01 n«m

2015

Håc vi¶nTrƒn Th‚ Dông

Möc löc

L˝IC MÌN

DANH MÖC C C KÞ HI U

0.1 Giîi thi»u b i to¡n

1 Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 C¡c khæng gian Lp; Ck

1.2 Khæng gian Sobolev

2 T‰nh duy nh§t 2.1 Ph÷ìng tr…nh Schrodinger

2.2 Nghi»m CGO

2.2.1 ×îc l÷æng vîi q = 0

2.2.2 ×îc l÷æng vîi q 6= 0

2.2.3 X¥y düng nghi»m CGO

2.3 Chøng minh t‰nh duy nh§t

3 T‰nh Œn ành 3.1 Ph÷ìng tr…nh Schrodinger

3.2 K‚t qu£ ch‰nh v• t‰nh Œn ành

4 T‰nh duy nh§t tr¶n @ ;"

2

4.1 ×îc l÷æng Carleman 4.2 T‰nh duy nh§t tr¶n @ ;" .

T ILI UTHAMKH O

jaj: Vîi a = (a 1 ; a 2 ; ; a n ) 2 Cn th… jaj =

div (u) : Cho u :Rn ! Cn ÷æc x¡c ành bði u(x) = (u1(x); u2(x); ; un(x))

jDuj: ÷æc ành ngh¾a bði jDuj =

M— U

0.1 Giîi thi»u b i to¡n

Cho mºt v“t th” d¤n i»n, gåi E(x) l i»n tr÷íng t⁄i và tr‰ x cıa v“t th”, u(x) l i»n th‚ t⁄i

và tr‰ x cıa v“t th”, I(x) l c÷íng º dÆng i»n t⁄i và tr‰ x cıa v“t th” Khi â ba ⁄i l÷æng

n y câ c¡c mŁi quan h» nh÷ sau:

1 MŁi li¶n h» giœa i»n tr÷íng v i»n th‚ E =

2 ành lu“t Ohm cho ta R(x)I(x) = E(x) trong â R(x) lt⁄i và tr‰ x: Ta câ th” vi‚t ph÷ìng tr…nh tr¶n d÷îi d⁄ng

trong â (x) =

B b§t ký b‹ng 0: tøc l

ZIdS = 0;

@B

Gi£ sß r‹ng I kh£ vi, khi â theo ành lþ Gauss - Green (xem [5]), flng thøc tr¶n s‡ trð th nh

V… v“y

0 = r I = r E =ru:

bi¶n @ s‡ c£m sinh mºt i»n th‚ u trong

B i to¡n bi¶n Dirichlet câ:

th” ành ngh¾a ¡nh x⁄ Dirichlet - Neumann (DN)

nh x⁄ f; f 2 H

nh÷ sau

x⁄ tuy‚n t‰nh bà ch°n tł H

l n‚u nh÷ ta o ÷æc dÆng tr¶n bi¶n f;

trong sŁ c¡c øng döng cıa b i to¡n ng÷æc Calderân l

lþ, khi â s‡ ÷æc hi”u l Tr¡i §t, hay b

ng֒i

Xoay quanh b i to¡n ng÷æc n y ng÷íi ta th÷íng nghi¶n cøu mºt sŁ d⁄ng sau:

ng÷íi, ta quan t¥m tîi vi»c n‚u t⁄i hai thíi i”m kh¡c nhau còng mºt ng÷íi, n‚u cho

ta còng dÆng i»n o ÷æc tr¶n b• m°t vä n¢o th… câ gióp cho chóng ta x¡c ành

÷æc còng mºt b»nh hay khæng? Hay nâi c¡ch kh¡c, b i to¡n ng÷æc Calderân

câ duy nh§t nghi»m hay khæng? Theo ngæn ngœ to¡n håc t‰nh duy nh§t

1

Trong Lu“n V«n n y, chóng ta khæng t…m hi”u b i to¡n n y

nhau s‡ x£y ra nhœng sai sŁ nh§t ành Mºt c¥u häi °t ra, vîi sai sŁ cho ph†p âli»u câ th” gióp chóng ta bi‚t ÷æc gƒn óng thæng tin v• v“t d¤n hay khæng?

C¥u

li»u câ th” suy ra ÷æc jj 1 2jjL 1 ( ) b† hay khæng?

4 B i to¡n duy nh§t nghi»m ta nghi¶n cøu t‰nh duy nh§t cıa b i to¡n khi ta bi‚t

÷æc dÆng tr¶n to n bº bi¶n @ : Tuy nhi¶n trong thüc t‚, chflng h⁄n l n¢o conng÷íi, khæng ph£i lóc n o chóng ta công câ th” o ÷æc dÆng tr¶n to n bº bi¶n

m ch¿ câ th” o ÷æc dÆng tr¶n mºt phƒn n o â cıa bi¶n V“y n‚u nh÷ ta ch¿ o

÷æc dÆng tr¶n mºt phƒn cıa bi¶n th… ta câ suy ra ÷æc t‰nh duy nh§t cıa v“t

Mºt sŁ k‚t qu£ li¶n quan tîi b i to¡n ng÷æc Calderân: trong tr÷íng hæp n = 2; K.Astala v L Paivarinta trong [2] chøng minh ÷æc t‰nh duy nh§t cıa trong tr÷íng

3

ch¿ ra r‹ng ÷îc l÷æng Œn ành d⁄ng log l tŁi ÷u H Heck trong [7] ch¿ ra ÷îc l÷æng

2 +"( ): H Heck v J N Wang trong [8] ch¿ ra ÷îc l÷æng

tr¶n t i li»u tham kh£o ch‰nh [14] Cö th” ð ch÷ìng 2, chóng tæi s‡ tr…nh b y k‚t qu£

sü tçn t⁄i nghi»m CGO (complex geometrical optics) cıa b i to¡n cho ph÷ìng tr…nh

nh b y k‚t qu£ v• t‰nh Œn ành cıa G Alessandrini trong [1] cho h m d÷ìng

2 Hs( ); s > n2 + 2 cö th” ta câ ÷îc l÷æng

jj

Ch÷ìng 4, chóng tæi tr…nh b y k‚t qu£ v• t‰nh duy nh§t cıa ¡nh x⁄ cıa A L

bi¶n @ :

Ki‚n thøc chu'n bà

Trong ch÷ìng n y, chóng ta ÷a ra c¡c kh¡i ni»m v mºt sŁ k‚t qu£ C¡c k‚t qu£

qu£ n y s‡ ÷æc dòng tîi ð c¡c ch÷ìng sau

1.1 C¡c khæng gian Lp; Ck

Lp( ) = fu :vîi chu'n

jjujj L p ( ) =

Llocp( ) = fu :trong â 1câ ngh¾a l

9

tçn t⁄i h‹ng sŁ k sao cho

C“n d÷îi óng cıa t“p c¡c h‹ng sŁ k ð tr¶n ÷æc gåi l c“n tr¶n óng cŁt y‚u cıa juj trong

v ÷æc k‰ hi»u bði ess supju(x)j:

x2

Ta ành ngh¾a

x2

jjujjL 1 ( ) = ess supju(x)j:

C01( ) = fu 2 C1( ) : u câ gi¡ compact g:

jj

(v) Khæng gian h m kh£ vi væ h⁄n (trìn) tr¶n

p: U(p) ! Rnsao cho

(iii) H» fejg1j=1÷æc gåi l h» cì sð trüc chu'n cıa khæng gian H n‚u nâ l h» cì sð v trüc chu'n.

(i) chuØi Fourier

sao cho jjfn fjjL 2 (R n ) ! 0 khi n ! 1: Do ffng X n¶n ff^

vîi chu'n

jjujjH s (R n ) = jj(1 + j j2)2s u^jjL 2 (R n ) =

Z(u; v)H s

(ii) N‚u u 2 Hs(Rn) v s 0; n‚u f 2 Ck(Rn); f câ c¡c ⁄o h m ri¶ng @ f li¶n töc

Trong tr÷íng hæp s 2 Z+ ta câ th” ành ngh¾a c¡c khæng gian Hs( ) theo c¡ch kh¡c nh÷ sau:

jjujjH(1

ành lþ 1.15 ([6]) Cho s 2 Z:

(i) Cho f : ! C câ ⁄o h m tîi c§p jsj bà ch°n, li¶n töc nh x⁄

u 2 fv 2 Cjsj( ) : jjvjjH maxf0;sg ( ) < +1g 7!f u

sŁ Cjsj;n ch¿ phö thuºc v jsj v n sao cho

l§y gi¡ trà trong [0; 1] sao cho

Måi chu'n trong khæng gian Hs(@ ) ÷æc ành ngh¾a ð tr¶n l§y theo sü thay Œi

R : Hs( ) ! Hs 1

2 (@ )

(iv) Vîi mØi f 2 Hs 1

2 (@ ); tçn t⁄i u 2 Hs( ) sao cho

Ru = f(v) H⁄t nh¥n cıa R l H01( ) \ Hs( ):

u 2 H01( ):

19

Chøng minh Khi u 2 C2( ); ta câ

Tł (2.3), (2.14), (2.16) ta câ

N‚u q 2 L1( ); x†t b i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr…nh Schrodinger

1 (Tçn t⁄i) Vîi mØi gi¡ trà bi¶n f 2 H

2 (Duy nh§t) Nghi»m u l duy nh§t

3 (˚n ành) To¡n tß f 7!u li¶n töc tł H

BŒ • d÷îi ¥y ch¿ ra t‰nh hæp lþ cıa ành ngh¾a tr¶n v hìn nœa q l ¡nh x⁄ tuy‚n t

‰nh bà ch°n

tuy‚n t‰nh tł H

Chøng minh CŁ ành f 2 H

(ru rv + quv)dx;

(i) Sü khæng phö thuºc v o vi»c chån h m v: Do u l

n¶n ta câ

vîi ’ 2 H01( ): Vîi v; v~ 2 H1( ) sao cho vj@

1.20, ta câ (v

hay

V“y ành ngh¾a cıa T (g) khæng phö thuºc v o vi»c chån v:

(ii) T‰nh Li¶n töc cıa ¡nh x⁄ T : Do g 2 H

tß qf 2 H

f 7!qf

u 2 H 0 ( ); u 6= 0 sao cho u = qu: Khi â jjujj H

ki»n ” b i to¡n (2.17) °t ch¿nh

p

°t ch¿nh v

qf =

Tł (2.20), (2.21) v

1

s‡ l nghi»m cıa b i to¡n

2 ul

1 2

nghi»mcıa

Chøng minh ành lþ 2.2 k†o theo ành lþ 2.1

Ta câ @ju(x) = @j(ei x) = i jei x hay Dju(x) = jei x tł â Du(x) = ei x: Ta câ

nghi»m CGO d÷îi d⁄ng

trong â r l th nh phƒn cƒn x¡c ành sao cho u ÷æc cho bði (2.27) l

ph÷ìng tr…nh (

Ta câ (2.27) l

d⁄ng = s(!1 + i!2) trong â s = j2j v !1; !2 l c¡c vectì ìn và, sao cho f ; !1; !2g l h» trüc

(D D + 2s(D1 + iD2))r = f:

°t

f~

(x) =

: Khi â b i to¡n s‡ trð th nh vi»c gi£i ph÷ìng tr…nh

Khi â

2

jVîi jk +

1

e2j 4s th…2

N‚u jk +

1 2

(i) jjrjjL 2 ( ) C

j0j jjfjjL2 ( );

Thay C 0 trong ành lþ 2.9 bði 2C 0 ta câ i•u ph£i chøng minh.

2.2.3 X¥y düng nghi»m CGO

Tł â

Vîi q~ l h m thuºc L1(Rn) b‹ng q1

câ i•u ph£i chøng minh

T‰nh Œn ành

qu£ v• t‰nh Œn ành cıa G Alessandrini trong [1] nh÷ sau

39

trong â C(") l h m sao cho lim C(") = 0:

Ta cƒn tîi bŒ • sau cıa N G Meyers

BŒ • 3.1 ([11]) Gi£ sß u = u(x) l mºt nghi»m trong mi•n

trong â C l h‹ng sŁ phö thuºc v o n; ; :

tuy nhi¶n ta câ k‚t qu£ sau.

T÷ìng tü nh÷ chøng minh t‰nh duy nh§t, chóng ta s‡ sß döng b i to¡n ng÷æc cho

Chøng minh L§y 2 Rn, vîi uj 2 H1( ) l

L§y !1; !2 2 Sn 1 sao cho f!1; !2; g l

Vîi s > 0; °t

v

Do l t“p bà ch°n n¶n tçn t⁄i R > 0 sao cho

Khi s s0 = maxf1; R22 ; C0Mg th… eRs s; jjujjjH 1 ( ) a3seRs n¶n tł (3.13) ta câ

Tł â

jjq1 q2jjH2 1 ( ) a5e10Rsjj q1

3.2 K‚t qu£ ch‰nh v• t‰nh Œn ành

Trong phƒn n y chóng ta s‡ chøng minh ành lþ 3.2 ” chøng minh k‚t qu£ tr¶n ta

cƒn dòng tîi t‰nh Œn ành tr¶n bi¶n Ta câ ành lþ sau

ành lþ 3.4 ( [6]) Vîi gi£ thi‚t nh÷ trong ành lþ 3.2, th… tçn t⁄i b = b( ; n; M; s) > 0

sao cho

jj

Ta khæng chøng minh cıa ành lþ 3.4 ð ¥y

Chøng minh

°t h = p

g M

»nh

• 1

1

9 vîi

1

H

2 (@ )

Ta câjjaujj

1

H

1jjajjC

jja

(3.27) (3.2

8)

×îc l÷æng cho jj q 1 q 2 jj ? :

trong â c3 = c1c(p

2

T÷ìng tü tçn t⁄i c4 = c4(n; M) > 0 sao cho

v tçn t⁄i c5 = c5(n; M) > 0 sao cho

(3.34)

Nh“n x†t 3.6 Trong [10], N Mandache chøng minh ÷æc r‹ng ÷îc l÷æng d⁄ng log ð

(3.10) v (3.11) l tŁi ÷u, cö th”: ÷îc l÷æng ð (3.10) v (3.11) khæng óng khi

> 2(2n 1) : Ta câ k‚t qu£ sau.

n

jj

"

Ch֓ng 4

li»u tr¶n to n bº bi¶n @ : Trong ch÷ìng n y chóng ta s‡ tr…nh b y k‚t qu£ v• t‰nh duynh§t cıa ¡nh x⁄ khi dœ li»u ch¿ bi‚t tr¶n mºt phƒn cıa bi¶n, cö th” ta i chøng minh k‚tqu£ cıa A L Bukhgeim v G Uhlmann trong [3] nh÷ sau

Trong ành lþ 2.10 ð ch÷ìng 2 ta chøng minh sü tçn t⁄i nghi»m CGO cıa ph÷ìng tr…nh

54

hay ph÷ìng tr…nh

e i x( + q)(ei xr) = f trongkhi j j ı lîn v= 0: Hìn nœa nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh tr¶n thäa m¢n

Thay (4.4), (4.5) v o (4.3) ta nh“n ÷æc

Z

ZK‚t hæp vîi b§t flng thøc Cauchy - Schwarz câjjujjL22 ( ) =

R

R2RjjujjL2 ( ) j ruj L2 ( )

8u 2 C1( ) thäa m¢n uj@

Do â

jje

(4.8)

(4.9)

(4.10)

4 Z

( )j@ uj2dS + 2 Z

( )j@ uj2dShh

@

k e

k e+ k q k2L 1 ( )k u k2L 2 ( )

e h ( + q)v

jj

h v); @(e h v)

l§y giîi h⁄n khi k ! 1 cıa b§t flng thøc tr¶n v sß döng k‚t qu£ chøng minh ð phƒn tr÷îc

K‚t hæp (4.16) (4.19) v

D÷îi ¥y chóng ta ch¿ ra ÷îc l÷æng Carleman cho ta mºt ph÷ìng ph¡p mîi chovi»c x¥y düng nghi»m CGO Tr÷îc h‚t ta ÷a ra mºt k‚t qu£ t÷ìng tü cho sü tçn t⁄inghi»m cıa ph÷ìng tr…nh khæng thuƒn nh§t nh÷ ành lþ 2.10 — ành lþ d÷îi ¥ychu'n jj jjH 1 ( ) ÷æc hi”u l

jjujjH 1 ( ) = (jjujjL 2 ( ) + jhruj L22

t⁄i C > 0, h0 > 0 sao cho 0 < h h0 th… ph÷ìng tr…nh

Chøng minh °t P’ = e

4.4, vîi h h0 ta câ

jjujjH 1 ( )

°t D = P C ( ) th… D l khæng gian con cıa H ( ).

V“y L l phi‚m h m tuy‚n t‰nh bà ch°n tr¶n D

Theo ành lþ Hahn - Banach, tçn t⁄i phi‚m h m tuy‚n t‰nh bà ch°n

^

^L(!) = (!; r~);

Do â tł ành ngh¾a cıa ⁄o h m y‚u ta nh“n ÷æc

@ ;" = fx 2 @ :(x) < "g;

@ +;" = fx 2 @ :(x) > "g:

Theo ành lþ 2.11, tçn t⁄i nghi»m CGO cıa ph÷ìng tr…nh

@ +;" th…" ta nh“n ÷æc

Ta câ

Khi â vîi h 1 th… tł (4.29) ta nh“n ÷æc

trong mºt t“p mð Do q câ gi¡ compact n¶n theo ành lþ Paley - Wiener ta câ q^( ) l

” chøng minh ành lþ 4.7 k†o theo ành lþ 4.1 ta cƒn tîi bŒ • sau.

BŒ • 4.8 ([6]) Vîi gi£ thi‚t nh÷ trong ành lþ 4.1 th…

Chøng minh ành lþ 4.7 k†o theo ành lþ 4.1

K‚t Lu“n

Lu“n v«n ¢ tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ li¶n quan tîi b i to¡n ng÷æc Calderân, cö th”:

b i to¡n (2.1) v sß döng bi‚n Œi Fourier ” chøng minh t‰nh duy nh§t cho

ph÷ìng tr…nh Schrodinger ( ành lþ 2.2) tł â suy ra t‰nh duy nh§t cıa b i to¡n ng÷æc Calderân

trong â ! : [0; 1) ! [0; 1) l h m mæ un li¶n töc thäa m¢n:

!(t) Cj ln tj

CGO cıa b i to¡n (2.1) trong ành lþ 2.11 ” chøng minh t‰nh duy nh§t cıa ¡nh x⁄

âng gâp ch‰nh cıa lu“n v«n:

67

Ti‚ng Anh

measurements, Appl Anal 27 (1988), no 1-3, 153-172

plane, Ann of Math 163 (2006), no 1, 265 - 299

data, Comm Partial Differential Equations 27 (2002), no 3-3, 653-668

equations , Springer 2011

volume 19, American Mathematical Society 1997

webpage http://www.math.ubc.ca/ feldman/ibook/

regular conductivitis, Comm Partial Differential Equations 34 (2009), 107-118

problem by partial cauchy data, Inverse Problems 22 (2006), 1787 -1796

AMS vol 96, 2008

Schrodinger equation, Inverse Problems 17 (2001), no 5, 1435-1444

68

elliptic divergence equations, Annali della Scuola normale superiore di pisaclasse di scienze (1963), no 3, 189-206

(2) 128 (1988), no 3, 531-576

so-lutions for Lipschitz conductivities, Rev Mat Iberoamericana 19 (2003), no 1,57-72

boundary value problem, Ann of Math (2) 125 (1987), no 1, 153-169