Không Gian Vector Tô Pô (Topological Vector Spaces) Trần Quân Kỳ

Một cách đơn giản để đưa một tôpô vào một không gian vectơ sao cho tôpô tương thích với cấu trúc đại số là cho trước một chuẩn. Tuy nhiên, lớp các không gian đó chưa đủ rộng để nghiên cứu các vấn đề cụ thể của giải tích, bởi vì nhiều không gian vectơ quan trọng nảy sinh mà tôpô tự nhiên trên nó không thể cho được bởi chuẩn nào. Tài liệu này khảo sát lớp không gian đó, chúng tổng quát hơn các không gian định chuẩn và gọi là các không gian vectơ tôpô.

Topological Vector Spaces

TRAN QUAN KY

Department of Mathematics Hue University’s College of Education E-mail address: quankysp (at) gmail

Hue, June 2007

Mục lục 2Lời mở đầu 3

1 Tập lồi, tập cân, tập hút trong không gian vectơ 4

Kết luận 29Tài liệu tham khảo 30

Lời mở đầu

Một cách đơn giản để đưa một tôpô vào một không gian vectơ sao chotôpô tương thích với cấu trúc đại số là cho trước một chuẩn Tuy nhiên, lớpcác không gian đó chưa đủ rộng để nghiên cứu các vấn đề cụ thể của giảitích, bởi vì nhiều không gian vectơ quan trọng nảy sinh mà tôpô tự nhiêntrên nó không thể cho được bởi chuẩn nào Tài liệu này khảo sát lớp khônggian đó, chúng tổng quát hơn các không gian định chuẩn và gọi là các khônggian vectơ tôpô

Mở đầu, tài liệu trình bày một số kết quả cần thiết về tập lồi, tập cân vàtập hút, là công cụ quan trọng trong việc khảo sát tôpô trong không gianvectơ tôpô Phần nội dung chính của tài liệu là khảo sát cơ sở lân cận và tínhchất tách của không gian vectơ tôpô, không gian mêtric hóa được, khônggian chuẩn hóa được và không gian lồi địa phương

Các vấn đề đã được chúng tôi giải quyết tương đối trọn vẹn là cơ sở lâncận, điều kiện cần và đủ để một không gian là mêtric hóa được, điều kiệncần và đủ để một không gian là chuẩn hóa được, tính chất tách của khônggian vectơ tôpô, mối liên hệ giữa họ nửa chuẩn và tính chất lồi địa phương.Các vấn đề lý thuyết với mức trừu tượng cao được chúng tôi minh họa rõ quanhiều ví dụ trong tài liệu

Tuy nhiên, do nhiều nguyên nhân khác nhau, chúng tôi chưa trình bày ởđây các vấn đề: không gian thương, không gian hữu hạn chiều, tập bị chặn

và tập compact, ánh xạ tuyến tính và phiếm hàm tuyến tính trên không gianvectơ tôpô,

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng chắc rằng tài liệu này không thể tránhkhỏi thiếu sót cả về nội dung lẫn trình bày Chúng tôi rất mong có sự góp ýcủa bạn đọc

Xin chân thành cảm ơn

Huế, 06/2007

1 Tập lồi, tập cân, tập hút trong không gian vectơ

Trong mục này, ta luôn dùng kí hiệu X để chỉ một không gian vectơ trên

trường K

Định nghĩa 1.1 ChoA ⊂ X Khi đó

(a)A được gọi là tập lồi nếu với mỗi t ∈ [0, 1],

tA + (1 − t)A ⊂ A.

(b)A được gọi là tập cân nếu với mỗi α ∈ K mà |α| ≤ 1 thì αA ⊂ A.

(c)A được gọi là tập hút nếu với mỗi x ∈ X, tồn tại t > 0 sao cho nếu |s| > t

thìx ∈ sA.

(d)A được gọi là tập tuyệt đối lồi nếu A vừa là tập lồi vừa là tập cân.

Nhận xét 1.2 Trong R2, ta có thể tìm thấy các tập lồi mà không cân và tậpcân mà không lồi (?)

mà |s| > t thì x ∈ sA Vì (r n)n không bị chặn nên có n0 để |r n0| > t Ta có

x ∈ r n0V Từ đó ta được X ⊂

∞S

n=1

r n V Ta cũng suy ra 0 ∈ A Bao hàm thức

ngược lại là hiển nhiên

(d) Giả sửA là tập cân và |α| = 1 Khi đó |α| = |α−1|= 1 ≤ 1 nên αA ⊂ A và

α−1A ⊂ A Do đó αA ⊂ A và A ⊂ αA Vậy αA = A.

Bây giờ giả sử A là tập cân và |α| ≤ β Nếu β = 0 thì α = β = 0 nên hiển

nhiênαA = βA Nếu β , 0 thì

α β

(a) Nếu A i là tập lồi với mọi i ∈ I thì A là tập lồi.

(b) Nếu A i là tập cân với mọi i ∈ I thì A là tập cân.

Chứng minh.

(a) Lấy tùy ý x, y ∈ A và t ∈ [0, 1] Khi đó với mỗi i ∈ I, x, y ∈ A i và doA i

lồi nêntx + (1 − t)y ∈ A i Suy ratx + (1 − t)y ∈ A Vậy A là một tập lồi.

(b) Lấy tùy ýα ∈ K, |α| ≤ 1 Vì mỗi A i là cân nênαA i⊂A i và do đó

2 Không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 2.1 Cho X là một không gian vectơ và τ là một tôpô trên X.

(X, τ) được gọi là một không gian vectơ tôpô nếu các điều kiện sau được

thỏa mãn:

(i)(X, τ) là một không gian T1,

(ii) Phép cộng hai vectơ: X × X −→ X, (x, y) 7−→ x + y và phép nhân vectơ

với vô hướng:K × X −→ X, (α, x) 7−→ αx là liên tục.

Nhắc lại rằng, phép cộng hai vectơ liên tục nghĩa là với mỗi cặp (x, y) ∈

X × X và V là một lân cận tuỳ ý của x + y thì tồn tại các lân cận V1 củax và

V2của y sao cho V1+ V2 ⊂V Phép nhân vectơ với vô hướng liên tục nghĩa

là với mỗi x ∈ X, α ∈ K và V là lân cận tuỳ ý của αx, tồn tại r > 0 và lân

cậnU của x sao cho với mọi β ∈ K mà |β − α| < r thì βU ⊂ V

Nhận xét 2.2 Một tôpô trên X thỏa điều kiện (ii) được gọi là tương thích

với cấu trúc đại số của X Như vậy, (X, τ) là không gian vectơ tôpô nếu τ

là tương thích với cấu trúc đại số của X và τ thỏa tiên đề tách T1 Thật ra,

ở nhiều tài liệu, trong định nghĩa về không gian vectơ tôpô, người ta khôngđòi hỏi (X, τ) là không gian T1 Tuy nhiên, để nhận được các kết quả quantrọng và thú vị, người ta đều cần đến giả thiết đó Vì vậy, chúng tôi đưa nóvào như một tiên đề Cách trình bày đó là theo quan điểm của Rudin

Nhận xét 2.3 Cho(X, τ) là một không gian vectơ tôpô.

1 Lấy tuỳ ý a ∈ X, λ ∈ K \ {0} Khi đó ta có các ánh xạ T a : X → X và

M λ : X → X được xác định như sau:

T a (x) = a + x, M λ (x) = λx, x ∈ X.

T a và M λ lần lượt được gọi là phép tịnh tiến (theo vectơ a) và phép vị tự

(theo tỷ sốλ) T a vàM λ là các phép đồng phôi từX lên X Thật vậy, dễ thấy

rằngT a vàM λ là các song ánh, có ánh xạ ngược lần lượt làT−a vàM 1/λ Từtiên đề thứ 2 trong định nghĩa của không gian vectơ tôpô ta suy ra 4 ánh xạtrên là các ánh xạ liên tục VậyT a vàM λ là các phép đồng phôi từX lên X.

Vì điều này, ta nói rằngτ là bất biến đối với phép tịnh tiến và phép vị tự.

a ∈ X sẽ nhận được bằng phép tịnh tiến theo a Chính vì thế, trong tiểu luận

này, nếu không nói gì thêm, cụm từ "cơ sở lân cận của không gian vectơ tôpô

X" sẽ được dùng để chỉ cơ sở lân cận của 0 ∈ X.

Định nghĩa 2.4 ChoX là một không gian vectơ tôpô Tập hợp A ⊂ X được

gọi là tập bị chặn nếu với mỗi lân cận V của 0, tồn tại t > 0 sao cho A ⊂ sV

với mọis ∈ K mà |s| > t.

Định nghĩa 2.5 ChoX là một không gian vectơ tôpô với B là cơ sở lân cận.

Khi đó B được gọi là cân nếu mỗi phần tử của nó là cân và được gọi là lồinếu mỗi phần tử của nó là lồi Hơn nữa, nếu mỗi phần tử của B là lồi và cânthì ta nói B là cơ sở lân cận lồi cân

Định nghĩa 2.6 Cho(X, τ) là một không gian vectơ tôpô

(a)X được gọi là lồi địa phương nếu tồn tại một cơ sở lân cận lồi.

(b)X được gọi là bị chặn địa phương nếu 0 ∈ X có một lân cận bị chặn.

(c) X được gọi là compact địa phương nếu 0 ∈ X có một lân cận mà bao

đóng của nó là compact

(d)X được gọi là mêtric hóa được nếu τ được sinh ra bởi một metric nào đó

xác định trênX.

(e)X được gọi là một F - không gian nếu τ được sinh ra bởi một mêtric bất

biến qua phép tịnh tiến và đầy đủ

(f) X được gọi là một không gian Frechet nếu X là một F - không gian và

lồi địa phương

(g) X được gọi là chuẩn hoá được nếu tồn tại một chuẩn trên X sao cho τ

trùng với tôpô sinh bởi chuẩn

Ví dụ 1 Trước hết, mọi không gian định chuẩn (X, ||.||) là không gian vectơ

tôpô Thật vậy, không gian định chuẩn rõ ràng là không gian T1 và từ tínhchất của chuẩn suy ra các phép cộng hai vectơ và phép nhân vectơ với vôhướng là liên tục với tôpô xác định bởi chuẩn Họ hình cầu mở {B(0,1

n ) | n ∈

N} là một cơ sở lân cận tại 0 Mỗi hình cầu mở đó là tập lồi Do đó mỗikhông gian định chuẩn là không gian lồi địa phương

Ví dụ 2 Với mỗi p ∈ (0, 1), xét

l p = {x = (x n)n∈ R∞|

∞X

n=1

|x n−y n|p , x = (x n)n , y = (y n)n∈l p

Với tôpô sinh bởi mêtric này,l plà không gian vectơ tôpô nhưng không phải

là một không gian lồi địa phương Do đól p là không gian mêtric hóa đượcnhưng không phải là không gian chuẩn hóa được (xem chi tiết trong [KH2],trang 16)

3 Cơ sở lân cận

Định lý 3.1 Cho X là một không gian vectơ tôpô Khi đó

(a) Mỗi lân cận của 0 là một tập hút.

(b) Mỗi lân cận của 0 chứa một lân cận mở, cân của 0.

(c) Mỗi lân cận V của 0 chứa một lân cận mở, cân W của 0 thoả mãn

W + W ⊂ V

(d) Mỗi lân cận lồi của 0 chứa một lân cận mở, cân, lồi của 0.

Chứng minh.

(a) Lấy tuỳ ýx ∈ X Khi đó ánh xạ f (λ) = λx liên tục tại λ = 0 nên với lân

cận V cho trước của 0, tồn tại r > 0 sao cho nếu |λ| < r thì λx ∈ V , tức là

nếu |s| > 1

r thì

x

s ∈V , suy ra x ∈ sV Vậy V là tập hút.

(b) Giả sửV là một lân cận của 0 Khi đó tồn tại r > 0 và một lân cận mở U

của0 sao cho αU ⊂ V với mọi α ∈ K mà |α| < r Đặt W = S

nênW là tập cân Đây chính là lân cận cân và mở của 0 chứa trong V

(c) Giả sửV là một lân cận của 0 Khi đó vì 0 = 0+0 và phép cộng hai vectơ

là liên tục nên tồn tại các lân cận của 0 là V1 và V2 sao cho V1+ V2 ⊂ V

Đặt U = V1∩V2 thì U cũng là lân cận của 0 Theo (b) thì U chứa lân cận

mở, cânW của 0 Do đó ta có

W + W ⊂ U + U ⊂ V1+ V2⊂V

VậyW chính là lân cận mở, cân của 0 chứa trong V và thỏa mãn W +W ⊂ V

(d) Giả sửV là một lân cận lồi của 0 Đặt U = T

|α|=1

αV Dễ thấy U là một tập

lồi Theo (b),V chứa lân cận cân W của 0 Với |α| = 1, do W = αW ⊂ αU

nênW ⊂ V Vậy U là một lân cận của 0 Ta sẽ chứng minh U là một tập cân.

Thật vậy, với mọiλ ∈ K mà |λ| ≤ 1 ta có λ = rµ với 0 ≤ r ≤ 1 và |µ| = 1 Để

ý rằng, vìαV là tập lồi chứa 0 nên r(αV ) ⊂ αV , từ đó ta có

Vậy U là một lân cận cân, lồi của 0 chứa trong V Với định lý 4.4 ta sẽ thấy

intU là một lân cận mở, cân, lồi của 0.

Từ định lý trên ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 3.2 Cho X là một không gian vectơ tôpô Tập A ⊂ X là tập bị chặn khi và chỉ khi với mỗi lân cận V của 0, tồn tại t > 0 sao cho A ⊂ tV

Chứng minh.

(⇒) Hiển nhiên, do định nghĩa của tập bị chặn trong không gian vectơ tôpô.(⇐) Lấy tùy ý V là một lân cận của 0 Từ định lý 3.1 ta suy ra V chứa lân

cận cânU của 0 Theo giả thiết, tồn tại t > 0 sao cho A ⊂ sU với mọi s ∈ K

mà |s| > t Vì U là tập cân nên nếu |s| > t thì tU ⊂ sU, do đó ta có

A ⊂ tU ⊂ sU ⊂ sV

Vậy A là tập bị chặn.

Hệ quả 3.3 Cho X là một không gian vectơ tôpô Khi đó

(a) X có một cơ sở lân cận mở, cân.

(b) Nếu X là không gian lồi địa phương thì X có một cơ sở lân cận mở, lồi, cân.

Chứng minh.

(a) Ta biết rằng họ tất cả các lân cận của0 là một cơ sở lân cận của X Theo

định lý 3.1 thì mỗi lân cận của0 lại chứa một lân cận mở, cân của 0 Vì vậy,

họ tất cả các lân cận mở, cân của0 là một cơ sở lân cận của X.

(b) NếuX là một không gian lồi địa phương thì X có một cơ sở lân cận lồi.

Theo định lý (3.1) thì mỗi lân cận lồi của0 lại chứa một lân cận mở, lồi, câncủa 0 Vì vậy, họ tất cả các lân cận mở, lồi, cân của 0 là một cơ sở lân cậncủaX.

Hệ quả 3.4 Cho X là một không gian vectơ tôpô và V là một lân cận của

0 Khi đó tồn tại lân cận mở, cân U của 0 sao cho

U + U + U + U ⊂ V Chứng minh. VìV là lân cận của 0 nên theo định lý (3.1) tồn tại lân cận cân

W của 0 sao cho W + W ⊂ V Cũng do W là lân cận của 0 nên tồn tại lân

cận mở, cânU của 0 sao cho U + U ⊂ W Do đó

U + U + U + U ⊂ W + W ⊂ V

Vậy ta có lân cậnU phải tìm.

Để ý rằng trong chứng minh trên, vì 0 ∈ U nên từ bao hàm thức U + U +

U + U ⊂ V ta suy ra U + U + U ⊂ V Từ đó ta thấy rằng, có thể mở rộng hệ

quả trên như sau:

Hệ quả 3.5 Cho X là một không gian vectơ tôpô và V là một lân cận của

0 Khi đó với mỗi n ∈ N, tồn tại lân cận mở, cân U của 0 sao cho

n

X

i=1

U ⊂ V

Bây giờ, giả sử B là một họ khác rỗng gồm các tập con của X chứa 0.

Vấn đề đặt ra là B phải thỏa mãn những điều kiện gì để xác định một tôpôτ

trênX sao cho (X, τ) là không gian vectơ tôpô Định lý sau đây sẽ giải quyết

vấn đề đó Đồng thời, định lý cũng sẽ đưa ra một phương pháp để trang bịtôpô cho một không gian vectơ

Định lý 3.6 Trong mỗi không gian vectơ tôpô X tồn tại một cơ sở lân cận B của 0 sao cho:

(a) Với mỗi x , 0, tồn tại V ∈ B sao cho x < V ;

(b) Mỗi V ∈ B là tập cân, hút;

(c) Với mỗi V ∈ B, tồn tại W ∈ B sao cho W + W ⊂ V ;

(d) Với mỗi cặp V1, V2∈ B, tồn tại V ∈ B sao cho V ⊂ V1∩V2.

Ngược lại, nếu X là một không gian vectơ và B là họ khác rỗng các tập con của X thỏa mãn các điều kiện (a) - (d) thì tồn tại duy nhất tôpô τ trên

X sao cho (X, τ) là không gian vectơ tôpô và B là cơ sở lân cận của 0 ∈ X Chứng minh. Chiều thuận là hiển nhiên, sau đây ta sẽ chứng minh chiềungược lại

Với mỗix ∈ X, gọi B(x) = {x + V | V ∈ B} Để chứng minh họ B(x) thỏa

mãn các tiên đề về cơ sở lân cận của một tôpô ta chỉ cần chứng minh tại

x = 0 Hơn nữa, ta chỉ cần chứng minh với mọi V0 ∈ B, tồn tại W0 ∈ B saocho với mỗiy ∈ W0, có V y ∈ B(y) để V y ⊂V0

Thật vậy, vìV0∈ B nên theo (c), tồn tạiW0∈ B sao choW0+ W0⊂V0.Lúc đó với mỗiy ∈ W0, tồn tạiV y = y + W0∈ B(y) để V y ⊂W0+ W0⊂V0.Vậy tồn tại tôpôτ trên X sao cho B(x) là cơ sở lân cận tại mỗi x ∈ X Do

cách xác định B(x), x ∈ X, ta suy ra τ bất biến đối với phép tịnh tiến Nói

cách khác, phép tịnh tiến là một phép đồng phôi của không gian tôpô(X, τ).

Từ (a) ta suy ra(X, τ) là một không gian T1 Công việc còn lại là chứngminh phép cộng vectơ và nhân vectơ với vô hướng là liên tục

Lấy tùy ýx, y ∈ X và V ∈ B Theo (c), tồn tại W ∈ B sao cho W +W ⊂ V

Khi đóx + W là một lân cận của x, y + W là một lân cận của y và

(x + W ) + (y + W ) = x + y + W + W ⊂ x + y + V

Từ đó suy ra phép cộng vectơ là liên tục

Lấy tùy ý x ∈ X, α ∈ K và V ∈ B Theo (c), tồn tại W ⊂ B sao cho

W + W ⊂ W Vì W là tập hút nên tồn tại t > 0 sao cho x ∈ tW Với β ∈ K,

 

|α| +1t

− 1

W +1

t .tW = W +W ⊂ V

Từ đó suy ra phép nhân vectơ với vô hướng là liên tục Vậy (X, τ) là một

không gian vectơ tôpô

Nhận xét 3.7 Trong [HT] và [HP] để chứng minh chiều ngược lại, tác giả

đã thêm điều kiện họ B thỏa mãn:

(e) Nếu V ∈ B thì αV ∈ B với mọi α , 0.

Điều kiện đó sẽ được sử dụng để suy ra



|α| + 1t

− 1

W là một lân cận của 0.

Tuy nhiên, chúng tôi vẫn suy ra được kết quả trên mà không cần đến điềukiện (e) Thật vậy, giả sửV ∈ B Theo (c), tồn tại W ∈ B sao cho W +W ⊂ V

Vì2W ⊂ W +W nên suy ra W ⊂ 12V Do đó 12V là một lân cận của 0 Bằng

quy nạp, 21n V là lân cận của 0 với mỗi n ∈ N va do V là cân nên αV cũng

là lân cận của0 với mọi α , 0.

Ví dụ 3 Kí hiệu R∞ là tập tất cả các dãy số thực x = (x n)n Khi đó R∞ làkhông gian vectơ thực với các phép toán đại số:

x + y = (x n + y n)n , và αx = (αx n)n ,

với mọix = (x n)n , y = (y n)n∈ R∞vàα ∈ R.

Với mỗi bộm số k1, k2, , k m ∈ N và sốr > 0, ta gọi V (k1, k2, , k m ; r) là

tập hợp tất cả các dãyx = (x n)n∈ R∞sao cho |x k i|< r với mọi i = 1, 2, , m.

Khi đó họ tất cả các tập V (k1, k2, , k m ; r) (với mọi giá trị có thể có của

k1,k2, ,k mvàr) thỏa mãn các điều kiện nêu trong định lý 3.6 nên là cơ sở

lân cận tại 0 của một tôpô trên R∞ sao cho với tôpô đó, R∞ là một khônggian vectơ tôpô Hơn nữa, ta có thể kiểm tra rằng mỗi phần tử của họ đó làlồi nên R∞ là một không gian lồi địa phương

Định lý 3.8 Giả sử V là một lân cận của 0 trong không gian vectơ tôpô X (a) Nếu 0 < r1< r2< và r n → ∞ khi n → ∞ thì

X =

∞[

n=1

r n V (b) Nếu δ1 > δ2 > và δ n→0 khi n → ∞, và nếu V là bị chặn thì họ

{δ n V : n ∈ N}

là cơ sở lân cận của X.

Chứng minh.

(a) VìV là tập hút nên theo định lý 1.3 ta có ngay điều phải chứng minh.

(c) Trước hết dễ thấy mỗi phần tử của họ này là một lân cận của0 Lấy U là

một lân cận tuỳ ý của0 Vì V bị chặn nên tồn tại t > 0 sao cho V ⊂ sU với

mọis ∈ K mà |s| > t Theo giả thiết, dãy số dương 1

δ n



ntăng và tiến ra+∞nên cón0để 1

(A + V ) ∩ (B + V ) = ∅.

Chứng minh. Nếu A = ∅ thì với lân cận V tuỳ ý, ta có A + V = ∅ nên kết

luận của định lý là hiển nhiên Vì vậy, ta giả sửA , ∅ Lấy tuỳ ý x ∈ A Khi

đóx < B và vì B đóng nên X \ B là một lân cận của x Theo hệ quả 3.4, tồn

tại lân cận cân và mởV x của0 sao cho

(x i + V x i + V x i ) ∩ (B + V ) ⊂ (x i + V x i + V x i ) ∩ (B + V x i ) = ∅,

nên(x i + V x i + V x i ) ∩ (B + V ) = ∅ Kết hợp với (2) ta suy ra

(A + V ) ∩ (B + V ) = ∅.

Vậy ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 4.2 Mỗi không gian vectơ tôpô là một không gian T3 (hay không gian chính quy).

Chứng minh. Giả sửX là không gian vectơ tôpô Lấy tuỳ ý x ∈ X và F ⊂ X

sao choF là tập đóng và x < F Khi đó A = {x} là một tập compact và B = F

là một tập đóng nên theo định lý 4.1, tồn tại lân cận mở V của 0 sao cho

(x + V ) ∩ (F + V ) = ∅ Như vậy, tồn tại x + V là một lân cận mở của x, F + B

là một tập mở chứaF và chúng rời nhau Hơn nữa, kết hợp với việc X là một

không gianT1, ta suy raX là một không gian T3

Từ hệ quả trên ta suy ra không gian vectơ tôpôX cũng là một không gian

Hausdorff Thực ra, ta có thể chứng minh được không gian vectơ tôpô là mộtkhông gian hoàn toàn chính quy ([RU], Exercise 16, p.21)

Hệ quả 4.3 Giả sử B là cơ sở lân cận của một không gian vectơ tôpô X Khi đó với mỗi V ∈ B , tồn tại U ∈ B sao cho U ⊂ V

Chứng minh. Với mỗi V ∈ B, vì X là không gian T3 nên tồn tại lân cận W

của0 sao cho W ⊂ V Mặt khác, vì B là cơ sở lân cận nên tồn tại U ∈ B sao

(d) Nếu Y là không gian con của X thì Y cũng vậy.

(e) Nếu C là tập lồi thì C, C◦cũng vậy.

(f) Nếu B là tập cân thì B là tập cân và nếu 0 ∈ B◦thì B◦ cũng là tập cân (g) Nếu E là tập bị chặn thì E cũng vậy.

(b) Lấy tuỳ ý a ∈ A, b ∈ B và V là một lân cận của a + b Ta cần chứng

minhV ∩ (A + B) , ∅ Thật vậy, do tính chất liên tục của phép toán cộng hai

vectơ nên tồn tại lân cậnV1 củaa và lân cận V2 củab sao cho V1+ V2⊂V

Vì a ∈ A và b ∈ B nên tồn tại x ∈ V1 ∩A và y ∈ V2 ∩B Khi đó ta có

Từ đó ta suy raA ⊂ n k W Theo hệ quả (3.2), A là một tập bị chặn.

(d) Lấy tuỳ ýα, β ∈ K, ta cần chứng minh αY + βY ⊂ Y Trước hết, ta thấy

αY = αY Điều đó là hiển nhiên nếu α = 0 Nếu α , 0 thì do αY là một tập

đóng và chứaαY nên αY ⊂ αY Mặt khác, do M α liên tục nên

αY = M α (Y ) ⊂ M α (Y ) = αY

Vậy ta luôn có αY = αY Tương tự ta cũng có βY = βY Bây giờ, áp dụng

(b) ta có

αY + βY = αY + βY ⊂ αY + βY ⊂ Y

Bao hàm thức cuối cùng có được doY là không gian con của X Vậy Y cũng

là không gian con củaX.

(e) Phép chứng minhC là tập lồi tương tự (c).Ở đây ta chỉ chứng minh C◦làtập lồi Trước hết vìC◦⊂C và C là tập lồi nên với mỗi t ∈ [0, 1] tuỳ ý ta có

tC◦+ (1 − t)C◦⊂tC + (1 − t)C ⊂ C,

tức là

Để ý rằngtC◦ và(1 − t)C◦ là các tập mở nên tổng của chúng cũng mở và do(3) nên tổng đó bị chứa trongC◦ VậyC◦là một tập lồi

(f) Phép chứng minhB là tập cân tương tự (c) Bây giờ giả sử 0 ∈ B◦, ta sẽchứng minh B◦ là tập cân Lấy tuỳ ý α ∈ K mà |α| ≤ 1 Nếu α = 0 thì vì

0 ∈ B◦ nên hiển nhiên là αB◦ = B◦ Nếu α , 0 thì αB◦ chứa trong αB và

doB là tập cân nên αB ⊂ B Do đó αB◦⊂B Mặt khác, vì M α là một phépđồng phôi nênαB◦ là tập mở Từ đó ta cóαB◦⊂B◦ Điều này chứng tỏB◦

là một tập cân

(g) Lấy tuỳ ý V là một lân cận của 0 Do X là không gian T3 nên tồn tạilân cận W của 0 sao cho W ⊂ V Vì E là bị chặn nên tồn tại t > 0 sao cho

E ⊂ tW Do đó E ⊂ tW = tW ⊂ tV Vậy E là một tập bị chặn.

Định lý 5.1 Cho X là một không gian vectơ tôpô Lúc đó X có một cơ sở lân cận đếm được khi và chỉ khi X mêtric hóa được.

Chứng minh.

(⇒) Giả sửX có cơ sở lân cận đếm được Theo định lý (3.1), X có một cơ

sở lân cận mở, cân {V n|n ∈ N} sao cho với mỗi n ∈ N,

trùng với t? ?pô sinh chuẩn

Ví dụ Trước hết, khơng gian định chuẩn (X, ||.||) không gian vectơ

t? ?pô Thật vậy, không gian định chuẩn rõ ràng không gian T1... minh

Hệ 4.2 Mỗi không gian vectơ t? ?pô không gian< /b> T3 (hay khơng gian quy).

Chứng minh. Giả sửX không gian vectơ t? ?pô Lấy tuỳ ý x ∈ X F ⊂ X... kiện để xác định t? ?pô< i>τ

trênX cho (X, τ) không gian vectơ t? ?pô Định lý sau giải quyết

vấn đề Đồng thời, định lý đưa phương pháp để trang bịt? ?pô cho không gian vectơ

Định