Không gian vector

D- u.o.ng nhiˆen khi W la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a V thı` W cu˜ng la` mˆo.t khˆong gian vector trˆen tru.`o.ng K.. nhiˆen cho tru.´o.c, la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a K−

Chu.o.ng 3

3.1 Kha ´ i niˆ e.m vˆe ` khˆ ong gian vector

3.1.1 D- i.nh nghı˜a khˆong gian vector

D- i.nh nghı˜a 3.1 Cho mˆo.t tˆa.p ho p E kha´c rˆo˜ng va` mˆo.t tru.`o.ng sˆo´ T cu`ng v´o.i hai phe´ p toa´ n:

- Phe´ p cˆo.ng:

(x, y) 7−→ x + y

- Phe´ p nhˆan ngoa`i

(λ, x) 7−→λx

E cu`ng v´o.i hai phe´ p toa´ n trˆen lˆa.p tha`nh mˆo.t khˆong gian vector trˆen K, hay

K- khˆong gian vector nˆe´u 8 tiˆen d¯ˆe` sau d¯ˆay d¯u.o c thu c hiˆe.n:

(1) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ E;

(2) ∃0E ∈ E sao cho: x + 0E = 0E + x = x; ∀x ∈ E;

(3) ∀x ∈ E, ∃ − x ∈ E sao cho: x + (−x) = (−x) + x = 0E;

(4) x + y = y + x; ∀x, y ∈ E;

(5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ E; ∀λ ∈ K;

(6) (λ + µ)x = λx + µx; ∀x ∈ E; ∀λ, µ ∈ K;

(7) (λµ)x = λ(µx); ∀x ∈ E; ∀λ, µ ∈ K;

(8) 1x = x, ∀x ∈ K.

Mˆo˜i phˆa` n tu.’ cu’a E d¯u.o c go.i la` mˆo.t vector, mˆo˜i sˆo´ thuˆo.c K go.i la` mˆo.t vˆo hu.´o.ng

3.1.2 V`ai v´ı du

a Tˆa.p ho p V = Matm ×n(K) ca´ c ma trˆa.n cˆa´p m × n trˆen tru.`o.ng K cu`ng v´o.i phe´ p toa´ n cˆo.ng hai ma trˆa.n, nhˆan mˆo.t sˆo´ cu’a tru.`o.ng K v´o.i mˆo.t ma trˆa.n la` mˆo.t K- khˆong gian vector Vector −→0 la` ma trˆa.n O, vector d¯ˆo´i −A la` ma trˆa.n d¯ˆo´i cu’a ma trˆa.n A

b Cho V la` tˆa.p ho p ca´c vector hı`nh ho.c v´o.i vector −→0 la` vector co´ mod¯un b˘a`ng 0 va` co´ hu.´o.ng tu`y y´ , ta xa´ c d¯i.nh phe´p cˆo.ng va` phe´p nhˆan ngoa`i trˆen V nhu sau:

Phe´ p cˆo.ng:

(−→x , −→y )7−→−→x + −→y

−

→x + −→y d¯u.o. c xa´ c d¯i.nh theo quy t˘a´c hı`nh bı`nh ha`nh

Vector d¯ˆo´i −−→x la` vector cu`ng phu.o.ng v´o.i vector −→x , co´ d¯ˆo da`i b˘a`ng d¯ˆo da`i vector −→x va` ngu.o. c hu.´o.ng v´o.i vector −→x

Phe´ p nhˆan ngoa`i v´o.i mˆo.t sˆo´: v´o.i α ∈ R, −→x ∈ V , α−→x la` mˆo.t vector cu`ng phu.o.ng v´o.i −→x , co´ d¯ˆo da`i b˘a`ng tı´ch cu’a |α| v´o.i d¯ˆo da`i cu’a −→x va` co´ hu.´o.ng cu`ng hu.´o.ng v´o.i −→x nˆe´u α > 0, ngu.o. c hu.´o.ng v´o.i −→x nˆe´u α < 0.

Dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng tˆa.p V cu`ng v´o.i hai phe´p toa´n trˆen thoa’ ma˜n 8 tiˆen d¯ˆe` cu’a d¯i.nh nghı˜a khˆong gian vector Vˆa.y V la` mˆo.t khˆong gian vector trˆen R

c Cho tru.`o.ng K, v´o.i n ≥ 1, xe´t tı´ch D- ˆeca´c:

Kn ={(x1, x2, , xn)/xi ∈ K, i = 1, 2, , n}

cu`ng hai phe´ p toa´ n:

(x1, x2, , xn) + (y1, y2, , yn) = (x1+ y1, x2+ y2, , xn + yn)

k(x1, x2, , xn) = (kx1, kx2, , kxn), k ∈ K

Dˆe˜ thˆa´y Kn cu`ng hai phe´ p toa´ n trˆen la` mˆo.t K− khˆong gian vector Vector

O = (0, 0, , 0), vector d¯ˆo´i cu’a x = (x1, x2, , xn) la`−x = (−x1,−x2, ,−xn)

D- ˘a.c biˆe.t: Khi n = 1 thı` ba’n thˆan K cu˜ng la` mˆo.t K− khˆong gian vector

d Tˆa.p ho p ca´c sˆo´ thu c R v´o.i phe´p cˆo.ng sˆo´ thu c va` phe´p nhˆan sˆo´ thu c v´o.i sˆo´ h˜u.u ty’ la` mˆo.t Q− khˆong gian vector

e Tˆa.p K[x] ca´c d¯a th´u.c mˆo.t biˆe´n hˆe sˆo´ trˆen K v´o.i phe´p cˆo.ng d¯a th´u.c va` phe´ p nhˆan mˆo.t phˆa` n tu.’ thuˆo.c tru.`o.ng K v´o.i mˆo.t d¯a th´u.c la` mˆo.t K− khˆong gian vector

3.1 Kha ´ i niˆ e.m vˆe ` khˆ ong gian vector 49

3.1.3 Mˆo.t sˆo´ tı´nh chˆa´t d¯o.n gia’n cu’a khˆong gian vector

Cho V la` mˆo.t K− khˆong gian vector tu`y y´ Khi d¯o´, ta luˆon co´:

Tı´nh chˆa´t 3.1 (Tı´nh duy nhˆa´t cu’a phˆ` n tu.a ’ khˆong.) Chı’ co´ duy nhˆa´t

mˆo.t vector 0 ∈ V sao cho

∀x ∈ V : x + 0 = 0 + x = x

Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u θ cu˜ng la` mˆo.t vector khˆong cu’a V thı`:

θ = θ + 0 = 0

Tı´nh chˆa´t 3.2 (Tı´nh duy nhˆa´t cu’a phˆ` n tu.a ’ d¯ˆo´i.) V´o.i mˆo˜i x ∈ V , tˆo` n ta.i duy nhˆa´t phˆa` n tu.’ d¯ˆo´i cu’a x la` −x sao cho:

x + (−x) = 0

Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u x0 cu˜ ng la` mˆo.t vector d¯ˆo´i cu’a x thı` :

−x = −x + 0 = −x + (x + x0) = (−x + x) + x0 = 0 + x0 = x0

Tı´nh chˆa´t 3.3 Luˆa.t gia’n u.´o.c co´ hiˆe.u lu c trong V , t´u.c la`:

+) (x + z = y + z) ⇒ (x = y), ∀x, y, z ∈ V ;

+) (z + x = z + y)⇒ (x = y), ∀x, y, z ∈ V

Thˆa.t vˆa.y, (x + z = y + z) ⇒ [(x + z) + (−z) = (y + z) + (−z)]

⇒ [x + (z − z) = y + (z − z)] ⇒ (x + 0 = y + 0) ⇒ (x = y)

Tu.o.ng tu. cho phˆa` n co`n la.i

Tı´nh chˆa´t 3.4 ∀x, y, z ∈ V, (x + y = z) ⇔ (x = z − y)

Thˆa.t vˆa.y, (x + y = z) ⇔ [(x + y) + (−y) = z + (−y)] ⇔ [x + (y − y) = z − y]

⇔ (x + 0 = z − y) ⇔ (x = z − y)

Tı´nh chˆa´t 3.5 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ V, λx = 0 ⇔



λ = 0 ∈ K

x = 0 ∈ V Ch´u.ng minh (⇐) λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0 ⇒ λ0 = 0 (theo luˆa.t gia’n u.´o.c); 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x ⇒ 0x = 0 (theo luˆa.t gia’n u.´o.c)

(⇒) Gia’ su.’ λx = 0 va` λ 6= 0 Khi d¯o´ ∃λ−1 ∈ K va` ta co´:

x = 1x = (λ−1λ)x = λ−1(λx) = λ−10 = 0, t´u.c la` x = 0 ∈ V

Tı´nh chˆa´t 3.6 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ V, −(λx) = (−λ)x = λ(−x).

Thˆa.t vˆa.y,

λx + (−λ)x = [λ + (−λ)]x = 0x = 0 = λx + [−(λx)] ⇒ (−λ)x = −(λx);

λx + λ(−x) = λ[x + (−x)] = λ0 = 0 = λx + [−(λx)] ⇒ λ(−x) = −(λx)

Vˆa.y: −(λx) = (−λ)x = λ(−x)

3.2 Khˆ ong gian vector con.

D- i.nh nghı˜a 3.2 Mˆo.t tˆa.p ho p con W 6= ∅ cu’a K− khˆong gian vector V d¯u.o c go.i la` khˆong gian vector con cu’a V nˆe´u W ˆo’n d¯i.nh d¯ˆo´i v´o.i phe´p toa´n cˆo.ng va` phe´ p nhˆan ngoa`i trˆen V T´u.c la`, x + y ∈ W va` λx ∈ W v´o.i mo.i x, y ∈ W , mo.i λ ∈ K

D- u.o.ng nhiˆen khi W la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a V thı` W cu˜ng la` mˆo.t khˆong gian vector trˆen tru.`o.ng K

Vı´ du

(1) K− Khˆong gian vector V la` mˆo.t khˆong gian con cu’a chı´nh no´ va` d¯u.o c go.i la` khˆong gian con khˆong thu c su Tˆa.p ho. p {0. V} chı’ gˆo` m mˆo.t vector khˆong cu˜ ng la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a V va` d¯u.o c go.i la` khˆong gian con tˆ` m thu.`o.ng cu’a V a

Ta go.i khˆong gian con thu c su cu’a V la` mˆo.t khˆong gian con kha´c {0V} va` kha´ c V

(2) Nˆe´u coi C la` mˆo.t R− khˆong gian vector thı` R ⊂ C la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a C Nˆe´u coi C la` mˆo.t C− khˆong gian vector thı` R khˆong la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a C vı` R khˆong ˆo’ d¯i.nh v´o.i phe´p nhˆan v´o.i mˆo.t sˆo´ ph´u.c

(3) Tˆa.p W = {a0+ a1x + a2xx+· · · + anxn|ai ∈ K} trong d¯o´ n la` mˆo.t sˆo´ tu nhiˆen cho tru.´o.c, la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a K− khˆong gian vector

K[x]

D- i.nh ly´ 3.1 Cho W la` mˆo.t tˆa.p con kha´c rˆo˜ng cu’a K− khˆong gian vector V Khi d¯o´ W la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a V khi va` chı’ khi

λx + µy ∈ W, ∀x, y ∈ W, ∀λ, µ ∈ K

Ch´u.ng minh (⇒) Gia’ su.’ W la` khˆong gian con cu’a V

Khi d¯o´ , ∀x, y ∈ W, ∀λ, µ ∈ K do λx, µy ∈ W nˆen λx + µy ∈ W

(⇐) Cho.n λ = µ = 1 thı` ∀x, y ∈ W , ta d¯ˆe` u co´ x + y ∈ W ;

3.3 Su phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh 51

Cho.n λ = 1, µ = 0 thı` ∀x ∈ W, y = x, ta d¯ˆe` u co´ λx + 0x = λx ∈ W

Do d¯o´ W la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a V

3.3 Su phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh v`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh.

3.3.1 Tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh va` biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh

D- i.nh nghı˜a 3.3 Cho x1, x2, , xn la` n vector (n ≥ 1) cu’a K− khˆong gian vector V va` λ1, λ2, , λn la` n vˆo hu.´o.ng trong K Vector

x = λ1x1+ λ2x2+· · · + λnxn =

n

X

i=1

λixi

d¯u.o. c go.i la` tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh cu’a hˆe vector (x1, x2, , xn) = (xi)i=1,n v´o.i ho hˆe sˆo´ (λ1, λ2, , λn) = (λi)i=1,n

Khi vector x la` mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆe´n tı´nh cu’a hˆe (xi)i=1,n thı` ta ba’o x biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh d¯u.o c qua hˆe (xi)i=1,n

Vı´ du Cho −→x1 = (1,−2), −→x2 = (3, 1), −→x = (5,−3) ∈ R2

Ta co´ 2−→x1 + −→x2 = (5,−3) = −→x

Vˆa.y −→x la` tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh cu’a hˆe (−→x1, −→x2), hay −→x biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh d¯u.o c qua hˆe (−→x1, −→x2).

Nhˆa.n xe´ t

(1) Ca´ ch biˆe’u diˆe˜n x = Pn

i=1

λixi no´ i chung khˆong duy nhˆa´t

Vı´ du Trong khˆong gian vector thu c R2, xe´ t 3 vector x1 = (−1, 0), x2 = (0,−1), x3 = (1, 1) Khi d¯o´ vector khˆong 0 = (0, 0) biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh d¯u.o. c qua hˆe (x1, x2, x3) b˘a`ng ı´t nhˆa´t hai ca´ ch sau:

0 = 0x1+ 0x2 + 0x3;

0 = 1.x1 + 1.x2+ 1.x3

(2) Nˆe´u x = 0 ∈ V thı` v´o.i mo.i hˆe vector (xi)i=1,n ⊂ V , x bao gi`o cu˜ng biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh d¯u.o c qua (xi)i=1,n

Vı´ du 0 =

n

P

i=1

λixi, λi = 0, ∀i = 1, n Trong tru.`o.ng ho p na`y ta no´i

0 biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh tˆa`m thu.`o.ng qua hˆe trˆen Nˆe´u 0 co´ ı´t nhˆa´t hai

ca´ ch biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh qua hˆe (xi)i=1,n thı` ta no´ i 0 biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh khˆong tˆa` m thu.`o.ng qua hˆe (xi)i=1,n

3.3.2 D- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh.

D- i.nh nghı˜a 3.4 Hˆe n vector (n ≥ 1) (xi)i=1,n trong K− khˆong gian vector

V d¯u.o. c go.i la` d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh nˆe´u vector khˆong chı’ co´ duy nhˆa´t mˆo.t ca´ch biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh qua hˆe d¯o´ b˘a`ng tˆo’ ho p tuyˆe´n tı´nh tˆa`m thu.`o.ng Hˆe khˆong d¯ˆo.c la.p tuyˆe´n tı´nh go.i la` hˆe phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh

Nhu vˆa.y, hˆe (xi)i=1,n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh khi va` chı’ khi

Xn

i=1

λixi = 0 ∈ V⇒ (λ1 = λ2 =· · · = λn = 0 ∈ K)

Co`n hˆe (xi)i=1,n phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh nˆe´u va` chı’ nˆe´u co´ ı´t nhˆa´t mˆo.t ho vˆo hu.´o.ng (λi)i=1,n khˆong d¯ˆo` ng th`o.i b˘a`ng khˆong sao cho Pn

i=1

λixi = 0 ∈ V

Vı´ du

(1) Cho V = R3 la` mˆo.t R− khˆong gian vector Xe´t hˆe

{x1 = (1, 1, 1), x2 = (1, 1, 0), x3 = (1, 0, 0)}

Gia’ su.’ tˆo` n ta.i λ1, λ2, λ3 ∈ R sao cho:

λ1x1+ λ2x2 + λ3x3 = 0 ⇔ (λ1+ λ2+ λ3, λ1+ λ2, λ1) = 0

⇔







λ1+ λ2+ λ3 = 0

λ1+ λ2 = 0

λ1 = 0

⇔







λ1 = 0

λ2 = 0

λ3 = 0 Vˆa.y hˆe d¯a˜ cho d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh trong R3

(2) Cho V = R2 la` mˆo.t R− khˆong gian vector Xe´t hˆe 3 vector :

{x1 = (1,−2), x2 = (1, 4), x3 = (3, 5)}

Gia’ su.’ co´ λ1, λ2, λ3 ∈ R sao cho:

λ1x1+ λ2x2 + λ3x3 = 0 ⇔ (λ1+ λ2+ 3λ3,−2λ1 + 4λ2+ 5λ3) = 0

⇔

(

λ1+ λ2+ 3λ3 = 0

−2λ1+ 4λ2+ 5λ3 = 0 ⇔

(

λ1+ λ2 = −3λ3

−2λ1+ 4λ2 = −5λ3

⇔







λ1 =−7

6λ3

λ2 =−11

6 λ3 T`u d¯ˆay ta co´ thˆe’ cho.n ra rˆa´t nhiˆe` u ho vˆo hu.´o.ng (λi)i=1,3 khˆong d¯ˆo` ng th`o.i b˘a`ng khˆong sao cho P3

i=1

λixi = 0 Vˆa.y hˆe d¯a˜ cho phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh

3.3 Su phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh 53

Quy u.´o.c Hˆe ∅ la` hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh Vector 0 ∈ V la` tˆo’ ho p tuyˆe´n tı´nh tˆa` m thu.`o.ng cu’a hˆe ∅ va` la` vector duy nhˆa´t biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh qua hˆe ∅ Nhˆa.n xe´ t

(1) {−→0 } la` hˆe phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh

(2) Nˆe´u hˆe (−→xi)i=1,n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh trong V thı` v´o.i mo.i −→x ∈ V , −→x co´ khˆong qua´ mˆo.t ca´ch biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh qua hˆe (−→xi)i=1,n

(3) Cho hˆe (−→xi)i=1,n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh trong V va` −→x ∈ V , nˆe´u −→x biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh d¯u.o. c qua hˆe (−→x

i)i=1,n thı` ca´ ch biˆe’u diˆe˜n d¯o´ la` duy nhˆa´t

Ch´u.ng minh Gia’ su.’ −→x biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh d¯u.o c qua hˆe (−→xi)i=1,n t´u.c la` tˆo` n ta.i ca´c λi ∈ K sao cho

−

→x = λ1−→x1 + λ2−→x2 +· · · + λn−→xn. Nˆe´u ngoa`i ca´ c λi trˆen co`n tˆo` n ta.i ca´c µi ∈ K sao cho

−

→x = µ1−→x1 + µ2−→x2 +· · · + µn−→xn. Thı` ta co´ :

λ1−→x1 + λ2−→x2 +· · · + λ

n−→x

n = µ1−→x1 + µ2−→x2 +· · · + µ

n−x→

n

⇔ (λ1− µ1)−→x1 + (λ2− µ2)−→x2+· · · + (λn − µn)xn = −→0

⇒















λ1− µ1 = 0

λ2− µ2 = 0

· · ·

λn − µn = 0

(do hˆe (−→xi)i=1,n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh)

⇔ λi = µi, ∀i = 1, n Vˆa.y su biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh cu’a −→x qua hˆe (−→xi)i=1,n la` duy nhˆa´t

3.3.3 V`ai t´ınh chˆa´t vˆ` hˆe phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´ne

t´ınh

Tı´nh chˆa´t 3.7 (i) Hˆe gˆo` m mˆo.t vector {−→x} d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh khi va` chı’ khi −→x 6=−→0

(ii) Mo.i hˆe vector ch´u.a −→0 d¯ˆe` u phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh

Tı´nh chˆa´t na`y kha´ d¯o.n gia’n, ba.n d¯o.c tu ch´u.ng minh

Tı´nh chˆa´t 3.8 V´o.i hˆe vector (xi)i ∈I tuy` y´ (I la` mˆo.t tˆa.p ho p bˆa´t ky` kha´ c

rˆo˜ng), hˆe (xi)i ∈J go.i la` hˆe con cu’a hˆe (xi)i ∈I nˆe´u J ⊂ I Khi d¯o´:

(i) Nˆe´u hˆe (xi)i=1,n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh thı` mo.i hˆe con cu’a no´ cu˜ng d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh

(ii) Nˆe´u co´ ı´t nhˆa´t mˆo.t hˆe con phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh thı` hˆe (xi)i=1,n cu˜ ng phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh

Ch´u.ng minh Gia’ su.’ (xi)i=1,n la` hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh va` (xj)j ∈J la` mˆo.t hˆe con tuy` y´ cu’a no´ , t´u.c la` J ⊂ I = {1, 2, , n} Ta cˆa` n ch´u.ng to’ (xj)j ∈J d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh

Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u P

j ∈J

λjxj = 0 la` mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆe´n tı´nh b˘a`ng 0 cu’a hˆe (xj)j ∈J

thı` 0 = P

j ∈J

λjxj + P

i ∈I\J

0.xi la` mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆe´n tı´nh b˘a`ng 0 cu’a hˆe (xi)i=1,n Ma` hˆe (xi)i=1,n la` hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh, suy ra λj = 0, ∀j ∈ J, t´u.c la` (xj)j ∈J

d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n

Vı` kha´ i niˆe.m hˆe phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh la` phu’ d¯i.nh cu’a kha´i niˆe.m hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh nˆen hai kh˘a’ng d¯i.nh trong tı´nh chˆa´t na`y la` tu.o.ng d¯u.o.ng nhau

D- i.nh ly´ 3.2 (D- i.nh ly´ d¯˘a.c tru.ng cu’a hˆe phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh) Hˆe n vector (n ≥ 2) (xi)i=1,n phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh khi va` chı’ khi co´ (ı´t nhˆa´t) mˆo.t vector cu’a hˆe biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh d¯u.o c qua ca´ c vector co`n la.i

Ch´u.ng minh (⇒) Gia’ su.’ hˆe (xi)i=1,n phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh Lu´c d¯o´ co´ ı´t nhˆa´t mˆo.t ho vˆo hu.´o.ng (λi)i=1,n khˆong d¯ˆo` ng th`o.i triˆe.t tiˆeu sao cho 0 = Pn

i=1

λixi Gia’ su.’ λj 6= 0 ∈ K (1 ≤ j ≤ n) Khi d¯o´

n

X

i=1

λixi ⇒ −λjxj = X

i 6=j

λixi ⇒ xj =X

i 6=j

−λi

λj



xi;

t´u.c la` xj biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh d¯u.o c qua hˆe ca´c vector co`n la.i (xi)i∈{1,2, ,n}\{j} (⇐) Ngu.o c la.i, gia’ su.’ co´ mˆo.t vector cu’a hˆe ch˘a’ng ha.n xj (1 ≤ j ≤ n), biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh d¯u.o c qua hˆe ca´c vector co`n la.i, t´u.c la` co´ ca´c vˆo hu.´o.ng

λi, i∈ {1, 2, , n}\{j} sao cho xj = P

i 6=j

λixi Khi d¯o´

xj =X

i 6=j

λixi ⇒ 0 = X

i 6=j

λixi + (−1)xj

D- ˆay la` mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆe´n tı´nh khˆong tˆa`m thu.`o.ng b˘a`ng 0 cu’a hˆe (xi)i=1,n Vˆa.y hˆe (xi)i=1,n phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh

3.4 Ha.ng cu˙’a mˆo.t hˆe vector 55

3.4 Ha.ng cu˙’a mˆo.t hˆe vector.

3.4.1 Hˆe con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh tˆo´i d¯a.i

D- i.nh nghı˜a 3.5 Gia’ su.’ I la` mˆo.t tˆa.p ho p h˜u.u ha.n va` J ⊂ I Cho hˆe vector (xi)i ∈I tu`y y´ trong mˆo.t K− khˆong gian vector na`o d¯o´ Hˆe (xj)j ∈J go.i la` hˆe con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i cu’a hˆe d¯a˜ cho nˆe´u no´ d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh va` nˆe´u thˆem bˆa´t ky` vector xi na`o, i ∈ I\J, va`o hˆe con d¯o´ ta d¯ˆe` u nhˆa.n d¯u.o c mˆo.t hˆe phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh

Vı´ du Trong R3 cho hˆe 3 vector {x1 = (1, 2, 3), x2 = (2, 4, 6), x3 = (3, 6, 9)} Khi d¯o´ mˆo˜i hˆe 1 vector {x1}, {x2}, {x3} d¯ˆe` u la` hˆe con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh cu’a hˆe d¯a˜ cho Ho.n n˜u.a, x3 = 3x1, x2 = 2x1, x3 = 3

2x2 nˆen ca´ c hˆe con {x1, x2}, {x1, x3}, {x2, x3} d¯ˆe` u phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh Vˆa.y {x1}, {x2}, {x3} la`

ca´ c hˆe con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i cu’a hˆe {x1, x2, x3} d¯a˜ cho

Tı´nh chˆa´t 3.9 Nˆe´u hˆe con (xi)i=1,n cu’a hˆe (xi)i ∈I ({1, 2, , n} ⊂ I) la` mˆo.t hˆe con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i thı` mo.i vector xi, i ∈ I d¯ˆe` u biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh d¯u.o. c qua hˆe con d¯o´ va` ca´ ch biˆe’u thi la` duy nhˆa´t

Tı´nh chˆa´t na`y la` hˆe qua’ tru c tiˆe´p cu’a D- i.nh nghı˜a 3.5 va` D-i.nh ly´ 3.2

Bˆo’ d¯ˆ` 3.1 (Bˆe o’ d¯ˆ` co ba’n vˆee ` su. phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh) Cho (x1, x2, , xm) va` (y1, y2, , yn) la` hai hˆe vector trong khˆong gian vector V Gia’ su.’ hˆe (xi)i=1,m d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh va` mˆo˜i xi (i = 1, m) d¯ˆe` u biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh d¯u.o. c qua hˆe (yj)j=1,n Khi d¯o´ m ≤ n

D- i.nh ly´ 3.3 Mo.i hˆe con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i cu’a mˆo.t hˆe h˜u.u ha.n vector trong mˆo.t K− khˆong gian vector tu`y y´ d¯ˆe` u co´ sˆo´ vector b˘a`ng nhau

Ch´u.ng minh Gia’ su.’ (xi)i ∈I la` mˆo.t hˆe vector h˜u.u ha.n Nˆe´u xi = 0 v´o.i mo.i

i ∈ I thı` (xi)i ∈I chı’ co´ mˆo.t hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i duy nhˆa´t la` ∅ va` kh˘a’ng d¯i.nh cu’a d¯i.nh ly´ la` hiˆe’n nhiˆen

Gia’ su.’ hˆe (xi)i ∈I co´ ch´u.a vector kha´ c khˆong Khi d¯o´ ca´ c hˆe con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i cu’a (xi)i ∈I co´ ı´t nhˆa´t mˆo.t vector Gia’ su.’ (xj)j ∈J 1 va` (xj)j ∈J 2

la` hai hˆe con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i cu’a (xi)i ∈I (J1 ⊂ I, J2 ⊂ I) v´o.i sˆo´ vector lˆa` n lu.o t la` m va` n (m, n ≥ 1) Vı` (xj)j ∈J 2 d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i nˆen mo.i xj, j ∈ J1 d¯ˆe` u biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh d¯u.o c qua (xj)j ∈J 2 Ma` (xj)j ∈J 1

d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh, do d¯o´ theo Bˆo’ d¯ˆe` 3.1, ta co´ m ≤ n Tu.o.ng tu cu˜ng co´

n ≤ m Vˆa.y n = m

3.4.2 Ha.ng cu˙’a mˆo.t hˆe vector.

D- i.nh nghı˜a 3.6 Cho V la` mˆo.t K− khˆong gian vector, (xi)i ∈I la` mˆo.t hˆe vector bˆa´t ky` trong V Nˆe´u hˆe con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i cu’a (xi)i ∈I co´ sˆo´ phˆa` n tu.’ h˜u.u ha.n b˘a`ng r thı` r d¯u.o c go.i la` ha.ng cu’a hˆe (xi)i ∈I

Kı´ hiˆe.u: rank((xi)i ∈I) = r

Vı´ du Xe´t la.i hˆe vector {x1 = (1, 2, 3), x2 = (2, 4, 6), x3 = (3, 6, 9)} cu’a

R3 Vı` {x1} la` mˆo.t hˆe con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i cu’a hˆe {x1, x2, x3} nˆen rank(x1, x2, x3) = 1

Nhˆa.n xe´ t Khi cho (s) = (xi)i=1,n la` mˆo.t hˆe vector trong V va` r =rank(s) thı`:

(i) r ≤ n,

(ii) Nˆe´u (s) = (xi)i=1,n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh thı` rank(s) = r = n

3.4.3 C´ac hˆe vector trong Kn

Trong khˆong gian Kn xe´ t m vector sau:

a1 = (a11, a12, , a1n)

a2 = (a21, a22, , a2n)

am = (am1, am2, , amn) Go.i A = (aij)m ×n la` ma trˆa.n cˆa´p m × n trˆen K ma` ca´c do`ng chı´nh la`

a1, a2, , am Khi d¯o´ ta co´ ca´ c kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ˆay:

D- i.nh ly´ 3.4 V´o.i hˆe (a1, a2, , am) va` ma trˆa.n A d¯u.o c d¯i.nh nghı˜a nhu trˆen,

ta co´ :

(1) Hˆe (a1, a2, , am) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh trong Kn ⇔ rank(A) = m

(2) Hˆe (a1, a2, , am) phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh trong Kn ⇔ rank(A) = m

D- i.nh ly´ 3.5 Ha.ng cu’a mˆo.t ma trˆa.n cˆa´p m × n trˆen K b˘a`ng ha.ng cu’a hˆe vector cˆo.t (tu.o.ng ´u.ng, do`ng) cu’a no´ trong Km (tu.o.ng ´u.ng, Kn)

T`u 2 d¯i.nh ly´ trˆen ta suy ra mˆo.t ca´ch d¯ˆe’ xe´t tı´nh d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh hay phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh cu˜ng nhu tı`m ha.ng cu’a mˆo.t hˆe vector trong Kn la` d¯i tı`m ha.ng cu’a ma trˆa.n d¯u.o c ta.o nˆen bo.’i ca´c vector d¯o´

Vı´ du Xe´t tı´nh d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh hay phu thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh va` tı`m ha.ng cu’a ca´ c hˆe vector sau: