một số phương pháp giải hệ phương trình

loại MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tham khảo Tạp chí THTT 2010 Trong các đề thi đại học những năm gần đây, ta gặp rất nhiều bài toán về hệ phương tr ình.. Nhằm giúp các bạn

(loại)

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tham khảo Tạp chí THTT 2010

Trong các đề thi đại học những năm gần đây, ta gặp rất nhiều bài toán về hệ

phương tr ình Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt, bài viết này chúng tôi xin giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải

I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo

y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ

*Loại thứ nhất: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm

cách rút y theo x hoặc ngược lại

ê = ë

MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011

Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có 2

' 9

D = x từ đó ta được nghiệm

( ) ( )

= Þ =ë

Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a= f x y b g x y có ( , ); = ( , )

ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình ( ) ( )

2 2

1 4 1

1 2 2

ïí

1

41

2 1

ïï

x

y x y

+

î

a b x

* Loại thứ nhất: Một phương trình trong hệ có dạng ( ) f x = f y , phương trình còn lại ( )

giúp ta giới hạn , x y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu

ïí

ïî

y x

1 3 1

1 3 2

ïí

ïî

b a

Nên PT (3)Û =a b thay vào PT (1) ta được a+ a2+ =1 3a (4)

Theo nhận xét trên thì a+ a2+ >1 0 nên PT (4) ( 2 )

ln 1 ln 3 0

Û a+ a + -a = ( lấy ln hai vế )

MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011

Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x= =y 1

IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản

Ví dụ 8 Giải hệ phương trình

2 2

3

2 2

3

2

2 92

2 9

ïí

ê = =

ëx y thử lại ta được nghiệm của hệ là: (0;0) , (1;1)

Ví dụ 9 Giải hệ phương trình

3 3

3 4

2 6 2

ì = - + +ï

2 3

Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau

2007

17) 8)

2 3 6 12 13 02007

x y x y y

e

x

ïïî

MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011

545

4

x y x y xy xy

x y xy

ì + + + + = ïï

-í

-ïîSuy ra 2 ( 2 ) ( 2 )2

12

32

x y

xy

ì + = ïï

-+ - - = Þ í

ï = ïî

ì + = ï

-+ = - Þ í

ï =î

(Hệ vô nghiệm)

b) 1 4 1 4

3

x y x

ì + =ï

+ = Þ í

ï =î

Trường hợp này hệ có hai nghiệm ( ); 1;1

3

x y = çæè ö÷ø và

( ) ( )x y; = 3;1

Nhận xét: Qua hai ví dụ đề thi tuyển sinh nêu trên, chúng ta thấy rằng đôi khi chỉ cần

biến đổi cơ bản, dựa vào các hằng đẳng thức là có thể được kết quả Ta xét tiếp các ví dụ đòi hỏi các phép biến đổi phức tạp hơn

Bài toán 3: Giải hệ phương trình:

12

312

y

= Thế vào (2) được 2

1

2y +2y =3 (3)Trường hợp này PT (3) vô nghiệm Thật vậy:

+ Nếu y>1 thì 2 2

2y >2; 2y > Þ1 2y +2y >3

MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011

60

36 2560

36 2560

36 25

x y

x y z

y z x

=ï

+î

Hiển nhiên hệ này có nghiệm (x y z; ; ) (= 0;0;0 ) Dưới đây ta xét x y z, , ¹0

Từ hệ trên ta thấy x y z, , >0 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Mặt khác, hàm số g x( )= x-1 luôn nghịch biến khi x³1 nên x=2 là nghiệm duy nhất của PT(4)

Vậy hệ có một nghiệm duy nhất ( ) ( )x y; = 2;1

Nhận xét: Đối với bài toán trên, dung công cụ đạo hàm để giải quyết là rất hay, tuy

nhiên, ta cũng có thể tránh được đạo hàm bằng cách biến đổi khéo léo như sau:

( ) ( )

2 2

-=ïî

4

è ø Suy ra g x nghịch biến trên ( ) 0;3

MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011

Hàm số f t( )= +t5 t có f t/( ) 5= t4+ >1 0, "t nên hàm số f t luôn đồng biến nên ( )

D X D D Y D

ì =ïïí

ï =ïî

TH2: D=0 : Vµ D X =D Y =0: Hệ có vô số nghiệm dạng { (X Y0; 0) a X1 0+b Y1 0 =c1}

TH3: D=0 : HoÆc D X, hoÆc D Y ¹0 HÖ v« nghiÖm

Bài tập : Giải các hệ phương trình sau:

2 2

41

2 2

Dạng 2: Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất

Dạng tổng quát:

00

î3)

ïî5)

ïî7)

y x

- =ïî

17)

17

ïî19) ( ) ( 2 2)

455

ïî (*) Trong đó hoán vị giữa , X Y thì biểu thức f X Y( ; ) (, g X Y; )không thay đổi

í =

î Thay vào hệ (*), tìm ra , S P + Lúc đó, , X Y là nghiệm của phương trình t2- + =St P 0 (1)

Các nhận xét:

* Do tính đối xứng của , X Y nên nếu phương trình (1) có các nghiệm

1, 2

t t thì hệ (*) có nghiệm (t t1; 2) (, t t2; 1)

* Cũng do tính đối xứng nên để hệ (*) có nghiệm duy nhất thì điều kiện

cần là X =Y (thay vào hệ tìm tham số, sau đó thay vào hệ (*) để tìm điều kiện đủ)

* Do , X Y là nghiệm của phương trình t2- + =St P 0nên điều kiện cần và đủ để hệ

(*) có nghiệm là: Phương trình (1) có nghiệm trên tập giá trị của , X Y

Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:

1)

42

x xy y

x y xy

ìí

x xy y

x x y y

ïí

ï

ï + + =ïî

x xy y

x y

í+ =

1812

ï + =î

9)* 2 2 2

432

x y z

x y z xyz

+ + =ì

ï + + =í

î10)

7( ) 2

x y z

xy yz xz

x y z

+ + =ì

ï + + = í

-ï + + =î

12)*

6714

x y z

xy yz xz

x y z

+ + =ì

ï + - =í

ï + + =î

13)

173

x xy y

x y xy

ìí

18( 1) ( 1) 72

19( )(8 ) 2

x y xy

x y xy

ì + + =ïï

ì + + =ïï

í +

ïî

19)

3( )

x xy y

x xy y

í+ + = -

113( ) 28

x y xy

ìí

x y xy

ïí

7178

1

x y z

xy yz zx xyz

ïïï

íïï

=ïî

Hệ phương trình được gọi là hệ đối xứng loại 2 khi thay X bởi Y hoặc thay Y bởi

X thì hệ phương trình không thay đổi

; 0 (*)

=ïî

Phương pháp: Nếu f X Y( ; ) là đa thức thì thông thường hệ (*) được giải như sau:

y

x y

x x

y x

y

ì - =ïï

34

234

2

ì + = +ïï

í

ï + = +ïî

ïî

23

y x x x y

=ïï

x

y x y

x y

+ =ïï

12

2 2

ïî 10)

2 2

ïî11)

11

-ïí

3 3

y x

x y

ì =ïí

(2) (2)

72

x y

xy x y

ïí

ïî4)

ïî13)

x y x y

x y x y

ïí

ïî

23

y y

x x x

ïî

16) (D- 2006) CMR: " >a 0, hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm:

-ïí

-

y x e

3

2 2

3

2

2 92

1 3 05

Gợi ý: (1) (2)- Û + =x y 89) Giải hệ phương trình:

( )

2

126

ïî

Gợi ý: Mỗi phương trình của hệ đều là

phương trình đại số theo ẩn phụ

ïî

Gợi ý: Biến đổi:

2 2

x x

x y x

x y

y x y

32

ï îb)

-1

32

42

x

x y x

x y

ï +ïí

-ï +îc)

25 2( ) 10

-ïí

-ïî

x y x y x

x

x y x y y

-ëc)

2(2) : 1 1 1 1

1(1) 2 1 1 0

x y

x x

y x

í

ï + =î

Gợi ý: Quy đồng (1), khử xy Hoặc chia

x y

y x

ì + =ïï

í

ï - =ïî

Gợi ý: Hệ đẳng cấp Hoặc chia (1) cho xy

-= +

+

4 )

2

1 4 (

3 2 ) 2

1 4 (

y x y

x x y

+

= + +

49 )

1 1 )(

(

5 )

1 1 )(

(

2 2 2

2

y x y

x

xy y

3 3

3 3

6

HÖ

80

6 (I)80

6 (II)8

êíêï