Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số

. Lý do chọn đề tài Là một giáo viên giảng dạy bộ môn toán và lý, tôi nhận thấy phần kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình đại số lớp 7. Nó là cơ sở để ta vận dụng, áp dụng vào nhiều dạng toán khác nhau và vào giải bài tập vật lý cũng tương đối nhiều. Từ một tỉ lệ thức ta có thể chuyển thành đẳng thức giữa hai tích, trong một tỉ lệ thức nếu biết được 3 số hạng thì ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II khi học về đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch ta thấy được tầm quan trọng của tỉ lệ thức, nó là một phương tiện để giúp ta giải các bài toán. Trong môn hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồng dạng thì cũng không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức. Trong phân môn vật lý, để giải được tốt bài tập về chuyển động không đều thì cũng không thể không có kiến thức về tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau được. Mặt khác khi học tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau nó làm nền tư duy cho học sinh rất tốt giúp cho các em khai thác được bài toán và đồng thời lập ra được bài toán mới, tạo sự đa dạng bài toán. Qua quá trình dạy phần tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau tôi nhận thấy các em thường mắc nhiều sai lầm khi giải toán nếu như người giáo viên khôngnhân mạnh, hướng dẫn, chú ý hay phân tích kĩ cho các e trong từng dạng toán. Với những lý do trên nên tôi quyết định chọn đề tài “Kinh nghiệm dạy một số dạng toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau” làm đề tài nghiên cứu, trong đề tài này tôi đưa ra một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, phương pháp giải và những cái mà học sinh thường mắc sai lầm khi vận dụng tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải bài tập. 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài - Học sinh có kỹ năng phân tích để nắm yêu cầu của đề - Tránh các lỗi sai thường mắc phải khi giải bài tập - Nhận dạng các bài tập và chọn chọn phương pháp giải phù hợp 3. Đối tượng nghiên cứu Cách giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7 chương III. 4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu Các bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình đại số 7 chương III.

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Là một giáo viên giảng dạy bộ môn toán và lý, tôi nhận thấy phần kiến thức

về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình đại số lớp 7

Nó là cơ sở để ta vận dụng, áp dụng vào nhiều dạng toán khác nhau và vào giải bàitập vật lý cũng tương đối nhiều Từ một tỉ lệ thức ta có thể chuyển thành đẳng thứcgiữa hai tích, trong một tỉ lệ thức nếu biết được 3 số hạng thì ta có thể tính được sốhạng thứ tư Trong chương II khi học về đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệnghịch ta thấy được tầm quan trọng của tỉ lệ thức, nó là một phương tiện để giúp tagiải các bài toán Trong môn hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồngdạng thì cũng không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức Trong phân môn vật lý, để giảiđược tốt bài tập về chuyển động không đều thì cũng không thể không có kiến thức

về tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau được Mặt khác khi học tỉ lệ thức vàtính chất dãy tỉ số bằng nhau nó làm nền tư duy cho học sinh rất tốt giúp cho các emkhai thác được bài toán và đồng thời lập ra được bài toán mới, tạo sự đa dạng bàitoán Qua quá trình dạy phần tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau tôi nhận thấy các emthường mắc nhiều sai lầm khi giải toán nếu như người giáo viên khôngnhân mạnh,hướng dẫn, chú ý hay phân tích kĩ cho các e trong từng dạng toán

Với những lý do trên nên tôi quyết định chọn đề tài “Kinh nghiệm dạy một

số dạng toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau” làm đề tài nghiên cứu, trong đề tài

này tôi đưa ra một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, phương phápgiải và những cái mà học sinh thường mắc sai lầm khi vận dụng tỉ lệ thức và dãy tỉ

số bằng nhau vào giải bài tập

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

- Học sinh có kỹ năng phân tích để nắm yêu cầu của đề

- Tránh các lỗi sai thường mắc phải khi giải bài tập

- Nhận dạng các bài tập và chọn chọn phương pháp giải phù hợp

3 Đối tượng nghiên cứu

Cách giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7chương III

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Các bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình đại số 7chương III

Học sinh 7A1 và 7A3 trường THCS Lê Văn Tám xã Bình Hòa, huyện KrôngAna, tỉnh Đăklăk

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo

- Phương pháp kiểm tra, thực hành

- Phương pháp phát vấn ,đàm thoại nghiên cứu vấn đề

- Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và của đồng nghiệp khi dạy phần “tØ lệthức”

II Phần nội dung:

1 Cơ sở lý luận:

Tri thức khoa học của nhân loại ngày càng đòi hỏi cao Chính vì vậy việcgiảng dạy trong nhà trường đòi hỏi ngày càng nâng cao chất lượng toàn diện, đào tạothế hệ trẻ cho đất nước có tri thức cơ bản, một phẩm chất nhân cách, có khả năng tưduy, sáng tạo, tư duy độc lập, tính tích cực nắ bắt nhanh tri thức khoa học Môn toán

là môn khoa học góp phần rất lớn tạo ra các yêu cầu đó Việc hình thành năng lựcgiải toán cho học sinh là việc làm không thể thiếu được của người thầy, rèn cho các

em khả năng tư duy sáng tạo, nắm chắc kiến thức cơ bản, gây được hứng thú cho các

em yêu thích môn toán

Môn toán có tính chất trừu tượng, tính chính xác, tư duy suy luận logic Toánhọc được coi là môn thể thao trí tuệ, rèn cho học sinh trí thông minh, sáng tạo Trongcác môn học thì toán học được xem là môn học cơ bản, là nền tảng để các em pháthuy năng lực cho bản thân Vậy dạy như thế nào để các em không những nắm chắckiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn nâng cao được kến thức để các em cóhứng thú say mê môn học mà mỗi thầy cô đặt ra cho mình thì người giaó viên phảibiết chọn lọc và phân tích, nhìn nhận, đáng giá và chỉnh sửa những sai lầm thườngxuyên mắc phải cho học sinh

2 Thực trạng:

Xuất phát từ thực tiễn đổi mới phương pháp dạy học giáo dục thì việc tự học,

tự quản giúp cho học sinh phát huy tính tích cực, gây hứng thú trong học tập, pháttriển tư duy cho các em đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục

2.1 Thuận lợi – khó khăn

* Thuận lợi.

Ngoài Sách giáo khoa thì các em còn có sách bài tập giúp cho các em có điềukiện hệ thống hóa kiến thức và cũng như để khắc sâu cho các em khi vận dụng giảibài tập Bên cạnh đó công nghệ thông tin ngày càng được phát triển giúp các em tiếpcận càng nhiều và biết được nhiều thông tin hơn nên các em dễ dàng tìm tòi đượccác nội dung mình cần quan tâm, nó giúp cho các em tăng tính tích cực và tự họcnhiều hơn

Một số em học yếu nên việc giải một bài toán gặp rất nhiều khó khăn

Một số em còn thụ động trong việc giải bài tập, chưa có ý thức tự giác lĩnh hộikiến thức cũng như không chịu đọc các bài toán tham khảo nên khi gặp các bài toándạng đó các em còn gặp nhiều khó khăn

2.4 Các nguyên nhân – các yếu tố tác động

- Thư viện trường học có nhiều sách tham khảo giúp cho giáo viên và học sinh

có điều kiện thuận lợi trong việc tham khảo các dạng bài tập mới, bài tập nâng cao

- Tinh thần hợp tác, làm việc của tất cả học sinh, giáo viên cùng bộ môn

- Vận dụng kiến thức lý thuyết vào thực hành giải bài tập, kết quả phụ thuộcvào phương pháp giảng dạy của giáo viên, ý thức tự giác của học sinh

2.5 Phân tích đánh giá các vấn đề về đề tài thực trạng mà đề tài đặt ra

Dạng toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là dạng toán tương đối khó Đa sốhọc sinh không thích học ở phần này Khi học phần này đòi hỏi các em phải tíchcực, chịu khó đọc sách tham khảo nhiều Vì phần này là một phần tương đối khónhưng số tiết học ở lớp thì không nhiều chỉ có 4 tiết nhưng bài tập ứng dụng nó lạirất nhiều không chỉ trong toán học mà cả trong vật lý Đặc biệt nhất là thi học sinhgiỏi văn hóa và luyện toán qua mạng thì phần này nó chiếm một phần rất lớn Bêncạnh đó khi thao giảng đa số giáo viên ngại thao giảng phần này cho nên việc đúcrút kinh nghiệm trong quá trình dạy còn nhiều hạn chế

3 Giải pháp, biện pháp

3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp

* Mục tiêu của giải pháp

- Học sinh giải quyết được các bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau

- Phát triển năng lực tư duy, phát huy nâng cao mức độ năng lực của các em

- Phát huy tính tự giác, độc lập của học sinh trong việc giải quyết bài tập

* Biện pháp

- Giáo viên hệ thống hóa lại kiến thức cho học sinh

- Lựa chọn các bài tập phù hợp với từng loại đối tượng học sinh

- Hướng dẫn các em phân tích bài toán và từng bước giải quyết vấn đề

- Giao nhiệm vụ cho từng cá nhân, nhóm, tổ và chỉ rõ thời gian hoàn thành nhiệmvụ

- Thường xuyên kiểm tra và đánh giá chất lượng, kỹ năng giải bài toán của học sinh

3.2 Nội dung, cách thực hiện các giải pháp biện pháp

Để giúp cho học sinh lĩnh hội, nắm chắc được kiến thức và giải quyết tốt cácbài tập thì người giáo viên kiểm tra xem các em nắm được nội dung lý thuyết đếnmức nào và giúp các em nắm chắc kiến thức lý thuyết thì khi đó việc vận dụng lýthuyết vào giải bài tập mới phát huy hiệu quả và nội dung lý thuyết là vô cùng quantrọng khi giải bài tập do vậy người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải

cho các em mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ, tìm ra con đườnghợp lý để giải bài toán.

Nhận xét: Từ 1 trong 4 tỉ lệ thức trên ta suy ra được 3 tỉ lệ thức còn lại

3.2.1.2 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

để giải bài toán Tuy nhiên khi giải bài tập dạng này tôi không muốn dừng lại ởnhững bài tập SGK mà tôi muốn giới thiệu thêm một số bài tập điển hình và giảinhững bài tập đó.

3.2.2 Các dạng bài tập

Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số dạng bài tập và cácphương pháp giải cùng kinh nghiệm của bản thân rút ra từ các bài tập ấy

Dạng 1 Lập tỉ lệ thức từ các tỉ số đẳng thức, tỉ lệ thức hoặc từ các

+ Nếu có 1 tỉ lệ thức chúng ta có thể lập thêm ba tỉ lệ thức nữa, bằng cách:

- Giữ nguyên ngoại tỉ đổi chỗ trung tỉ

- Giữ nguyên trung tỉ đổi chỗ ngoại tỉ

- Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, trung tỉ với nhau

+ Nếu có các số hạng thì xem bốn số nào thỏa mãn đẳng thức dạng a.d=b.c rồi

thức: 10 :15;16 : ( 4);14 : 21; 5 :15;12 : ( 3); 1, 2 : 3, 6   

Bài 2: Có thể lập được một tỉ lệ thức từ 4 số trong các số sau không (mỗi số

chọn một lần) Nếu có lập được bao nhiêu tỉ lệ thức ?

a) 3; 4 ;5 ;6 ;7 b) 1; 2; 4; 8; 16 c) 1; 3; 9; 27; 81; 243

Dạng 2

Muốn tìm ngoại tỉ chua biết ta lấy tích của hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết

Muốn tìm trung tỉ chua biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết

d a b a

c b d d

c b

a  . ;  . ;  . ;  . )

Giải-0,52:x = -9,36:16,38





(Bài toán này ta thấy có 2 số hạng chưa biết trong 4 số hạng của tỉ lệ thức nhưng

có điểm đặc biệt là hai số hạng chưa biết này giống nhau và cùng ở một vị trí là cùngngoại tỉ nên ta đưa về dạng luỹ thừa bậc hai)

Hs thường sai lầm khi suy ra x – 1 = 30 suy ra x = 31

Phải suy ra hai trường hợp x–1= 30 và x–1= -30 từ đó suy ra x = 31 hoặc x = -29

Bài tập 3

Tìm x trong tỉ lệ thức: Tìm x trong tỉ lệ thức 3 5

x x







(Ở bài toán này ta có nhiều cách để giải quyết bài toán)

Cách 1: Lấy tích trung tỉ bằng tích ngoại tỉ rồi tính

(Hai cách này giáo viên có thể cho học sinh làm cách nào cũng được nhưng nên

cung cấp cả hai cách cho học sinh)

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức vầ hệ số đều bằng 1 do đó

sau khi biến đổ thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài toán trên bằng cách áp dụng tínhchất của dãy tỉ số bằng nhau như sau:

Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

nhưng các số hạng trong c và d không đổi dấu dẫn đến kết quả lại sai:

b) Tìm nhiều số hạng chưa biết:

+) Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:

* Hướng khai thác từ bài toán trên như sau:

- Giữ nguyên điều kiện (1) và thay đổi điều kiện (2) như sau:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

27 3

Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết

2 3 4

x y z

  và 2x + 3y – 5z = -21

(Ở bài toán này hệ số trước các biến ở điều kiện 2 không cùng với hệ số của các

biến ở điều kiện 1 nữa cho nên khi học sinh giải theo cách 2 phải biến đổi điều kiện

1 sao cho hệ số của các biến ở điều kiện 1 cùng với hệ số của các biến ở điều kiện 2 rồi mới áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.)

(Cách này ta tìm được k2 bằng một số nào đó rồi tự thay vào tìm x, y, z.)

Cách 2: Biến đổi rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

(Biến đổi tỉ lệ hức sao cho các biến ở điều kiện 1 giống với các biến ở điều kiện 2

sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.)

Chú ý: Ở dạng bài tập này giáo viên phải chú ý cho học sinh ở điều kiện 2,

trong trường hợp này đa số học sinh hay áp dụng tương tự .

.

x y x y

a b a b hay

.

x y z x y z

a b  c a b c cho nên dẫn đến việc giải bài toán bị sai

Đa số các em hay giải bài toán này như sau:

các bài toán dạng này khỏi bị mắc sai lầm

Giải bài toán này có 2 cách thực hiện

Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giảisau:

Ta có: 3x = 5y  x y  x.1y.1hay x y

5y = 8z 

15

z 24

y hay 3

1 5

z 3

1 8

y 5

z 8

z y x 15

z 24

y 40

Cách 2: Dựa vào tính chất phép nhân của đẳng thức Các em đã biết tìm bội

số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8 Từ đó các em có lời giải bài toán như sau:

Ta có: BCNN (3; 5; 8) = 120

Từ 3x = 5y = 8z 

120

1 z 8 120

1 y 5 120

1 x

79

158 15 24 40

z y x 15

z 24

y 40

Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành một thương Điều đó đãhướng ra cho các em tìm ra cách giải sau :

8

1 5

1 3 1

z y x



Để giải được phần b thì yêu cầu cac em phải có tư duy một chút để tạo nêntích trung gian như sau:

+ Từ 2x = 3y  2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1)

+ Từ 5y = 7z  5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2)

Từ (1) và(2) ta có: 10x = 15y = 21z

840

210 15 60

15

1 7 21

1 5 10

1 3

y z 5 x

21 1 z

15 1 y

2 y 5

1 x

Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào đễuấthiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50 hoặc 2x + 3y – 5z = 10.

Với phương pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp các em nhận ra ngay và có hướng

đi cụ thể

Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta

có lời giải như sau:

2

2 z 3

2 y 5

Vậy x = 5 1 + 1 = 6

y = 3 1 + 2 = 5

z = 2 1 + 2 = 4

Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để giảicâu b và c của bài toán.

Bài 6: Tìm x, y, z biết rằng :

z y x

1 z

3 y x y

2 z x x

1 z y

 2,5 - y = 2y

 2,5 = 3y

 y =

6 5

x



 vµ 5xy 2z 28 b)

4 3

y x

 ,

7 5

z y

 vµ 2x 3y z  124

c)

5

4 4

y x

z x

z

y z

2 2

z y x

Việc hệ thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỉ lệ thức còn có vai trò rấtquan trọng trong việc chứng minh tỉ lệ thức, với hệ thống các bài tập đơn giản đếnphức tạp, từ cụ thể cơ bản đến trừu tượng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hướng

để giải quyết tốt yêu cầu bài toán

tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k

Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tính

chất của đẳng thức biến đổi tỉ số ở vế trái (của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế

phải

Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tính

chất của đẳng thức để từ tỉ lệ thức đã cho biến đổi thành tỉ lệ thức phải chứng minh

1 Bài tập.

Bài tập 1: Cho tỉ lệ thức   1

d

c b

a

Với a, b, c, d 0Chứng minh : a a b cc d

GiảiCách 1:

c b d

Thay b.ca.d  (a b).c a.c a.d  (c d).a

Vậy

c

d c a

b a a d c c

b

a )  (  )    

(

Như vậy để chứng minh: a a b cc d

Ta phải có đẳng thức (a b).c (c d).a

Cách 2: Đặt k a b k c d k

d

c b

k b k b

b k b

Trong cách này ta chứng minh tỉ số a a b cc d nhờ tỉ số thứ ba Để có tỉ số thứ ba

ta đặt giá trị số đã cho bằng giá trị k Từ đó tính giá trị của một số hạng theo k

Cách 3: Từ tỉ số

d

b c

a d

c b

d c d c

b a c

a d

d a

b a

b a

1

VËy

c

d c a

d c a

b a c

d a

Trong cách này, biến đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ Rồi lấy số 1 trừ từng

vế của tỉ lệ thức sau đó biieens đổi đẳng thúc cần chứng minh

Tãm l¹i tõ mét tØ lÖ thøc ta cã thÓ suy ra tØ lÖ thøc kh¸c b»ng c¸ch chøng minhtheo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau cã thÓ sö dông trong bµi tËp

Bài tập 2: Cho tû lÖ thøc

cd

ab d c

b a







2 2

2 2

Víi a,b,c,d  0 vµ c d

Chøng minh :

d

c b

a

 hoÆc

c

d b

(

0 ) (

) (

0 ) (

) (

0 )

(

0 )

(

) (

)

(

2 2

2

2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2 2

bc

ad

bc da db bc

ad

ac

cd b ab d ab c

cd

a

cd d c

ab d ab c cd

b

cd

a

cd d c

d c ab cd

a bd ac bd

ac

d

c b

a bc ad bc

VËy

d

c b

a cd

ab d

c

b a cd

ab d c

b a

2

2

2 2

2 2 2

2

2 2

b a d

c

b a

XÐt trêng hîp :

d c

b a d c

b a

b d c d c

b a b a d

a d c d c

b a b a d

d

c b

a d

b c

a b d c

b a d c

b a

a c

b d

d c

b a cd

d c

b a cd

ab





 (®pcm)C¸ch 2: Đặt ẩn phụ

kb d dk

b bk cd

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

(

) (

d

b k

d

k b d k d

b k b d dk

b bk d

b a cd

2 2 2

d c

b a d

b c

a cb

ab d

b c

a d

c b

d c

b a cd

c

b a

2

) d c (

) b a ( d c

b a

NÕu:

bd

ac d

c b

a d

a

d

b c

2 2

2 2 2 2 2

2

d cd 2 c

b ab 2 a cd 2

ab 2 d

b b

a cd

ab d

b c

c

b a

Đối với dạng này ta sử dụng phương pháp hai đặt ẩn phụ k thì ta giải quyết

gần hết các bài toán, giải theo cách này học sinh dễ hiểu hơn và các em làm

nhanh hơn Tuy nhiên đối với học sinh khá giỏi thì giáo viên nên cung cấp thêm

d c b

a

b

a

5 3

5 3 5

b a d c

b a

3)

d c

d c

b a cd

b a







2 2

2 2

Bài 4: Cho

d c

d c b a

b a

d c b a

b a

7 3

13 2 7 3

13 2

Bước 1: Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết

Bước 2: Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện

Bước 3: Tìm các số hạng chưa biết

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c (cm, a, b, c > 0 )

Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có:

a + b + c = 22

Vì cạnh của tam giác tỉ lệ với 2:4:5 nên ta có: