Một số phương pháp giải bài toán số chính phương

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơngLời nói đầu Muốn giải toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản, còn phải vận dụng thành thạo các kiến thức đó vào các bài tập từ dễ đế

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

Lời nói đầu

Muốn giải toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản, còn phải vận dụng thành thạo các kiến thức đó vào các bài tập từ dễ đến khó Chúng ta thấy bài tập thì rất nhiều, rất đa dạng, làm thế nào và làm đến đâu thì vừa Có thể xếp các bài toán theo những dạng chủ yếu không? Đứng trớc một bài toán có thể xẹm xét

nó thuộc dạng toán nào, vằ có phơng pháp nào giải không? Từ đó mà biết cần vận dụng kiến thức gì và giải nó theo trình tự nào?

Các bài toán về số chính phơng là một trong những mảng kiến thức khó của toán số học Bởi học sinh trụng học cơ sở chỉ có khái niệm cơ bản về số chính

ph-ơng, cha có công cụ để giải vấn đề đó một cách tờng minh Do đó tôi thiết nghĩ

mình phải tìm ra“ một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng” cho học sinh

học toán số học, thông qua đó giúp đợc các em giải quyết đợc vấn đề này trong các kì thi, nhất là kì thi học sính giỏi sắp tới Qua đây mong sao các em học sinh và đội ngũ giáo viên giảng dạy có đợc một số phơng pháp suy nghĩ để tìm cách giải các

bài toán “Số chính phơng ” Hy vọng vấn đề trên góp phần xây dựng một phần nền móng toán học cấp THCS, tạo đà tốt cho các em học tiếp các chơng trình toán học cao hơn.Đề tài này tôi đã viết rất thận trọng nhng không tránh khỏi thiếu sót, bản thân tôi rất mong sự chỉ bảo của độc giả

Xin chân thành cảm ơn sự góp ý của các độc giả.

Tháng 3 năm 2013

1

Kinh nghiệm năm học 2012 – 2013 2013

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

Phần I Đặt vấn đề.

1 Cơ sở lý luận.

Toán học là một môn học cơ bản trong chơng trình phổ thông nó là nền móng cho nhiều nghành khoa học khác Đối với học sinh khá và giỏi môn toán, học toán hay giải toán là yếu tố thờng nhật trong mọi hoạt động và suy nghĩ vì vậy vấn đề bồi dỡng cho học sinh có khả năng t duy sáng tạo, liên hoàn vận

dụng tôt các kiến thức lý thuyết đã học và phát huy tố năng lực của cá nhân là một vấn đề rất đợc coi trọng và cũng chẳng đơn giản dể dàng gì

Để quá trình dạy bồi dỡng cho học sinh có kết quả tốt hơn, có chất lợng cao, ngời thầy phải nắm chắc chơng trình bồi dỡng, vấn đề nào cơ bản trọng tâm, vấn

đề nào cần trình bài kĩ hay lớt qua và đặc biệt phải có một kế hoạch cụ thể, th-ờng xuyên, liên tục ôn luyện cho cả thầy và trò Ngời học sinh giỏi toán trớc hết phải nắm vững kiến thức cơ bản để dựa vào đó suy luận và phát triển thành kiên thức mới của mình

Học toán hay giải toán là yêu cầu thờng xuyên trong mọi hoạt động và suy nghĩ Để có thể học tốt môn toán hay giải đợc các bài toán, đòi hỏi phải có cái nhìn hệ thống về mặt kiến thức, áp dụng vào các dạng toán với lời giải đúng tránh những sai lầm thiếu sót Hơn nữa để vận dụng giải đợc nhanh ta phải huy

động đợc ngay các kiến thức liên quan đến dạng bài toán đó Từ đó không những giúp ta giải quyết tốt bài toán mà còn có thể phát triển sáng tạo thêm các bài toán mới có phơng pháp giải hoàn toàn tơng tự, đó là công cụ sắc bên nhất cho ngời học toán

2 Cơ sở thực tiển.

Là một giáo viên dạy toán, tôi luôn băn khoăn, trăn trở làm thế nào cho học sinh nắm đợc các phơng pháp giải toán, có hệ thống và vận dụng sắc bén các kiến thức vào giải các bài toán để có kết quả cao trong các kì thi sắp tới bởi vậy tôi luôn thấy đợc trách nhiệm của mình là không ngừng học hỏi, tìm tòi ở đồng nghiệp, tài liệu tham khảo, tạp chí để hớng dẫn học sinh biết huy động 2

Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

những kiến thức liên quan khi nhận ra dạng bài toán giải đợc cách nhanh nhất, hợp

lý nhất

Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh , tôi đã không ngừng học hỏi nâng cao tay nghề , học hỏi đồng nghiệp và những ngời có kinh nghiệm tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn số học còn nhiều mảng kiến thức khó mà học sinh cần phải biết thêm hơn nữa nh : Các bài toán về cấu tạo số, so sánh phân số , dãy số viết theo

quy luật ,đặc biệt là các bài toán “ số chính phơng” Đây là dạng toán khó đối với

học sinh THCS Học sinh rất khó hiểu khi đứng trớc dạng toán này, học sinh rất lúng túng khi tìm ra phơng pháp giải

Trong các vấn đề thi học sinh giỏi cũng nh các đề thi vào các trờng chuyên THPT

có rất nhiều bài toán liên quan đến số chính phơng đối với học sinh khá giỏi nói riêng và học sinh THCS nói chung khi giải một bài toán về số chính phơng các em gặp rất nhiều khó khăn Để giúp các em khắc phục đợc khó khăn đó, tôi mạnh dạn

đa ra “ Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng ” Hy vọng nó giúp đợc

các em trong việc giải loại toán này

3.Mục đích nghiên cứu

Với bản thân tôi là một giáo viên dạy toán bậc THCS tôi đi sâu nghiên cứu

vấn đề “trên”, để góp phần nhỏ trong cách định hớng , phơng pháp nhận biết , nhận

dạng từng bài toán ”số chính phơng” và giúp cho giáo viên lựa chọn phơng pháp

hợp lí , phù hợp với từng bài, từng đối tợng học sinh để giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết tốt vấn đề này, nhằm mục đích góp phần đào tạo nhân lực , bồi d-ỡng nhân tài phục vụ cho đất nớc trong thời kì công nghiệp hóa - hiện địa hóa

4.Nhiệm vụ nghiên cứu

- Cơ sở lý thuyết về số chính phơng.

- Cách vận dụng lý thuyết vào từng phơng pháp cụ thể

- Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng Mỗi phơng pháp cần giải quyết một số bài toán cụ thể và bài toán tơng t

5 Đối tợng nghiên cứu

Truyền đạt một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng cho học sinh THCS

6.Thời gian nghiên cứu

Bắt đầu tháng 9 năm 2012 đến hết tháng 3 năm 2013

7.Phơng pháp nghiên cứu

+ Phơng pháp đọc sách

+ Phơng pháp nghiên cứu tài liệu

+ Phơng pháp đúc rút kinh nghiệm của giáo viên

+ Phơng pháp khảo sát học sinh

3

Kinh nghiêm năm học 2012 – 2013 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

phần ii : nội dung

Nằm trong khuôn khổ của vấn đề cần đề cần đề cập nên phạm vi bài viết chỉ nêu một số kiến thức cơ bản đợc rút ra từ số chính phơng để vận dụng trong mỗi bài toán cụ thể của phần áp dụng giải toán Để giúp giáo viên và học sinh ở cấp THCS giải một số bài toán “Số chính phơng”

i.các kiến thức về lí thuyết

1.Định nghĩa :

Số chính phơng là bình phơng đúng của một số tự nhiên

2 Các tính chất :

- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phơng chỉ chứa các thừa số nguyên

tố với số mũ chẵn , không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ

- Số chính phơng chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4

- Số chính phơng chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9

- Số chính phơng chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 25

-Số chính phơng chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16

-Số lợng các ớc của một số chính phơng là số lẻ Đảo lại, một số có số lợng các ớc

là số lẻ thì số đó là số chính phơng

-Tận cùng của một số chính phơng là một trong các số sau : 0; 1; 4; 5; 6; 9

-Số chính phơng không có tận cùng là các số: 2; 3; 7 ; 8

-Số chính phơng có tận bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn

-Số chính phơng có tận bằng 5 thì chữ số hàng chục là số 2

-Số chính phơng khi chia cho 3 có số d là 0 hoặc 1

- Số chính phơng khi chia cho 4 có số d là 0 hoặc 1 Còn một số khi chia cho 4 có

số d là 2 hoặc 3 thì không phải là số chính phơng

Chứng minh : Số chính phơng khi chia cho 4 có số d là 0 hoặc 1 Còn một số khi

chia cho 4 có số d là 2 hoặc 3 thì không phải là số chính phơng

C M :Với a làsố nguyên, a có dạng a = 2k hoặc a = 2k + 1 ( k C Z )

Với a = 2k suy ra a2 = 4k chia hết cho 4

Với a = 2k + 1 suy ra a2 = 4k2 + 4k + 1`chia cho 4 có số d là 1

Vậy với a = 4n hoặc a = 4n + 1 suy ra a là số chính phơng

Với a = 4n + 2 hoặc a = 4n + 3 khi chia cho 4 có số d là 2 hoặc 3 nên a không là số chính phơng

3 Một số bài toán

3.1,Phơng pháp sử dụng chữ số tận cùng

Bài toán 1 : Các tổng sau có phải là số chính phơng không

a, 3.5.7.9.11 + 3

b, 2011 + 20112 + 20113 + 20114 + +20112013

c, 20102004 + 20122007

Hớng dẫn giải:

a Xét tổng 3.5.7.9.11 + 3 có tận cùng bằng 8 nên tổng đó không phải là số chính phơng

4

Kinh nghiêm năm học 2012 – 2013 2013

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

b Xét tổng: 2011 + 20112 + 20113 + 20114 + +20112013 =

= ( 1) + ( 1) +( 1) + + ( 1) = ( 3)

(Vì tổng trên có 2013 số hạng )

Tổng trên có tận cùng là 3 nên tổng trên không phải là số chính phơng

c Xét tổng: 20102004 + 20122007 = ( 0) + 20122004 + 3

= ( 0) + ( 20124)501 20123

= ( 0) + ( 6)( 8)

= ( 0) + ( 8) = ( 8)

Tổng trên có tận cùng là 8 nên tổng trên không phải là số chính phơng

Bài toán tơng tự: Các tổng (số) sau có là số chính phơng không?

a 11 + 112 +113 + + 112013

b 20102013 + 20132007

c 20092010201120122013

d 20002013 + 3

2 Phơng pháp dùng tính chất chia hết

Bài toán 2 : Các tổng, số sau có phải là số chính phơng không ?

a, 5 + 52 + 53 + +52013

b, 20042013

c , 3 + 32 + 33 + +32013

Hớng dẫn giải:

a ,Ta có 5 + 52 + 53 + +52013 luôn chia hết cho 5

mà 5 + 52 + 53 + +52013 =

= 5 + 52( 1 + 5 + 52 + +52011) không chia hết cho 25

suy ra tổng 5 + 52 + 53 + +52013 không phải là số chính phơng

b, Xét số 20042013 = 2004.20042012

Do 2004 luôn chia hết cho 3 nhng 2004 không chia hết cho 9

suy ra 20042013 không phải là số chính phơng

c , 3 + 32 + 33 + +32013 ( tơng tự câu a )

Bài toán 3 : Tìm số chính phơng có bốn chữ số , đợc viết bởi các chữ số 3;6;8;8

( Đề thi HSG lớp 6 phòng GD-ĐT Đức Thọ năm học 2003-2004 )

Hớng dẫn giải : Gọi a2 là số chính phơng cần tìm

Theo tính chất ta thấy số chính phơng không tận cùng bằng 3 ; 8 do đó a2 phải tận cùng bằng 6

Suy ra a2 = 86 hoặc a2 = 36

Với a2 = 86 suy ra a2 chia hết cho 2 mà a2 không chia hết cho 4

Vậy số có tận cùng bằng 86 không phải là số chính phơng

Với a2 = 36 suy ra a2 chia hết cho 2 và a2 cũng chia hết cho 4

nên a2 có tận cùng bằng 36 là số chính phơng

Vậy số cần tìm là a2 = 8836

5 Kinh nghiêm năm học 2012 – 2013 2013

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

Bài toán 4 : Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số

chính phơng không ?

Hớng dẫn giải Giả sử a2 là số chính phơng gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6

Theo bài ra ta có a2 = A0 hoặc a2 = A06 hoặc a2 = A66

Với a2 = A0 có một chữ số 0 nên A0 không thể là số chính phơng

Với a2 = A06 suy ra a2 chia hết cho 2 mà a2 không chia hết cho 4 Vậy số A06 không thể là số chính phơng

Với a2 = A66 suy ra a2 chia hết cho 2 mà a2 không chia hết cho 4 Vậy số A66 không thể là số chính phơng

Vậy không tồn tại số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 không thể là số chính phơng

Bài toán 5 : Tìm số chính phơng có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống

nhau và hai chữ số cuối giống nhau

( Đề thi vào trờng chuyên Hà Tĩnh vòng 1 Năm học 2000 – 2013 2001 )

Hớng dẫn giải : Gọi số chính phơng cần tìm là n2 = aabb ( a;b C N , 1 <a < 9, 0 < b < 9 )

Ta có n2 = aabb + 1100a + 11b = 11 ( 100a + b ) = 11 ( 99a + a + b ) (*)

Để n2 = aabb là số chính phơng thì ( 99a + a + b ) chia hết cho11 nên ( a+ b ) chia hết cho 11 suy ra ( a + b ) = 11

Thay a + b = 11 vào (*) ta đợc n2 = 11 ( 99 + 11 ) = 112 ( 9a + 1 ) Do đó 9a + 1 phải là số chính phơng

Đặt d2 = 9a + 1 (**), suy ra 9a = d2 – 2013 1 = (d -1)(d+1)

Do (d+1) – 2013 (d -1) = 2 nên hai số này không có ớc chung là 3 Vậy một thừa số phải là bội của 9

Mặt khác từ (**) suy ra d là số chỉ có một chữ số ( vì a < 9 hay 9a + 1 < 100 ) Do

đó d – 2013 1 < 9 và d + 1 = 9 nên d = 8

Thay vào (**) ta có a = 7 , b = 11-7 =4

Vậy số cần tìm là n2 = 7744 = 882

Bài toán tơng tự : Tìm số chính phơng có bốn chữ số:

a, Đợc viết bởi các số : 0 ; 2 ; 3 ; 4 ( ĐS : 2304 = 482 )

b, Đợc viết bởi các số : 0 ; 2 ; 4; 7 ( ĐS : 2704 = 522 )

c, Đợc viết bởi các số : 0 ; 2 ; 3 ; 5 ( ĐS: 3025 = 552 )

3.3 , Phơng pháp sử dụng ớc số

Bài toán 6 : Viết liên tiếp từ 1 đến 12 đợc số A = 123456789101112 Số A có thể

có 81 ớc số đợc không ?

( Đề thi khảo sát giáo viên phòng GD-ĐT Can Lộc)

Hớng dẫn giải : Giả sử số A có 81 ớc số, theo tính chất A là số chính phơng , vì số lợng ớc của số

A là số lẻ

6

Kinh nghiêm năm học 2012 – 2013 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

Mặt khác theo bài ra ta có A = 123456789101112 có tận cùng là 2 nên A không thể

là số chính phơng Vậy A không thể có 81 ớc số

Bài toán tơng tự : a ,Viết liên tiếp từ số 2000 đến số 2013 đợc số

M = 200020012003 20122013 Số M có thể có 2013 ớc số đợc không?

b, Viết liên tiếp từ số 1 đến số 28 đợc số A = 1234 262728 Số A có thể có

101 ớc số đợc không?

c , Xét số B = 20132014201520162017 Số B có thể có 99 ớc số đợc không?

3 4, Phơng pháp dùng ớc số

Bài toán 7 : Tìm số tự nhiên n sao cho các tổng sau là số chính phơng

a n2 + 2n + 12

b n( n + 3)

c n2 + n + 1589

Hớng dẫn giải:

a Do n2 + 2n + 12 là số chính phơng

Đặt : n2 + 2n + 12 = a2 ( a thuộc N)

n2 + 2n + 1 + 11 = a2

( n + 1)2 +11 = a2

a2 – 2013 ( n + 1)2 = 11

( a- n -1 ) ( a + n + 1) = 11

Suy ra ( a- n -1 ) và ( a + n + 1) là ớc của 11

Do a- n -1 < a + n + 1

Nên

a - n -1 = 1

a + n +1 = 11

Suy ra a = 6 và n = 4

Vậy với n = 4 ta có n2 + 2n + 12 = 62

b Do n ( n+ 3) = a2 là số chính phơng

Đặt n ( n + 3) = a2

n2 + 3n = a2

4n21 + 12n = 4a2

4n21 + 12n +9 = 4a2 + 9

(2n + 3)2 = (2a)2 +9

(2n + 3 – 2013 2a) (2n + 3 + a) = 9

Suy ra (2n + 3 – 2013 2a) và (2n + 3 + a) là ớc của 9

Do: 2n + 3 – 2013 2a < 2n + 3 + a

Nên: 2n + 3 – 2013 2a = 1

2n + 3 + 2a = 9

Suy ra: n = 1 và a = 2

Vậy với n =1 ta có n( n + 3) = 22

c Do n2 + n + 1589 là số chính phơng

7

Kinh nghiêm năm học 2012 – 2013 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

Đặt n2 + n + 1589 = a2

4n2 + 4n + 6356 = 4a2

4n2 + 4n + 1 + 6355 = 4a2

( 2a)2 - ( 2n + 1)2 = 6355

(2a – 2013 2n -1) (2a + 2n +1) = 6355

Suy ra: (2a – 2013 2n -1) và (2a + 2n +1) là ớc của 6355

Ta có Ư( 6355) = ( 1; 5; 31; 41; 155; 205; 1271; 6355)

Do 2a – 2013 2n – 2013 1 < 2a + 2n + 1

Nên 2a – 2013 2n – 2013 1 = 1

2a + 2n + 1 = 6355

Hoặc 2a – 2013 2n – 2013 1 = 5

2a + 2n + 1 = 1271

Hoặc 2a – 2013 2n – 2013 1 = 31

2a + 2n + 1 = 205

Hoặc 2a – 2013 2n – 2013 1 = 41

2a + 2n + 1 = 155

Giải ra ta đợc n1 = 1588; n2 = 316; n3 = 43; n4 = 28;

Bài tập tơng tự:

Tìm số tự nhiên a sao cho tổng sau là số chính phơng

a, a2 + a + 43

b, a2 + 81

c, a2 + 31a + 1984

d, a2 + 2004

3.5, Phơng pháp dùng hằng đẳng thức

Bài toán 8 : Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính

ph-ơng

Hớng dẫn giải : Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là : a; a+1; a+2; a+3; ( a C N )

Ta gọi A = a(a+1)(a+2)(a+3) +1 = = a(a+3)(a+1)(a+2) +1=

= (a2 +3a)(a2+3a+2) +1

Đặt n = a2 + 3a , khi đó ta có

A = n(n+2) +1 = n2 + 2n + 1 = ( n+1)2 =

= ( a2 + 3a + 1 )2

Do a C N nên a2 + 3a + 1 C N Suy ra A là số chính phơng

Bài toán 9 : Chứng minh rằng với các số nguyên a ; b thì

M =( a + b)(a+2b)(a+3b)(a+4b) +b4 là số chính phơng

Hớng dẫn giải :

Ta có M =( a + b)(a+2b)(a+3b)(a+4b) +b4

=( a + b )(a+4b)(a+2b)(a+3b) +b4=

= (a2 +5ab + 4b2)(a2+5ab+6b2) +b4

8

Kinh nghiêm năm học 2012 – 2013 2013

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

Đặt a2 +5ab + 5b2 = y khi dó ta có

M = ( y – 2013 b2) (y + b2) + b4 =

= y 2– 2013 b4 + b4 = y2 =( a2 +5ab + 5b2)2

Do a ; b C Z, nên a2 +5ab + 5b2 C Z Suy ra M là số chính phơng

Bài toán 10 : Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) (k C Z)

Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phơng

Hớng dẫn giải :

Ta có k(k+1)(k+2) =

k (k+1)(k+2) 4

4

k (k+1)(k+2)[(k+3) – 2013 (k-1)]

4

k (k+1)(k+2)[(k+3) k (k+1)(k+2)(k-1)

4 4

Suy ra

4S =1.2.3.4- 0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4 + +k (k+1)(k+2)[(k+3) - k (k+1)(k+2)(k-1) = k (k+1)(k+2)[(k+3)

Nên 4S + 1 = k (k+1)(k+2)[(k+3) + 1 là số chính phơng (Theo bài toán 8)

Bài toán 11: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889;

Dãy số trên đợc xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các chữ số đứng trớc và

đứng sau nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phơng

Hớng dẫn giải

Ta có 444 488 89 = 444 488 8 + 1

n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8

= 44 4.10n + 8 11 1 +1

n chữ số 4 n chữ số 1

4(10n – 2013 1)10n 8(10n – 2013 1)

9 9

4.102n – 2013 4.10n + 8.10n – 2013 8 + 9

9

4.102n + 4.10n + 1 9

(2.10n + 1)2 32 Do n C N* nên ( 2.10n + 1 ) chia hết cho 3 Suy ra 2.10n + 1) là số tự nhiên 3

Vậy các số có dạng 444 889 là số chính phơng Bài toán tơng tự : Chứng minh rằng các số có dạng sau là số chính phơng 9

Kinh nghiêm năm học 2012 – 2013 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng a, A = 111 1 + 444 4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4 b, B = 111 1 + 11 1 + 66 6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số1 n chữ số 6 c, C = 444 4 + 22 2 + 88 8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số2 n chữ số 8

3.6, Phơng pháp quy nạp Bài toán 12`.Tổng n số lẻ đầu liền là số chính phơng Hớng dẫn giải : Theo bài ra ta có: 1+ 3 + 5 + + ( 2n + 1 ) = n2 Với n = 1 ta có 1 = 12 ( luôn đúng ) n =2 ta có 1 + 3 = 22 ( luôn đúng) Giã sử đẳng thức đúng với n, ta có 1+ 3 + 5 + + ( 2n + 1 ) = n2 Chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1 1 + 3 + 5 + + ( 2k + 1) + ( 2 ( k + 1 ) - 1) = = k2 + 2k + 2 – 2013 1 = ( k2 + 2k + 1 ) = ( k + 1)2 Vậy 1+ 3 + 5 + + ( 2n + 1 ) = n2 ( đfcm) Bài toán13 : Chứng minh rằng: 13+ 23+ 33 + + n3 = ( 1 + 2 + + n)2 Hớng dẫn giải Ta có 1 + 2 + 3 + 4 + + n = [n(n+1)] : 2 Với n = 1 ta có 13 = 1 = 12 ( luôn đúng ) n =2 ta có 13 + 23 = 9 = ( 1 + 2)2 ( luôn đúng) Giã sử đẳng thức đúng với n, ta có 13+ 23+ 33 + + n3 = ( 1 + 2 + 3 + + n)2 Chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1 13+ 23+ 33 + + k3 + ( k + 1 )3 = ( 1 + 2 + + k)2+ ( k + 1 )3 ( k ( k + 1) ) 2 ( k + 1)3 4 1 k2 ( k + 1)2 + 4( k + 1)3

4

( k + 1)2 ( k2 + 4k + 4)

4

( k + 1)2 ( k + 2)2 4

[( k + 1)( k + 2)]2

22

Vậy 13+ 23+ 33 + + n3 = ( 1 + 2 + + n)2 (đfcm)

10

Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

4 Khảo sát đối tợng:

Sau khi vận dụng một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng, tôi thấy học sinh khối THCS áp dụng để giải các bài toán “Số chính phơng” đợc tăng lên Hơn nữa khi trang bị kiến thức này cho học sinh các em có hứng thú hơn, say mê học toán hơn Kiến thức bài toán học đợc nâng cao rõ rệt, t duy toán học thực sự phát triển

Sau đây tôi xin đa ra một số kết quả trong bớc đầu giảng dạy cách vận dụng một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng, trên cho học sinh

Năm học Tổng số

HS K6

HS đạt

TB trở lên

HS giải đợc dạng toán trên

HS phat triển đợc dạng toán trên

Số HS giỏi

2010-2011

Không áp dụng 185 75% 4% 0% 1% 2011-2012

Có áp dụng 189 82% 45% 22% 15%

Qua điều tra sơ bộ, rỏ ràng kết quả đạt đợc sau khi vận dụng phơng pháp giải bài toán số chính phơng, cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 6 , đây là một điều hết sức quan trọng và rất khả quan t duy bài toán nói chung và kỷ năng giải toán số chính phơng nói riêng của học sinh đợc tăng lên đáng kể Vì thế tôi mạnh dạn viết lên bài viết này với mong muốn các đồng nghiệp cùng nghiên cứu và tham khảo

11

Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

Phần Iii kết luận và kiến nghị

Trên là một số bài toán về “số chính phơng” đợc áp dụng kiến thức lớp 6 để giải.

Với khuôn khổ bài viết chỉ nêu ra những bài toán áp dụng các kiến thức mang tính

cơ bản, trọng tâm nhất Tôi nghĩ với ngời giải toán chúng ta luôn cần suy nghĩ tìm tòi những cách làm hay để truyền đạt lại cho học sinh trong quá trình giảng dạy

Với các phơng pháp giải toán trên, học sinh đợc tiếp tục khai thác sâu thêm

ở chơng trình cấp 3, với những kiến thức cơ bản ở khối THCS Chỉ áp dụng trực tiếp vào những bài toàn trọng tâm, cơ bản khá hay để không ngừng nâng cao chất lợng, hiệu quả cho học sinh đại trà và đặc biệt học là sinh thi học sinh giỏi thi vào cấp 3, thi vào các chuyên trờng ,lớp chọn Vì đây là dạng toán luôn có trong các kì thi vào chuyên trờng, lớp chọn, bởi vậy chúng ta cần phải đầu t vào lĩnh vực mũi nhọn

đối với môn toán Đây là điều kiện khai thác các kỹ năng hết sức quan trọng và cần thiết của giáo viên và học sinh Với tôi sau khi đợc đứng vào hàng ngũ những nhà giáo dục hơn 10 năm trở lại đây tôi đợc giao nhiệm vụ giảng dạy một số lớp toán và bồi dỡng ôn luyện cho học sinh thi vào cấp 3, vào các trờng chuyên, lớp chọn, tôi

đã áp dụng cách làm này Tôi tin rằng kết quả thi học sinh giỏi, thi vào cấp 3 trờng chuyên, lớp chọn của năm 2012 – 2013 2013 sẽ đạt kết quả cao Với kiến thức còn hạn chế của bản thân, rất mong nhận đợc sự trao đổi của các đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trờng và các đồng chí trong tổ toán đã giúp đỡ và ủng hộ tôi trong thời gian qua

Tháng 3 năm 1013

Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013