Giáo Án Không Gian Vector Và Các Phép Toán Trên Vector; Hệ Vector hệ vector độc lập tuyến tính và hệ vector phụ thuộc tuyến tính

Thực hiện ngày ……..thỏng…… năm 2010 TấN BÀI: KHễNG GIAN VECTOR VÀ CÁC PHẫP TOÁN TRấN VECTOR; HỆ VECTOR Độc lập tuyến tính và hệ vector phụ thuộc tuyến tính I.. c, định nghĩa hệ vectơ độc

Trang 1

GIÁO ÁN SỐ: 01 Thời gian thực hiện: 3 tiết Lớp:CĐKT36(ý yờn)

Số giờ đó giảng:………

Thực hiện ngày …… thỏng…… năm 2010 TấN BÀI: KHễNG GIAN VECTOR VÀ CÁC PHẫP TOÁN TRấN VECTOR; HỆ VECTOR Độc lập tuyến tính và hệ vector phụ thuộc tuyến tính I Mục đớch: Giỳp sinh viên - hiểu được thế nào là một khụng gian vector Nhận biết được một khụng gian vector - Từ đú khỏi quỏt lờn được một khụng gian vector n chiều - Và nắm được cỏc phộp toỏn trờn vector để cú thể biến đổi được - Kiểm tra đợc một hệ vector khi nào là độc lập tuyến tính khi nào là phụ thuộc tuyến tính II Ổn định lớp: Thời gian: 1 phỳt Số học sinh vắng:………Tờn:………

…………

………

III. Kiểm tra bài cũ: Thời gian: 5 phút - Cõu hỏi kiểm tra:………

………

- Dự kiến học sinh kiểm tra:………

Tờn: ……… ……… ……… ………

Điểm:…… ……… ……… ……… ………

IV.Giảng bài mới:

- Đồ dựng và phương tiện dạy học:

+ Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, tài liệu tham khảo

+ Gợi mở, vấn đỏp, đan xen hoạt động nhúm

- Nội dung, phương phỏp:

Nội dung giảng dạy Phơng pháp giảng dạy Thờ

i gian

I Nờu định nghĩa khụng gian vector:

- Giả sử cho tập V khỏc rỗng và trường K (trường K này

cú thể là trường số thực (R), trường số hữu tỷ (Q) hay là

trường số phức (C))

- Giả sử cỏc phần tử α β γ ∈uuruurr, , V Trờn V đi trang bị hai phộp

toỏn:

+ Phộp cộng: V.V -> V (phộp cộng hai vector)

( )α βuurur, a α βur ur+

+ Phộp nhõn: K.V -> V(phộp nhõn một số với một

vector

( )k, αur a kαur

Sao cho hai phộp toỏn này thoả món 8 điều kiện sau:

- Trỡnh bày trờn bảng, vấn đỏp

- HS lắng nghe làm quen với định nghĩa khụng gian vector

Trang 2

Khi đú V cựng hai phộp toỏn cộng và nhõn (V, +, *) là một

khụng gian vector trờn trường K, hay gọi là K_khụng gian

vector V

- Từ định nghĩa khụng gian vector khỏi quỏt lờn nờu định

nghĩa khụng gian vector n chiều

Thỡ K n cựng hai phộp toỏn cộng và phộp toỏn nhõn trờn là

một khụng gian vector n chiều trờn trường K

n=3: Thỡ R3_ là khụng gian vector 3 chiều: Hỡnh ảnh

là toàn bộ khụng gian thực 3 chiều

II Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ

phụ thuộc tuyến tính

1 Hệ vectơ độc lập tuyến tính.

- HS lắng nghe ghichộp bài

- Quy nạp lờn chokhụng gian vectorn_chiều

- HS quan sỏt thảoluận làm vớ dụ

- Xõy dựng cỏc phộptoỏn trờn khụng gianvector

Trang 3

Định nghĩa

Cho K_không gian vectơ V

a, Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ α α ∈r1 rn Vlà một

b, Với α∈r V, nếu α = λ α + λ α + + λ αr 1r1 2r2 nrn thì ta nói

vectơ αr đợc biểu diễn tuyến tính đợc qua hệ vectơ ( , ,αr1 αrn)

và đẳng thức α = λ α + λ α + + λ αr 1r1 2r2 nrn gọi là một biểu thị

tuyến tính của vectơ αr qua các vectơ αr1, ,αrn.

c, (định nghĩa hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ

phụ thuộc tuyến tính)

* Hệ vectơ ( , ,αr1 αrn) đợc gọi là hệ độc lập tuyến tính

* Hệ vectơ ( , ,αr1 αrn)đợc gọi là hệ vectơ phụ thuộc

tuyến tính nếu hệ vectơ đó không độc lập tuyến tính

- Từ đú suy ra một hệvector khi nào thỡPTTT

- HS dựa vào cỏcđịnh nghĩa ở trờnkiểm tra xem hệvector nào ĐLTT,nào PTTT

- HS chỳ ý lắng nghe

Trang 4

c, Với n >1 hệ n vectơ ( , ,αr1 αrn)là hệ vectơ phụ thuộc

tuyến tính khi và chỉ khi một vectơ nào đó biểu thị tuyến tính

qua các vectơ còn lại của hệ

d, Mỗi hệ con của hệ vectơ độc lập tuyến tính là một hệ

vectơ độc lập tuyến tính

Ví dụ : Giả sử hệ vectơ ( , ,αr1 αrn) độc lập tuyến tính

thì hệ vectơ con ( , ,αr1 αrn i− ) là độc lập tuyến tính , với i =

VI. Cõu hỏi bài tập: - Về nhà làm bài tập:

1 Xét xem hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính :

a, αr1=( -1,-2,1,2), αr2=(0,-1,2,3), αr3=(1, ,3)4,1,2), αr4=(-1,0,1)

b, αr1=(-1,1,0,1), αr2=(1,0,1,1), αr3=(-3,1,-2,-1).

2 Trong K - không gian vectơ cho hệ vectơ (αr1,αr2, ,αrn) Xét xem hệ này có độc lập tuyến tính hay không trong mỗi trờng hợp sau :

a, Có một vectơ của hệ bằng vectơ không

b, Có hai vectơ của hệ bằng nhau

Trang 5

Thực hiện ngày …… thỏng…… năm 2010 TấN BÀI: MA TRẬN I Mục đớch: Giỳp sinh viên - Hiểu được thế nào là một ma trận Nắm được cỏc dạng của ma trận - Làm được cỏc phộp toỏn trờn ma trận - Tớnh được định thức của ma trận II Ổn định lớp: Thời gian: 1 phỳt Số học sinh vắng:………Tờn:………

…………

………

Tờn: ……… ……… ……… ………

Điểm:…… ……… ……… ……… ………

IV.Giảng bài mới: - Đồ dựng và phương tiện dạy học: + Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, tài liệu tham khảo + Gợi mở, vấn đỏp, đan xen hoạt động nhúm - Nội dung, phương phỏp: Nội dung giảng dạy Phương phỏp giảng Thờ i gia n I Định nghĩa Cho K là một trờng tuỳ ý Một bảng gồm m.n phần tử a ij thuộc trờng K có dạng: 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a a a a a a a a    ữ  ữ  ữ  ữ   L L M M L M L (1)

đợc gọi là một ma trận kiểu (m,n) Mỗi a ij đợc gọi

là một thành phần của ma trận , vectơ dòng

(ai1 ai2 L ain)

đợc gọi là dòng thứ i của ma trận

- HS chỳ ý làm quen với định nghĩa của ma trận

- GV trỡnh bày lờn bảng

- HS để ý một số đặc biệt của ma trận

Trang 6

Ta thờng kí hiệu các ma trận bằng các chữ cái

A,B,C, Ma trận (1) có thể kí hiệu đơn giản bởi

A=(a ij ) mxn Ta cũng nói ma trận A có m dòng , n cột.

-Khi m = n thì ma trận A=(a ij ) nxn đợc gọi là ma

trận vuông cấp n.

Tập hợp các ma trận kiểu (m,n) với các phần tử

thuộc trờng K đợc kí hiệu là Mat(m x n,K).

II Các loại ma trận thờng gặp

+ Các phần tử a ,a , ,a của ma trận vuông11 22 nn

cấp n đợc gọi là các phần tử chéo Tổng

- Giới thiệu hs cỏc loại của

ma trận để cỏc bạn làmquen

Trang 7

Là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đờng

chéo đều bằng 1 còn các phần tử khác đều bằng 0 I

6 Ma trận tam giác trên , ma trận tam giác dới.

- Ma trận vuông mà các phần tử nằm dới đờng

chéo đều bằng không thì gọi là ma trận tam giác trên

- GV trỡnh bày cỏc phộptoỏn trờn ma trận

- HS chỳ ý lắng nghe để

Trang 8

aij= bij với i= 1,2, m j = 1,2, n.

Kí hiệu A = B

2.Phép cộng ma trận

a Định nghĩa:

Cho A=(aij)mxn và B=(bij)mxn là hai ma trận thuộc

Mat(mxn,K) và λ∈K.Ta gọi tổng của hai ma trận A và

(-1).A = -A0.A = 0

λ.0 = 0

λ(βA) = (λ β)A

4 Tích của hai ma trận

a Định nghĩa:

Cho ma trận A=(a ij ) mxn thuộc Mat(m x n, K) và

B=(b j k ) nxp thuộc Mat(nxp, K) Ta gọi tích của ma trận

A với ma trận B là một ma trận C=(c jk ) m x p thuộc Mat

- Hs chỳ ý phộp nhõn hai

ma trận

Điều kiện để có tíchA.B là số cột của A bằng sốdòng của B Nh vậy có thể

có tích A.B nhng cũng cóthể không có tích B.A

Trang 9

Cét k cét k

Dßng thø i

k1

k 2 i1 i2 in

kn

bb

Tínhchất:(A.B).C= A.(B.C); (A+B)C=AC+BC

C(A+B)=CA+CB; λ(AB)= (λA)B=A(λB)

- HS nắm thế nào được gọi

là ma trận chuyển vị

- Áp dụng làm bài tập

Trang 10

Cho A=(a ij ) nxn Ta gọi định thức của ma trận A là

một phần tử thuộc trờng K , kí hiệu là detA , gọi là định

thức cấp n và còn đợc kí hiệu là |A| hay :

Định thức con : định thức con úng với phần tử

nào đó của định thức |A| là định thức cấp nhỏ hơn 1

- Hs chỳ ý lắng nghe ghibài

- Cỏc dạng định thức vacỏch tớnh

Trang 11

đơn vị suy ra từ |A| bằng cách bỏ hàng và cột chứa

bằng cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của

A Kí hiệu R(A) = r Nghĩa là nếu có một định thức

con cấp r của A khác 0 con các định thức con khác của

A cấp >r đều bằng 0.

- GV nờu cỏch tớnh địnhthức cấp cao hơn 3

- HS chỳ ý lắng nghe đểlĩnh hội

-Nh vậy ta có cách tính

định thức bằng cách khaitriển theo hàng hoặc cộtcủa định thức

- Áp dụng hạng của matrận: Chứng minh độc lập

tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính :

Cho hệ vectơ ( , ,αr1 αrn).Ta viết các vectơ theo dạngcột , và đa vào thành matrận A.Ta tìm hạng của matrận A : R(A) = r

Nếu r= n thì hệ vectơ

( , ,αr αr )độc lập tuyếntính

- Nắm chắc định nghĩa ma trận, cỏc dạng đặc biệt của ma trận

- Cỏc phộp toỏn trờn ma trận ma trận chuyển vị,

- Cỏch tớnh định thức ma trận bất kỳ, tỡm hạng của ma trận

B i 1 Cho các ma trận với các phần tử thuộc tr à ờng số thực R:

Trang 13

Thực hiện ngày …… thỏng…… năm 2010 TấN BÀI: MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I Mục đớch: Giỳp sinh viên - Hiểu được thế nào là một ma trận nghịch đảo - Biết cỏch tỡm một ma trận nghịch đảo II Ổn định lớp: Thời gian: 1 phỳt Số học sinh vắng:………Tờn:………

…………

………

Tờn: ……… ……… ……… ………

Điểm:…… ……… ……… ……… ………

gian

I Các định nghĩa

Định nghĩa 1

Phần bù đại số : Phần bù đại số của phần tử hàng i

và cột j a ij của |A| là định thức con ứng với phần tử ấy

kèm theo dấu (+ ) nếu ( i+j) chẵn và dấu(-) nếu (i+j ) lẻ

Kí hiệu A ij là phần bù đại số của a ij

Định nghĩa 2:

Ma trận phụ hợp :

Cho ma trận A = (a ij ) n x n và A ij là phần bù đại số của

a ij Lập ma trận

B =

L L

M

Thì Bt đợc gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A.

- GV trỡnh bày cỏc định nghĩa lờn bảng

- Hs chỳ ý lắng nghe và lĩnh hội

- A ij =(-1) i+j |A ij |

Trang 14

•Nếu |A| = 0 thì kết lụân không có ma trận nghịch

đảo Nếu |A| ≠ 0 thì chuyển sang bớc tiếp theo

- GV nờu định nghĩa nghĩa của ma trận nghịch đảo

- Cỏch tỡm một ma trận nghịch đảo

- GV đưa vớ dụ:

- HS thảo luận làm bài

- Lờn bảng trỡnh bày bài làm

V Tổng kết bài:

 Nắm chắc định nghĩa ma trận nghịch đảo

 Cỏch tỡm một ma trận nghịch đảo

B i 1 Tìm các ma trận nghịch đảo của các ma trận sau : à

Trang 16

GIÁO ÁN SỐ: 04 Thời gian thực hiện: 5 tiết Lớp:CĐKT36(ý yên)

Số giờ đã giảng:………

Thực hiện ngày …… tháng…… năm 2010 TÊN BÀI: HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh. I Mục đích: Giúp sinh viªn - Nắm được khái niệm về một hệ phương trình tuyến tính - Biết cách giải một hệ phương trình tuyến tính, tìm được nghiệm - Nắm được phương pháp giải Cremar, và phương pháp Gauss II Ổn định lớp: Thời gian: 1 phút Số học sinh vắng:………Tên:………

…………

………

III. KiÓm tra bµi cò: Thêi gian: 5 phót - Câu hỏi kiểm tra:………

………

Tên: ……… ……… ……… ………

Điểm:…… ……… ……… ……… ………

IV.Gi¶ng bµi míi:

- Đồ dùng và phương tiện dạy học:

+ Giáo án, giáo trình, tài liệu tham khảo

+ Gợi mở, vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm

- Nội dung, phương pháp:

i gian

I Kh¸i niÖm HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn

tÝnh tæng qu¸t:

1 §Þnh nghÜa 1 :

Mét hÖ thèng m ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi n

Èn cã d¹ng :









L M

L

(1)

C¸c a ij lµ c¸c sè cho tríc thuéc trêng K, x j lµ

c¸c Èn

- GV trình bày khái niệm về

hệ phương trình tuyến tính tổng quát lên bảng cho hs

- Hs chú ý lằng nghe và lĩnh hội

Trang 17

xxx

(1) đợc gọi là thuần nhất nếu các b i = 0

(i=1,2, ,n) Ngợc lại thì không là thuần nhất.

II Nghiệm của hệ phơng trình tuyến

tính

1 Định nghĩa 1 Bộ n số α1, ,αn với α ∈i K gọi

là 1 nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính nếu

 

M ,

2 Định nghĩa 2: Hệ (1) đợc gọi là tơng thích nếu

nó co nghiệm , ngợc lại gọi là không tơng thích

Nếu (1) tơng thích và có nghiệm duy nhất thì

gọi là hệ xác định., ngợc lại gọi là hệ vô định.

Chú ý : Mọi hệ thuần nhất luôn là hệ tơng

thích vì luôn có nghiệm x=0 là nghiệm tầm thờng

Trang 18

xxx

ph-ơng trình tuyến tính với A không suy biến

3 Nghiệm của hệ Cramer : Hệ Cramer có

nghiệm duy nhất cho bởi công thức

(i) i

Ax

A

= ,

i=1,2, n với A(i) là ma trận nhận đợc từ A bằng

cách thay cột thứ i bằng cột ma trận B

IV Giải hệ phơng trình tuyến tính

1 Điều kiện tơng thích của hệ phơng trình

tuyến tính

Định lý Kronecker - Capelly

Cho hệ phơng trình tuyến tính (1) , Điều kiện

cần và đủ để (1) có nghiệm là R(A) = R(AB)

2 Biện luận :

Hệ phơng trình tuyến tính (1 ) có nghiệm duy

nhất khi và chỉ khi R(A)=R(AB )= n

- Luôn có nghiệm tầm thờng X=0

- Nếu R(A) = n thì đó là nghiệm duy nhất

Định lý : Điều kiện cần và đủ để AX = 0 có nghiệm

không tầm thờng là

R(A) < n

Hệ quả 1 : Điều kiện để hệ phơng trình tuyến tính

- GV trỡnh bày phương phỏptỡm nghiệm của HPTTT bằngphương phỏp Cramer

A

|A | =

Ta có điều phải chứng minh

- GV nờu cỏch biện luận vềnghiệm của hệ PTTT dựa vàohạng cuar ma trận

- SV chỳ ý lắng nghe lĩnh hội

Trang 19

Tập nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính

không thay đổi nếu thực hiện các phép biến đỏi

Do đó khi giải hệ bằng phơng pháp Gauss ta viết

hệ phơng trình đề bài , sau đó viết ma trận mở

rộng áp dụng các biến đổi trên để đa về dạng ma

trận tam giác trên.

- GV trỡnh bày phương phỏpgiải hệ pt tuyến tớnh bằngphương phỏp Gauss

Bớc (2) : Ta nhân dòng 1với -4 rồi cộng vào dòng 2,nhân dòng 1 với -3 rồi cộngvào dòng 3

Bớc (3) : Ta nhân dòng 2với rồi cộng vào dòng 3

Cuối cùng ta đợc ma trậntam giác trên Nên có x3 = 1

Trang 20

- Nắm chắc được phương phỏp giải một hệ phương trỡnh tuyến tớnh bằng phương

phỏp Cramer, phương phỏp Gauss

- Cỏch biện luận số nghiệm của hệ phương trỡnh

B i1 Giải hệ ph à ơng trình sau bằng các phơng pháp đã học ( Cramer, Gauss):

VII Rỳt kinh nghiệm: ………

Trang 21

Thực hiện ngày …… thỏng…… năm 2010 TấN BÀI: GIẢI TÍCH TỔ HỢP. I Mục đớch: Giỳp sinh viên - Nắm được khỏi niệm về giai thừa, hoỏn vị, chỉnh hợp, tổ hợp - Biết cỏch ỏp dụng giải bài tập - Áp dụng vào làm cỏc bài tập về xỏc suất II Ổn định lớp: Thời gian: 1 phỳt Số học sinh vắng:………Tờn:………

…………

………

Tờn: ……… ……… ……… ………

Điểm:…… ……… ……… ……… ………

i gian

1 Tính giai thừa

Định nghĩa : Giai thừa : Cho n ∈ N thì n giai

thừa kí hiệu là n! và

n! = 1.2 n.

Quy ớc 0! = 1

2 Hoán vị

Định nghĩa:

Cho tập M gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp

của n phần tử của tập M theo một thứ tự nhất định

đợc gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho.

Kí hiệu P n và P n = n!

- GV nhắc lại kiến thức về tổ hợp

- HS chỳ ý lắng nghe lĩnh hội

Ví dụ: Có bao nhiêu số có 3

chữ số đợc lập từ các số {1,2,3} ?

Lời giải

Số các số đợc lập là hoán

vị của 3 phần tử của tập {1,2,3} = 3! =6

Nhận xét : Hai hoán vị là khác nhau nếu thứ tự của các

Trang 22

3 Chỉnh hợp đơn

Định nghĩa:

Cho tập M gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp

k phần tử của n phần tử của tập M theo một thứ tự

nhất định đợc gọi là một chỉnh hợp chập k của n

là khác nhau nếu nếu chúng

có thứ tự khác nhau hoặcphần tử khác nhau

Ví dụ Cho tập M ={1,2}

Lập số chỉnh hợp lặp chập 3của 2 phần tử ?

Số các chỉnh hợp lặp là : 111,

112, 121, 211, 122, 212, 221,222

Ví dụ : Có bao nhiêu

cách phân ngẫu nhiên 12 tặngphẩm cho 3 ngời ?

Số cách là chỉnh hợp lặpchập 12 của 3 tức là có 312cách

Ví dụ 1 Có bao nhêiu

cách chọn 5 ngới trong 50

ng-ời đi lao động ?

Số cách là một tổ hợp chập 5của 50 phần tử tức là 5

12

C cách

Trang 23

29 c¸ch VËy cã 3

12

C 29 c¸chph©n chia

- Nắm chắc được các công thức tính của giải tích tổ hợp.

- biết áp dụng vào để làm bài tập

VI. Câu hỏi bài tập: - Về nhà làm bài tập:

Trang 24

b, Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 ngời sao cho ngời thứ nhất

8 Có mấy cách lập một hội đồng gồm 3 ngời lấy trong số 4 cặp vợ chồng nếu :

………

Trưởng khoa / Tổ trưởng bộ mụn Ngày …… thỏng … năm…….

Chữ ký giỏo viờn

Bựi Văn Trường

Trang 25

Số giờ đó giảng:……….

Thực hiện ngày …… thỏng…… năm 2010

I Mục đớch: Giỳp sinh viên

- Nắm được khỏi niệm định nghĩa về biến ngẫu nhiờn, định nghĩa tớnh chất của xỏc suất

- Hiểu được xỏc suất chỉ ỏp dụng trờn cỏc hiện tượng ngẫu nhiờn

- Áp dụng vào làm cỏc bài tập về xỏc suất, tỡm cỏc quy luật tư nhiờn

Số học sinh vắng:………Tờn:………

…………

………

- Cõu hỏi kiểm tra:………

i gian

1 Ngẫu nhiên và tất nhiên.

- Ngẫu nhiên : là hiện tợng có thể xảy ra hoặc

không thể xảy ra

- Tất nhiên : là hiện tợng chắc chắn xảy ra

- Đối tợng nghiên cứu của xác suất là các hiện

tơng ngẫu nhiên

- Mục đích và nhiệm vụ : Dự báo tơng lai giúp

nhà nớc , cơ quan , gia đình , cá nhân hoạch định

kế hoạch chính sách

2 Phép thử và biến cố ngẫu nhiên

- Phép thử : Việc thựcc hiện một nhóm các

điều kiện xác định thì gọi là một phép thử

- Phép thử có thể lặp lại nhiều lần và kết quả

không biết trớc đợc

- Kí hiệu các biến cố ngẫu nhiên là các chữ

- GV giưới thiệu cỏc khỏiniệm về sự ngẫu nhiờn và tấtnhiờn

- HS chỳ ý theo dừi lắng nghe

Ví dụ 1 Gieo một đồng tiền

xu : ta đã thực hiện một phépthử và có thể cho kết quả làsấp (S) hoặc ngửa (N)

Ví dụ 2: Gieo một lần

con xúc xắc đợc xem nh tiếnhành một phép thử “gieo xúcxắc “ kết quả của phép thửnày là tập hợp các sự kiện

Ω={ E1 , E6 } với Ei

là sự kiện mặt trên con xúcxắc có i chấm

Ví dụ 3 : Một bà mẹ sinh

Trang 26

cái in hoa : A, B, C

- Biến cố sơ cấp : Là sự kiện xảy ra khi và chỉ

khi có một kết quả cụ thể trong số nhứng kết quả

loại trừ nhau

Kí hiệu biến cố sơ cấp là ω

- Tập các biến cố sơ cấp là không gian biến

cố sơ cấp Kí hiệu là Ω

•Biến cố ∅ : là biến cố nhất định không xảy

ra

Biến cố Ω : là biến cố nhất định xảy ra

Nhận xét : Mọi biến cố sơ cấp đều là biến cố

ngẫu nhiên , nhng ngợc lại cha chắc đúng

Ví dụ 6 :Nh gieo một con xúc xắc , gọi A là

biến cố mặt trên chẵn Thì A là biến cố ngẫu nhiên

nhng không phải là biến cố sơ cấp

3 Các phép toán của xác suất

a, Sự kéo theo : A ⊂ B nếu A xảy ra nhng B

không xảy ra

b, Sự bằng nhau : A = B khi và chỉ khi A ⊂

B và B ⊂ A

- Các biến cố không đồng thời xảy ra nếu sự

xuất hiện của một trong chúng loại trừ sự xuất hiện

của những biến cố khác trong cùng một phép thử

- Các biến cố đồng thời xảy ra nếu chúng có

thể cùng xuất hiện trong một phép thử

- Các biến cố đợc gọi là đồng khả năng nếu sự

xuất hiện của biến cố này với biến cố khác là có

khả năng nh nhau

c, Biến cố tổng (hợp các biến cố ).

Cho hai biến cố A và B Biến cố tổng ( hợp )

A ∪ B xảy ra nếu hoặc A xảy ra hoặc B xảy ra

Trong tính toán chúng ta thay dấu “∪”bằng dấu

Ví dụ 4: Gieo một đồngtiền , thì S và N là hai biến cốloại trừ nhau nên

Ω = {S,N}

Ví dụ 5: Gieo một con

xúc xắc , gọi E1 , E6 là biến

cố mặt trên có 1 , ,6 chấm ,thì E1 , E6 là các biến cố sơcấp Và Ω={ E1 , E6 } làkhông gian biến cố sơ cấp

Ví dụ : E1 là biến cố “ mặttrên con xúc xắc có 1 chấm

“và E là biến cố “ mặt trêncon xúc xắc có số chấm lẻ “Nghĩa là E = {E1 , E3 , E5 }

Ta thấy : E1 ⊂ E , nghĩa

là E1 kéo theo

Ví dụ: Gieo một con xúc xắc

đồng chất ,cân đối Thì sựxuất hiện của các mặt E1( một chấm) , E2 ( haichấm ) , E3 ( ba chấm ) , E4( bốn chấm ) , E5 ( lăm chấm ), E6 ( sáu chấm ) là nh nhauhay đồng khả năng

Trang 27

A = E2∪E4∪E6

d, Biến cố tích ( giao các biến cố ) Biến cố

tích A ∩B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B

cùng xảy ra Trong tính toán thay “∩” bằng “.”

e, Biến cố hiệu ( phép trừ ) Hiệu của hai

biến cố A và B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi biến

cố A xảy ra còn biến cố B không xảy ra

f, Sự xung khắc : Hai biến cố A và B đợc gọi là

xung khắc với nhau nếu A∩ B =∅

g, Biến cố đối lập : biến cố Ω\A là biến cố đối

lập của biến cố A Kí hiệu là A

II CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

1 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Giả sử không gian biến cố sơ cấp Ω gồm n

biến cố sơ cấp đồng khả năng xảy ra

∪E5 khi đó A B = ∅

Ví dụ : Đặt A = { 1,2,3} và B

= { 3,4,5} thì ta có A\ B ={1,2} và B\A = {4,5}

Phép trừ không có tínhchất giao hoán A\B khác B\A

Ví dụ : gieo một lần con xúc

xắc cân đối và đồng chất tìmxác suất để :

a, mặt trên của nó có mộtchấm ?

b, mặt trên của nó có số chấm

là chẵn ?Giải

a, Đặt A là biến cố ‘ mặt trêncon xúc xắc có một chấm ‘.Vì con xúc xắc cân đối và

đồng chất nên khả năng xuấthiện các mặt

E1 , E6 là nh nhau Vậy số khả năng có thể n =

6 .Khả năng thuận lợi chobiến cố A là m = 1

Vậy P(A) = 1

6.

b, Đặt B = {E2,E4,E6}.Nên số khả năng thuận lợicho B là m = 3

Trang 28

2 Định nghĩa thống kê của xác suất

Xét phép thử ngẫu nhiên nào đó Biến cố A

đ-ợc quan sát trong phép thử này Ta lặp lại n lần

phép thử này với điều kiện nh nhau Gọi m là số

lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử đó.

tỉ số m

n đợc gọi là tần suất xuất hiện biến cố A

.

Nói chung tần suất m

n bị thay đổi nếu ta thực hiện một loạt các phép thử, song thực nghiệm

n = p Khi đó ta gọi p là xác suất của biến cố A

3 Định nghĩa xác suất hình học

Cho miền Ω đo đợc (trong đờng thẳng , mặt

phẳng , không gian ba chiều v v ) và miền con S

đo đợc của Ω Ta lấy ngẫu nhiên điểm m trongΩ

Đặt A là biến cố M “ Ω” Xác suất biến cố A xác

•Nếu miền Ω là đờng cong hay đoạn thẳng

thì độ đo của nó là độ dài

•Nếu miền Ω là hình phẳng hay mặt cong

thì độ đo của nó là diện tích

•Nếu miền Ω là hình khối ba chiều thì độ đo

của nó là thể tích

4 Các tính chất của xác suất

a, Cho hai biến cố A và B nếu A⊂B thì P(A) ≤

là số lần xuất hiện mặt sấp

Ví dụ :

Hai ngời hẹn gặp nhau ởmột địa điểm xác định vàokhoảng từ 8 giờ đến 9 giờ.Ngời đến trớc sẽ đợi ngời kia

10 phút Sau đó nếu khônggặp thì sẽ đi khỏi điểm hẹn Hãy tìm xác suất để hai ngờigặp nhau Biêt rằng mỗi ngời

có thể đến chỗ hẹn trongkhoảng thời gian quy địnhmột cách ngẫu nhiên khôngphụ thuộc vào ngời kia đếnlúc nào

Đecac vuông góc

Đơn vị ở các trục làphút , không gian biến cố sơ

Trang 29

đa giác AOBCDE Vậy xác suất phải tìm

- GV nhắc lại cỏc định nghĩa cỏc tớnh chất để ỏp dụng làm bài tập.

B i 1 Kiểm tra theo thứ tự một lô hàng gồm n sản phẩm Các sản phẩm đều thuộc mộtàtrong hai loại tốt hoặc xấu Kí hiệu Ak là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k là sản phẩm tốt(k = 1,2, n ) Viết bằng kí hiệu các biến cố sau đây :

a, Cả n sản phẩm đều tốt

b, Có ít nhất một sản phẩm tốt

c, Có m sản phẩm kiểm tra đầu tiên là tốt , còn lại là sản phẩm xấu

d, Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là xấu, các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự lẻ

là tốt

e, Không gian biến cố sơ cấp gồm mấy phần tử ?

B i 2 Bắn không hạn chế vào một mục tiêu cho tới khi có một viên đạn trúng mục tiêuàthì ngừng bắn Giả sử mỗi lần bắn chỉ có thể có hai khả năng trúng bia ( biến cố A ) vàkhông trúng bia ( biến cố A)

a, Hãy mô tả không gian biến cố sơ cấp

b, Hãy nêu một hệ đầy đủ các biến cố

B i 3 Có n bệnh nhân Gọi Aà k là bệnh nhân thứ k khỏi bệnh Hãy viết bằng kí hiệucác biến cố sau :

a, Tất cả các bệnh nhân đều khỏi bệnh

b, Có ít nhất một ngời không khỏi bệnh

c, Có đúng một ngời không khỏi bệnh

d, Có đúng hai ngời không khỏi bệnh

B i 4 Một dụng cụ điện tử gồm có 3 bóng đèn loại 1 và 4 bóng đèn loại 2 Gọi Aà k làbóng đèn thứ k loại 1 hoạt động tốt Gọi Bi là bóng đèn thứ i loại 2 hoạt động tốt Dụng cụlàm việc đợc nếu có ít nhất 1 bóng loại 1 và không ít hơn 3 bóng loại 2 làm viêc tốt Hãybiểu diễn các biến cố sau qua các biến cố Ak và Bi và các biến cố đối của chúng :

a, Dụng cụ vẫn làm việc đợc

b, Dụng cụ không làm việc đợc

Trang 30

c, Có một và chỉ một bong đèn loại 1 tốt và có đúng 2 bóng đèn loại 2 tốt

B i 5.Cho ba biến cố A, B ,C Viết biểu thức chỉ biến cố à

a, Chỉ có A xảy ra

b, A và B xảy ra nhng c không xảy ra

c, Cả 3 biến cố xảy ra

d, Có ít nhất một trong 3 biến cố xảy ra

e, Có ít nhát hai biến cố cùng xảy ra

g, Có một và chỉ một trong ba biến cố xảy ra

h, Chỉ có hai trong ba biến cố xảy ra

k, Không có quá hai biến cố trong ba biến cố đó xảy ra

………

- Nắm được cỏc cụng thức của xỏc suất

- Áp dụng cỏc cụng thức xỏc suất vào làm bài tập

…………

………

Trang 31

Tờn: ……… ……… ……… ……….

i gian

1 Xác suất có điều kiện

Giả sử cần tính xác suất của biến cố A nào đó

biết xác suất của biến cố B xảy ra trớc đó , thì gọi

là xác suất có điều kiện của biến cố A

Cho n biến cố Ai , i = 1,2, ,n Thì xác suất

của biến cố A1A2 An đợc tính nh sau :

P(A1A2 An ) = P(A1) P(A2 | A1) P(A3 |

A1A2) P(An | A1A2 An-1 )

Ta chứng minh bằng phơng pháp quy nạp :

Với n = 2 ta có P(A1 A2) = P(A1) P(A2 | A1)

đúng do có từ ccông thức xác suất có điều kiện

1 Rút ngẫu nhiên liêntiếp không hoàn lại 2 sảnphẩm từ lô hàng , tìm xác suất

để cả hai sản phẩm đó là sảnphẩm tốt ?

2 Rút ngẫu nhiên mộtsản phẩm từ lô hàng và khônghoàn lại , không để ý tới sảnphẩm đó là sản phẩm nào .Sau đó rút tiếp sản phẩm thứ

2 Tìm xác suất để sản phẩmthứ 2 là sản phẩm tốt?

Giải

1, Theo định nghĩa xácsuất có điều kiện ta có P(B |A) = P(AB)

P(A) suy ra P(AB) =P(A) P(B|A)

Đặt biến cố A = “sảnphẩm lấy ra lần 1 là sản phảmtốt “.và B = “sản phẩm lấy ralần 2 là sản phảm tốt”

Xác suất phải tìm làP(AB) = P(A) P(B|A)

Ta có P(A) = 8

12 và P(B|A) =

Trang 32

= [ P(A1) P(A2 | A1) P(A3 | A1A2) P(Ak |

i 1

B B i j

P(B) = P(AB) + P(AB) =P(A).P(B|A)+P(A).P(B|A)

Có P(A) = 4

12; P(B|A) = 811Vậy P(B) = 8

12 x 711 + 412x 811

= 23

Ví dụ : Sinh con một lần

một con thì biến cố T =” contrai “ G = “con gái” thì họ{T,G} là họ biến cố đầy đủ Vì TG

Gọi B2 là biến cố lấy đợcbệnh án của bệnh nhân bịbỏng do hoá chất

Ta có P(B1) = 0,68 P(B2) = 0,32

Trang 33

Lấy ngẫu nhiên một bệnh án

1 Tìm xác suất lấy đợc bệnh án của bệnh

nhân bị biến chứng

2 Lấy đợc bệnh án của bệnh nhân bị biến

chứng , hỏi khả năng bệnh án này của bệnh nhân

bị bỏng do nguyên nhân nào nhiều hơn?

Khi đó P(A) = P(B1).P(A|

B1) + P(B2)P(A|B2) = 0,68 0,25 + 0,32 0,4 = 0,298

2 Ta có :

1

P(B A) P(B )P(A | B ) P(B |A) =

0,68.0,25 170

0,298 298

=

Vậy khả năng do bị bỏngnóng nhiều hơn

- Nắm chắc được phương phỏp giải một hệ phương trỡnh tuyến tớnh bằng phương

phỏp Cramer, phương phỏp Gauss

Trang 34

- Cỏch biện luận số nghiệm của hệ phương trỡnh

B i 1 : à

Một lô sản phẩm có 100 sản phẩm trong đó có 90 sản phẩm tốt ,và 10 phế phẩm Kiểmtra ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại 5 sản phẩm Nếu có it nhất 1 phế phẩm trong 5sản phẩm thì không nhận lô hàng Tim xác suất để nhận lô hàng

Tìm xác suất để cặp trẻ sinh đôi cùng giới tính đố là cặp trẻ sinh đôi cùng trứng

2 Tìm xác suất để một ngời bị bệnh bạch tạng mà ta gặp trong làng là đàn ông?

Trang 35

- Nắm được khỏi niệm định nghĩa của cỏc cụng thức becnulli

- Hiểu được cụng thức ỏp dụng vào để giải cỏc bài tập

…………

………

i gian

Gieo hai con xúc xắc cân

đối và đồng chất Gọi A làbiến cố “ con xúc xắc thứnhất xuất hiện mặt trên có sốchấm là chẵn “ Gọi B là biến

cố “con xúc xắc thứ hai xuấthiện mặt trên có số chấm là

số lẻ “ Gọi C là biến cố “ cả

Trang 36

hoặc P(A\B ) = P(A) hoặc

Định nghĩa : Dãy n biến cố A1 , A 2 , A n đợc

gọi là độc lập nếu ta lấy ra một dãy con các biến

cố bất kì từ n biến cố trên thì xác suất của tích các

biến cố con đó bằng tích các xác suất của từng

biến cố

- Nếu dãy các biến cố thoả mãn định nghĩa

trên thì dãy đó đợc gọi là độc lập trong toàn thể

- Nếu từng đôi một trong dãy đó mà độc lập

với nhau thì dãy đó đợc gọi là độc lập từng đôi

Ta suy ra : Dãy n biến cố A 1 , A 2 , A n đợc

gọi là độc lập trong toàn thể thì nó độc lập từng

đôi , nhng ngợc lạ thì nói chung không đúng

3 Dãy các phép thử độc lập

Định nghĩa :

Dãy n phép thử G 1 , G 2 , , G n trong mỗi phép

thử G i tơơng ứng với không gian biến cố sơ cấp Ωi

gồm r biến cố sơ cấp A i i= 1 r đợc gọi là độc

A là một biến cố bất kì trong r biến cố A i tơng ứng với phép thử G i

đ-ợc gọi là dãy n phép thử Beclluli nếu thoả mãn các

điều kiện sau :

hai con xúc xắc xuất hiện mặttrên có số chấm là chẵn hoặc

lẻ “ Xét xem ba biến cố A, B,

C có độc lập từng đôI haykhông ? có độc lập trong toànthể hay không ?

Giải Theo giả thiết ta có :P(A) = P(B) = 0.5 =P(C) Bởi vì C = AB AB+ .

Hai con xúc xắc gieo độc lập( không phụ thuộc vào nhau)

Do đó : P(C) = P(

P(A).P(B) P(A).P(B)+ = 0,5 0,5 + 0,5 0,5 = 0,5

VàP(BC)=

P[B(AB AB)] P(AB+ = + ∅ =) P(AB) 0+

Nên P(BC) = P(A) P(B) =0,5 0,5 = 0,25

Từ các kết quả trên ta kếtluận : ba biến cố A, B, C, là

độc lập từng đôi

Mặt khác A B C = ∅ do

đó P(ABC) = 0 và P(A) P(B) P(C) = (0,5)3 khác P(ABC)

Điều đo chứng tỏ A, B, Ckhông độc lập trong toàn thể

Ví dụ :

Gieo ngẫu nhiên 20 lầnmột đồng tiền cân đối và

đồng chất Tìm xác suất để

Trang 37

a, Dãy n phép thử đó là độc lập

b, Trong mỗi phép thử G i tơng ứng với không

gian biến cố sơ cấp Ω = {A, A}

c, Xác suất của biến cố A là P(A) không thay

đổi trong mọi phép thử Đặt P(A)=p

Bài toán :

Tìm xác suất để trong dãy n phép thử Beclluli

biến cố A xuất hiện đúng k lần

Giải

xét tích của n biến cố dạng : AA AAA A

trong tích này có k biến cố A và n - k biến cố A

Vì dãy n phép thử độc lập nên :

P( AA AAA A ) = P(A)k P(A)n – k = pk (1

-p)n – k với k = 1,2, n

Ta thấy rằng: Biến cố “Trong dãy n phép thử

Becnuli , biến cố A xuất hiện đúng k lần “ bằng

b, Có ít nhất 2 lầnxuất hiện mặt sấp

Giải

a, Xem việc gieo 20 lầnmột đồng tiền can đối vàssồng chất là tiến hành dãy 20phép thử Becnuli, xác suấtxuất hiện mặt sấp (biến cố A )luôn luôn bằng 0,5 trong mộtlần gieo

Theo công thức xác suấtnhị thức ta có :

B i 1 : à Một bà mẹ sinh hai con ( mỗi lần sinh một con ) Giả sử xác suất sinh con trai

là 0,51 Tìm xác suất để trong ngời con đó :

Trang 38

c, Có nhiều nhất 98 hạt nảy mầm

B i 3 : à Một lô hàng chứa tấn nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm p = 0,02 Cần lấy mộtmẫu với cỡ bằng bao nhiêu , sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu đókhông bé hơn R = 0,95

B i 4 : à Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu với xác suấtbắn trúng đích của mỗi viên đạn là : 0,2 Tìm số viên đạn trúng đích với khả năng lớn nhất

………

Trang 39

- Nắm được mụ hỡnh của bài toỏn quy hoạch tuyến tớnh, cỏc dạng mụ hỡnh của bài toỏnquy hoạch tuyến tớnh

- Điều kiện bài toỏn cú phương phỏp cực biờn pp cơ sở xuất phỏt

- Áp dụng vào làm cỏc bài tập về xỏc suất, tỡm cỏc quy luật tư nhiờn

…………

………

i gian

1 Bài toán tối u.

Nhiều vấn đè thực tế khác nhau dẫn đến việc

giải bài toán cực trị sau :

f(x)→min (1)

Với các điều kiện

Bài toán (1) (4) đợc gọi là bài toán quy

hoạch toán học Hàm f(x) đợc gọi là hàm mục tiêu

, còn các hàm gi , hj gọi là các hàm ràng buộc

Tập hợp các véc tơ x X∈ ⊂ Rn thoả mãn các

ràng buộc (2), (3) gọi là tập phơng án hay miền

chấp nhận đợc của bài toán trên Phơng án x* thoả

mãn f(x*) ≤ f(x) với phơng án x gọi là phơng án

- Tối u hóa là một lĩnh vựctoán học nghiên cứu lý thuyết

và các thuật toán giải bài toáncực trị

- Chuyên đề của chúng ta chỉxét bài toán quy hoạch tuyếntính

- Gv trỡnh bày vấn đề lờnbảng

- HS tiếp thu lĩnh hội

Định dạng
Số trang	79
Dung lượng	3,58 MB