Số hữu tỉ, số thực và số phức

o´ trong d¯ó phép chia cho mô.t sô´khác không luôn thu... Các t´ınh châ´t trên cho biê´t ánh xa... Vâ.y quan hê... ac sô´ nguyên và tâ.p ho.. ba’n trên tâ.p ho... Cá

Trang 1

d¯u.o. c) Ho.n n˜u.a, d¯ê’ d¯áp ú.ng các yêu câù d¯a da.ng cu’a cuô.c sôńg, ta thu.ò.ngpha’i d¯u.a ra nhiˆ` u d¯o.n vi d¯o khác nhau Nhu d¯o d¯ô dài, ngoài d¯o.n vi mét cònecó d¯êximet, xentimet, milimet, , d¯o khôí lu.o. ng ngoài d¯o.n vi cân (kilôgam) còncó la.ng, yêń, ta., tâń, Viê.c d¯ô’i d¯o.n vi d¯o c˜ung d¯òi ho’i pha’i có nh˜u.ng sô´ mó.i(các phân sô´).

Nhu vâ.y, phân t´ıch trên mô.t nhu câ` u d¯o.n gia’n và cô’ xu.a nhâ´t cu’a xã hô.iloài ngu.ò.i, ta d¯ã thâý su. cˆ` n thiê´t cu’a sâ o´ h˜u.u tı’

M˘a.t khác, su ra d. ¯ò.i cu’a sô´ h˜u.u tı’ c˜ung là do yêu cˆ` u nâ o.i ta.i cu’a bô môntoán ho.c

Ta d¯ã mo.’ rô.ng tâ.p ho p sˆ. o´ tu. nhiên d¯ê’ d¯u.o. c tâ.p ho p sˆ. o´ nguyên, trong d¯óphép trù luôn thu. c hiê.n d¯u.o c, hay nói cách khác phép cô.ng có phép toán ngu.o c.Tuy nhiên, trên tâ.p ho p sˆ. o´ tu. nhiên c˜ung nhu trên tâ.p ho p sˆ. o´ nguyên còn cóphép nhân Su. mo’ rˆ. o.ng N thành Z chu.a ba’o d¯a’m cho phép nhân có phép toánngu.o. c, ngh˜ıa là phép chia cho mô.t sô´ khác 0 không pha’i luôn thu c hiˆ. e.n d¯u.o c.Trên quan d¯iê’m cu’a lý thuyê´t phu.o.ng tr`ınh d¯a.i sô´ ta thâý trong tâ.p ho p Z.các sô´ nguyên mo.i phu.o.ng tr`ınh da.ng

a + x = b, a, b ∈ Z

luôn có nghiê.m, nhu.ng các phu.o.ng tr`ınh da.ng

ax = b, a, b ∈ Z, a 6= 0

không pha’i bao giò c˜ung có nghiê.m

Do d¯ó xuâ´t hiê.n mô.t yêu câ` u cu’a nô.i ta.i toán ho.c là mo’ rˆ. o.ng tâ.p ho p sˆ. ońguyên Z d¯ê’ d¯u.o. c mô.t tâ.p ho p sˆ. o´ mó.i trong d¯ó phép chia cho mô.t sô´ khác 0luôn thu. c hiê.n d¯u.o c, hay c˜ung vâ.y, phu.o.ng tr`ınh ax = b (a 6= 0) luôn có nghiê.m.

Trang 2

5.1.1.2 D- i.nh ngh˜ıa: Quan hê R nhu sau trên tâ.p ho p Z×Z∗(vó.i Z∗ = Z\{0})

là mô.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng:

∀(a, b), (c, d) ∈ Z × Z∗, (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc.

Ký hiˆe.u Q = (Z × Z∗)/R, ngh˜ıa l`a Q là tâ.p thu.o.ng cu’a Z × Z∗ theo quan hê.tu.o.ng d¯u.o.ng R Mô˜i phâ` n tu.’ cu’a Q (ch´ınh là mô˜i ló.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan

hˆe R) d¯u.o c go.i là mô.t sô´ h˜u.u tı’

Xét ´anh xa q : Z × Z∗ −→ Q cho bo.’ i q(a, b) = (a, b) Khi d¯´ o q là mô.t toàn

1) Ph´ep cô.ng và phép nhân xác d¯i.nh trên Q

2) Ph´ep cô.ng và phép nhân có t´ınh giao hoán, ngh˜ıa là vó.i mo.i x, y ∈ Q,

Trang 3

8) Ph´ep cô.ng có t´ınh gia’n u.ó.c, ngh˜ıa là vó.i mo.i x, y, z ∈ Q,

acb0d0 = ab0cd0 = ba0dc0 = bda0c0 ⇒ q(ac, bd) = q(a0c0, b0d0)

Trong các phˆ` n cà on la.i, cho tu`y ý x = q(a, b), y = q(c, d), z = q(e, f ).

2) x + y = q(ad + bc, bd) = q(cb + da, db) = y + x.

xy = q(ac, bd) = q(ca, db) = yx.

3) (x + y) + z = q(ad + bc, bd) + q(e, f ) = q(adf + bcf + bde, bdf ) = q(a, b) +

5) D- ˘a.t −x = q(−a, b) Khi d¯´o

x + (−x) = q(a, b) + q(−a, b) = q(a.b + b(−a), b.b) = q(0, bb) = 00

6) Do x 6= 00 hay q(a, b) 6= q(0, 1) nˆ en a 6= 0 D - ˘a.t x−1 = q(b, a) Ta c´o

xx−1 = q(a, b)q(b, a) = q(ab, ba) = 10

7) x(y+z) = q(a, b)q(cf +de, df ) = q(acf +ade, bdf ) = q(b(acf +ade), b(bdf ))

= q(acbf + bdae, bdbf ) = q(ac, bd) + q(ae, bf ) = xy + xz.

8) x + z = y + z ⇒ q(af + be, bf ) = q(cf + de, df ) ⇒ af df + bedf =

5.1.3 Ph´ ep tr` u., ph´ ep chia v` a phˆ an sˆ o ´ trong Q:

5.1.3.1 D- i.nh ngh˜ıa: Cho x, y ∈ Q, ta go.i hiê.u cu’a x và y, ký hiê.u x − y là

tˆo’ng cu’a x v`a sˆo´ d¯ˆo´i cu’a y:

x − y = x + (−y).

Trang 4

Phép toán t`ım hiê.u cu’a hai sô´ go.i là phép trù

V`ı mo.i sô´ h˜u.u tı’ d¯ê` u có sô´ d¯ôí nên phép tr`u x − y luˆon luôn thu. c hiê.n d¯u.o c

Nˆe´u x = q(a, b), y = q(c, d) th`ı −y = q(−c, d), do d¯´o

x − y = x + (−y) = q(a, b) + q(−c, d) = q(ad − bc, bd).

5.1.3.2 D- i.nh ngh˜ıa: Cho x, y ∈ Q, y 6= 00

, ta go.i thu.o.ng cu’a x và y, ký hiê.u

Phép toán t`ım thu.o.ng cu’a hai sô´ h˜u.u tı’ go.i là phép chia

V`ı mo.i sˆo´ h˜u.u tı’ y 6= 00

d¯ˆ` u cé o nghi.ch d¯a’o, nên phép chia mô.t sô´ h˜u.u tı’ x cho

mô.t sô´ h˜u.u tı’ y 6= 00 luôn luôn thu. c hiê.n d¯u.o c Nêú x = q(a, b), y = q(c, d) 6= 00

th`ı y−1 = q(d, c) do d¯´o

x : y = xy−1 = q(a, b)q(d, c) = q(ad, bc).

Nhu vâ.y yêu câ` u xây du. ng mô.t tâ.p ho p sˆ. o´ trong d¯ó phép chia cho mô.t sô´khác không luôn thu. c hiê.n d¯u.o c d¯ã hoàn thành Vâń d¯ê` còn la.i là ta hãy chú.ngto’ có thê’ coi Q nhu là mô.t mo’ rˆ. o.ng cu’a Z và su’ du.ng cách ghi sô´ nguyên d¯ê’ ký.hiê.u các sô´ h˜u.u tı’ sao cho viê.c thu c hành t´ınh toán trên d¯ó d¯u.o c thuâ.n tiê.n

5.1.3.3 Quan hˆ e gi˜ u.a Z v` a Q: X´et ´anh xa

f : Z −→ Q : a 7→ f (a) = q(a, 1).

Khi d¯ó ´anh xa f có các t´ınh châ´t sau:

1) f l`a mˆo.t d¯o.n ´anh

Thâ.t vâ.y, vó.i mo.i a1, a2 ∈ Z, f (a1) = f (a2), ta c´o q(a1, 1) = q(a2, 1) hay

a1.1 = 1.a2 hay a1 = a2

2) f ba’o to`an các phép toán

Thâ.t vâ.y, vó.i mo.i a1, a2 ∈Z, ta có

f (a1) + f (a2) = q(a1, 1) + q(a2, 1) = q(a1.1 + 1.a2, 1.1) = q(a1+ a2, 1) =

f (a1+ a2)

f (a1)f (a2) = q(a1, 1)q(a2, 1) = q(a1.a2, 1.1) = q(a1a2, 1) = f (a1a2)

Các t´ınh châ´t trên cho biê´t ´anh xa f là mô.t d¯o.n câú vành và tù d¯ó tacó thê’ d¯ˆ`ng nhô a´t mô˜i sô´ nguyên a vó.i a’nh f (a) = q(a, 1), thay cho cách viê´t

x = q(a, 1) ta viˆ e´t x = a v`a mô˜i sô´ nguyên a ∈ Z c˜ung là mô.t sô´ h˜u.u tı’ Nhu

vâ.y 00 = q(0, 0) = 0, 10 = q(1, 0) B˘a`ng cách d¯ó Z là mô.t tâ.p con cu’a Q và cácphép toán cu’a Q thu he.p trên Z trùng vó.i các phép toán trên Z

Trang 5

5.1.3.4 D- i.nh ngh˜ıa: Cho x = q(a, b) ∈ Q Khi d¯´o ta c´o

x = q(a, b) = q(a, 1)a(1, b) = q(a, 1)q(b, 1)−1

và theo cách d¯ˆ`ng nhô a´t o.’ trên th`ı ta có thê’ viˆe´t x = ab−1 hay x = a

b.

Biê’u diêñ x = a

b v´o.i a, b ∈ Z, b 6= 0 go.i là mô.t phân sô´, a go.i là tu’ sˆ. o´ v`a b

go.i là mâ˜u sô´ cu’a phân sô´ d¯ó

5.1.4.2 Ch´ u ´ y: Trong d¯i.nh ngh˜ıa trên, ta d¯ã xác d¯i.nh khái niê.m x ≥ 0 nhò.

khái niê.m ló.n ho.n ho˘a.c b˘a`ng 0 trong Z thông qua phân sô´ d¯a.i biê’u cu’a x Nhu.ng

mô.t sô´ h˜u.u tı’ x có thê’ d¯u.o c d¯a.i biê’u bo.’i các phân sô´ khác nhau, nên ta câ`n

chú.ng to’ d¯i.nh ngh˜ıa trên không phu thuô.c vào phân sô´ d¯a.i biê’u cu’a sô´ x Thâ.t

Nˆe´u x = a ∈ Z th`ı c´o thˆe’ viˆe´t x = a

1 v`a a.1 ≥ 0 trong Z khi v`a chı’ khi

a ≥ 0 Vˆ a.y khi x là mô.t sô´ nguyên th`ı khái niê.m x ≥ 0 trong Q và trong Z phù

ho. p v´o.i nhau

5.1.4.3 D- i.nh ngh˜ıa: Cho x và y là hai sô´ h˜u.u tı’ Ta nói x nho’ ho.n hay b˘a`ng

y ho˘ a.c y ló n ho.n hay b˘a`ng x, ký hiê.u x ≤ y ho˘a.c y ≥ x, nêú y − x ≥ 0.

Nˆeú x ≤ y v` a x 6= y th`ı ta n´ oi x nho’ ho.n y ho˘ a.c y ló n ho.n x, ký hiê.u x < y

ho˘a.c y > x.

Trang 6

Sô´ h˜u.u tı’ ló.n ho.n 0 go.i là sô´ h˜u.u tı’ du.o.ng và sô´ h˜u.u tı’ nho’ ho.n 0 go.i là sô´h˜u.u tı’ âm.

5.1.4.4 Mˆ e.nh d¯ê` : Quan hê ≤ s˘a´p thú tu toàn phâ` n tâ.p ho p Q..

Ch´ u.ng minh: V´o.i mo.i x ∈ Q, ta c´o x−x = 0 = 01 v`a 0.1 = 0 ≥ 0, nˆ en x − x ≥ 0 hay x ≤ x Do d¯´o ≤ c´o t´ınh pha’n xa

V´o.i mo.i x, y ∈ Q mà x ≤ y và y ≤ x, ta có y − x = a b ≥ 0 v` a x − y = −a

0, a, b ∈ Z, b 6= 0 Khi d¯´o ab ≥ 0 v` a (−a)b = −ab ≥ 0 v` a do ab l`a mô.t sô´ nguyên

nˆen ab = 0, d¯iˆ` u n`e ay k´eo theo a = 0 (v`ı b 6= 0) t´u.c l`a y − x = 0 hay x = y Do

d¯´o ≤ c´o t´ınh pha’n d¯ôí xú.ng

V´o.i mo.i x, y, z ∈ Q mà x ≤ y và y ≤ z, ta có y−x = a

v´o.i (cb + da)db = cdb2 + abd2 ≥ 0, d¯iˆ` u nè ay k´eo theo x ≤ z Do d¯´o ≤ c´o t´ınhb˘ać câ` u

V´o.i mo.i x, y ∈ Q, gia’ su ’ y − x =. a

b , a, b ∈ Z, b 6= 0 Khi d¯ó ta luôn có

ab ≥ 0 ho˘ a.c ab ≤ 0, tú c là y − x ≥ 0 ho˘a.c x − y ≥ 0, d¯iêù này kéo theo x ≤ y

ho˘a.c y ≤ x.

Vˆa.y quan hê ≤ s˘a´p thú tu toàn phâ`n tâ.p ho p Q

5.1.4.5 D- i.nh ngh˜ıa: Gia’ su.’ ≤ là mô.t quan hê thú tu trên tru.ò.ng F Khi d¯ó

F d¯u.o. c go.i là mô.t tru.ò.ng d¯u.o c s˘a´p d¯ôí vó.i thú tu ≤ nêú các d¯iêù kiê.n sau d¯ây

d¯u.o. c thoa’ m˜an:

(1) Nˆe´u x ≤ y th`ı x + z ≤ y + z, v´ o.i mo.i z ∈ F;

Trang 7

Ch´ u.ng minh: T`u gia’ thiˆe´t x < y suy ra x + x < x + y v` a x + y < y + y, nˆen

Ch´ u.ng minh: V´o.i x, y ∈ Q, x 6= y, ta c´ o x < y ho˘ a.c y < x Gia’ su ’ x < y..

Theo mê.nh d¯ê` trên tˆ`n ta.i z ∈ Q sao cho x < z < y La.i áp du.ng mê.nh d¯êo ` trên,

tˆ`n ta.i zo 1, z2 ∈ Q sao cho x < z1 < z < z2 < y L´y luâ.n trên có thê’ l˘a.p la.i mô.t

sô´ lˆ` n tuà y ý Vâ.y gi˜u.a x và y có vô sô´ sô´ h˜u.u tı’.

5.1.5.3 Ch´ u ´ y: T´ınh chˆa´t trên thê’ hiê.n su kh´. ac biê.t c˘an ba’n gi˜u.a t´ınh s˘a´pthú tu. cu’a tâ.p ho p c´. ac sô´ nguyên và tâ.p ho p c´. ac sô´ h˜u.u tı’.

Trong tâ.p ho p sˆ. o´ nguyên, gi˜u.a hai sô´ nguyˆen n v` a n + 1 khˆong có sô´ nguyênnào khác và tù d¯ó có thê’ suy ra gi˜u.a hai sô´ nguyên phân biê.t chı’ có h˜u.u ha.n sôńguyên khác chúng Ngu.ò.i ta nói tâ.p ho p sˆ. o´ nguyên s˘a´p thú tu. rò.i ra.c

Còn trong tâ.p ho p c´. ac sô´ h˜u.u tı’, gi˜u.a hai sô´ h˜u.u tı’ phân biê.t bâ´t k`y baogiò c˜ung có vô sô´ sô´ h˜u.u tı’ Ngu.ò.i ta nói tâ.p ho p c´. ac sô´ h˜u.u tı’ s˘a´p thú tu. trù

mˆa.t

5.1.5.4 Mˆ e.nh d¯ê ` : V´o.i mo.i x, y ∈ Q, nêú x > 0 th`ı tô `n ta.i sô´ tu nhiên n sao cho nx > y.

Ch´ u.ng minh: Nˆe´u y ≤ 0 th`ı ta chı’ cˆ` n d¯˘a a.t n = 1 v`ı 1.x = x > y.

Nˆe´u y > 0 th`ı ta c´o thˆe’ viˆe´t x = a

b , y =

c

d, trong d¯´o a, b, c, d l`a nh˜u.ng sˆo´

nguyên du.o.ng D- ˘a.t n = b(c + 1) th`ı n ∈ N và ta có

Trang 8

Nhu vâ.y, nêú chı’ dùng các sô´ h˜u.u tı’, ta chu.a d¯áp ú.ng d¯u.o c các yêu câù cu’athu. c tiêñ V`ı vâ.y xuâ´t hiê.n yêu câ` u mo.’ rô.ng ho.n n˜u.a tâ.p ho p Q các sô´ h˜u.u tı’.

Vˆ` phu.o.ng diê.n toán ho.c thuâe ` n tuý ta c˜ung thâý su. cˆ` n thiê´t pha’i mo.a ’ rô.ngho.n n˜u.a tâ.p ho p Q Ch˘. a’ng ha.n, th´ı du trên có thê’ diêñ d¯a.t mô.t cách thuâ` n tuýtoán ho.c là: phu.o.ng tr`ınh x2 = 2 không có nghiê.m h˜u.u tı’

O’ Phâ`n 5.1 ta d¯ã thâý trên tâ.p ho p Q mo.i phu.o.ng tr`ınh bâ.c nhâ´t ax+b = 0.

d¯ˆ` u cé o nghiê.m Nhu.ng mô.t phu.o.ng tr`ınh bâ.c hai tro.’ lên, nói chung, không cónghiê.m h˜u.u tı’

Mô.t yêu câ` u tu. nhiên d¯˘a.t ra theo su ph´. at triê’n lôgic cu’a toán ho.c là: mo.

rô.ng tâ.p ho p Q c´. ac sô´ h˜u.u tı’ d¯ê’ có mô.t tâ.p ho p sˆ. o´ mó.i chú.a Q sao cho mo.i d¯athú.c trên Q d¯ˆ` u cé o nghiê.m trong tâ.p ho p n`. ay và trong toán ho.c tâ.p ho p n`. aygo.i là tru.ò.ng các sô´ d¯a.i sô´ Song vâñ còn có nh˜u.ng d¯a.i lu.o ng không thê’ biê’udiêñ b˘a`ng nghiê.m cu’a bâ´t k`y mô.t d¯a thú.c nào trên Q Ch˘a’ng ha.n d¯ô dài cu’a

d¯u.ò.ng tròn có d¯u.ò.ng k´ınh b˘a`ng d¯o.n vi dài (cu thê’ là sô´ π) không thê’ biê’u diêñ

d¯u.o. c b˘a`ng nghiê.m cu’a mô.t d¯a thú.c trên Q Sô´ e quen thuô.c c˜ung vâ.y, e không

là nghiê.m cu’a bâ´t k`y d¯a thú.c nào vó.i hê sô´ h˜u.u tı’ Thu c ra, d¯ê’ su.’ du.ng các sô´mó.i này, ta thu.ò.ng lâý các sô´ h˜u.u tı’ xâ´p xı’ thay cho chúng Có d¯iˆ` u lè a mô˜i sô´mó.i d¯ó có vô sô´ sô´ h˜u.u tı’ xâ´p xı’ vó.i mô.t d¯ô ch´ınh xác tu`y ý Ta s˜e su’ du.ng dãy.

sô´ h˜u.u tı’ xâ´p xı’ d¯ó d¯ê’ xác d¯i.nh tâ.p ho p sˆ. o´ mó.i.

5.2.1.2 D- i.nh ngh˜ıa: Xét tâ.p ho p X gô`m tâ´t ca’ các dãy Cauchy (dãy co ba’n)

trên tâ.p ho p Q V`ı tˆ. o’ng và t´ıch cu’a hai dãy Cauchy là mô.t dãy Cauchy nên trên

X c´o hai ph´ep to´an: V´o.i (x n)n∈N , (y n)n∈N ∈ X,

1) Ph´ ep cˆ o ng: (x n)n∈N + (y n)n∈N = (x n + y n)n∈N

2) Ph´ ep nhˆan: (x n)n∈N (y n)n∈N = (x n y n)n∈N

5.2.1.3 T´ ınh chˆ a ´t:

1) Ph´ep cô.ng và phép nhân có t´ınh giao hoán

2) Ph´ep cô.ng và phép nhân có t´ınh kê´t ho p..

3) X v´o.i phép cô.ng có phâ` n tu.’ không, d¯ó là dãy (0)n∈N và vó.i phép nhâncó phˆ` n tu.a ’ d¯o.n vi., d¯ó là dãy (1)n∈N

4) Mo.i phâ` n tu.’ cu’a X d¯ê` u có phˆ` n tu.a ’ d¯ˆoí; cu thê’ d¯ôí cu’a (x n)n∈N là

(−x n)n∈N

5) Ph´ep nhân có t´ınh phân phôí d¯ôí vó.i phép cô.ng

Ch´ u.ng minh: Kˆe´t qua’ c´o ngay t`u d¯i.nh ngh˜ıa

5.2.1.4 D- i.nh ngh˜ıa: Quan hê R trên tâ.p ho p X:

∀(x n)n∈N , (y n)n∈N ∈ X, (x n)n∈N R (y n)n∈N ⇔ lim

n→+∞ (x n − y n) = 0là mô.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng

Trang 9

L´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a (a n)n∈N ∈ X l`a

(a n)n∈N = {(x n)n∈N ∈ X | lim

n→+∞ (x n − a n ) = 0}.

Tâ.p ho p thu. .o.ng X/R ký hiê.u là R Mô˜i phâ`n tu.’ cu’a R (ch´ınh là mô˜i ló.p

tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe R) d¯u.o c go.i là mô.t sô´ thu c

1) Ph´ep cô.ng và phép nhân d¯u.o c xác d¯i.nh trên R

2) Ph´ep cô.ng và phép nhân có t´ınh giao hoán, ngh˜ıa là vó.i mo.i x, y ∈ R,

Trang 10

9) Ph´ep nhân có t´ınh gia’n u.ó.c, ngh˜ıa là v´o.i mo.i x, y, z ∈ R z 6= 00,

xz = yz ⇒ x = y.

Ch´ u.ng minh: 1) Gia’ su.’ x = r((x n)n∈N ) = r((x0n)n∈N ), y = r((y n)n∈N) =

r((y n0 )n∈N) Khi d¯´o lim

n→+∞ (x n − x0n) = 0 v`a lim

n→+∞ (y n − y0n) = 0, nˆen ta c´olim

n→+∞ ((x n + y n ) − (x0n + y n0 )) = 0 hay r((x n + y n)n∈N ) = r((x0n + y0n)n∈N).lim

n→+∞ ((x n y n ) − (x0n y n0 )) = lim

n→+∞ ((x n − x0n )y n + x0n (y n − y0n)) = 0 (v`ı d˜ay

(y n)n∈N và d˜ay (x0n)n∈N là bi ch˘a.n do chúng là dãy Cauchy và lim

n→+∞ (x n − x0n) =lim

n→+∞ (y n − y n0 ) = 0) hay r((x n y n)n∈N ) = r((x0n y n0 )n∈N)

Các t´ınh châ´t 2), 3), 7), 8) d¯u.o. c suy tù (5.2.1.3)

4) R v´o.i phép cô.ng có phâ` n tu.’ không là 00 = r((0) n∈N) và vó.i phép nhâncó phˆ` n tu.a ’ d¯o.n vi là 10 = r((1) n∈N)

5) Sˆo´ d¯ˆo´i cu’a x = r((x n)n∈N) l`a −x = r((−x n)n∈N)

6) Gia’ su.’ x = r((x n)n∈N ) 6= 00 Khi d¯ó d˜ay Cauchy (x n)n∈N không có gió.iha.n là không Theo t´ınh châ´t cu’a dãy Cauchy, tô`n ta.i a ∈ Q, a > 0 và n1 ∈ N

sao cho |x n | > a v´ o.i mo.i n > n1 Ta xét d˜ay (y n)n∈N trên Q xác d¯i.nh nhu sau:

Trang 11

9) Do z 6= 00 nˆen tˆ`n ta.i zo −1 ∈ R sao cho zz−1 = z−1z = 10 Khi d¯´o

xz = yz ⇒ (xz)z−1 = (yz)z−1 ⇒ x(zz−1) = y(zz−1) ⇒ x = y.

5.2.1.7 Hˆ e qua’: Tâ.p ho p R v´. o.i phép cô.ng và phép nhân trong (5.2.1.5) ta.othành mô.t tru.ò.ng và Char(R) = 0.

5.2.2 Ph´ ep tr` u v` a ph´ ep chia trong R:

5.2.2.1 D- i.nh ngh˜ıa: Cho x, y ∈ R, ta go.i hiê.u cu’a x và y, ký hiê.u x − y là

tˆo’ng cu’a x v`a sˆo´ d¯ˆo´i cu’a y:

x − y = x + (−y).

Phép toán t`ım hiê.u cu’a hai sô´ go.i là phép trù

V`ı mo.i sô´ thu c d. ¯ˆ` u cé o sô´ d¯ôí nên phép tr`u x − y luˆon luôn thu. c hiê.n d¯u.o c

5.2.2.2 D- i.nh ngh˜ıa: Cho x, y ∈ R, y 6= 00

, ta go.i thu.o.ng cu’a x và y, ký hiê.u

Phép toán t`ım thu.o.ng cu’a hai sô´ thu. c go.i là phép chia

V`ı mo.i sô´ thu c y 6= 0. 0 d¯ˆ` u cé o nghi.ch d¯a’o, nên phép chia mô.t sô´ thu c x cho.

mô.t sô´ thu c y 6= 0. 0 luôn luôn thu. c hiê.n d¯u.o c

5.2.2.3 Quan hˆ e gi˜ u.a Q v` a R: X´et ´anh xa

f : Q −→ R : a 7→ f (a) = r((a) n∈N ).

Khi d¯ó ´anh xa f có các t´ınh châ´t sau:

1) f l`a mˆo.t d¯o.n ´anh

Thâ.t vâ.y, vó.i mo.i a, a0 ∈ Q, f (a) = f (a0), ta c´o r((a) n∈N ) = r((a0)n∈N) haylim

n→+∞ (a − a0) = 0 hay a = a0

2) f ba’o to`an các phép toán, ngh˜ıa là v´o.i mo.i a, a0 ∈Q,

f (a + a0) = f (a) + f (a0), f (aa0) = f (a)f (a0).

Thâ.t vâ.y, vó.i mo.i a, a0 ∈Q, ta có

f (a) + f (a0) = r((a) n∈N ) + r((a0)n∈N ) = r((a + a0)n∈N ) = f (a + a0)

f (a)f (a0) = r((a) n∈N )r((a0)n∈N ) = r((aa0)n∈N ) = f (aa0)

Các t´ınh châ´t trên cho biê´t ´anh xa f là mô.t d¯o.n câú tru.ò.ng và tù d¯ó tacó thê’ d¯ˆ`ng nhô a´t mô˜i sô´ h˜u.u tı’ a v´ o.i a’nh f (a) = r((a) n∈N), thay cho cách viê´t

Trang 12

x = r((a) n∈N) ta viˆe´t x = a v`a mô˜i sô´ h˜u.u tı’ a c˜ung là mô.t sô´ thu c Nhu. vâ.y

00 = r((0) n∈N) = 0 và 10 = r((1) n∈N) = 1 B˘a`ng cách d¯ó Q là mô.t tâ.p con cu’a

R và ta còn nói Q là mô.t tru.ò.ng con cu’a tru.ò.ng R

5.2.3 Quan hˆ e th´ u tu trˆ en R:

5.2.3.1 D- i.nh ngh˜ıa: Cho x = r((x n)n∈N ), y = r((y n)n∈N ) ∈ R Ta n´ oi x nho’ ho.n y ho˘ a.c y ló n ho.n x, ký hiê.u x < y ho˘a.c y > x nêú tô`n ta.i a ∈ Q, a > 0 và

n0 ∈ N sao cho y n − x n > a v´ o.i mo.i n > n0

Ta n´oi x nho’ ho.n hay b˘a`ng y ho˘a.c y ló.n ho.n hay b˘a`ng x, ký hiê.u x ≤ y

ho˘a.c y ≥ x nˆe´u ho˘a.c x = y ho˘a.c x < y.

5.2.3.2 Ch´ u ´y: Cho (x n)n∈Nv`a (y n)n∈Nlà hai dãy Cauchy trên Q và lim

n→+∞ y n =

0 Khi d¯ó nêú tˆ`n ta.i no 1 ∈ N v`a a ∈ Q, a > 0 sao cho x n > a v´ o.i mo.i n > n1

th`ı c˜ung tˆ`n ta.i no 0 ∈N v`a b ∈ Q, b > 0 sao cho x n + y n > b v´ o.i mo.i n > n0.Thâ.t vâ.y, v`ı limn→+∞ y n = 0, nên tˆ`n ta.i no 2 ∈ N sao cho |y n | < a

n→+∞ (x n − x0n) = 0 Nhu vˆa.y nêú có a ∈ Q, a > 0 và

n0 ∈ N sao cho y n − x n > a v´ o.i mo.i n > n0 th`ı c˜ung c´o b ∈ Q, b > 0 v` a n1 ∈ N

sao cho y0n − x0n > b v´ o.i mo.i n > n1

5.2.3.3 Mˆ e.nh d¯ê` : Quan hê ≤ s˘a´p thú tu toàn phâ` n tâ.p ho p R..

Ch´u.ng minh: T´ınh pha’n xa cu’a ≤ là hiê’n nhiên.

V´o.i r((x n)n∈N ), r((y n)n∈N ) ∈ R m` a r((x n)n∈N ) ≤ r((y n)n∈N) v`a r((y n)n∈N)

≤ r((x n)n∈N), gia’ su.’ r((x n)n∈N ) 6= r((y n)n∈N), tˆ`n ta.i a, b ∈ Q, a > 0, b > 0 v`ao

k, l ∈ N sao cho y n − x n > a v´ o.i mo.i n > k v`a x n − y n > b v´ o.i mo.i n > l Khi

d¯´o v´o.i mo.i n > n0 = max(k, l) ta c´o d¯ˆ`ng th`o o.i y n − x n > a v` a x n − y n > b, do

d¯´o 0 > a + b > 0, d¯ó là d¯iˆ` u vê o lý Vˆa.y quan hê ≤ có t´ınh pha’n d¯ôí xú.ng

V´o.i r((x n)n∈N ), r((y n)n∈N ), r((z n)n∈N ) ∈ R m` a r((x n)n∈N ) ≤ r((y n)n∈N)v`a r((y n)n∈N ) ≤ r((z n)n∈N), ta có các tru.ò.ng ho. p sau xa’y ra:

Trang 13

– ho˘a.c lim

n→+∞ (y n − x n) = 0 v`a c´o b ∈ Q, b > 0 v` a k ∈ N sao cho z n − y n > b

v´o.i mo.i n > k, khi d¯ó c˜ung nhu tru.ò.ng trên ta có r((x n)n∈N ) ≤ r((z n)n∈N).– ho˘a.c có a, b ∈ Q, a > 0, b > 0 và k, l ∈ N sao cho y n − x n > a v´o.i mo.i

n > k v` a z n − y n > b v´ o.i mo.i n > l, khi d¯´o v´o i mo.i n > n0 = max(k, l) ta c´o

z n − x n = z n − y n + y n − x n > a + b, nˆ en r((x n)n∈N ) ≤ r((z n)n∈N) Vˆa.y quan hˆe

Vˆa.y quan hê ≤ là toàn phâ` n

5.2.3.4 Mˆ e.nh d¯ê ` : Tru.`o.ng R các sô´ thu. c là tru.ò.ng d¯u.o. c s˘a´p d¯ôí vó.i quan hê.thú tu. ≤.

Ch´ u.ng minh: Kˆe´t qua’ có tù d¯i.nh ngh˜ıa cu’a quan hê ≤.

5.2.3.5 D- i.nh ngh˜ıa: Sô´ thu c x go.i là du.o.ng (t.u âm, không âm, không

du.o.ng) nˆe´u x > 0 (t.u x < 0, x ≥ 0, x ≤ 0).

Gi´a tri tuyê.t d¯ôí cu’a x, vó i x là sô´ h˜u.u tı’ ho˘a.c sô´ thu c, ký hiê.u là |x|, d¯u.o c

x´ac d¯i.nh bo’ i:.

|x| =

x nˆe´u x ≥ 0

−x nˆe´u x < 0 .

5.2.3.6 Mˆ e.nh d¯ê` : Nêú x = r((x n)n∈N ) ∈ R th`ı |x| = r((|x n |) n∈N)

Ch´ u.ng minh: Ta x´et c´ac tru.`o.ng ho. p sau:

1) x = 0: Khi d¯´o lim

n→+∞ x n = 0, do d¯´o lim

n→+∞ |x n | = 0, ngh˜ıa l` a r((|x n |) n∈N) =0

2) x > 0: Khi d¯´o c´o a ∈ Q, a > 0 v` a n0 ∈ N sao cho x n > a v´o.i mo.i

n > n0, do d¯´o x n − |x n | = 0 v´ o.i mo.i n > n0 hay lim

n→+∞ (x n − |x n |) = 0, t´u.c l`a

r((|x n |) n∈N ) = x = |x|.

3) x < 0: Khi d¯´o c´o a ∈ Q, a > 0 v` a n0 ∈ N sao cho x n < −a v´o.i mo.i

n > n0, do d¯´o x n + |x n | = 0 v´ o.i mo.i n > n0 hay lim

n→+∞ (x n + |x n |) = 0, t´u.c l`a

r((|x n |) n∈N ) = r((−x n)n∈N ) = −x = |x|.

Trang 14

5.2.4 T´ ınh tr` u mˆ a t cu’a Q trong R v` a t´ ınh chˆ a ´t Archim` ede cu’a R: 5.2.4.1 D- i.nh lý: R d¯u.o c s˘a´p thú tu Archimède, ngh˜ıa là vó.i mo.i x, y ∈ R,

nˆeú x > 0 th`ı tˆ `n ta.i sô´ tu nhiên m sao cho mx > y.o

Ch´ u.ng minh: Gia’ su.’ x = r((x n)n∈N ), y = r((y n)n∈N ) V`ı x > 0 nˆen c´o

a ∈ Q, a > 0 v` a n0 ∈ N sao cho x n > a v´ o.i mo.i n > n0, t`u d¯´o ta d¯u.o. c

x = r((x n)n∈N ) ≥ r((a) n∈N ) = a Ngo` ai ra, do (y n)n∈N là dãy Cauchy trên Q

nên n´o bi ch˘a.n, ngh˜ıa là có b ∈ Q sao cho y n < b v´ o.i mo.i n ∈ N, tù d¯ó ta d¯u.o c

y = r((y n)n∈N ) ≤ r((b) n∈N ) = b V`ı a, b ∈ Q, a > 0 v`a Q d¯u.o. c s˘a´p thú tu..Archimède nên c´o m ∈ N sao cho ma > b Vˆ a.y ta có mx ≥ ma > b ≥ y.

5.2.4.2 D- i.nh lý: Tâ.p ho p Q trù mâ.t trong R, ngh˜ıa là vó.i mo.i x, y ∈ R, x < y,

tˆ`n ta.i z ∈ Q sao cho x < z < y.o

Ch´ u.ng minh: Ta c´o y − x > 0 V`ı R d¯u.o. c s˘a´p thú tu. Archimède nên c´o m ∈ N sao cho 1 < m(y − x) = my − mx, do d¯´o mx + 1 < my C˜ung v`ı lý do d¯ó nên có

n ∈ N sao cho |my| < n X´et tˆa.p ho p.

A = {u ∈ Z | u < my}.

Ta c´o A l`a mˆo.t tâ.p con khác rôñg cu’a Z và bi ch˘a.n trên Vâ.y A có sô´ ló.n nhâ´t

p, p < my Khi d¯ó ta c´o mx < p, v`ı nˆeú khˆong th`ı pha’i xa’y ra p ≤ mx, do d¯ó

p + 1 ≤ mx + 1 < my nˆ en p + 1 ∈ A, mˆau thuâ’n v´o.i p l`a sô´ ló.n nhˆa´t cu’a A Vˆa.y

Chú ý r˘a`ng trong chú.ng minh d¯i.nh lý này, ta d¯ã lâý dãy Cauchy hô.i tu vê`

sô´ thu. c x ch´ınh là dãy Cauchy xác d¯i.nh x Ho.n n˜u.a ta d¯ã biê´t r˘a`ng mo.i dãyCauchy trên Q d¯ˆ` u xé ac d¯i.nh mô.t sô´ thu c, do d. ¯ó ta d¯u.o. c:

5.2.4.4 Hˆ e qua’: Mo.i dãy Cauchy trên Q d¯ê` u hô.i tu trong R

5.2.4.5 D - i.nh lý: Mo.i dãy Cauchy trên R d¯êù là dãy hô.i tu

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	228,54 KB