Số chính phương 2

Tác giả: Đặng Quảng Xuân Đăng Chuyên đề số chính phương Một số tính chất: 1.. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số cp nào... Tích của một số chính phương với một số không chín

Tác giả: Đặng Quảng Xuân Đăng Chuyên đề số chính phương

Một số tính chất:

1 Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9

2 Số chính phương khi chia cho 3 có thể dư 1 hoặc 0

CM: Ta xét những số tự nhiên khi chia cho 3 có thể chia hết hoặc dư 1 hoặc dư 2 Xét n = 3k thì n2 = 9k chia cho 3 dư o

N = 3k + 1 thì n2 = 9k2 + 6k + 1 chia cho 3 dư 1

N = 3k + 2 thì n2 = 9k2 + 12k + 4 chia cho 3 dư 1

3 Mọi số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p 2

CM: Xét a2 = a.a p Vì p nguyên tố nên a p => a2 p2

Nếu p = k là hợp số liệu có đúng không ?

Giải sử a2 = a.a k Điều này không suy ra được a k nên không suy ra được a2 k2

VD: 4.4 16 không suy ra được 4 16

4 Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4 Số CP lẻ thì chia cho 4 hoặc 8 dư 1

CM:

Số chính phương chẵn là bình phương của một số chẵn nên: Xét n = 2k thì n2 = 4k chia hết cho 4

Số chính phương lẻ là bình phương của hai số lẻ nên ta xét: Với n = 2k + 1

thì n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dư 1

Xét 4k2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1

Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 => 4k2 + 4k chia hết cho 8 nên 4k2 + 4k + 1 chia cho 8 dư 1

4* (n – 1) 2 ; n 2 và (n + 1) 2 là 3 số chính phương liên tiếp

Giữa hai số chính phương (n – 1) 2 và (n + 1) 2 chỉ có duy nhất một số chính

phương n 2

Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số cp nào

5 Tích của một số chính phương với một số không chính phương là một số không

chính phương

Tức là: M = a2.b Nếu a 0 thì M chính phương khi và chỉ khi b chính phương

6 Một lũy thừa n khi phân tích thành các thừa số nguyên tố thì các thừa số nguyên tố sẽ có lũy thừa là bội của n

CM Ta xét số chính phương An = A.A.A A

Giả sử phân tích được A thành: A = 1 2

1k 2k n kn

p p p với p là các thừa số nguyên tố khác nhau, k là các số tự nhiên

Thế thì An = A.A….A = 1 2

1nk 2nk n nkn

p p p đều có lũy thừa là bội của n => đpcm

6.1 Từ tính chất 6 suy ra: Nếu A 2 = B.C và B, C nguyên tố cùng nhau thì B và C phải chính phương

CM: Giả sử ta phân tích B và C thành:

B = 1 2

1k 2k n kn

p p p C = ' 1 '2 '

'k ' k 'n k n

=> B.C = 1 2

1k 2k n kn

p p p ' 1 '2 '

'k ' k 'n k n

p p p

Vì UCNL của B và C là 1 nên các thừa số p và p’ không thể trùng nhau

Nên mỗi thừa số phải là một số chính phương (theo tính chất 6)

=> B chính phương và C cũng chính phương

Tương tự: A3

= B.C nếu B và C nguyên tố cùng nhau thì B = k3 và C = q3

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Phương pháp phân tích thành nhân tử kết hợp với một số tính chất của số chính phương

Bài tập

Bài 4:

Dạng toán tìm giá trị của biến để biểu thức là chính phương

Bài 1: Tìm số tự nhiên n để:

a n2 – 2n + 3 là số chính phương

b n2 + n – 1 là số chính phương

c n + 5 và n + 30 là số chính phương

Bài 2: Cho biểu thức: M = k4 – 8k3 + 23k2 – 26k + 10 Tìm số tự nhiên k để M là số chính phương

Cách giải: Phân tích M thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm

M = (k – 1)2(k2 – 6k + 10)

Để M chính phương thì hoặc k – 1 = 0 hoặc k2

– 6k + 10 là số chính phương

Bài 3: (2,5 điểm) Toán Quảng Ninh 2016 – 2017 bảng B

Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:

1) n là bội số của 5

2) n8 là số chính phương

3) n3 là số chính phương

Lời giải

Ta sẽ tìm n thỏa mãn tính chất 2 và 3

Đặt n + 8 = k2

và n – 3 = q2 => (k – q)(k + q) = 11 với k và q là các số tự nhiên

=> k + q = 11 và k – q = 1 => k = 6, q = 5 => n = 28 không phải bộ của 5

Vậy n = 39 là một đáp số

Ta sẽ tìm tiếp n thỏa mãn 1 và 2 hoặc 1 và 3

n thỏa mãn (1) thì n là bội của 5 => n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

+ Nếu n có chữ số tận cùng là 0 thì n + 8 có chữ số tận cùng là 8 nên không thể là số chính phương n – 3 có chữ số tận cùng là 7 nên không là số cp

+ Nếu n có chữ số tận cùng là 5 thì n + 8 có chữ số tận cùng là 3 cũng không là số chính phương n – 3 có chữ số tận cùng là 2 nên không là số cp

Tóm lại n = 39 thỏa mãn đề bài

Bài 3: (2,5 điểm) Toán Quảng Ninh 2016 – 2017 bảng A

Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:

1) n8 là số chính phương

2) n3 là số chính phương

3) n chia hết cho 9

Ta tìm n thỏa mãn 9 xem có thỏa mãn 1 hoặc 2 hay không

n = 9k thì n – 3 = 9k – 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên n – 3 không chính phương

CM: Có n – 3 = k2 = k.k 3 => k 3 => k2 9 nhưng k2

không chia hết cho 9 nên n – 3 không thể có dạng k2 Vậy n – 3 không cp

n + 8 = 9k + 8 chia cho 3 dư 2 Mà theo tc2 thì một số cp chia cho 3 dư 0 hoặc 1 Do

đó không có giá trị của n thỏa mãn 3 và 2 hoặc 3 và 1

Tìm n thỏa mãn 1 và 2 thì dễ rồi

II Phương pháp đánh giá dựa vào tính chất

4* (n – 1) 2 ; n 2 và (n + 1) 2 là 3 số chính phương liên tiếp

Giữa hai số chính phương (n – 1) 2 và (n + 1) 2 chỉ có duy nhất một số chính phương n 2

Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số cp nào

Bài 1: Chứng minh tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 0 không chính phương

CM

Xét A = a(a + 1) = a2 + a

Cách 1: Có thể nhân a với 4 rồi áp dụng cách phía trên

Cách 2: Ta đánh giá:

Vì a  1 Nên

a2 < a2 + a < a2 + 2a + 1 = (a + 1)2

Dấu hiệu nhận biết cách giải ở đây là hệ số a2 ta phải đánh giá được a2 + a lớn hơn một hằng đẳng thức (a + m)2 mà khi khai triển ra có a2 và nhỏ hơn một hằng đẳng thức (a + m + 1)2 cũng có hệ số a2 Công việc là đánh giá khéo léo dựa theo điều kiện của a thôi

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để: A = n2 + 3n là số CP

Cách 1: Như trình bày ở bài trước bằng cách nhân A với 4

Cách 2: Nhận thấy n = 0 hoặc 1 là đáp án đúng

Với n > 1 ta đánh giá:

n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 < n2 + 3n = n2 + 3n < n2 + 4n + 4 = (n + 2)2

=> không tồn tại số chính phương nào nữa

Bài 3: Cho x, y là những số nguyên lơn hơn 1 sao cho: 4x2y2 – 7x + 7y là số chính

phương Chứng minh x = y

CM

Gợi ý ở đây là 4x2y2 nên ta sẽ biến đổi về các hằng đẳng thức để chứng minh 4x2y2 – 7x + 7y là số cp ở giữa 3 số cp liên tiếp Nhưng đó là những số CP nào ?

Để ý thấy nếu 4x2

y2 – 7x + 7y = 4x2y2 thì – 7x + 7y = 0 => x = y Nên số CP ở giữa là 4x2y2 hai số ở hai đầu sẽ là (2xy – 1)2 và (2xy + 1)2

Vậy ta sẽ bám vào giả thiết để chứng minh:

(2xy – 1)2 < 4x2y2 – 7x + 7y  -4xy + 1 < -7x + 7y  1 + 7x < 7y + 4xy (*)

Ta có: 4xy  8x > 7x và 7y > 1 do x và y  2 => (*) được CM

Lại chứng minh: 4x2y2 – 7x + 7y < (2xy + 1)2  – 7x + 7y < 4xy + 1

 7y < 4xy + 1+ 7x

Vì x  2 => 4xy  8y > 7y => 4xy + 1+ 7x > y

Vậy : (2xy – 1)2 < 4x2y2 – 7x + 7y < (2xy + 1)2

Vậy nếu 4x2y2 – 7x + 7y là số chính phương thì 4x2y2 – 7x + 7y = (2xy)2  x = y Bài 4: Cho n là số tự nhiên lẻ CM: n3 + 1 không chính phương

Bổ đề: chứng minh hai số lẻ liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau

Xét:

A = 2k+1

B = 2k + 3

Gọi d là UCLN của A và B => 2k+1 d và 2k + 3 d => (2k + 3 – 2k – 1) d => 2 d

=> d = 1 hoặc d = 2

Vì A và B là các số lẻ nên không chia hết cho 2 Vậy UCLN của A và B là 1

Lời giải

Đặt n3

+ 1 = a2 => n3 = (a – 1)(a + 1) (1)

Vì n3 lẻ nên a – 1 và a + 1 lẻ và liên tiếp nên ước chung lớn nhất của a – 1 và a + 1 là

1 Do đó: a – 1 = m3

, a + 1 = n3 Với m và n lẻ, n > m)=> n3 – m3 = 2

=> (n – m)(n2 + nm + m2) = 2 (*)

Ta có: n – m  2 , n2 + nm + m2 > m2 + m2 + m2 = 3m2 3.1 = 3

=> (n – m)(n2 + nm + m2) 6

Vậy (*) không có giá trị của m và n => (1) không tồn tại

Bài 5: Cho

3

n 

là tích hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh:

a 2n – 1 là số cp

b n là tổng hai số chính phương liên tiếp

Giải:

2

2

1

3

n

Vì 2n – 1 và 2n + 1 lẻ liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau

=>

2 2

  





 

2 2

  





 



Xét trường hợp thứ hai:

2 2

  





 

 => k

2 – 3q2 = 2  k2 = 3q2 + 2 chia cho 3 dư 2 (loại vì số chính phương chia cho 3 dư 1 hoặc 0)

Xét trường hợp thứ nhất:

2 2

  





 

 => 3q

2 – k2 = 2 => k2 = 3q2 – 2 = (3q2 – 3) + 1 chia cho 3 dư 1 nên có thể chọn được k2

Vậy 2n – 1 chính phương

b) Vì 2n – 1 là số chính phương lẻ nên 2n – 1 = (2k + 1)2 => 2n – 1 = 4k2 + 4k + 1

=> n = 2k2 + 2k + 1 = k2 + (k + 1)2 => đpcm

Bài 5:

Cho n là các số tự nhiên lẻ chia hết cho 3

Chứng minh: 2n – 1; 2n; 2n + 1 đều không chính phương

Giải: Ta cần xác định công thức của n theo điều kiện đề bài

Đặt n = 3k vì n lẻ nên k lẻ => k = 2q + 1 => n = 6q + 3

Khi đó:

2n – 1 = 12q + 5 chia cho 3 dư 2 => không cp

2n = 12q + 6 không chính phương vì chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 2n + 1 = 12q + 7 cũng tương tự không cp vì chia cho 4 dư 2

Đó là điều phải cm

Bài 6: Tìm các số nguyên dương nhỏ nhất sao cho n + 1, 6n + 1, 20n + 1 đều là các

số chính phương

LG: Ta phải tìm n là bội của một số càng lớn càng tốt để chọn giá trị của n sẽ nhanh hơn

Đánh giá như sau:

Nếu n + 1 = 3k + 0 => n = 3k – 1 => 6n + 1= 18k - 5 = 18k – 6 +1

20n + 1 = 60k - 19 = 60k – 21 + 2 chia cho 3 dư 2 không chính phương

Nếu n + 1 = k3 + 1 => n = 3k chia hết cho 3

6n + 1 là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1 nên 6n + 1 = 8k + 1 => 6n = 8k => 3n = 4k => n chia hết cho 4

Vì 3 và 4 nguyên tố cùng nhau nên n là bội của 12

Vậy chọn n = 12; 24; 36; 48 thì 48 thích hợp

Bài 7: Tìm các số tự nhiên n sao cho n + 1; 2n + 1 và 5n + 1 chính phương

Giải tương tự

Bài 8: Cho  1 4 3

3

chính phương với n là số tự nhiên Chứng minh 4n + 3 không chính phương

Giải

3

Ta có n + 1 và 4n + 3 nguyên tố cùng nhau

Thật vậy: gọi d là UCLN của n + 1 và 4n + 3

=> n 1d 4n 4 d, 4n 3 d 1d => d = 1

Do đó:  

2

2

1

 

  Hoặc

2

2

 

  Loại vì chia cho 4 dư 3

Bài 9: Tìm số nguyên tố p và q để: p 2 – 2q 2 = 1

LG

p2 – 2q2 = 1  p2 – 1 = 2q2  (p – 1)(p + 1) = 2q2

Vì các số nguyên tố đều lẻ nên p – 1 chẵn, p + 1 chẵn => (p – 1)(p + 1) 4

=> 2q2 4 => q2 2 => q2 chẵn => q chẵn Số nguyên tố chẵn chỉ cố số 2 nên q = 2

=> p2 = 1 + 2q2 = 9 => p = 3

Bài 10:

A = 44…44 ( 2n chữ số 4) và B = 88…88 ( n chữ số 8) Chứng minh A + 2B + 4 chính phương

Lời giải:

A = 4.11…11 = 4.102 1

9

n

B = 88…88 = 8.10 1

9

n

A + 2B + 4 =

2

4.

9

n

+ 2.8.10 1

9

n

+ 4

Đặt 10n

t

chính phương

Bài toán: Đề bảng A 2016

Cho , là các số nguyên dương Chứng minh rằng và

không cùng là hai số lập phương đúng

Giả sử:





Từ (1) => k3 > a3 => k3  (a + 1)3 =>  (a + 1)3  3b  3a + 1 > 3a

 b > a

Lập luận tương tự cũng cho b < a Vậy ta có điều giả sử là sai

Khai thác bài toán: Bằng cách đánh giá tương tự ta sẽ cho ra bài toán chứng minh hai biểu thức không cùng chính phương

Chẳng hạn ta có đánh giá: k2 > a2 => k2  (a + 1)2 => A  a2 + 2a + 1 => Biểu thức A chứa

a2 + 2b Tức là: a2 + 2b  a2 + 2a + 1  2b  2a + 1 > 2a => b > a

Vậy biểu thức thứ nhất phải là: a2 + 2b và biểu thức thứ hai là b2 + 2a

Và ta có bài toán: Đề bảng B năm 2016

Cho a, b là hai số nguyên dương

Chứng minh a2 + 2b và b2 + 2a không đồng thời là hai số chính phương.