đủ kiến thức cơ bản để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh.Trong chương trình toán trung học phổ thông , một chủ đề của đại số là hệ phương trình đại số hai ẩn.. Nó luôn xuyên suố
Trang 1đủ kiến thức cơ bản để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh.
Trong chương trình toán trung học phổ thông , một chủ đề của đại số là hệ
phương trình đại số hai ẩn Nó luôn xuyên suốt chương trình để giải quyết các bài toán khác
và thường xuyên có trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng của nước nhà
Qua thực tế giảng dạy ở trường tôi thấy rất nhiều học sinh còn lúng túng trong việc giải hệ phương trình đại số, đặt biệt là các hệ phương trình “không thể nhìn thấy ngay cách giải” Do vậy tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy: “Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số ở THPT” Trong trong quá trình giảng dạy tôi luôn cố gắng đưa ra các phương pháp giải, đặt biệt là cách nhận dạng bài toán
Trang 2III CƠ SỞ LÝ LUẬN:
1 Cơ sở 1:
c y b x a
c bx ax
= +
= +
trong đó a, b không đồng thời bằng không và a’, b’ không đồng thời bằng không
Hãy giải và biện luận hệ phương trình (I) đã cho
b c by b bx a
cb y bb x ab
' '
'
' ' '
b c cb x b a
ca x ba x aa
/ /
/
/ /
/
c a ac y b a
b c cb x b a ab
/ / /
/
/ / /
/
) (
) (
D x D
D y
x; ) x ; y
này là nghiệm của hệ (I)
+ Nếu D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0 thì hệ (II) vô nghiệm do đó hệ (I) vô nghiệm
+ Nếu D x =D y = 0 thì hệ (II) có vô số nghiệm Bây giờ ta đi tìm nghiệm của hệ (I)
Do a, b không đồng thời bằng 0 nên ta có thể giả sử a≠ 0 Ta có
a
a b
/ / =
⇒
c a
a c c
= +
c a
a by ax a a
c by ax
/ /
) (
Do vậy tập nghiệm của hệ (I) trùng với tập nghiệm của phương trình ax + by = c
Trang 3Tóm lại:
b a
b a
b c
b c
c a
c a
D y =
* Trường hợp 1 D≠ 0 Hệ có nghiệm duy nhất D
D D
y
x
D D
;
(
0 )
;
(
y x
g
y x
; (
)
; ( )
; (
x y g y x g
x y f y x f
; (
0 )
; (
y x g
y x f
;
(
)
; ( )
; (
x y g y x
g
x y f y x
; (
0 )
; (
P S G
P S F
Giải hệ trên để tìm S, P khi đó x và y là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0.Khi đó ta tìm được nghiệm của hệ ( nếu có)
; (
0 )
; (
x y f
y x f
Bài toán:
Trang 4Hãy giải hệ phương trình đối xứng loại 2 sau:
; (
) 1 ( 0 )
; (
x y f
y x f
Giải:
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: f(x;y) − f(y;x) = 0 (*)
Thay y = x vào (*) ta được 0 = 0 suy ra y = x thỏa (*), do đó (*) ⇔ (x−y).g(x;y) = 0
; (
0 )
; (
y x g
y x f
+ +
+
= +
+ +
x b y x
b
x
b
c y a xy a y
x a y x
a
x
a
n n
n n
n n
n n
n
n
0
1 1 2 2 2
1 1
0
1 1 2 2 2
1 1
* Thay x = 0 vào hệ (*) để kiểm tra x = 0 có thỏa mãn hệ không?
* Với x≠ 0 ta đặt y = tx (I), khi đó hệ đã cho trở thành:
+ +
+
= +
+ +
) 1 (
0
1 1
2 2 1
0
1 1
2 2 1
d t x b t x b t x b t x
b
x
b
c t x a t x a t x a t x
a
x
a
n n n
n n
n n
n
n n
2 (
0
2 2
n
n b t b t a t b
l x
0 0
2 2
+
n n
n b t b t a t b
(**), giải (**) tìm được nghiệm t ( nếu có), thay vào (I) ta tìm được x, suy ra được
y, từ đó tìm được nghiệm của hệ đã cho
+ Khi d ≠ 0, ta chia (1) cho (2) vế theo vế ta được
d
c b
t b t
b t b
b
t a t a t
a t
a
a
n n
n
n n
n n
+ + + +
+
+ +
+ +
2 2 1
0
1 1
2 2 1
Trang 5IV CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Các bài toán về giải hệ phương trình phương trình đại số là một trong những dạng toán cơ bản của chương trình THCS, THPT Nó thường xuyên có trong các đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng của nước nhà Trong sách giáo khoa chương trình THPT chưa đi sâu và phân tích kĩ các bước giải một hệ phương trình, đặt biệt là phân tích để chọn phương pháp giải cho hệ phương trình Qua nhiều năm giảng dạy, Tôi thấy phương pháp phân tích lập luận để giải một hệ phương trình là điều hứng thú học tâp và say mê nghiên cứu của các em học để rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán về hệ phương trình đại số hai ẩn Tôi cũng rất hài lòng khi vận dụng kinh nghiệm này để hiệu quả giảng dạy và rèn luyện kỹ năng giải hệ được tốt hơn
= +
' ' 'x b y c a
c bx ax
trong đó a, b không đồng thời bằng không và a’, b’ không đồng thời bằng không
Cách giải:
b a
b a
b c
b c
c a
c a
D y =
* Trường hợp 1 D≠ 0 Hệ có nghiệm duy nhất D
D D
y
x
D D
+
= +
m my x
m y mx
3
1 2
1 Giải và biện luận hệ đã cho
2 Trong điều kiện hệ có nghiệm duy nhất, tìm m nguyên để nghiệm của hệ là nghiệm nguyên
Trang 63 Trong điều kiện hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm (x; y) của hệ không phụ thuộc vào m.
4 Trong điều kiện hệ có nghiệm duy nhất (x;y), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x2+y2 với m∈[ ]2 ; 3
=
1
1 3 1 2
m
m y m
m x
R x
3
* Nếu m = - 1 thì D x = 4 ≠ 0 nên hệ vô nghiệm
2 Khi m≠ ± 1 hệ có nghiệm duy nhất là
=
1
2 3 1
1 3
1
2 2 1 2
m m
m y
m m
m x
Khi đó điều kiện bài toán tương đương với
∈
Z m
Z m
1 2
) ( 3
) ( 0
) ( 1
n m
n m
n m
l m
Vậy m = 0, m = - 3 , m = -2 thỏa mãn điều kiện bài toán
3 Khi m≠ ± 1 hệ có nghiệm duy nhất là
=
) 2 ( 1
2 3 1
1 3
) 1 ( 1
2 2 1 2
m m
m y
m m
m x
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được x – y = - 1
=
1
2 3 1
1 3
1
2 2 1 2
m m
m y
m m
m x
Trang 7Ta có
1 2
1 6 13
2
2 2
2
+ +
+ +
= +
m m
m m y
x
Xét hàm số
1 2
1 6 13 )
2 + +
+ +
=
m m
m m m
1 2
4 24 20
)
(
+ +
+ +
=
m m
m m
) ( 1 0
)
(
/
l m
l m
65 ) 2
bxy
Cách giải:
+ Rút một ẩn từ phương trình bậc nhất
+ Thay vào pt bậc hai và tìm ẩn còn lại, suy ra nghiệm của hệ phương trình
2 Bài toán 2: Cho hệ:
=
− +
) 2 ( 0
) 1 ( 0
2 2
a ay x
x y x
a/ Giải hệ khi a=1
b/ Tìm a để hệ có 2 nghiệm phân biệt
c/ Gọi (x1 ,y1); ( x2 ,y2) là các nghiệm của hệ đã cho
Chứng minh rằng: (x2 - x1)2+ ( y2 –y1)2 ≤1
Giải:
Từ (2) ⇒ x=a-ay thay vào (1) ta được
Trang 80 )
1 2 ( )
1
1 0
x y
x y
vậy hệ có 2 nghiệm: (1;0), (
2
1
; 2
1)b/ Hệ có 2 nghiệm phân biệt⇔ ( 3 )có 2 nghiệm phân biệt
3
4 0
1
a
a a
y
y
a
a a
1 1
ay a x
ay a x
Khi đó,
1
) 1 2 ( 1 1
3 4 4
) (
) 1 ( )
2 2
2 2
1 2 1 2
2 1 2
2 2 1 1
−
=
− + +
=
− +
a a y
y y
y a
y y ay
; (
0 )
; (
y x g
y x f
với f(x;y) = f(y;x) và g(x;y) = g(y;x)
* Biến đổi hệ theo x+y và x+y
Đặt S = x + y và p=xy
• Biến đổi hệ theo s,p và giải hệ tìm hai ẩn đó
• Với mỗi nghiệm (s;p) ta giải pt x2 – sx +p =0 để tìm x, y
= + + +
12 ) 1 )(
1 (
8
2 2
y x xy
y x y x
= + + +
⇔
12 ) 1 )(
1 (
8
2 2
y x
xy
y x y
x
Đặt s=x+y và p=xy với s2-4p ≥ 0
Trang 9− +
) 2 ( 1
) 1 ( 8 2
2
2
p ps p
p s s
3 2
6 5
4 0
p s
p s
p s
p s
Như vậy nếu ta máy móc giải như cách 1 thì bài toán trở nên phức tạp do vậy ta tìm cách đặt ẩn phụ khác bằng cách biến đổi hệ đã cho
= + +
= + +
+
⇔
12 ) 1 ( )
1
(
8 ) 1 ( )
1
(
y y
x
x
y y x
6
2 12
8
v
u uv
v u
6
v u
Từ đó suy ra nghiệm của hệ là
;
) 1 ( 0
;
x y g
y x f
; ( 0
y x y
x
y y x
4 3
4 3
Điều kiện: x≠ 0 ;y≠ 0
Trang 10) 1 ( 4 3
2
2
x xy y
y xy x
−
4 0
4
x y
x y y
x y x
2 2
) ( 0 0
0 2
2
y x
l y x
x x
* Với y = - x – 4 thay vào (1) ta được x2 + 4x+ 4 = 0 ⇔ x= − 2 ⇒ y= − 2Vậy nghiệm của hệ là ( - 2 ; - 2 )
5 Bài toán 5: Giải hệ:
=
− +
5 3
5 3
x y
y x
25
3
) 3 ( 0 9
0 10
10 5 5
10 25 3
10 25 3 5 5
5 3
5 3
(*)
2
2
2 2 2
2
x x y
y x
y x y x y
x y x
y y x
x x y
y x
y x
x y
=
⇔
0 9 )
3
(
y x
y x
*Với x=y thay vào (4) ta được: y2 − 10y+ 25 + 3 −y = 0 ⇔ y2 − 11y+ 28 = 0
) ( 7 7
y
x
l y
−
) ( 2
5 9 2
5 9
) ( 2
5 9 0
19 9
2
l y
x
l x
x x
Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)
Trang 11= +
= + +
) 2 ( 2
) 1 ( 2 5
3
5 3
2
2 2
2
v u
u v v
u
u v
−
⇔
v u
v u v
u v u
1 0
) ( 2
1 1
0 2
2
loai v
u v
v v
3
1 3
y
x y
5 1
) ( 2
5 1 2
5 1 1 2
5 1 0
1 2
2
loai v
loai u
v v
v v
+
= +
+
2
2 2 2
2 2
1
2 1 1
2 1
d y c xy b x a
d y c xy b x a
Cách giải:
+ Thay x = 0 vào hệ để kiểm tra có thỏa hệ phương trình không
+ Với x≠0 đặt y=tx, biến đổi đưa về pt bặc hai theo t giải t suy ra x, y.
=
⇔
= + +
0
0 0
)
2
c bt at
y c
bt at y
• Xét at2 +bt+c= 0tìm nghiệm (nếu có) sau đó tìm được x,y
6 Bài toán 6: Giải hệ:
= + +
2 2
2
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Trang 12Cách 1
Thay x=0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ
Với x≠0 đặt y=tx ta được
+ +
= + +
3 8
2 2
9 2 2
1 2 3 2 ) 2 2
(
9 ) 1 2 3
(
2
2 2
t
t t t
t
x
t t
2
; 1
y x
y x
17
8
; 17 3
y x
y x
18 9
18 18
18 6
4
2 2
2 2
= + +
= + +
y xy x
y xy x
y x x
0 16 14 3
0 0
) 3 14 16
=
⇔
= +
t t
x t
t
t=-3 8
2
; 1
y x
y x
17
8
; 1 3
y x
y x
7 Bài toán 7: Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm
xy
x
m y
1
4 1 4
) 3 1 (
) 4 1
2
2 2
m t
t t t
x
m t t x
−
Trang 13Xét hàm số
t
t t x
f
3 1
4 1 ) (
1 2 3 )
−
− +
−
t
t t t
2
3 1
2 3
1
4
t
x t
2
t
t y
−
±
=
Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm
PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI SỐ Ở CHƯƠNG TRÌNH THPT
Để giải hệ phương trình đại số có các cách sau:
I Nhận biết là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
II Nhận biết là hệ phương trình gồm một phương trình bật nhất và một phương trình bật hai, bật ba,
III Đặt ẩn phụ bằng cách:
+ Nhận biết hệ phương trình đối loại 1, loại2, hệ pt đẳng cấp
+Đưa hệ về hệ chứa một biểu thức bằng cách:
Trang 14IV Giải một phương trình của hệ bằng cách đưa về dạng tích, sử dụng bất đẳng thức, đạo hàm
V Cộng và trừ hai vế của hệ, dùng phương pháp thế
VI.Dùng phương pháp đáng giá bằng bất đẳng thức côsi, các tính chất của bất đẳng thức
VII Dùng phương pháp đạo hàm, bảng biến thiên
8 Bài toán 8: (Phương pháp nhóm các biến)
− +
3 8 9 2 3
1 4 3
2 2
2 2
y x y x
y x y x
−
−
= +
− +
3 ) 4 ( 2 ) 3 ( 3
1 4 3
2 2
2 2
y y x x
y x y x
4
; 2
13 3
0
; 2
13 3 0
4
0 1 3 0
1 3
2 2
1
2 2
y x
y x
y y
x x v
u v
u
v u
9 Bài toán 9 ( phương pháp nhóm các biến bằng hằng đẳng thức)
−
= + + + +
) 2 ( 4
5 ) 2 1 (
) 1 ( 4 5
2 4
2 3
2
x xy y x
xy xy y x y x
( 4
v o u v
u
uv
v
u
Trang 153 2
16 25 4 5
4 5 0
y
x xy
y x
Với
u=-2
3 ,
−
2 3 1 2
3
0 3 2
2 3
0 2
1 2
x x
x y
x x
10 Bài toán 10 ( phương pháp nhóm các biến bằng hằng đẳng thức)
Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực
+
= +
+
+
10 15 1 1
5 1
10 15
1 3 1 1
3 1
5 1 1
3 3
m y
y y
y x
x x
x
y
y x x
đặt u=
x
x+1 ,
y y
v= + 1 với u ≥ 2 ,v ≥ 2
= +
10 15 3
⇔
m uv
v u
8 5
⇔u, v là nghiệm của phương trình t2 −5t+8=m (1)
Hệ đã cho có nghiệm ⇔phương trình (1) có hai nghiệm t = t1, t = t2 thỏa mãn
Trang 16−∞ −2 2
5 2 +∞
) ( / t f − − 0 +
f(t) +∞ +∞
22
2
7 4
4
7 ≤m≤ hoặc m≥ 22
11 Bài toán 11: (Chia hai vế của phương trình trong hệ cho cùng một biểu thức)
Giải hệ:
= +
−
=
x y y x
x x y
6
) 9 (
2 2
3 3 3
Giải:
0
0
2
3
=
⇔
=
=
y y
y
*Khi x≠ 0,
Hệ
=
=
⇔
=
= +
⇔
= +
=
+
⇔
= +
= +
−
+
⇔
= +
=
−
⇔
2
1 2
3 6
) (
21 ) ( 6
) (
9 ) ( 3 ) (
6
9 )
2
3 3
x
x y
x
y x x
y x y
x x y
x
y x y
x
y x y x x y
x
y xy
x x
y
vậy hệ có 3 nghiệm (0;0), (1;2), (2;2)
12 Bài toán 12: (Chia hai vế của phương trình trong hệ cho cùng một biểu thức)
Xác định m sao cho hệ
=
− +
= + +
2 2 3 4
2 3
2 2
4 2
mx y x x
x y x x
có nhiều hơn một nghiệm
Giải:
Trang 17* Thay x = 0 vào hệ ta được y = 0 với mọi m, suy ra hệ có ít nhất một nghiệm (0; 0) với mọi m
* Khi x≠ 0 hệ trở thành
=
− +
= + +
m x
y x x
x
y x x
2 2
2
2 2
4 2
Đặt u =x2 + 2x=(x+ 1)2 − 1 với u≥ − 1
x y v= Hệ trở thành − + = − = ⇔ = − = + ) 2 ( 8 2 ) 1 ( 4 2 4 2 2 m u u u v m v u v u Hệ có nhiều hơn một nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất một nghiệm u sao cho u≥ − 1 Xét hàm số f(u) = 2u2 +u− 8 với u≥ − 1 Ta có f / (u) = 4u+ 1 4 1 0 ) ( / u = ⇔u= − f u −∞ -1
4 1 − + ∞
f/(u) - 0 +
f(u)
-7 + ∞
8
65
−
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
8
65
−
≥
13 Bài toán 13: (Quy đồng các phương trình của hệ)
Giải hệ
= +
= +
2
2
4
2
xy y
y y
x
Giải:
Điều kiện: y≠ 0
Trang 18= +
⇔
1
; 1
1
; 1 1
1
2 1
2 2
) (
2
3 2
3 3
3
y x
y x y
y
y y x y
y y x x
y
y
y y
x
Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 1), ( -1; - 1)
14 Bài toán 14: (Phương pháp giải một phương trình của hệ )
Hãy giải hệ sau:
−
= + +
) 2 ( 0 3
2
) 1 ( 6 3
2
2 xy y x
y x
x y y
x y x
2 0
) 2 )(
(
* Với y=x thay vào (1) ta được
2
37 13 2
37 13
2
37 13 2
37 13 6
0 33 13
6 6
x x
x x
x
* Với y=2x thay vào (2) ta được
0 3
; 2
37 13
−
= +
−
−
) 2 ( 3 2
8
) 1 ( 3 2
2
2
2
y x
y y yx y x x
Giải:
Trang 190 8
y x
y x y
x y
(
* Với x=2y thay vào pt (2) ta được:
) 3 ( 3 2
1 4
8
4 )
y y
Lại có y=1 là nghiệm của (3)
y y
y y
7 )
−
−
= +
= +
) 2 ( 4 2 1
1
) 1 ( 1
2 2 2010 2010
2010 2010
xy y
x y
x
y x
2010
y x
y x
Áp dụng BĐT Côsi ta được
4 ) 1 1
)(
( 2010 + 2010 2010 + 2010 ≥
y x
y
x
Lại có: −x2 −y2 + 2xy+ 4 = − (x−y) 2 + 4 ≤ 4
Trang 20Do đó: (*) x y
y x
y x
2010 2010
2 1 2010
2
1 2
1
2 1 2
1
x y
x y
= +
) 2 ( 2
) 1 ( 1
6 6
4 4
y x
y x
Giải:
Từ (1) suy ra |x|≤ 1 ,|y|≤ 1
Lấy (1) trừ (2) ta được:
0 ) 1 ( )
) 1 (
0 ) 1 (
2 4
2 4
y y y x x
y y
x x
Vậy nghiệm của hệ: (0;-1), (0;1), (1;0), (-1;0)
Trang 21VI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
Một số phương pháp trên đã được trình bày trong đề tài đã được Tôi nghiên cứu và giảng dạy đã giúp học sinh Nhận dạng được hướng giải các bài toán về hệ phương trình được nhanh chóng hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn
Tháng 4 năm 2010
Trang 22VIII ĐỀ NGHỊ:
Đây là một đề tài nghiên cứu cách giải một hệ phương trình đại số ở THPT mà trong trong sách giáo khoa chưa đề cập nhiều, đặt biệt là phương pháp giải một hệ tổng quát Tôi mong muốn các thầy cô trong tổ chuyên môn cùng nghiên cứu chia sẽ với tôi
và vận dụng một cách hợp lí trong quá trình giảng dạy, cũng như trong quá trình ôn thi đại học, cao đẳng
IX TÀI LIỆU THAM KHẢO:
[1] Đại số 10 Nâng cao – Tác giả: Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Duy Vuông – Nhà xuất bản giáo dục năm 2006
[2] Phân loại phương pháp giải toán phương trình, bất phương trình đại số – Tác giả: Lê Thị Hương, Nguyễn Kiếm, Hồ Xuân Thắng – Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội năm 2009
[3] Bộ đề thi tự luận toán học – Tác giả: Lê Hoành Phò – Nhà xuất bản đại học quốc gia
Hà Nội năm 2008
[4] Internet
[5] Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ – Tác giả: Nguyễn Văn Mậu – Nhà xuất bản giáo dục năm 2006
X PHÂN CÔNG THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
Nguyễn Anh Tuấn
Trang 23XI MỤC LỤC:
I Tên đề tài
II Đặt vấn đề
III Cơ sở lý luận
IV Cơ sở thực tiễn
V Nội dung:
Hệ phương trình bật nhất hai ẩn
Hệ gồm một phương trình bật nhất và một phương trình bật hai hai ẩn đối
với hai ẩn x, y
Hệ phương trình đối xứng loại I
Hệ phương trình đối xứng loại II
Hệ phương trình đẳng cấp
Phương pháp tổng quát giải hệ phương trình đại số ở chương trình THPT
VI Kết quả nghiên cứu:
VII Kết luận:
VIII Đề nghị:
IX Tài liệu nghiên cứu
X Phân công thực hiện đề tài
XI Mục lục
1 1 2 5 5 5 7
8 9 11 13 21 21 22 22 22 23
Trang 24CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
PHIẾU ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2009 - 2010
I Đánh giá xếp loại của HĐKH Trường THPT Nguyễn Thái Bình
SỐ HAI ẨN Ở THPT .
2 Họ và tên tác giả: Nguyễn Anh Tuấn
3 Chức vụ: Giáo viên Tổ: Toán - Tin
4 Nhận xét của Chủ tịch HĐKH về đề tài:
a) Ưu
điểm:
b) Hạn chế: .
5 Đánh giá, xếp loại: Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Trường THPT Nguyễn Thái Bình thống nhất xếp loại :
Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký, đóng dấu, ghi rõ họ tên)
II Đánh giá, xếp loại của HĐKH Sở GD&ĐT Quảng Nam Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Sở GD&ĐT Quảng Nam thống nhất xếp loại:
Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký, đóng dấu, ghi rõ họ tên)
