Về định lý helly và một số ứng dụng

Để áp dụng cho một số vôhạn các tập hợp ta cần có thêm tính chất compact: Nếu F := {Fα, α ∈ I} là một họ các tập hợp lồi compact trong Rn và giao của mọi bộ không quá n + 1 tập của họ F

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ HÂN

VỀ ĐỊNH LÝ HELLY

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

1.1 Tập compact trong Rn 4

1.1.1 Tập compact 4

1.1.2 Dãy Cauchy 11

1.2 Tập hợp lồi 13

1.2.1 Khái niệm và ví dụ 13

1.2.2 Tính chất của tập lồi 14

Chương 2 Về định lý Helly và một số ứng dụng 20 2.1 Định lý Helly 20

2.1.1 Tính chất giao hữu hạn 20

2.1.2 Định lý Helly 23

2.2 Một số ứng dụng của Định lý Helly 28

2.2.1 Định lý Thư viện Nghệ thuật 28

2.2.2 Bài toán của Vincensini 36

2.3 Một số bài toán áp dụng 44

Lời cảm ơn

Với lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành gửi tới PGS.TS Nguyễn ThịThu Thủy - người cô đã tận tâm, nhiệt tình chỉ bảo, động viên giúp đỡ

em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin, TrườngĐại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, các giáo sư của Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội; của Viện Toán học –Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện thuậnlợi giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại họcKhoa học

Em xin chân thành cảm ơn các anh chị và bạn bè đồng nghiệp tronglớp Cao học Toán K9B2 đã luôn giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hân

họ các hình lồi sẽ có giao khác rỗng Nó được phát hiện bởi E Helly năm

1913, nhưng chỉ được xuất bản vào năm 1923, khi các chứng minh kháccủa Radon (1921) và K¨onig (1922) đã được đăng

Định lý Helly được phát biểu như sau: Giả sử F := {F1, F2, , Fk} là

họ gồm k tập hợp lồi F1, F2, , Fk trong Rn, trong đó k > n Nếu giaocủa mọi bộ n + 1 tập của họ F là khác rỗng, thì giao của tất cả các tập hợptrong họ F là khác rỗng, nghĩa là Tk

j=1Fj 6= ∅ Để áp dụng cho một số vôhạn các tập hợp ta cần có thêm tính chất compact: Nếu F := {Fα, α ∈ I}

là một họ các tập hợp lồi compact trong Rn và giao của mọi bộ không quá

n + 1 tập của họ F là khác rỗng thì giao của tất cả các tập hợp trong họ

đó là khác rỗng

Mục đích của đề tài luận văn là tìm hiểu và trình bày các chứng minhcủa định lý Helly, trình bày một số ứng dụng của định lý Helly như định

lý Thư Viện Nghệ Thuật, bài toán của Vincensini, đồng thời tìm hiểu một

số đề thi học sinh giỏi toán quốc gia và quốc tế áp dụng định lý Helly đểgiải

Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong hai chương Chương

1 giới thiệu một số khái niệm và tính chất của tập compact, tập hợp lồi

trong không gian Rn Chương 2 trình bày chứng minh định lý Helly, một

số ứng dụng của định lý Helly và một số bài toán áp dụng định lý Helly

để giải

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức về tập hợp compact và tập hợplồi trong không gian Rn Mục 1.1 giới thiệu khái niệm tập hợp compact vàmột số tính chất của tập compact trong Rn Mục 1.2 giới thiệu về tập hợplồi và một số tính chất của tập hợp lồi Nội dung của chương được viếttrên cơ sở tài liệu [6], [7]

(i) Mỗi tập hợp con vô hạn của K đều có ít nhất một điểm tụ p;

(ii) Điểm tụ p phải thuộc K

Định lý 1.1.3 (xem [6]) Tập hợp con K của Rn là compact nếu và chỉnếu

(i) Mỗi tập hợp con vô hạn của K đều có ít nhất một điểm tụ p;

(ii) Tất cả các điểm tụ của K đều thuộc K

Định lý 1.1.4 (xem [6]) Tập tập hợp con K compact của Rn là tập đóng

và bị chặn

Cho

I = {(x1, x2, , xn)} ∈ Rn; ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, n

với a = (a1, a2, , an) và b = (b1, b2, , bn) và ta đặt l (I) là cạnh lớnnhất của I, nghĩa là

Tiếp tục theo cách này, ta nhận được dãy {Ik}k≥1 các hình đóng lồngnhau khác rỗng, mỗi một hình trong đó chứa vô hạn điểm của A

Chú ý rằng cạnh dài nhất của hình thứ k thỏa mãn

0 < l (Ik) = l (I1)

2k−1

và dãy các số thực {l(Ik)}k≥1 hội tụ đến 0 Như vậy, với mỗi i thỏa mãn

1 ≤ i ≤ n, các khoảng đóng [ak,i, bk,i] của Ik tạo thành một dãy các tậpcon lồng nhau khác rỗng compact của R Do đó, tồn tại một điểm pi ∈ Rthỏa mãn:

Định lý 1.1.6 (Heine–Borel) (xem [6]) Mỗi tập hợp con của Rn là tậpcompact nếu và chỉ nếu nó đóng và bị chặn.

Hệ quả 1.1.7 (xem [6]) Tập hợp con đóng của tập hợp bị chặn là tậpcompact

Hệ quả 1.1.8 (xem [6]) Tập hợp con đóng của tập hợp compact là tậpcompact

Hệ quả 1.1.9 (xem [6]) Nếu K là tập compact và S là tập đóng, thì K ∩ Scũng là tập compact

Định lý 1.1.10 (Định lý các tập hợp lồng nhau) (xem [6]) Nếu K1, K2, K3,

là một họ các tập con khác rỗng compact của Rn thỏa mãn

Chứng minh Từ những kết quả trên, ta chỉ cần chứng minh K đóng và

bị chặn (và do đó compact) nếu và chỉ nếu mỗi phủ mở của K đều có phủcon hữu hạn

Giả sử mỗi phủ mở của K đều có phủ con hữu hạn Đặt U là họ cáchình cầu mở dạng B (k, 1) tâm k bán kính 1, trong đó k ∈ K Hình cầu

B (k, 1) này là một phủ mở của tập compact K và do đó có phủ con hữuhạn Nếu {k1, k2, , km} là tâm của các phủ con này, thì

chỉ ra rằng không có điểm q ∈ U nào là điểm tụ của K Thật vậy, giả sử

q ∈ U là một điểm tùy ý, và với mỗi p ∈ K ta xét hình cầu mở

B (p, δ (p)) = {x ∈ Rn : kx − pk < δ (p)} ,

ở đây δ (p) = 12 kp − qk > 0 nếu p 6= q Họ U = {B (p, δ (p)) : p ∈ K} làmột phủ mở của K, và do đó có phủ con hữu hạn Vì vậy ta có các điểm{p1, p2, , pm} của K thỏa mãn

U = {Uα : α ∈ I}

là một họ các tập mở của Rn sao cho K ⊂ ∪ {Uα : α ∈ I} Giả sử K khôngchứa trong hợp của bất kỳ họ hữu hạn các tập mở của U

Vì tập K là bị chặn nên có một số M > 0 sao cho K ⊆ I1 trong đó I1

là hình đóng trong Rn được cho bởi

I1 = {(x1, x2, , xn) ∈ Rn : |xk| ≤ M, k = 1, , n}

Bằng cách cắt ngang mỗi cạnh của I1, ta nhận được 2n khoảng đóng trong

I1 chứa các điểm của K nhưng không được chứa trong hợp của bất kỳ số

hữu hạn nào các tập trong tập U Gọi I2 là một hình đóng bất kỳ trongnhững hình đóng được chia của I1 sao cho tập hợp K ∩ I2 không chứatrong hợp của bất kỳ số hữu hạn nào của tập U

Tiếp tục, ta lại cắt ngang mỗi cạnh của I2 để được 2n hình đóng chứatrong I2 Gọi I3 là một hình đóng tùy ý trong những hình đóng được phânchia từ I2 sao cho tập hợp khác rỗng K ∩ I3 không chứa trong hợp của bất

kỳ số hữu hạn nào của tập U

Ta tiếp tục quá trình này và thu được một dãy {Ik}k≥1 các hình đóngsao cho độ dài l (Ik) của cạnh dài nhất của Ik thỏa mãn

0 < l (Ik) ≤ l (I1)

2k−1 ≤ 2M

2k−i, k > 1

Theo chứng minh của Định lý Bolzano–Weierstrass trong Rn, vì dãy các

số thực {Ik}k≥1 hội tụ đến 0, thì với mọi i ≥ 1, khoảng đóng và bị chặntương ứng [ak,i, bk,i] của Ik tạo thành dãy các tập con compact của R, do

đó tồn tại pi ∈ R sao cho

do đó tồn tại số δ > 0 sao cho B (p, δ) ⊂ Uα Vì lim

k→∞l (Ik) = 0, nên ta cóthể chọn k đủ lớn sao cho 0 < l (Ik) < δ2 và toàn bộ điểm của Ik đều đượcchứa trong tập hợp Uα Điều này là mâu thuẫn với cách xây dựng Ik tức

là K ∩ Ik không chứa trong hợp của một số hữu hạn các tập hợp của U

Do đó, K được phủ bằng họ hữu hạn các phần tử của U Định lý 1.1.12 (Bolzano–Weierstrass) (xem [6]) Mọi dãy vô hạn bị chặncủa Rn đều có dãy con hội tụ

Chứng minh Giả sử {xk}k≥1 là một dãy bị chặn trong Rn Nếu chỉ cómột số hữu hạn các điểm phân biệt trong dãy này, thì ít nhất một trongnhững điểm này, gọi là x0, phải xuất hiện một cách vô hạn Xác định một

dãy con của dãy {xk}k≥1 bằng cách chọn các phần tử này mỗi lần khi nóxuất hiện Đây là dãy con hội tụ của dãy gốc.

Mặt khác, nếu dãy {xk}k≥1 chứa vô số điểm phân biệt trong Rn, thìtheo Định lý Bolzano–Weierstrass suy ra rằng có ít nhất một điểm tụ, gọi

là x0, của tập hợp vô hạn điểm phân biệt từ dãy này Giả sử xk1 là phần

tử của dãy sao cho

kxk1 − x0k < 1

Xét hình cầu mở B x0,12
, vì x0 là điểm tụ của tập hợp S1 = {xk : k ≥ 1},

nó cũng là điểm tụ của tập hợp S2 = {xk : k > k1} bằng cách xóa đi một sốhữu hạn điểm của S1 Do đó, có một điểm xk2 của S2 thuộc vào B x0,12
.Chú ý rằng từ xk2 ∈ S2, suy ra k2 > k1

Lại xét hình cầu mở B x0,13
và cho S2 = {xk : k > k2} Vì x0 là điểm

tụ của S3 nên có một điểm xk3 ∈ S3 sao cho xk3 ∈ B x0,13
Chú ý rằng

i→∞xk i = x0 Vì tập K là đóng và {xki}i≥1 là dãy cácđiểm của K hội tụ đến x0, nên x0 ∈ K

Ngược lại, giả sử bất kỳ dãy {xk}k≥1 các điểm của xk ∈ K, với mọi

k ≥ 1, đều có dãy con {xk i}i≥1 với x0 = lim

i→∞xk i ∈ K

Đầu tiên ta chỉ ra rằng K bị chặn Nếu K không bị chặn thì với mỗi sốdương k, ta đều tìm được điểm xk ∈ K sao cho kxkk ≥ k Bây giờ, theo giảthiết, có dãy con hội tụ {xki}i≥1 của dãy này sao cho x0 = lim

i→∞xki ∈ K,

và theo bất đẳng thức tam giác ta có

kxk ik ≤ kxk i − x0k + kx0k , ∀i > 1

Chọn số nguyên i0 thỏa mãn kxki − x0k < 1 với i > i0 sao cho

kxkik ≤ maxkxk1k , , xki0−1 , 1 + kx0k , ∀i ≥ 1

Tuy nhiên, từ cách mà dãy {xk}k≥1 được xây dựng, ta có

kxkik ≥ ki → ∞ khi i → ∞,

điều này là mâu thuẫn Do đó, K bị chặn

Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra tập K là tập đóng Thật vậy, giả sử a là mộtđiểm tụ của K, với mỗi số nguyên k ≥ 1, tồn tại một điểm xk trong

B a,k1
\ {a} Từ

kxk− ak < 1

kvới mọi k ≥ 1, nên dãy {xk}k≥1 hội tụ tới a Theo giả thiết, vì dãy {xk}k≥1nằm trong K, nó có một dãy con hội tụ đến một số x0 ∈ K Tuy nhiên,dãy {xk}k≥1 hội tụ tới a, do đó dãy {xk}k≥1 cũng hội tụ với a Vì giới hạn

(iii) Mỗi tập hợp con vô hạn của K có điểm tụ trong K;

(iv) Mỗi dãy trong K có dãy con hội tụ đến điểm của K

Do đó, K ⊂ R là tập compact nếu và chỉ nếu bất kỳ một trong những điềukiện ở trên đúng

Bây giờ ta sẽ chỉ ra không gian tuyến tính định chuẩn Rn là không gianđầy đủ, nghĩa là một dãy hội tụ nếu và chỉ nếu nó là dãy Cauchy.

Định nghĩa 1.1.18 Cho A là một tập hợp con khác rỗng bị chặn của Rn.Đường kính của A, gọi diam(A), được định nghĩa như sau:

diam (A) = sup {kx − yk , x ∈ A, y ∈ A}

Nếu A không bị chặn ta định nghĩa diam (A) = ∞

Định lý 1.1.19 (xem [6]) Một tập khác rỗng A trong Rn và bao đóng Acủa nó có cùng đường kính, nghĩa là, diam A
=diam(A)

Chứng minh Từ A ⊂ A suy ra

sup {kx − yk : x ∈ A, y ∈ A} ≤ supkx − yk : x ∈ A, y ∈ A ,

nên diam(A) ≤ diam A

Ngược lại, giả sử x0 ∈ A và y0 ∈ A và đặt δ > 0 tùy ý Khi đó tồn tại

x ∈ A và y ∈ A sao cho

kx − x0k < δ

2 và ky − y0k < δ

2.

do đó

kx0− y0k ≤ kx0 − xk + kx − yk + ky − y0k ≤ diam (A) + δ, ∀x, y ∈ A

Nên

diam A
≤ diam (A) + δ

và do δ > 0 bé tùy ý nên ta có diam A
≤ diam(A)

Định lý 1.1.20 (xem [6]) Một dãy {xk}k≥1 trong Rn hội tụ nếu và chỉ khi

Ngược lại, dễ thấy bất kỳ dãy hội tụ trong Rn đều là dãy Cauchy 

(p, q) = {x ∈ Rn : x − (1 − µ) p + µq : 0 < µ < 1} (iii) [p, q), (p, q] là hình nửa mở nối p và q:

[p, q) = {x ∈ Rn : x − (1 − µ) p + µq : 0 ≤ µ < 1} ,(p, q] = {x ∈ Rn : x − (1 − µ) p + µq : 0 < µ ≤ 1} Chú ý rằng vô hướng µ tăng từ µ = 0 tới µ = 1 , điểm x di chuyển dọctrên đường x = p đến đường x = q

Định nghĩa 1.2.1 Tập con C của Rn được gọi là tập lồi nếu nó chứa tất

cả các đoạn thẳng được xác định bởi hai điểm bất kỳ của tập con C

Theo định nghĩa này thì tập rỗng, tập một điểm, không gian con là cáctập lồi

Định lý 1.2.2 (xem [6]) Giả sử f là hàm tuyến tính khác không của Rn

Chứng minh Lấy x và y thuộc Hβ và 0 < λ < 1, ta sẽ chỉ ra rằng tổ hợplồi λx + (1 − λ) y cũng thuộc Hβ Thật vậy, vì f là tuyến tính và x, y ∈ Hβ,nên

(b) Phần tử x ∈ α [p, q] nếu và chỉ nếu tồn tại số λ với 0 ≤ λ ≤ 1 sao cho

x = α [(1 − λ)p + λq]

= (1 − λ) αp + λαq

Điều này xảy ra nếu x ∈ [αp, αq] Khi đó α [p, q] = [αp, αq]



Hệ quả 1.2.4 (xem [6]) Nếu C là một tập con lồi của Rn thì C + x0 và

αC là các tập hợp lồi với mọi x0 ∈ Rn

và α ∈ Rn.Chứng minh Lấy p và q là các điểm tùy ý trong tập C + x0 Khi đó,

p − x0 và q − x0 là các điểm thuộc C Vì C là tập hợp lồi nên đoạn thẳng[p − x0, q − x0] thuộc C Theo định lý trên,

sự phân bố và tích vô hướng thích hợp Ta sẽ chứng minh hình cầu đơn vị

mở B 0, 1
là tập hợp lồi Thật vậy nếu x và y nằm trong B 0, 1
, ta chỉcần chứng minh rằng nếu 0 ≤ λ ≤ 1 thì (1 − λ) x + λy cũng thuộc B 0, 1

Để chứng minh rằng (1 − λ) x + λy ∈ B 0, 1
khi x, y ∈ B 0, 1
và 0 ≤

λ ≤ 1 Định lý tiếp theo, mà đã được đề cập và chứng minh trong chươngmột đã chỉ ra rằng tính lồi được bảo toàn dưới các đường giao nhau Thêmvào đó, họ F trong điều kiện của định lý có thể hữu hạn hoặc vô hạn

Định lý 1.2.5 (xem [6]) Nếu F là họ các tập con lồi khác rỗng của Rn thìtập C = T {A : A ∈ F } là tập lồi

Chứng minh Lấy x và y là hai điểm tùy ý trong C Ta chứng minh rằng[x, y] ⊂ C Vì C là giao của tất cả các phần tử của F nên x ∈ A vớimỗi A ∈ F và y ∈ A với mỗi A ∈ F , do đó tập A là lồi Từ đó suy ra

Ví dụ 1.2.6 Chứng minh rằng tập S = (x, y) ∈ R2 : y ≥ x1, x > 0 làtập lồi

(i) T (x + y) = T (x) + T (y) với mọi x, y ∈ Rn, và

(ii) T (αx) = αT (x) với mọi x ∈ Rn với mọi α ∈ R

Ta có định nghĩa tương đương sau đây

Định nghĩa 1.2.8 Ánh xạ T : Rn → Rn là phép biến đổi tuyến tính nếu

T (αx + βy) = αT (x) + βT (y)

với mọi x, y ∈ Rn và với mọi α và β thuộc R

Định lý 1.2.9 (xem [6]) Ảnh của phân đoạn đường thẳng dưới phép biếnđổi tuyến tính là phân đoạn đường thẳng

Chứng minh Giả sử T là phép biến đổi tuyến tính và cho phân đoạnđường thẳng [p, q] Ta sẽ chứng minh

{T (x) ∈ Rn : x ∈ [p, q]} = [T (p) , T (q)]

Thật vậy, ta thấy x ∈ [p, q] nếu và chỉ nếu x = (1 − λ) p + λq với λ ∈ [0, 1].

Vì T là phép biến đổi tuyến tính nên:

T (x) = T ((1 − λ) p + λq) = (1 − λ) T (p) + λT (q)

Vậy x ∈ [p, q] nếu và chỉ nếu T (x) ∈ [T (p) + T (q)] Định lý 1.2.10 (xem [6]) Nếu C là một tập con lồi của Rn và nếu T làphép biến đổi tuyến tính trên Rn thì T (C) cũng là tập lồi

Chứng minh Lấy u và v là hai điểm trong T (C) Ta sẽ chứng minh đoạn[u, v] là tập con của T (C)

Thật vậy vì u và v nằm trong T (C), nên u = T (p) và v = T (q) với p

và q trong C Vì tính lồi của C nên [p, q] ⊂ C, do đó T ([p, q]) ⊆ T (C).Kết hợp với định lý trên ta nhận được điều phải chứng minh 

Ví dụ 1.2.11 Giả sử A và B là hai tập con của Rn và đặt

A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}

còn gọi là tổng Minkowski của A và B

(a) Chứng minh rằng nếu A và B là các tập lồi thì A + B cũng là tập lồi

(b) Trong Rn, đặt

A = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x < 1, y = 0 và

B = (x, y) ∈ R2 : x = 0, 0 ≤ y < 1 Hãy minh họa tổng Minkowski của A + B

(b) Tổng Minkowski của A + B thể hiện bằng hình vẽ dưới đây.

Tổng Minkowski của A + B



Ví dụ 2.1.2 Cho F = {F1, F2, } là một họ các tập lồng nhau, nghĩa là

Fi+1 ⊂ Fi, i = 1, 2, Khi đó, F có tính chất giao hữu hạn

Ví dụ 2.1.3 Cho F là một họ các hình cầu đóng B (x, 1) tâm x bán kính

1 trong Rn với tập hợp điểm x ∈ Rn có kxk = 1 Họ F không phải là một

họ lồng nhau và cũng không có tính chất giao hữu hạn

Tính compact của một tập hợp có thể được định nghĩa lại bằng việcdùng tính chất giao hữu hạn Ta có định lý sau:

Định lý 2.1.4 (xem [6]) Cho K là một tập hợp con của Rn Các phát biểusau là tương đương:

Giả sử giao của họ Fα là bằng rỗng, tức là T

Fαk thì x /∈ K Điều này mâu

thuẫn với mỗi Fαi ⊂ K Vì vậy ta phải có

α∈I

Fα = ∅ thì tồn tại một họ con hữu hạn

trái giả thiết U là phủ mở của K vậy nên K phải là tập compact 

Hệ quả 2.1.5 (xem [6]) Nếu F là một họ các tập con compact của Rn cótính chất giao hữu hạn thì F có giao khác rỗng

Chứng minh Chọn tập T tùy ý trong F Theo giả thiết, mọi phần tử Fcủa F đều có giao với T Giả sử T là họ {T ∩ F : F ∈ F } Vì mỗi phần

tử của F đều là tập đóng, nên mỗi tập hợp con T ∩ F của T cũng là tậpđóng Vì F có tính chất giao hữu hạn nên T cũng có tính chất giao hữuhạn Kết luận của hệ quả được suy từ

∩ {F : F ∈ F } ≡ ∩ {T ∩ F : F ∈ F }

Chú ý, nếu F là họ các tập con compact của Rn có tính chất giao hữuhạn, thì sẽ có một điểm chung của tất cả các tập hợp con đó Nói cách

khác để kiểm tra xem họ F có giao khác rỗng hay không, chúng ta chỉ cầnkiểm tra xem mỗi họ con hữu hạn của F có giao khác rỗng hay không.

2.1.2 Định lý Helly

Nếu F là một họ các tập con lồi compact của Rn, thì ta có phát biểu mạnhhơn trong phần trước Để kết luận F có giao khác rỗng, ta không cần kiểmtra tất cả các họ con hữu hạn mà chỉ cần kiểm tra khoảng n + 1 họ conhoặc có thể ít hơn Kết quả này là một phần của định lý Helly và nó làmột trong những định lý thông dụng nhất trong hình học có số chiều hữuhạn

Định lý 2.1.6 (Định lý Helly) (xem [6]) Giả sử F là họ các tập con lồitrong Rn, và giả sử hoặc F là hữu hạn hoặc tất cả các thành phần của F

là compact Nếu mỗi n + 1 thành phần của F có điểm chung thì sẽ có mộtđiểm chung của tất cả các thành phần của F

Chứng minh Ta chứng minh định lí bằng phương pháp quy nạp

Trường hợp n = 1

Tập hợp con lồi trong R là một khoảng Trước tiên, ta sẽ chứng minhđịnh lý cho trường hợp các thành phần của F là compact Giả sử A, Blần lượt là tập các điểm cuối về phía trái và tập hợp các điểm cuối về bênphải của F Đặt a = sup A, b = inf B

Ta có a ≤ b, vì nếu b < a thì theo định nghĩa của b tồn tại khoảng[a1, b1] ∈ F với

b ≤ b1 < 1

2 (a + b) Tương tự theo định nghĩa của a, ta có khoảng [a2, b2] ∈ F với

1

2 (a + b) < a2 ≤ a

Tuy nhiên, từ đây suy ra có hai khoảng [a1, b1], [a2, b2] trong F với giaobằng rỗng, điều này mâu thuẫn với giả thiết Vì vậy a ≤ b và từ đó suy ramọi thành phần của F đều chứa [a, b] hoặc là một điểm hay là một khoảngthích hợp