SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7SKKN Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Phần I: mở đầu

I Lý do chọn đề tài:

- Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức

và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chơng trình Đại số lớp 7 Từ một tỷ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết

đ-ợc 3 số hạng ta có thể tính đđ-ợc số hạng thứ t Trong chơng II, khi học về đại lợng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán Trong phân môn Hình học, để học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn t duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới

Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đa ra một số dạng bài tập về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7

II Phạm vi nghiên cứu:

1 Phạm vi của đề tài:

Chơng I, môn đại số lớp 7

2 Đối t ợng :

Học sinh lớp 7C; 7D Trường THCS Cẩm Nhượng

3 Mục đích:

a) Kiến thức

- Học sinh hiểu và làm đợc một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau nh: Tìm số hạng cha biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia

tỷ lệ, tránh những sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng nhau

b) Kỹ năng:

HS có kỹ năng tìm số hạng cha biết, chứng minh tỷ lệ thức, giải toán chia tỷ lệ

Phần II: Nội dung của đề tài A.Nội dung

I.Cơ sở lý luận khoa học của đề tài

1 Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức

a) Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

d

c b

a

 Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và c gọi là trung tỉ

b) Tính chất

Tính chất 1( tính chất cơ bản)

Nếu a c

b d thì ad = bc

tính chất 2( tính chất hoán vị)

Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức

a

b c

d a

c b

d d

b c

a

d

c

b

a







2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

+ từ tỉ lệ thức

d

c b

a

d b

c a d b

c a d

c b

a



















+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau

f

e d

c b

a





























f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c b a

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

3.Chú ý:

+ Khi có dãy tỉ số

5 3 2

c b a



 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5

+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức

d

c

b

a

 suy ra

1 2

; 0 ; k a k c( , 0)

   

   

   

từ b a d c e f suy ra

3

;

 

II.Nội dung và phơng pháp nghiên cứu

Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đa ra một số dạng bài tập sau:

Dạng 1 Tìm số hạng ch a biết

1 Tìm một số hạng cha biết:

a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức

b d     d  c  b

Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết

b) Bài tập:

Bài tập 1(Bài 46 – SGK 26 b) Tìm x trong tỉ lệ thức sau:

- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38

B i giải ài giải :

- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38

9,36 0.52.16,38 0,52.16,38

0,91 9,36

x x



 Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn nh sau ( Bài tõp 60a, d-Tr31-SGK)

a) 1 2 3 2

: 1 :

3x 3 4 5

 



 

b) 3: 21 3: 6. 

44 x

HS có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x

Bài tập 2( Bài 69a-SBT Tr 13): Tìm x biết 60

15

x x







B i giải ài giải :

2

60 15

15 60 900

30

x

x

x x x x







Suy ra x = 30 hoặcx= -30

Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng cha biết nhng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đa

về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức

1 60

15 1

x

x

 



x

x







Bài tập 3(Bài58a-TR25-SCĐ): Tìm x trong tỉ lệ thức 3 5

5 7

x x







B i giải ài giải :

Cách 1: từ

23

x

x

x x





Cách 2: từ 3 5 3 5

x

 áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có

4

3 4 5

x





Bài tập 4(Bài58d-TR25-SCĐ): Tìm x trong tỉ lệ thức: 1 2



B i giải ài giải :

Cỏch 1

       

x



Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Cỏch 2: 1 2



áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có

1 1 2

0,5

x x

x





2 Tìm nhiều số hạng cha biết

a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:

Tìm các số x, y, z thoả mãn

x y z

a b c (1) và x +y + z =d (2)

( trong đó a+b+c  0 và a, b, c, d là các số cho trớc)

B i giải ài giải :

- Cách 1: đặt

; ;

x y z

k

a b c

x k a y k b z k c

  

Thay vào (2)

Ta có k.a + k.b + k.c = d

k a b c d k

a b c

 

Từ đó tìm đợc .

a b c a b c a b c

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

x y z x y z d

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

 

   

b).Hớng khai thác từ bài trên nh sau

+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:

* k x k y k z e1  2  3 

k x k y k z f

*x.y.z = g

+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:

*

;

x y y z

a a a a

* a x a y a y a z2  1 ; 4  3

* b x b y b z1  2  3

* b x b z1 3 b y b x2 1 b z b y3 2

z b

x b y b



+Thay đổi cả hai điều kiện

c).Bài tập

Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết

2 4 5

x y z

  và x +y + z = 44

B i giải ài giải :

Cách 1

2 4 5

x y z

k x k y k z k

Từ x + y + z = 44 ta suy ra 2k 4k 5k  44  11k  44  k  4

Khi đó x = 2.4 = 8; y = 4.4 = 16; z = 5.4 = 20

Vậy x = 8; y = 16; z = 20

- Cách 2 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

44 4

2.4 8; 4.4 16; 5.4 20

 

 

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:

Bài tập 2(Bài63a-Tr26-SCĐ): Tìm 3 số x, y, z biết

4 3 9

x y z

  và x - 3y +4z = 62

B i giải ài giải :

- Cách 1: Đặt

4 3 9

x y z

  =k

- Cách 2: Từ

4 3 9

x y z

  suy ra 3 4

4 9 36

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2

Bài tập 3( Đề thi HSG H-Cẩm Xuyờn- Năm 2000-2001)

Tìm 3 số x,y,z biết x +y -z = 70 và 2x = 3y = 4z

Hướng dẫn

C1: Từ 2x = 3y = 4z ;

3 2 4 3

x y y z

6 4 3

x y z

   C2: Từ 2x = 3y = 4z 2 3 4

12 12 12

6 4 3

x y z

   ( Sau đó ta giải tiếp nh bài tập 1) Lưu ý: BCNN(2; 3; 4)=12

Bài tập 4(Bài68-Tr26-SCĐ): Tìm 3 số x, y, z biết

5 7 3

x y z

  và x2y2  z2  585

B i giải ài giải :

- Cách 1: Đặt

5 7 3

x y z

  =k

- Cách 2: từ

5 7 3

x y z

  suy ra

25 49 9

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

9

25 49 9 25 49 9 65

x y z x y  z

  Suy ra

2

2

2

2

2

2

25

49

9

x

y

z

Vậy x= 15; y = 21; z = 9 hoặc x = -15; y = -21; z = -12

Bài tập 5: Tìm 3 số x, y, z biết

2 3 4

x y z

  và x.y.z = 648

Hướng dẫn:

- Cách 1: Đặt

2 3 4

x y z

  = k

- Cách 2: Từ

2 3 4

x y z

 

3

3

648 27

8

x

     

            

     

Từ đó tìm đợc y = 9; z = 12

Bài tập 6 Tìm x,y, z biết ;

x

  và x +y +z = 27

Hướng dẫn:

từ 6 9 2 3

x y x y

  

Từ

2 2 4

z x z

x   

Suy ra

2 3 4

x y z

  Sau đó ta giải tiếp nh bài tập 1

Bài tập 7(Đề thi KSGV năm 2003-2004- Huyện C-Xuyờn)

Tìm ba số a, b, c biết 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c-7b = 45

Hướng dẫn

Cỏch 1: Từ 2 3

3 2 21 14

a b   

Từ 5 7

7 5 14 10

b c   

Suy ra

21 14 10

63 98 50

sau đó giải nh bài tập 1

Cỏch 2: Từ 2a = 3b; 5b = 7c ta suy ra: 10a = 15b = 21c

10 15 21

210 210 210

   ( BCNN(10, 15, 21)=210 ) Suy ra

21 14 10

 

Bài tập 8: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21

Hướng dẫn

từ 6x = 4y = 3z 6 4 3

12 12 12 2 3 4

Sau đó giải tiếp nh bài tập 2

Bài tập 9: Tìm x,y,z biết

x y z

  và x +y +z =27

B i giải ài giải :

- Cách 1: Đặt 4 6 8

x y z

- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y z

1

4

2 6

3

8

4

x

x y

y z

z

        

 





  



   Vậy x = 6; y= 9; z = 12

Bài tập 10: Tìm x, y, z biết 6 3 4 6 3 4

x z y x z y

  và 2x +3y -5z = -21

Hướng dẫn

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

0

6 3 ; 4 3 ;3 6

x z y z z x

 

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp nh bài tập 7

Dạng 2: Toán chia tỉ lệ 1.Phơng pháp giải

Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết

Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện

Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết

Bớc 4:Kết luận.

2.Bài tập

Bài tập1(B i 103-Tr33-SNC)ài 103-Tr33-SNC)

Biết độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc tỉ lệ với 3, 5, 7 Tính độ dài các cạnh một tam giác, biết:

a) Chu vi của tam giỏc là 45 m;

b) Tổng độ dài cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất hơn cạnh cũn lại 20 m

Lời giải:

a) Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c (m) v (a,b,cài 103-Tr33-SNC) Q)

Vì chu vi của tam giác bằng 45 nên ta có a+b+c=45

Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 3; 5; 7 nên ta có

3 5 7

a b c

 

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có

45

3

3 5 7 3 5 7 15

a b c a b c 

  Suy ra

3

5

7

a

a b

b c

c

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 9m, 15m, 21m

b) Theo đề bài,ta cú

3 5 7

a b c

  v a + c - b = 20ài 103-Tr33-SNC) áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có

20

4

3 5 7 3 7 5 5

a b c a c b 

  Suy ra

3

5

7

a

a b

b c

c

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 12m, 20m, 28m

Bài tập 2: Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng

đợc tỉ lệ với các số 2; 4; 5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng đợc

Lời giải:

Gọi số cây trồng đợc của lớp 7A,7B,7C lần lợt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dơng)

17

119 5

16 6

4 2 5 16

4 6

2 5 4















b c a b c a b c a

Suy ra

35 7

5

28 7

4

21 7

3



















c c

b b

a a

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy số cây trồng đợc của 3 lớp 7A,7B,7C lần lợt là 21cây, 28cây, 35cây

Bài tập 3(B i 91-Tr29-SNC)ài 103-Tr33-SNC)

Trờn một cụng trường ba đội lao động cú tất cả 196 người Nếu chuyển 1

3 số người của đội I, 1

4 số người của đội II v ài 103-Tr33-SNC) 1

5số người của đội III đi làm việc khỏc thỡ người cũn lại của ba đội bằng nhau Tớnh số người của mỗi đội lỳc đầu

Hướng dẫn :

Gọi a,b, c theo thứ tự là số người của đội I, đội II và đội III lỳc đầu (a, b, c nguyờn dương)

Số người của đội I sau khi chuyển là 1 2

3 3

a a a

Số người của đội II sau khi chuyển là 1 3

4 4

Số người của đội III sau khi chuyển là 1 4

5 5

theo bài ra ta có 2 3 4

3a4b5c và a+b+c=196

Suy ra

18 16 15

  và a+b+c=196

196 4

18 16 15 18 16 15 49

  Suy ra a=72; b=64 ; c=60

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy số người lỳc đầu của đội I, II, III lần lượt là 72 người, 64 người, 60 người

Bài tập 4:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số

thứ hai là

3

2

, giữa số thứ hai và số thứ ba là

9

4 Tìm ba số đó

Hướng dẫn

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c

Theo bài ra ta có 2 4

;

a b c 

Từ 2; 4

2 3 4 9

: 4 6 9

1009

1

64 216 729 64 216 729 1009

a b c a b c  

Giải tiếp ta đợc a=-4 , b=-6, c=- 9

Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7, 8, 9 chuyển đợc 912 m3

đất , trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9 theo thứ tự làm đợc 3 3 3

1, 2m ;1, 4m ;1,6m

Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và

5 Tính số học sinh của mỗi khối

Hướng dẫn

Gọi số học sinh của khối 7, 8, 9 lần lợt là a, b, c(h/s); (a,b,c là số nguyên dơng)

Số đất khối 7 chuyển đợc là 1,2a

Số đất khối 8 chuyển đợc là 1,4b

Số đất khối 9 chuyển đợc là 1,6c

Theo bài ra ta có: ;

1 3 4 5

  Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta đợc a= 80, b= 240, c= 300

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là 80 h/s, 240h/s,3 00h/s

Dạng 3 : Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau

1)Các phơng pháp :

Để Chứng minh tỷ lệ thức :a c

b d Ta có các phơng pháp sau :

Phơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc

Phơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số a c;

b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho

tr-ớc một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k

Phơng pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến

đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải

Phơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ

tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh

2) Bài tập:

Bài tập 1(Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:a c

b d hãy suy ra tỷ lệ

thức: a b c d

Lời giải:

Cách 1: Xét tích  

(1) (2)

a b c ac bc

a c d ac ad

  

  

Từ a c ad bc(3)

b d  

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra a b c d



- Cách 2: Đặt a c k a bk c dk,

b d    

Ta có:

(1),( 0)

(2),( 0)

b k

b

d k

d





Từ (1) và (2) suy ra: a b c d



- Cách 3: từ a c b d

b d  a c

Ta có: a b a b 1 b 1 d c d

      

Do đó: a b c d



- Cách 4:

Từ

a c a b a b

b d c d c d

a a b a b c d



   





- Cách 5: từ

a b c d

      

Bằng cách chứng minh tơng tự từ tỉ lệ thức a c

b d ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:

;

a b c d a b c d

  (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: chứng minh rằng nếu a2 bc thì

a)

a b c a a c c

a b c a b a b

(với ab a c,  )

Lời giải:

a) - Cách 1: Xét tích chéo

- Cách 2: từ 2 a c

a bc

b a

Đặt a c k a bk c ak,

b   a  

Ta có:

, 0 (1)

0 ,(2)

b k

b

a b bk b b k k

a k

a

c a ak a a k k





Từ (1) và (2) suy ra: a b c a

a b c a



- Cách 3: Ta có

2

2

, 0

a a b

do a bc

a b a a b a ab bc ab

b c a c a

a b

b c a c a



Do đó: a b c a

a b c b



Ngợc lại từ a b c a

a b c b



  ta cũng suy ra đợc a2 = bc

Từ đó ta có bài toán cho a b c a

a b c b



  chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì

từ 3 số a, b, c có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức

- Cách 4: Từ a2 = bc

a c a b a b a b

b a c a c a c a

a b c a

a b c a

b)

- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)

(b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)

Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c

a c c

b a b





- Cách 2: Từ a2 = bc a c

b a

 

Đặt a c

k

b  a suy ra a = bk, c = ak = bk

2

Ta có

2

2 2

1

, 0 1

b k k

a c b k b k

k b

c k b

k

b b



Do đó:

a c c

b a b







- Cách 3: từ a2 = bc a c

b a

 





Từ

2

a c a a c c

a

b  a b   b a b 

Từ (1) và (2) suy ra:

a c c

b a b







- Cách 4: Ta có

b c

b a b bc b b c b



Do đó:

a c c

b a b







Bài tập3(B i94-Tr85-STC)ài 103-Tr33-SNC) : Cho 4 số khác 0 là a a a a1 , , , 2 3 4 thoả mãn

a a a a a a

chứng tỏ:

 



 

Lời giải:

Từ

(1) (2)

a a

a a a

a a

a a

a a a

a a

Từ (1) và (2) suy ra

3

(3)

a a a  a a a a a a  a

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

(4)

 

 

Từ (3) và (4) suy ra:

 



 

Ta còng cã thÓ chuyÓn bµi tËp 3 thµnh bµi tËp sau:

Cho 1 2 4

a a a chøng minh r»ng

3

   



 

Bµi tËp 4: Cho dãy tỉ số bằng nhau : 1 2 3

m m

a a

b b b  b

n

m



    

Lêi gi¶i:

Từ: 1 2 3

m m

a a

b b b  b

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1 2

1 2

1 2



   

Từ (1) và (2) Suy ra: 1 2 1 2

n



    

Bµi tËp 5: BiÕt bz cy cx az ay bx

Chøng minh r»ng x y z

a b c

Lêi gi¶i:

Ta cã: bz cy cx az ay bx abz acy2 bcx baz2 cay cbx2

abz acy bcx baz cay cbx

a b c

 

abz acy bz cy



bcx baz2 0 bcx baz cx az z x(2)



Tõ (1) vµ (2) suy ra: x y z

a b c

Bµi tËp 6: Cho

c b a

z c

b a

y c

b a

x













