skkn phát triển tư duy, sáng tạo cho học sinh qua việc học tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng
Trang 1A MỞ ĐẦU
Trong quá trình giảng dạy cho học sinh lớp 7 về giải các bài toán tỉ
lệ thức và dãy tỉ số bằng tôi thấy học sinh rất lúng túng trong việc khai thác đề bài đó là từ một tỉ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa hai tỉ số trong một tỉ lệ thức nếu biết ba số hạng ta có thể tìm được
số hạng thứ tư Việc nghiên cứu tỉ lệ thức giúp cho học sinh giải tốt các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch trong đại số, còn trong hình học để học được định lí Talet, tam giác đồng dạng thì không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức
Vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã khai thác các kiến thức cơ bản trong SGK kết hợp với việc nghiên cứu các tài liệu rút ra được kinh
nghiệm viết thành chuyên đề: ” Phát triển tư duy, sáng tạo cho học sinh qua việc học tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng”.
Trang 2B NỘI DUNG.
I Ví dụ giải mẫu và lời bình.
VD: Cho tỉ lệ thức: 1
d
c b
a
với a, b, c, d 0 CMR: a a b cc d
Lời giải
d
c b
a
Xét tích: (a-b)c = ac-bc = ac-ad = a(c-d)
Vậy (a-b)c = a(c-d) = a a b cc d
Lời bình: Trong cách này để chứng minh tỉ lệ thức a a b cc d ta chứng minh:
(a-b)c = a(c-d)
Cách 2: Ta đặt:
kd c kb a k d
c b
a
thế thì: a a b kb kb b b(k kb1) k k1 (1)
k
k kd
k d kd
d kd c
d
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: a a b cc d
Lời bình: Trong cách giải này để chứng minh tỉ lệ thức a a b cc d ta chứng minh hai tỉ số ở 2 vế cùng bằng 1 tỉ số thứ ba Để làm được điều
2
Trang 3đó ta đã đặt giá trị chung của các tỉ số ở tỉ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k
Cách 3:
Từ b a d c a c d b c a d b
Vậy: c a d b c a a a b cc d
Lời bình: Trong cách giải này khi hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức đã
cho ta dùng tính chất của dãy tỉ số bằng Cuối cùng lại hoán vị các trung
tỉ của tỉ lệ thức mới được tạo ra để đi đến tỉ lệ thức phải chứng minh
Cách 4:
Vì: b a d c nên b a d c
Ta có: a a b a a a b 1 a b 1 d c cc d
Vậy: a a b cc d
Lời bình: Trong cách này ta đã biến đổi tỉ số ở vế trái (của một tỉ lệ
thức cần chứng minh) thành vế phải đó cũng là cách thường dùng để chứng minh một đẳng thức nói chung
Cách 5:
c
d a
b c
d a
b d
c b
a
1 1
c
d c a
b
Lời bình: Trong cách giải này từ tỉ lệ thức đã cho ta đã biến đổi dần
thành tỉ lệ thức phải chứng minh bằng cách dùng các tính chất hoán vị, tính chất của đẳng thức,
Trang 4Trên đây là 5 cách giải chứng minh 1 tỉ lệ thức tạm gọi là 5 phương pháp chứng minh tỉ lệ thức Tuy nhiên vào bài toán cụ thể ta có thể áp dụng phương pháp nào cho đơn giản và hiệu quả
4
Trang 5II Bài tập áp dụng và hướng đề xuất bài toán mới.
Bài toán 1: Cho k a a x ; k b b y Chứng minh rằng: b a2 y x
2
Lời giải
a
x
k
a
b
y
k
b
Ta có: b a2 ky kx y x
2
(đpcm)
Nhận xét 1: Thay a bởi a2
Thay b bởi b2
Ta có bài toán mới: Cho 2
2
a
x k
a
và 2
2
b
y k
b
CMR: b a4 y x
4
Nhận xét 2: Thay a bởi an và b bởi bn Ta có bài toán tổng quát sau:
n
a
x k
a
n
b
y k
b
CMR: b a n y x
n
2 2
Bài toán 2: Cho b a d c (c d
5
3
CMR: 55c a 33d b 55c a 33d b
Lời giải
Từ b a d c
d
b c
a d
b c
a
3
3 5
5
d c
b a d c
b a
3 5
3 5 3 5
3 5
Nhận xét: Lời giải của bài toán trên cho ta nhiều bài toán mới sau:
Bài 1: Cho b a d c CMR: ax ax by by cx cxdy dy
với giá trị các tỉ số đều có nghĩa
Trang 6Bài 2 Cho b a d c CMR: (a+b)(c-d) = (a-b)(c+d)
Bài 3: Cho b a d c và xb+yd 0 (x, y Q).)
CMR: b a xb xayd yc
Bài 4: CMR: Nếu b a d c thì 2 2
2 2
2
2
8 11
3 7 8
11
3 7
d c
cd c
b a
ab a
Bài 5: Cho b a d c CMR: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
Bài 6: Cho b a d c CMR: 4 4
4 4 4
d c
b a d c
b a
Bài toán 3: Cho b a d c với b+d 0
2 2
2
2 2
) (
) (
d b
c a d b
c a
Lời giải
Từ b a d c
d b
c a d
c b
a
2 2 2
2 2
2 2
2
) (
) ( )
( )
(
d b
c a d
c b
a d b
c a d
c b
a
2 2
2
2 2
) (
) (
d b
c a d b
c a
Nhận xét 1: b a d c nên: b a b a d c bd ac
2
Ta có bài tập mới:
Cho b a d c (b+d 0) CMR:
a b a2 d c2 bd a.c
2 2
6
Trang 7b b a d c bd ac
2
2 ) (
) (
Nhận xét 2: Với lời giải trên nếu: b-d 0 Ta cũng có bài tập mới:
Cho b a d c (b-d 0)
2 2
2
2 2
) (
) (
d b
c a d b
c a
Nhận xét 3: Số mũ “2” trong bài tập trên có thể thay bằng số mũ n
(nN*)
Ta cũng có bài tập mới:
Cho b a d c (b+d 0) CMR:
2003 2003
2003
2003 2003
) (
) (
d b
c a d
b
c a
n n
n
n n
d b
c a d b
c a
) (
) (
(với nN*)
Nhận xét 4: Nếu cho thêm điều kiện a = d 0 thì ta có bài tập mới:
Cho a, b 0 thoả mãn a2 = bc CMR: a a b c b c
2 2
2 2
Nhận xét 5: Từ b a d c đổi chỗ 2 thành phần bài tập mới
Cho b a d c (c 0; c+d 0) CMR:
2 2
2
2 2
) (
) (
d b
b a d c
b a
b c a d b bd ab
2 2 2 2
Trang 9Bài toán 4: Cho b a b c a c và a+b+c 0 CMR: a = b = c.
Lời giải
Cách 1: Ta có: b a b c a c 1
a c b
c b a a
c c
b b a
b a b
a
1
c b c
b
1
a c a
c
1
Do đó: a = b = c
Cách 2: Đặt b a b c a c= k Ta có:
a = kb; b = kc; c = ka
Do đó: a = kb = k(kc) = k[k(ka)] = k3a k3 = 1 k = 1
a
c c
b b
a
= 1 a = b = c
Cách 3: b a c b a c
a
c c
b b
a
.
3 3
b
a b
a b
a
Ta có: b a b c a c= 1 a = b = c
Nhận xét: Q).ua việc nghiên cứu lời giải của bài toán trên ta có các bài
toán sau:
Bài1 Cho b a b c a c(a+b+c 0) và a = 2003 Tính b; c?
Bài 2 Cho b a b c a c (a+b+c 0) Tính giá trị của 2004
2003 2 2
b
c b a
M
Trang 10Bài 3 Cho b a b c d c d a trong đó: (a+b+c +d 0).
Tính giá trị của biểu thức: M = c a d b d b a c a c b d b dc a
2
Bài 4: Cho b a b c d c d e a e trong đó (a+b+c+d+e 0) Tính giá trị của biểu thức:
A = c a d b e d b a c e a c b d e b d c e ace ba d
2
Mở rộng bài toán 4 thành bài toán tổng quát như sau:
Cho
1
1 3
2 2
a
a a
a a
a a
n
n
và a1+a2+ +an-1+an 0
2 1
2 2
2 1 2
)
(
n
n
a a
a
a a
a
2 1
7 7
2 1 7
)
(
n
n
a a
a
a a
a
Bài toán 5: CMR nếu b a c b d c thì b a c b d c d a
3 3 3
3 3 3
Lời giải
Từ b a b c d c
3 3
3
d
c c
b b
a
d
a d
c c
b b
a
3 3
3 3 3
d
c c
b b
a
=b a c b d c d a
3 3 3
3 3 3
Nhận xét 1: Từ b a c b d c có thể thay: b2 = ac và c2= bd
10
Trang 11Ta có bài tập sau:
Bài 1: Cho b2 = ac và c2= bd với b, c, d 0; b+c d; b3+c3 d3
3 3 3
d c b
c b a d c b
c b a
Bài 2: Cho 4 số khác 0 là a, b, c, d thoả mãn b2 = ac; c2= bd
và b3+27c3+8d3 0 CMR:
3 3 3 3
3 3 3
8 27
8 27
d c b
c b a d
a
Nhận xét 2: Có thể mở rộng tỉ số như sau:
Bài 1: CMR: Nếu b a b c d c m d thì b a c b d c m d m a
4 4 4 4
4 4 4 4
Bài 2: Cho b2 = ac; c2= bd; d2 = cm
3 3
3 3 3
3 3 3 3
) (
) (
m d c b
d c b a m d c b
d c b a
Nhận xét 3:
Có thể tổng quát bài toán trên như sau:
Cho
1
1 3
2 2
1
n
n n
n
a
a a
a a
a
a
a
CMR:
1
1 1 3
2
2 1
n n n n
n
n n n
n
a
a a
a a
a a
a
Trang 12C KẾT LUẬN
Trên đây là một số bài toán xoay quanh vấn đề về “Tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng” và khai thác lời giải của một bài toán từ đó phân tích thành bài toán tổng quát việc khai thác giúp cho các em phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt và khả năng tự nghiên cứu
Q).ua quá trình giảng dạy đúc rút kinh nghiệm của chính bản thân cũng như sự trao đổi kinh nghiệm với các bạn đồng nghiệp, tôi đã tìm ra nhiều điều bổ ích, rút ra những phương pháp nghiên cứu vấn đề theo cách toàn diện nhất
Về phía các em học sinh tôi nhận thấy các em đã phần nào thể hiện được yêu cầu ở nhiều mức độ khác nhau Phần lớn là các em khai thác lời giải tốt Tuy nhiên khả năng khái quát còn hạn chế
Các bài toán mà tôi đưa ra trên đây có thể đã không khai thác được hết các tình huống hoặc chưa thật điển hình Vì vậy rất mong nhận được
sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Tân tiến, ngày tháng năm 200
Người thực hiện
Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT CỦA
TRƯỜNG THCS ……….
12