Định lý tách và một số ứng dụng

MỞ ĐẦUGiải tích lồi là một bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồi và hàm lồi cùng những vấn đề liên quan.. Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là các

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

Hà Nội – Năm 2012

MỤC LỤC

1.1 Tập lồi……… 4

1.1.1 Tổ hợp lồi……….……… … … 4

1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện……… … 6

1.1.3 Nón lồi……… …….… 11

1.2 Hàm lồi……….…… 15

Chương 2 Định lý tách các tập lồi 21 2.1 Định lý tách 1……… … 21

2.2 Định lý tách 2……… … 26

Chương 3 Một số ứng dụng của định lý tách 27 3.1 Điều kiện tối ưu……….………32

3.2 Hệ bất đẳng thức lồi……… … 36

3.3 Xấp xỉ tuyến tính của hàm lồi……… ……… 41

3.4 Sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi……… …43

3.5 Ứng dụng trong phép vô hướng hóa bài toán véctơ…….…………46

MỞ ĐẦU

Giải tích lồi là một bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồi

và hàm lồi cùng những vấn đề liên quan Bộ môn này có vai trò quan trọng trongnhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặt biệt là trong tối ưu hóa, bấtđẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng

Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là các định lý tách Về bảnchất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi hay không, vànếu không thuộc thì nó sẽ mang tính chất gì? Đây là câu hỏi về liên thuộc, một vấn đề

cơ bản của toán học Ta có thể hình dung tập lồi đó là tập hợp nghiệm của một hệphương trình đại số, hay vi, tích phân, tập các điểm bất động của một ánh xạ, hay làtập nghiệm của một bài toán tối ưu,…Dĩ nhiên nếu câu trả lời là có, thì vấn đề liênthuộc đã được giải quyết Trái lại, nếu câu trả lời là không, thì sẽ xảy ra điều gì? Điềunày giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lý chọn và là công cụ rấtmạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn

đề thuộc những lĩnh vực khác nhau

Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách vànhững ứng dụng quan trọng

Luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi Chúng lànhững công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn

Chương 2: Là phần chính của luận văn, trong chương này tác giả trình bày nộidung hai định lý tách và hệ quả (Bổ đề Farkas)

Chương 3: Trình bày các ứng dụng của hai định lý tách để: Chứng minh cácđiều kiện tối ưu, giải hệ bất đẳng thức lồi, xấp xỉ tuyến tính hàm lồi bởi các hàm nona-phin của nó, chứng minh sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi, vô hướng hóa bài toántối ưu véc tơ

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư.

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu, sự giúp đỡtận tình và sự cổ vũ hết sức to lớn trong suốt thời gian qua

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán– Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạođiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường

Bản luận văn được hoàn thành trong quá trình con gái của tác giả trào đời,được sự ủng hộ về mặt tinh thần từ hai mẹ con Kết quả của luận văn chính là mónquà mà tác giả giành tặng cho hai mẹ con

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản trong giải tíchlồi cùng với những tính chất đặc trưng của nó như: tập lồi, tập a-phin, nón nồi, hàmlồi…

1.1 Tập lồi

Những tập hợp quen thuộc mà chúng ta đã biết như không gian con, siêuphẳng, … đều là tập lồi Khái niệm về tập lồi có một vai trò quan trọng trong giải tíchlồi Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất của tập lồi, tập a-phin,tập lồi đa diện, nón lồi

Điều kiện đủ: Suy ra từ định nghĩa tập lồi ứng với k 2 .

Điều kiện cần: Ta chứng minh bằng quy nạp theo số điểm.

hợp lồi

5

1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện.

Trong giải tích cổ điển, ta đã làm quen với các không gian con, các siêuphẳng Đó là các trường hợp riêng của tập a-phin (đa tạp a-phin) được định nghĩa nhưsau:

Mệnh đề dưới đây cho ta thấy tập a-phin chính là ảnh tịnh tiến của một không gian con

Mệnh đề 1.3 (xem [2], mệnh đề 1.3)

Tập M là tập a-phin khi và chỉ khi nó có dạng M L a với L là một không gian con và a M Không gian con này được xác định duy nhất.

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin và a M

nguyên của không gian con song song với M và được ký hiệu là dimM

với M a là L0

Mệnh đề 1.4 (xem [2], mệnh đề 1.4)

Bất kỳ một tập a-phin M R n có số chiều r đều có dạng

M x R n | Ax b , Trong đó: A là ma trận cấp m n , b R m , và rankA n r

Ngược lại, mọi tập hợp có dạng (1.1) với rankA n r đều là tập a-phin có số chiều là r

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin có số chiều là r và M L a với a M Vậy L

x R n | a , x , trong đó: a R n \ 0 , R

Véc tơ a ở trên được gọi là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng.

Nửa không gian đóng là tập hợp có dạng

x | a , x , x | a , x , trong đó: a R n \ 0 , R .

Nửa không gian mở là tập hợp có dạng

x | a , x , x | a , x , trong đó: a R n \ 0 , R .

Như vậy, một siêu phẳng chia không gian ra làm hai nửa không gian, mỗi nửakhông gian ở về một phía của siêu phẳng Nếu hai nửa không gian này đóng thì phầnchung của chúng chính là siêu phẳng

Giao của tất cả các tập lồi chứa tập S R n cho trước được gọi là bao lồi của S ,

ký hiệu coS , đó là tập lồi nhỏ nhất chứa S

Tập C R n , giao của tất cả các tập a-phin chứa C là tập a-phin nhỏ nhất chứa C , gọi

là bao a-phin của C Ký hiệu affC

Mệnh đề 1.5 (xem [2], mệnh đề 3.2)

Cho C là một tập bất kỳ Khi đó:

x x1 x k

sao cho x i C, 1 k 1 và k Ν .

Chứng minh.

Vì C coC và coC lồi nên M coC Vì thế để chỉ ra M coC , ta chỉ cần chứng tỏ

Các điểm x1 , ,x k được gọi là độc lập a-phin nếu aff x1 , ,x k có số chiều

là k , tức là, nếu các véc tơ x1 x k , , x k1 x k là độc lập tuyến tính.

C x R | x 0

là một nón nhưng không lồi

Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng, khi đó, ta nói

0 là đỉnh của nón Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi Nếunón lồi này lại là một tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện

Điều kiện cần: Giả sử C là một nón lồi Do C là một nón nên ta có (i).

2

Điều kiện đủ: Giả sử ta có (i) và (ii).

Cho C là một tập lồi trong R n Một véc tơ y0 được gọi là hướng lùi xa của C nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ của C theo hướng y đều nằm trọn trong C Tức là: y là hướng lùi xa khi và chỉ khi

Tập hợp của tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc là nón lùi xa của C , ký hiệu là reC

Ví dụ 1.2 Trong R2 lấy

C : x x1 , x2 | x1 0, x2 0 0

Hiển nhiên, véc tơ y0,1 có tính chất là mọi tia xuất phát từ một điểm 0 x C theo

Định nghĩa 1.13

Cho C R n là tập lồi và x C

Ký hiệu

N C x : | , y x 0, y C , Tập N C x gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x

N C x : | , y x 0, y C , Tập N C x gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x

C * : | , x 0 x C , Tập C* gọi là nón đối cực.

không đóng, tuy nhiên nếu lấy bao đóng, ta sẽ được một nón

TC x d R n | d k d , t k 0: x t k d k C k

Mệnh đề 1.7 (xem [2], mệnh đề 1.8)

Nón pháp tuyến và nón tiếp xúc là đối cực của nhau.

Ta có thể suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Trong chương trình Toán phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm hàm lồi một

cách cơ bản Mục này, chúng tôi trình bày khái niệm tổng quát về hàm lồi và một số

Các tập domf , epif lần lượt được gọi là miền hữu dụng và trên đồ thị của hàm f

không gian và

epi f : x, R n R | f x

Định nghĩa 1.15

Cho C R n lồi và f:C R Ta nói f là hàm lồi trên C nếu epif là một tập lồi trong

R n1 Hàm f được gọi là hàm lõm trên C nếu f là hàm lồi trên

lồi Các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, Holder… là những trường hợp riêng của bất đẳng thức này.

Điều kiện cần: Giả sử f lồi, chọn x,y, , như đã nêu trong mệnh đề

Dưới đây là một định nghĩa khác, tương đương về hàm lồi, lồi mạnh dựa vào khái niệm hệ số lồi.

nếu biết epif

gian bằng cách đặt

f e x: f x nếu x C,

nếu x C.

c) Nếu f là một hàm lồi trên R n thì domf là một tập lồi, vì domf chính là hình

chiếu trên R n của epif , tức là:

Ví dụ 1.4 Một số hàm lồi

1 Hàm a-phin: f x a , x , trong đó a R n,R Dễ dàng kiểm tra được rằng f là

hàm vừa lồi vừa lõm trên toàn không gian

Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định nghĩa bởi

Chương 2

ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI

Trong giải tích lồi và nhiều lĩnh vực khác như giải tích hàm, giải tích không

trơn và giải tích phi tuyến…, các định lý tách hai tập lồi có một vai trò trung tâm Về

bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi không, và

nếu không thuộc thì nó sẽ có tính chất gì? Ví dụ tập lồi là nghiệm của hệ phương

trình đại số, hay vi tích phân, tập các điểm bất động của một ánh xạ, hay là tập

nghiệm của một bài toán tối ưu… Nếu điểm thuộc tập lồi đó thì vấn đề được giải

quyết, trái lại, nếu không thì sẽ xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các định lý

tách thuộc loại các định lý chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng

minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khác

nhau Một mệnh đề thường được dùng làm nền tảng lý thuyết tối ưu hiện đại là định

lý tách các tập lồi, mà một dạng tương đương của nó trong giải tích hàm là định lý

Hahn – Banach rất quen thuộc trong giải tích hàm

p C y

Mệnh đề 2.1 (xem [2], mệnh đề 5.1)

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong R n Khi đó:

(i) Với mọi y R n , C hai tính chất sau là tương đương:

a) p C y ,

(ii) Với mọi y R n , hình chiếu p C(y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.

(iii) Nếu y C , thì pC y y , x pC y 0 là siêu pẳng tựa của C tại pC( y)

và tách hẳn y khỏi C , tức là

pC y y , x pC y 0, x C ,

và

pC y y , y pC y 0 Chứng minh

ii) Do d C(y) infx C x y , nên theo định nghĩa của cận dưới đúng (infimum), tồn

1 đều là hình chiếu của y trên C , thì

Tức là

y, 1 0và

1 y, 1 0

Gọi hình chiếu của x0 trên C là p (x0 )

a) x 0 C Do C lồi, đóng, nên theo (iii) củamệnh đề 2.1, siêu phẳng

p ( x 0 ) x 0 , x p ( x 0 ) x 0 , p ( x0 )

là siêu phẳng tựa của C tại p(x0 ) tách hẳn C và x0

b) x 0 C Khi đó do x 0 int C , nênx0 R n\C Vậy tồn tại dãy x k x0

k

,x k ,p (x k) x C

0 ) x0(Vì x 0 C ), ta có:

trên, qua giới hạn và chú ý là

0 , x0 ,p (x0) = 0 ,x0 x C

24

Định lý 2.1 (Định lý tách 1) (xem [2], định lý 6.1)

Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong R n sao cho C D Khi đó có một siêu phẳng tách C và D

Chứng minh

dụng với x0 0 , tồn tại véc tơ t R n,t0 sao cho t , z 0 với mọi z C D Vì z x y , với x C , y

D , nên ta có

t , x t , y x C , y D

y D

Thật vậy, giả sử z k C D và z k z Ta cóz k x k y k với x k C , y k D Vì

27

Từ định nghĩa ta thấy rằng, nếu hai tập nằm trong cùng một siêu phẳng, thìchúng vẫn tách được, ví dụ chính bằng siêu phẳng đó Để tránh trường hợp này người

ta đưa ra khái niệm tách đúng sau:

inf t T y | y int B , sup t T x | x int A , thì Lấy Khi đó siêu

Đặt C A B và F là không gian con song song với bao a-phin của C .

nhưng chúng không tách đúng được

Một hệ quả rất quan trọng của định lý tách là bổ đề chọn mang tên nhà toánhọc Hungary Farkas, được chứng minh từ năm 1892 dưới dạng một định lý hình học

Bổ đề này rất trực quan, dễ áp dụng trong nhiều lĩnh vực như tối ưu, điều khiển, lý

thuyết toán tử…

Hệ quả 2.1 (Bổ đề Farkas) (xem [2], hệ quả 6.1)

Cho A là một ma trận thực cấp m n và a R n Khi đó trong hai hệ dưới đây có một hệ và chỉ duy nhất một hệ có nghiệm:

Ax 0, a T x 0 với một x R n ,

A T y a , y 0 với một y R m

Một cách phát biểu tương đương dưới ngôn ngữ hình học là:

Nửa không gian x | a T x 0 chứa nón x | Ax 0 khi và chỉ khi véc tơ a

A T x 0 a T x 0 khi và chỉ khi AT y a , y 0

Tính chất hình học của bổ đề này rất rõ Nó nói rằng nón lồi, đóng

x | Ax 0 nằm trong nửa không gian x|a T x 0 khi và chỉ khi véc tơ pháp tuyến

Giả sử hệ (2.2) không có nghiệm Lấy tập

C x | y 0 : A T y x

Do (2.2) không có nghiệm nên a C Theo định lý tách 2, tồn tại p 0 và một số

x A T y Vậy các tọa độ của y có thể lớn tùy ý, nên từ bất đẳng thức

p T A T y y T Ap , suy raAp 0

(2.1) có nghiệm

thì x* được gọi là cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối của f trên C Bài

toán OP: Tìm cực tiểu của một hàm lồi trên một tập lồi có dạng sau

g i x 0, i 1, , m ,

h j x 0, j 1, , k

Trong đó X R n là một tập lồi đóng khác rỗng vàf,g i i 1, , m là các hàm lồi

k

mọi j

ràng buộc Tập

D : x X | g i x 0 i 1, , m, h j x 0, j 1, , k

h j 1, , k aphin, nên D là một tập lồi Điểm cực tiểu của f trên D cũng được gọi

là nghiệm tối ưu của bài toán (OP) Ta xây dựng hàm sau, được gọi là hàm

Lagrange, cho bài toán (OP):

L x , , : 0 f x i g i x j h j x

Dựa vào hàm Lagrange, ta có kết quả sau:

Định lý 3.1 (Karush – Kuhn - Tucker) (xem [2], Định lý 9.1)

Nếu x* là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi (OP) thì tồn tại i* 0 i 0,1, , m và*

j

j 1, , k không đồng thời bằng 0 sao cho

L x * , * , * min L x, * , * (điều kiện đạo hàm triệt tiêu)

x X

i* g i x* 0 i 1, ,m (điều kiện độ lệch bù) Hơn nữa nếu intX và điều kiện Slater sau thỏa mãn

x 0 D : g i x0 0 i 1, , m

thì 0 0 và hai điều kiện đạo hàm triệt tiêu và độ lệch bù ở trên cũng là điều kiện đủ

để điểm chấp nhận được x* là nghiệm tối ưu của bài toán (OP).

Chứng minh

Đặt

C :0 , 1 , ,m, 1 , , k | x X :f x f x* 0 ,g i x i,i 1, ,m, h j x J,j 1, ,k

thời bằng 0 sao cho

i* i i* i 00 , 1 , ,m, 1 , , k C

Đây chính là điều kiện đạo hàm triệt tiêu.

, , , , , ,0, ,0 C ( ở vị trí thứ i 1)

kiện đạo hàm triệt tiêu sẽ là

Tính chất trên không thể áp dụng cho cực đại của hàm lồi: Cực đại địa phươngcủa một hàm lồi không nhất thiết là cực đại tuyệt đối

Ví dụ 3.1

đại tuyệt đối lại là x2

3.2 Hệ bất đẳng thức lồi

Trong phần này chúng ta sử dụng định lý tách để tìm điều kiện cần và đủ để hệbất đẳng thức lồi có nghiệm

Định nghĩa 3.2

Cho D R n là một tập lồi và f1 , ,f m là các hàm lồi trên R n Hệ bất đẳng thức

Điều kiện đủ là hiển nhiên, nên ta chỉ cần chứng minh điều kiện cần

Giả sử hệ (3.2) không có nghiệm Đặt

C : y y0 , y1 , , y m R m1 | x D , f i x y i , i 0, , m

dụng định lý tách, tồn tại0 , 1 , , m 0 sao cho

Ta có mâu thuẫn và do đó mệnh đề được chứng minh.

Trong nhiều ứng dụng, trong một hệ bất đẳng thức lồi thường có sự tham gia của các đẳng thức tuyến tính Khi đó ta có mệnh đề sau:

Do D và f lồi nên C lồi Từ đó cùng với giả thiết ta suy ra 0 C Theo mệnh đề

t , y t 0 y0 0 y , y0 C ,và

Nhưng t0 không thể bằng 0, vì nếu t0 0 thì

3.3 Xấp xỉ tuyến tính của hàm lồi

Một tập lồi, với những giả thiết cho trước có thể xấp xỉ với độ chính xác tùy

Một cách tương ứng, dưới đây ta sẽ chỉ ra rằng một hàm lồi, với các giả thiết thôngthường đều có thể xấp xỉ với độ chính xác tùy ý bằng các hàm a-phin non của nó Kếtquả này là cơ sở cho việc xấp xỉ các bài toán có cấu trúc lồi bởi các bài toán tuyếntính Trong mục này chúng ta sẽ dùng định lý tách để chứng minh Bổ đề làm cơ sởcho định lý về sự xấp xỉ một hàm lồi bởi các hàm non a-phin Trước hết ta xét địnhnghĩa về hàm non a-phin:

Cho f là một hàm lồi đóng, chính thường trên R n Khi đó với mọi điểm

x 0 ,t 0 epif , đều tồn tại R n , R sao cho