định lý minimax và một số ứng dụng trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên

L ỜI CẢM ƠNLuận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Hoàn Hóa - giảng viên khoa Toán -Tin - Đại học Sư phạm TP HCM.. Nhiều bài toán phi tuyến trong vật lý và khoa

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Nguy ễn Thị Tuyết Mai

ĐỊNH LÝ MINIMAX VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

CỦA BÀI TOÁN BIÊN

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

ĐỊNH LÝ MINIMAX VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

CỦA BÀI TOÁN BIÊN

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012

L ỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Hoàn Hóa - giảng viên khoa Toán -Tin - Đại học Sư phạm TP HCM Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với thầy vì thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo, giúp

đỡ tận tình trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin -Trường Đại học Sư

phạm TPHCM, những người đã cung cấp kiến thức cần thiết trong quá trình

học tập

Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong phòng Sau đại học - Đại học Sư phạm

TP HCM đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa

học này

Cuối cùng, Luận văn sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự ủng hộ, động viên rất lớn của gia đình và bạn bè Tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình

và các bạn Trần Văn Ly, Nguyễn Ngọc Tú,…đã luôn quan tâm, góp ý, giúp

đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012

Học viên Nguyễn Thị Tuyết Mai

M ỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa Error! Bookmark not defined

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

CÁC KÝ HIỆU 5

MỞ ĐẦU 6

CHƯƠNG 0 : CÁC ĐỊNH NGHĨA 8

0.1 TÔPÔ YẾU 8

0.2 ÁNH XẠ LIPSCHITZ 9

0.3 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER 9

0.4 ĐIỀU KIỆN PALAIS-SMALE 9

0.5 SỰ KHẢ VI CỦA PHIẾM HÀM 11

0.6 KHÔNG GIAN HÀM 13

CHƯƠNG 1 : ĐỊNH LÝ MINIMAX 20

1.1 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG ĐÈO 20

1.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX TỔNG QUÁT 24

CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG 31

2.1 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH 32

2.2 TỚI HẠN PHI TUYẾN 35

2.3 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH 41

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

B x r : qu ả cầu đóng với tâm x và bán kính r

Ta định nghĩa: → là hội tụ mạnh; ⇀ là hội tụ yếu

Cho hàm ϕ: X →  và S là tập con của X ta có:

M Ở ĐẦU

Toán học là một trong những ngành khoa học cơ bản cổ xưa nhất của nhân

loại Nó có sức cuốn hút mãnh liệt, đã và đang là niềm đam mê của rất nhiều

thế hệ các nhà khoa học, chứa đựng trong nó là cả một kho tàng vô tận những

bí ẩn cũng như khả năng ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của

cuộc sống Toán học sử dụng những học thuyết toán, kỹ thuật tính toán, thuật toán, với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin để giải quyết mọi vấn đề từ kinh

tế, khoa học, kỹ thuật, vật lý đến những vấn đề thuộc về khoa học xã hội và nhân văn

Phương trình vi phân phi tuyến cũng góp phần tạo nên những bí ẩn và ứng

dụng đó Vậy tại sao chúng ta không thử tìm hiểu để thấy được vẻ đẹp của nó?

Có thể có người nghĩ giải bài toán tuyến tính thì dễ hơn bài toán phi tuyến Nhưng dễ hay khó không là vấn đề nếu ta nắm được chìa khóa của bài toán Nhiều bài toán phi tuyến trong vật lý và khoa học xã hội đều có thể quy về tìm những điểm tới hạn của những hàm số (những hàm số thực trên những không gian khác nhau) Có nhiều điểm mà tại đó một người đi bộ đi xuyên qua những dãy núi sẽ nhìn về chiều ngang, không thể trèo lên mà cũng không

tụt xuống Những điểm tới hạn đầu tiên được học là điểm cực đại và điểm cực

tiểu và nhiều hoạt động trong giải tích được dành để tìm những điểm này

Một bài toán khó hơn là tìm những điểm mà chúng không phải là điểm cực đại hay cực tiểu Cho nên từ khi định lý minimax ra đời, nó đã là một công cụ quan trọng cho những bài toán như vậy và những ứng dụng của nó bao trùm nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý học, hình học vi phân, kỹ thuật xây dựng, lý thuyết điều khiển, sinh vật học và kinh tế học

Mục đích của luận văn là trình bày các bổ đề, định lý quan trọng và một số ứng dụng của định lý minimax trong sự nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên ( tham khảo trong [8] )

Luận văn gồm 3 chương

Chương 0 gồm các khái niệm cơ bản như tôpô yếu, điều kiện Smale, đạo hàm Gateaux, đạo hàm Fréchet, không gian hàm, định lý nhúng Sobolev, định lý nhúng Rellich, bất đẳng thức Poincaré

Palais-Chương 1 gồm định lý đường đèo cho không gian Hilbert, nguyên lý minimax tổng quát, định lý đường đèo cho không gian Banach, định lý điểm yên ngựa và định lý liên kết

Chương 2 gồm ứng dụng định lý đường đèo và định lý liên kết để chứng minh sự tồn tại nghiệm của 3 bài toán

CHƯƠNG 0 : CÁC ĐỊNH NGHĨA

0.1 TÔPÔ Y ẾU

Giả sử X là không gian tuyến tính, X ′ là không gian liên hợp đại số của X,

F là không gian con tuy ến tính của X

Tôpô đầu xác định bởi họ ánh xạ F được kí hiệu là σ(X F, ) Đó là tôpô yếu

nhất trên X sao cho các phiếm hàm f ∈F liên tục

Giả sử X là không gian định chuẩn, *

X là không gian liên hợp của X Tôpô

một số dương) là một cơ sở của tôpô yếu trên X

Tôpô yếu trên không gian định chuẩn yếu hơn tôpô xác định bởi chuẩn (được

gọi là tôpô mạnh)

Các khái niệm: tập hợp đóng yếu, compắc yếu,…được hiểu là tập hợp đóng, compắc,…đối với tôpô yếu Các khái niệm: tập hợp đóng mạnh, compắc

mạnh,…được hiểu là tập hợp đóng, compắc,…đối với tôpô mạnh

Dãy phần tử { }x c n ủa X gọi là hội tụ yếu đến phần tử x0∈ nếu X { }x h n ội

tụ đến x 0 đối với tôpô yếu ( *)

,

X X

σ Khi đó, ta viết x n⇀x0 Dãy phần tử { }x c n ủa X gọi là hội tụ mạnh đến x0∈ nếu X { }x h n ội tụ đến

Giả sử { }x là dãy ph n ần tử của không gian định chuẩn X, x0∈ Khi đó: X

1)x n⇀x0 ⇔ lim ( )n ( )0

n f x f x

→∞ = với mọi *

f ∈X 2)x n⇀x0 ⇒{ }x n bị chặn và x0 ≤lim x n

Định lý 0.2

Cho các không gian Banach X Y, và ánh xạ tuyến tính :A X → Y Khi đó:

X X Y Y

0.2 ÁNH X Ạ LIPSCHITZ

Cho (X d, X ) (, Y d, Y) là hai không gian mêtric Ánh xạ :A X →Yđược gọi

là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng số thực k ≥ sao cho v0 ới mọi x1, x2∈ X

thì d Y(Ax Ax1, 2)<k d X (x x1, 2) (*)

- Số k A( ) bé nhất thỏa (*) được gọi là hệ số Lipschitz của A

- Nếu k A( )< ta nói A là ánh xạ co hệ số 1 k =k A( ) hay A là k -co

Ánh xạ A X: →Y được gọi là ánh xạ Lipschitz địa phương nếu với mỗi x trong X tồn tại một lân cận U của x sao cho A bị thu hẹp đến U là ánh xạ Lipschitz

Nhiều bài toán biên tương đương với phương trình

Au = 0 (1)

trong đó :A X → là ánh xY ạ giữa hai không gian Banach

Trong bài toán biến phân, tồn tại hàm số ϕ: X →  sao cho A=ϕ′ (đạo hàm Gateaux của ϕ), nghĩa là

Không gian Y tương ứng chính là không gian đối ngẫu X ′ của X và phương

trình (1) tương đương với ϕ′( )u =0, nghĩa là

ϕ′( )u v, = , v X0 ∀ ∈ (2)

Một điểm tới hạn của ϕ là một nghiệm u của (2) và giá trị của ϕ tại u là

một giá trị tới hạn của ϕ Làm thế nào để tìm những giá trị tới hạn?

Khi ϕ bị chặn dưới, cận dưới đúng

: inf

X

c = ϕ

là một ứng cử tự nhiên Nguyên lý biến phân Ekeland [4] dẫn đến sự tồn tại

của một dãy ( )u n sao cho

( )u n c

ϕ → , ϕ′( )u n →0

Một dãy như vậy được gọi là một dãy Palais-Smale tại mức c Phiếm hàm ϕ

được gọi là thỏa điều kiện ( )PS c nếu mọi dãy Palais-Smale tại mức c chứa

một dãy con hội tụ Nếu ϕ bị chặn dưới và thỏa điều kiện ( )PS c tại mức

: inf

X

c = ϕ thì c là một giá trị tới hạn của ϕ

Theo Ambrosetti và Rabinowitz, ta xét trường hợp khi ϕ có cực tiểu địa phương tại 0 nhưng không là cực tiểu toàn cục Khi đó tồn tại r >0 và e∈X

sao cho e >r và

cũng là một ứng cử tự nhiên Lần nữa nguyên lý biến phân Ekeland dẫn đến

sự tồn tại của một dãy ( )u n sao cho

Đạo hàm Gateaux của ϕ tại u ghi là ϕ′( )u

Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Fréchet f ∈X ′ tại u U∈ nếu

b) Đạo hàm Frechet là đạo hàm Gateaux

c) Nếu phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux liên tục thì 1( )

ϕ∈  Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux bậc hai L∈(X X ′, )

tại u U∈ nếu với mọi h v, ∈X,

Đạo hàm Gateaux bậc hai tại u ghi là ϕ′′( )u

Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Fréchet bậc hai L∈(X X ′, ) tại u U∈ nếu

b) Đạo hàm Fréchet bậc hai cũng là đạo hàm Gateaux bậc hai

c) Nếu phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux bậc hai liên tục thì

là một không gian Hilbert

Cho Ω là tập mở trong N Không gian 1( )

u D u

* Tồn tại đạo hàm Gateaux

Ta chỉ xét hàm ψ , hàm χ được chứng minh tương tự

Cho u h, ∈L p Với x∈Ω và 0< <t 1 Do định lý giá trị trung bình trong

CHƯƠNG 1 : ĐỊNH LÝ MINIMAX

1.1 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG ĐÈO

1.1.1 B ổ đề biến đổi số lượng

Ta sẽ chứng minh trường hợp đơn giản của bổ đề biến đổi số lượng Trường

hợp tổng quát sẽ chứng minh sau

Như vậy ψ liên tục Lipschitz địa phương, ψ =1 trên B và ψ =0 trên X \ A

Ta định nghĩa trường vectơ liên tục Lipschitz địa phương

( ) ( ) ( ) 2 ( )

:

f u = −ψ u ∇ϕ u − ∇ϕ u , u∈A, : 0= , u∈X \ A,

Ta có : ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

2

Với mỗi u X∈ , bài toán Cauchy

ϕ( )u n →c, ϕ′( )u n →0 (7)

có một dãy con hội tụ

Định lý 1.2 (Ambrosetti-Rabinowitz, 1973)

Với các giả thiết trong Định lý 1.1, nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )PS cthì c là

giá trị tới hạn của ϕ

1.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX T ỔNG QUÁT

Phần này ta chỉ chứng minh nguyên lý Minimax tổng quát

1.2.1 B ổ đề biến đổi số lượng

h v x > h v Xác định 3 ( )

với mọi u∈N v Họ 𝒩:={N v :v∈X} là một phủ mở của M Vì M là không

gian Mêtric, do đó paracompắc, tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương ℳ

Khi đó, tồn tại η∈C( [ ]0,1 × X X, ) sao cho

(i) η( )t u, =u nếu t =0 hoặc nếu 1( [ ] )

2

2 , 2

u∉ϕ− c− ε c+ ε ∩S δ, (ii) η ϕ(1, c+ε ∩S)⊂ϕc−ε,

(iii) η( )t, là đồng phôi của X , ∀ ∈t [ ]0,1 ,

Theo định nghĩa và giả thiết (9), f u( ) ≤δ ε/ 8 trên X

Với mỗi u∈X, bài toán Cauchy

Suy từ định nghĩa và giả thiết (9), t≥ , 0

Vậy ta kiểm tra được (i), (iii), (v) và (vi)

Cho u∈ϕc+ε ∩S Nếu tồn tại t∈[0,8ε] sao cho ϕ σ( ( )t u, )< −c ε thì

( )u n c, ( )u n 0

Đặc biệt, nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )PS cthì c là giá trị tới hạn của ϕ

Ta cho 3 thí dụ trong đó điều kiện (12) được thỏa mãn

Định lý đường đèo (Mountain pass Theorem, Ambrosetti-Rabinowitz, 1973)

Cho X là không gian Banach, 1( )

Để áp dụng định lý 1.4, ta chỉ cần kiểm tra c b≥ Ta khẳng định rằng, với

mỗi γ∈Γ, γ( )M ∩ ≠Z φ Thật vậy, đặt P là phép chiếu trên Y sao cho

{ }0

PZ = Nếu γ( )M ∩ = thì ánh xạ biến Z φ

( ) ( )

u

ρ γγ



là phép co rút từ quả cầu M trên biên M0 Điều này không thể vì dimY < ∞

(do tính bất biến qua đồng luân của bậc tôpô trên không gian hữu hạn chiều) Như vậy, với mọi γ ∈Γ, ta được :

Định lý liên kết ( Linking Theorem, Rabinowitz, 1978)

Cho X = ⊕Y Z là không gian Banach với dimY < ∞ Cho ρ > >r 0 và cho

z ∈ sao cho z Z = Định nghĩa: r

Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )PS cvới

Để áp dụng định lý 1.4, ta chỉ cần kiểm tra c b≥ Ta khẳng định rằng, với

mỗi γ∈Γ, γ( )M ∩N ≠φ Thật vậy, đặt P là phép chiếu trên Y sao cho

là phép co rút từ quả cầu M vào M0 Điều này không thể do M đồng phôi

với quả cầu mở trong không gian hữu hạn chiều

Như vậy, với mọi γ ∈Γ, ta được:

N

M ϕ γ ≥ =b ϕ Suy ra : c≥b

p

u u u u P

2.1 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH

Ta khảo sát lớp bài toán

2< < Khi đó bài toán p 2 ( )P có m1 ột nghiệm không

tầm thường nếu và chỉ nếu λ> −λ1( )Ω (trong đó λ1( )Ω > là giá trị riêng bé 0

Giả sử λ> − Như vậy λ1 c1: 1 min 0, /= + { λ λ1}> Trên 0 1

Với giả thiết *

2< < như trong định lý 2.1, nếu p 2 λ> − , mọi dãy λ1

Suy ra ( )u n bị chặn

2) Nếu cần ta sẽ dùng dãy con, ta có thể giả sử u n ⇀u trong 1

0

H Do định lý Rellich, u n → trong u p

L Từ bổ đề (chương 0) suy ra: f u( )n → f u( ) trong

Như vậy, ta chứng minh được: u n − →u 0, n→ ∞

Chứng minh điều kiện đủ:

Do định Sobolev, tồn tại c2 > sao cho, trên 0 1

p

ϕ = ∇ +λ − ,

Do p >2, tồn tại :e = sao cho e tu > và r ϕ( )e ≤ 0

Do định lý đường đèo nên ϕ có một giá trị tới hạn dương và bài toán:

( ) ( )

1 0

Định lý được chứng minh

2.2 T ỚI HẠN PHI TUYẾN

Lần này đề cập đến bài toán:

( )

( )

*

2 2 2

1 0

c = u −u < ∞

Cho ε →0

Bổ đề được chứng minh

B ổ đề 2.3

: inf

N

u D u

Cho Ω là miền bị chặn của N, N ≥4 Nếu −λ1( )Ω < < thì bài toán λ 0 ( )P2

có một nghiệm không tầm thường

v S

( ) ( )

1 0

v S

v <

Ta có thể giả sử 0∈Ω Lấy ψ∈D( )Ω là một hàm không âm sao cho ψ ≡1

trênB(0,ρ), ρ >0 và ε >0, định nghĩa

1

N N

với ε > 0 đủ nhỏ

Cho ε → , b0 ổ đề được chứng minh

2.3 BÀI TOÁN DIRICHLET N ỬA TUYẾN TÍNH

Định lý liên kết được áp dụng cho bài toán:

1 0

trong đó mỗi giá trị riêng được lập lại ứng với số bội của nó

Cho e1, e2, e3, là những vectơ riêng trực chuẩn tương ứng trong 2( )

2 1

* Tồn tại đạo hàm Gateaux

Cho u h, ∈H10 Với x∈Ω và 0< <t 1 Do định lý giá trị trung bình trong tích phân, tồn tại λ∈( )0,1 sao cho

N = , f ∈C(Ω ×  và với ) * ( ) ( 1)

1< <p 2 , c >0, f x u, ≤c 1+ u p−

( )f2 tồn tại α > và 2 R> sao cho 0 u ≥ ⇒ <R 0 αF x u( ), ≤uf x u( ),

Khi đó, mọi dãy ( ) 1( )

21

12

Khi đó kiểm tra được ( )u n bị chặn trong 1

1) Xét trường hợp N ≥ 3

Ta kiểm tra các giả thiết của định lý liên kết

Điều kiện ( )PS c được suy ra từ bổ đề 2.9 Như trước đây, chọn u := ∇ u2

re z e

+ +

= Từ (17) suy ra:

2 2

Kiểm tra bài toán (*) thỏa các điều kiện ( ) ( ) ( ) ( )f1 , f2 , f3 , f4

Vậy (*) có một nghiệm không tầm thường

- Chương 1 trình bày các định lý quan trọng: định lý đường đèo cho không gian Hilbert, định lý minimax, định lý đường đèo cho không gian Banach, định lý điểm yên ngựa và định lý liên kết

- Chương 2 trình bày ứng dụng của định lý đường đèo, định lý liên kết để

chứng minh sự tồn tại nghiệm của 3 bài toán

Cuối cùng, vì thời gian thực hiện luận văn có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót Do đó, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của Quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn

Ti ếng Việt

[1] Lê Hoàn Hóa (2012), Phép tính vi phân trên không gian Banach, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp cơ sở

[2] Lê Hoàn Hóa, Gi ải tích phi tuyến 1

[3] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, Nhà xuất bản giáo dục

Sup.Pisa, Classe Scienza 4, page 215-223

[6] Schwartz L ( 1991-1994), Cours d’analyse, Hermann, Paris

[7] Willem M (1995), Analyse harmonique réelle, Hermann, Paris

[8] Willem M (1996), Minimax Theorems, Birkhauser