Vấn đề duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàm phân hình P Adic

LƯU ĐÌNH TRUNGVẤN ĐỀ DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC SAI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2013... 2 Vấn đề duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàm p

LƯU ĐÌNH TRUNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC SAI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2013

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên - Năm 2013

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau Đại học, Đại học Sư phạm - Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Vũ Hoài An Nhân dịpnày, tôi xin cảm ơn Tiến sĩ Vũ Hoài An, người đã hướng dẫn giúp đỡ tôitrong suốt quá trình thực hiện luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đếncác nhà toán học của Khoa Toán, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên

và Viện Toán học Việt Nam

Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nênluận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong và xin được cảm ơn ýkiến đóng góp của các nhà khoa học và bạn đọc

Thái Nguyên, tháng 03 năm 2013

Tác giảLưu Đình Trung

2 Vấn đề duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàm phân

2.1 Phân bố giá trị của đơn thức sai phân của hàm phânhình p-adic 332.2 Vấn đề xác định duy nhất đối với đơn thức sai phân

của hàm phân hình p-adic 39Kết luận của Luận văn 49

mô tả ảnh hưởng của đạo hàm đến sự phân bố giá trị của hàm phân hình.

Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng tương tự Lý thuyết phân bốgiá trị cho trường hợp p-adic Ông và các học trò đã tương tự lý thuyếtNevanlinna cho trường số phức p-adic mà ngày nay thường gọi là lý thuyếtNevanlinna p-adic Họ đã đưa ra hai Định lý chính cho hàm phân hình

và ánh xạ chỉnh hình p-adic Một trong những ứng dụng sâu sắc của lýthuyết phân bố giá trị (phức và p-adic) là Vấn đề xác định duy nhất chocác hàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện ảnh ngượccủa tập hợp điểm mà ngày nay được gọi là Định lý 5 điểm của Nevanlinna(hoặc tương tự của Định lý 5 điểm cho trường hợp p-adic)

Vấn đề xác định duy nhất được nghiên cứu liên tục và mạnh mẽ với kết quảcủa H.Fujimoto, M.Shirosaki, M.Ru, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, Hà HuyKhoái, I.Lahiri, G.Dethloff, Đỗ ĐứcThái, A Escassut, Phạm Việt Đức, HàTrần Phương, Vũ Hoài An,

Năm 1977, F.Gross đưa ra một ý tưởng mới là không xét ảnh ngược củacác điểm riêng rẽ mà xét ảnh ngược của các tập hợp điểm trong CS {∞}.Ông đưa ra hai câu hỏi sau:

i) Tồn tại hay không tập S của C S

{∞} để với bất kỳ các hàm phânhình khác hằng f, g thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg(S) ta có f ≡ g ?ii) Tồn tại hay không hai tập Si, i = 1, 2, của C S {∞} để với bất kỳcác hàm phân hình khác hằng f, g thỏa mãn điều kiện Ef (Si) = Eg(Si),

i = 1, 2, ta có f ≡ g ?

Các công trình sâu sắc của F.Gross và C.C.Yang, H.X.Yi, P.Li, E M.Reinders , H.Fujimoto, M.Shirosaki, M.Ru, P.C.Hu-C.C.Yang, Hà HuyKhoái, A Escassut, Vũ Hoài An, Tạ Thị Hoài An, T.T.H.An- J.T.-Y.Wang-P.-M.Wong góp phần trả lời câu hỏi của F.Gross

Mues-Phân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đã được nhiều nhà toán họctrong và ngoài nước xét trong mối liên hệ với đạo hàm của hàm phân hình

và ảnh ngược của các điểm riêng rẽ Người khởi xướng hướng nghiên cứunày là Hayman Năm 1967, Hayman đã chứng minh kết quả sau đây:Định lí A.[4] Cho f là hàm phân hình trên C Nếu f (z) 6= 0 và f(k)(z)6= 1 với k là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.Năm 1967, Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau đây:

Giả thuyết Hayman.[4] Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn fn(z) f0 (z)6= 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm nguyên siêuviệt và n > 1, đã được Clunie kiểm tra đối với n ≥ 1 Các kết quả này vàcác vấn đề liên quan đã hình thành nhánh nghiên cứu được gọi là sự lựachọn của Hayman

Tiếp đó, đối với các hàm nguyên f và g, C C Yang và G G Gundersen

đã nghiên cứu trường hợp ở đó f(k) và g(k) nhận giá trị 0 CM, k = 0, 1.Công trình quan trọng đầu tiên thúc đẩy hướng nghiên cứu này thuộc vềC.C.Yang – X.H Hua Năm 1997, hai ông đã chứng minh định lý sau đây:Định lí B.[13] Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n ≥ 11 làmột số nguyên và a ∈ C - {0} Nếu fnf0và gng0 nhận giá trị a CM thìhoặcf = dg với dn+1 = 1 hoặc f (z) = c1ecz và g (z) = c2e−cz , ở đó c, c1,

c2 là các hằng số và thỏa mãn (c1c2)n+1c2 = −a2

Từ đó, hướng nghiên cứu trên phát triển mạnh mẽ với những kết quả sâu

sắc của I Lahiri, Q Han – H X Yi, W Bergweiler, J K Langley, K Liu,

L Z Yang, L C Hong, M L Fang, B Q Li, P C Hu - C.C.Yang, A.Eremenko, G Frank - X Hua – R Vaillancourt Công cụ sử dụng ở

đó là một số kiểu Định lí chính thứ hai cho đa thức vi phân cùng với vớicác ước lượng giữa hàm đặc trưng, hàm đếm của hàm và đạo hàm

Trong trường hợp p-adic, kết quả đầu tiên theo hướng nghiên cứu nàythuộc về J Ojeda Năm 2008, J Ojeda đã xét vấn đề nhận giá trị của

f0 + T fn với T là hàm hữu tỷ Ở đó, J Ojeda đã nhận được kết quả sau:Định lí C.[11] Cho f là hàm phân hình trên Cp, n ≥ 2 là một số nguyên

và a ∈ Cp -{0} Khi đó nếufn(z) f0 (z) 6= a với mọi z ∈ Cp thì f là hằng.Năm 2011, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An đã thiết lập các kết quả tương

tự cho đơn thức vi phân dạng fn(z) f(k)(z)
m Họ đã nhận được kết quảsau:

Định lí D.[4] Cho m, n, k là các số nguyên, f là hàm phân hình trên Cp,

a ∈ Cp - {0} thỏa mãn điều kiện fn(z) (f(k))m(z) 6= a với mọi z ∈ Cp.Khi đó f là đa thức bậc < k nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:

i f là một hàm nguyên

ii k > 0 và hoặc m = 1, n > 1+

√ 1+4k

2 hoặc m > 1, n ≥ 1

Năm 2012, Hà Huy Khoái - Vũ Hoài An - Nguyễn Xuân Lai [7] đã xét vấn

đề duy nhất khi (fn)(k), (gn)(k) cùng nhận một giá trị

Gần đây,K Boussaf-A.Ecassut-J.Ojeda đã bắt đầu nghiên cứu các hàmphân hình trên Cp: f0P0(f ), g0P0 (f ) nhận một hàm nhỏ

Trong những năm gần đây,vấn đề trên được nhiều nhà toán học trong vàngoài nước xét trong mối liên hệ với đa thức sai phân của đa thức sai phâncủa hàm phân hình và ảnh ngược của các điểm riêng rẽ Năm 2006,Halburd

và Korhonen đã thiết lập tương tự của lý thuyết Nevanlinna cho toán tử saiphân của hàm phân hình có bậc hữu hạn Năm 2007, I.Laine và C.C.Yang[10] đã thiết lập tương tự Định lý A của Hayman cho một kiểu đa thứcsai phân đặc biệt của hàm nguyên siêu việt có bậc hữu hạn.Hai ông đãchứng minh kết quả sau đây:

Định lý E.[10] Cho f là hàm nguyên siêu việt có bậc hữu hạn trên C và c

là một số phức khác 0, n là một số nguyên, n ≥ 2 Khi đó fn(z) f (z + c)

nhận a, a ∈ C, vô hạn lần.

Năm 2009,K Liu và L.Z.Yang đã tương tự Định lý D(xem [5]) cho Toán

tử sai phân của hàm nguyên siêu việt có bậc hữu hạn, đã tương tự Định

lý B(xem[5]) cho một kiểu đa thức sai phân đặc biệt của hàm phân hình.Cho f là hàm phân hìnhp−dic Toán tử sai phân củaf được xác định nhưsau: 4cf=f (z + c)-f (z),41

lý B cho Toán tử sai phân,đa thức sai phân của hàm phân hình p − dic

Họ đã nhận được kết quả sau:

Cho P là đa thức bậc n trên Cp Viết P = a0(z − a1)m1

(z − as)ms

Định lý F.[5] (Tương tự Giả thuyết Hay man cho hàm phân hìnhp − adic

và Toán tử sai phân của nó)

Giả sử f là hàm phân hình trên Cp, n, ki, s, q, i = 1, q, là các số nguyên,

cf
k1

(44q

cf )kq − a có không điểm,ở

đó a ∈ Cp, a 6= 0

Định lý G.[5] (Tương tự Giả thuyết của Hayman cho hàm phân hình

p − adic và đa thức sai phân của nó)

Giả sửf là hàm phân hình trên Cp,n, qi, s, k, i = 1 k,là các số nguyên,s ≥

hình p − adic và Đa thức sai phân của nó)

Giả sử f, g là các hàm phân hình trên Cp

k

P

i=1

qi+8k + 8 là các số nguyên thì f = hg với hn+m+q1 + +q k = 1 hoặc f g = l với

ln+m+q1 + +q k = 1

Theo hướng nghiên cứu này, đề tài nghiên cứu vấn đề:

VẤN ĐỀ DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC SAI PHÂN CỦA

HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC

Đây là một vấn đề có tính thời sự của giải tích p-adic

Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo luận văn gồm:

Chương 1 Phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic và đường cong chỉnhhình p-adic

Chương 2.Vấn đề duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàm phân hìnhp-adic

Chương 1

Phân bố giá trị của hàm phân hình

p - adic và đường cong chỉnh hình p-adic

Hiện nay Bài Giảng Nhập Môn Giải tích p-adic[1] của Hà Trần Phương làtài liệu tiếng Việt được dùng cho cao học ngành giải tích của Trường Đạihọc Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Sách chuyên khảo về hàm phân hìnhkhông Acsimet của Hu-Yang [9], bài báo của Hà Huy Khoái và Mai Văn

Tư [8] là các tài liệu tham khảo tiếng Anh rất tốt cho cao học, nghiên cứusinh và những người muốn tìm hiểu về lý thuyết phân bố giá trị p-adic.Trên cơ sở các tài liệu này, trong chương 1 chúng tôi trình bày một số kiếnthức về phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic và đường cong chỉnhhình để dùng cho Chương 2

1.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic

1.1.1 Không gian C p

Với p là một số nguyên tố cố định, Ostrowski đã khẳng định: Chỉ có haicách trang bị chuẩn không tầm thường cho trường hữu tỉ Q Mở rộng theochuẩn thông thường ta có trường số thực R, mở rộng theo chuẩn p-adic ta

Cho d ∈ Cp, định nghĩa một hàm vfd : ∈ Cp −→ N xác định bởi vfd(a) =

vf −d(a) Cố định số thực ρ0 với 0 < ρ0 ≤ r Định nghĩa Nf (a, r) = ln p1

Rr

ρ0

nf(a, x)

x dx ở đó nf(a, x) là số nghiệm của phương trình f (z) = a tính

cả bội trên đĩa |z| ≤ x

Nếu a = 0 thì đặt Nf(r) = Nf(0, r) Cho l là một số nguyên dương Đặt

Nf<k(a, r), Nl,f<k(a, r), Nf>k(a, r), Nf≥k(a, r), Nl,f≥k(a, r), Nl,f>k(a, r).

Giả sử f là một hàm phân hình trên Cp, khi đó tồn tại hai hàm f2, f1 saocho f1, f2 không có không điểm chung và f = f1

f2 Với a ∈ Cp

S

{∞}, tađịnh nghĩa hàm đếm số không điểm nf(a, r) của f tại a hay còn gọi hàmđếm số a - điểm của f bởi :

log |f1|ρ0 − log |f2|r+ log |f2|ρ0 =log|f1|r

|f2|r − log

|f1|r0

|f2|r0 =log |f |r− log |f |ρ0.Tiếp theo ta định nghĩa hàm xấp xỉ của hàm f bởi công thức

mf(∞, r) = max {0, log |f |r},

Với mỗi a ∈ Cp, đặt mf(a, r) = m 1

f − a

(∞, r) Ta có

mf(0, r) = log+µf(0, r) = max {0, − log |f |r}

Sau đây ta có một số tính chất đơn giản của hàm đếm và hàm xấp xỉ.Mệnh đề 1.1 [1]

Giả sử fi là hàm phân hình không đồng nhất 0 trên Cp, i = 1, 2, , k Khi

nên m k

P i=1

1≤i≤2log |fi|r + O(1)

f được gọi là siêu việt nếu lim

r−→∞

Tf(r)log r = ∞.

Mệnh đề 1.2 [1]

Giả sử fi là các hàm phân hình không đồng nhất 0 trên Cp ,i = 1, 2, , k.Khi đó với mỗi ρ0 < r, ta có

T k P i=1

Trong lý thuyết phân bố giá trị , công thức Poisong-Jensen sau đây là kếtquả quan trọng:

ở đó T = − log r

Với các kí hiệu đã được xác định này và chú ý rằng số các phần tử của

Γf(T ) là hữu hạn, chúng ta phát biểu và chứng minh định lí sau đây.Định lý 1.3 [3](Công thức Poison-Jensen)

Giả sử f là hàm chỉnh hình p-adic không đồng nhất không trên Dr Khi đó

Xét b1 = r.Khi đó nf(0, x) = 0, 0 < x < r.Từ đây và tính liên tục của

Do đó (1.2) được chứng minh trong trường hợp này

Với n ≥ 2 giả sử hệ thức (1.2) đúng với mọi v(1 ≤ v ≤ n − 1) Ta chứngminh hệ thức (1.2) đúng với mọi n

1.2 Hai Định lí chính của lý thuyết Nevanlinna p-adic

1.2.1 Hai Định lí chính

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày hai Định lí chính trong lý thuyếtNevanlinna p-adic Ta kí hiệu|.| thay cho |.|p trên Cp Ta cố định hai sốthực ρ và ρ0 sao cho 0 < ρ0 < ρ < ∞ Trước tiên ta chứng minh Định lýchính thứ nhất

Định lý 1.5 [1]

Nếu f là một hàm khác hằng trên Cp(0, ρ) thì với mọi a ∈ Cp ta có

mf(a, r) + Nf(a, r) = Tf(r) + O(1)

Tương tự ta cũng thu được

|f

(k)

f |r ≤ 1

rk.Mệnh đề được chứng minh

Với một hàm phân hình khác hằng f trong Cp(0, ρ), ta định nghĩa

NRamf(∞, r) = 2Nf(∞, r) − Nf0(∞, r) + Nf0(0, r)

Tiếp theo ta giới thiệu Định lý chính thứ hai

Định lý 1.7 (Định lý chính thứ hai) [1]

Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên Cp(0, ρ) và a1, , aq ∈ Cp là các

số phân biệt Đặt δ = min

i6=j {1, |ai− aj|} , A = max {1, |ai|} Khi đó với

f00 f10

f0 f1

là kí hiệu Wronskian của f0 và f1.Đặt Wi = W (F0, Fi) = W

Bây giờ ta cố định z ∈ Cp[0, r0] −Cp[0, ρ] sao cho

W (z), f1(z), Fi(z) 6= 0,i = 0, 1, , q.

Khi đó tồn tại một chỉ số j ∈ {1, 2, , q} sao cho

|Fj(z)| = min

1≤j≤q|Fi(z)|.Chú ý rằng |f0(z)| = |Fi(z) − Fj(z)|

|aj − ai| ≤

1

δ|Fi(z)|(i 6= j).Như vậy chúng ta có thể lấy các chỉ số phân biệt β1, , βq−1 với βl 6=j(l = 1, 2, , q − 1) sao cho

|f (z)| = maxe

k |fk(z)| ≤ A

δ|Fβl(z)|, l = 0, , q − 1, trong đóe

f (z) = (f0, f1) : Cp −→ C2

p là một biểu diễn của f Vì W = Wj, ta thuđược log |F0(z) Fq(z)|

|W (z)| = log |Fβl Fβq−l − logDj(z)|,trong đó Dj = |Wj|

|F0Fj| = |

Fj0

Fj − F

0 0

F0|.Khi đó log |Fβl(z) Fβq−l| ≤ log |F0(z) Fq(z)|

Như vậy log Dj(z) ≤ − log r Hơn nữa ta có

log |F0(z)|r = log |f2|r = N2(0, r) + log |f2|ρ0 = Nf(∞, r) + log |f2|ρ0,

log |W (z)|r = log |f0f10 − f1f00|r = NW(0, r) + log |W |ρ0 = NW(0, r) +log |f0|ρ0 + 2 log |f2|ρ0

log |fi0| = log |Fi|r = log |f1− aif2|r = Nf(ai, r) + log |f − ai|r+ log |f2|ρ0,với mỗi i = 1, 2, , q và chú ý rằng

logf (z)| = Te f(r) + log |f2|ρ0 ta thu được

Chú ý rằng W = f0f10 − f1f00 = f02f0.

Ta có

nW(0, r) = 2nf(∞, r) − nf0(∞, r) + nf0(0, r).Điều đó kéo theo

Chú ý rằng T (r, f ) −→ ∞ khi r −→ ∞

Ta định nghĩa số khuyết của f tại a ∈ Cp như sau:

mf(∞, r) = log |f |r.Khi r đủ lớn, kéo theo

Nf(r) = Tf(r) + O(1)

Do đó

Nf(a, r) = Tf(r) + O(1)

Hai bộ n + 1 hàm nguyên (f1, f2, , fn+1), (g1, g2, , gn+1) tương đươngvới nhau khi và chỉ khi tồn tại c ∈ C∗p sao cho gi = cfi vớ i = 1, 2, , n +

1.Khi đó ta đồng nhất f với một biểu diễn (f1, f2, , fn+1) của nó và viết

f = (f1, f2, , fn+1) : Cp −→ Pn(Cp)

z −→ (f1(z), , fn+1(z))

Giả sử (f1, f2, , fn+1), và (g1, g2, , gn+1) là các đường cong chỉnh hình

từ Cp vào Pn(Cp) Ta nói f đồng nhất với g và viết f ≡ g nếu tồn tại

c ∈ C∗p sao cho fi ≡ cgi với mọi i = 1, 2, , n + 1

Định nghĩa 1.11 [8]

Độ cao của đường cong chỉnh hình p-adic f = (f1, f2, , fn+1) : Cp −→

Pn(Cp) được xác định như sau

Thật vậy ,giả sử(f1, f2, , fn+1), và (g1, g2, , gn+1)là đường cong chỉnhhình p-adic thì gi = cfi với mọi i = 1, 2, , n + 1 và c ∈ C∗p, c là hằng số.

Giả sử H là siêu phẳng trong Pn(Cp) được xác định bởi phương trình

F = 0, f là đường cong chỉnh hình p-adic từ Cp đến Pn(Cp) Đặt

Định lý 1.15 (Định lí Nevanlinna p-adic thứ nhất) [3]

Giả sử f = (f1, f2) : Cp −→ P1(Cp) là đường cong chỉnh hình p-adic và X

là một điểm của P1(Cp) sao cho ảnh của f không chứa trong X Khi đó tacó

Tf(X, r) = Tf(r) + O(1),O(1) là đại lượng bị chặn khi r −→ ∞

Định lý 1.16 (Định lí Nevanlinna Cartan p-adic cho đường cong chỉnhhình từ Cp vào P1(Cp)) [8]

Giả sử f = (f1, f2) là đường cong chỉnh hình p-adic khác hằng từ Cp vào

P1(Cp); Xi = (ai1, ai2), i = 1, 2, , q là q phân biệt trong P1(Cp) Khi đó

Trước hết ta xét q > 2 Giả sửF = ( Fβ1 Fβq−2 ) trong đó (β1, , β2)

được lấy từ bộ gồm q − 2 phần tử khác nhau trong {1, 2, , q}

Để chứng minh định lí ta cần chứng minh hai bổ đề sau:

Bổ đề 1.17 [8]

Với q > 2, giả sử X1, X2, , Xq là q điểm phân biệt trong P1(Cp) Khi đó

F là một đường cong chỉnh hình p-adic khác hằng số từ Cp đến Pk−1(Cp),trong đó k = Cqq−2

Bây giờ ta chứng minh định lí

Khi f là đường cong khác hằng, theo Bổ đề 1.14 ta có W (f1, f2) 6≡ 0.Giả sử (α1, α2) là hai số khác nhau trong 1, 2, , q và (β1, β2, , βq−2)

là phần còn lại Do fi là tổ hợp tuyến tính của Fα1, Fα2 (i = 1, 2) nên

W (Fα1, Fα2) = C(α1, α2).W (fα1, fα2); C(α1, α2) = c (hằng số) chỉ phụthuộc vào (α1, α2) Đặt

Cho f là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ Cp đến

Pn(Cp), H1, , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Khi đó

|F0Fj| = | < /p>

Fj0 < /p>

Fj − F < /p>

0 0 < /p>

F0|.Khi... cfi với i = 1, 2, , n + c ∈ C∗p< /sub>, c số.< /p>

Giả sử H siêu phẳng P< sup>n(Cp< /sub>) xác định phương trình < /p>

F = 0, f đường cong chỉnh hình. .. P< sup>1(Cp< /sub>) Khi < /p>

F đường cong chỉnh hình p- adic khác số từ Cp< /small> đến P< sup>k−1(Cp< /small>),trong k = Cqq−2 < /p> Trang