Sử dụng hệ thức lượng vào ∆MCO chứng minh được OK OM OC... - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.. Nếu thí sinh trình bày cách l
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN THI: TOÁN 9 Ngày thi: 15/12/2018
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)
Câu
1
(3,0
điểm)
a)
2đ
2 x + x − 6 x + = ⇔ 9 5 2 x + ( x − 3) = 5 0,5
2x x 3 5
+/ Nếu x≥ ⇒ − ≥3 x 3 0 thì phương trình có dạng
8
3
x x+ − = ⇔ x= ⇔ =x ( không t/m ĐK) 0,5
+/ Nếu x< ⇒ − <3 x 3 0 thì phương trình có dạng
2x x− + = ⇔ =3 5 x 2 ( t/m ĐK) 0,5
b)
2 đ x2−7x+10 2− x− −2 x− + =5 2 0 (1) ĐKXĐ: x≥5 0,25
− − = − = − = =
2
(2,0
điểm)
Q = a a + a + a + + = a + a a + a + + 0,25
Q = a + a + = a + a + ∈ N ( vì a ∈ Z ) 0,5
Câu
1
(3
điểm)
+
= +
24 1
x
HDC ĐỀ CHÍNH
THỨC
Trang 2Vậy = +
+
24 A
1
x
Với x ≥ 0 thì + > >
+
25
1
x
x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
0,5
+
25
1
2) 1
điểm
Đặt K = 2( a2+b2−a)( a2+b2− +b) a2+b2
Biến đổi K = (a b+ − a2+b2 2) + a2+b2 = + −a b a2+b2 + a2+b2 0,25 Với a b, >0⇒(a b+ )2=a2+ +b2 2ab a> 2+b2⇒ + >a b a2+b2 0,25
Vậy 2( a2 + −b2 a)( a2+ − +b2 b) a2+b2 = +a b với ,a b>0 0,25
Câu
1
(1,5
điểm)
M= x +y xy+ + x y + =x y x+ +xy y+ + x y + 0,25
M xy x= + xy y+ + + + =x y xy x y+ + + +x y 0,25
M xy= + + +x y ( vì x y+ = 2 ) 0,25
( ) 8 ( 2) 8 2 8 10
2
(1,5
điểm)
2 2 6 2 4 2 4
x y x y xy
+/ Nếu x= ⇒ =0 y 0 là nghiệm của phương trình 0,25 +/ Nếu x≠0 ta có: x y2 2+6x2=4y2+4xy⇔ x y2( 2+ = +7) (x 2 )y2 (1)
Vì x,y ∈ Z,x2≠0 nên từ(1) ⇒y2+7 là số chính phương, khi đó ta có
+ =
y a ( a ∈ N)⇔ −(y a y a)( + = −) 7 (2)
0,25
Vì y ∈Z, a ∈N ⇒y a y a− ≤ + và y a y a− ; + là các ước của – 7 mà
− = −7 ( 7).1 ( 1).7 = −
Ta có các trường hợp
0,25
− = − ⇔ = −
y a a thay vào (1) tính được = 6
5
x (loại) ; x = − 2 ( t/mãn) 0,25
Trang 3 − = − ⇔ =
y a a thay vào (1) tính được = −6
5
x (loại) ; x = 2 ( t/mãn) 0,25
Câu
1.(2
điểm)
Sử dụng tính chất tiếp tuyến chứng minh được ∆MCO vuông tại C
Sử dụng tính chất tiếp tuyến chứng minh được ∆MDO vuông tại D
Xét (O:R) có AB là dây, H ∈ AB, HA = HB (GT) ⇒ OH ⊥ AB ( tính chất đường kính
và dây) ⇒∆MHO vuông góc tại H ⇒∆MHO nội tiếp đường tròn đường kính MO (3) 0,5
Từ (1), (2) và (3) ⇒ 5 điểm M, C, O, H, D cùng thuộc một đường tròn 0,5
2.(2
điểm)
Sử dụng hệ thức lượng vào ∆MOC chứng minh được: MC2=MK MO (4) 0,5 Chứng minh ∆MKE và ∆ MHO đồng dạng ⇒MK MO ME MH = (5) 0,5
3.(1
điểm)
Gọi N là giao điểm của CD và OH
Sử dụng hệ thức lượng vào ∆MCO chứng minh được OK OM OC = 2=R2 (6) 0,25 Chứng minh ∆OHM và ∆OKN đồng dạng ⇒OH ON OK OM = (7) 0,5
Từ (6) và (7) ⇒OH ON R 2 ON R2
OH
= ⇒ = Không đổi ( vì OH cố định)
⇒ N là điểm cố định
0,25
Câu
1
(1
điểm)
Vi a b p− M( − ⇒ − =1) a b k p( −1) ( với k ∈ N*)
( 1)
a +b =a + + − =b b b a +b +b b − − = a +b +b b − − 0,25
Theo Femart ta có:
1 1(mod ) ( 1) 1(mod ) ( 1) 1 ( ( 1) 1)
b − ≡ p ⇒b − ≡ p ⇒b − − Mp⇒b − b − − M (2)p
0,25
Trang 4Từ (1) và (2) ta có: a b+b p aM
2
(1
điểm)
+ + + + = ⇔ 2 3 6 = ⇔ 1 + 1 1+ =
bc ca ab
bc ca ab abc
Đặt = 1; = 1 ; = ⇒ + + =1 6
a b c (x y z; ; > 0 ) Khi đó (1) trở thành: + + ≤
3
yz x zx y xy z
0,25
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
1
Chứng minh tương tự ta có:
1
1
0,25
Cộng từng vế của (2); (3) và (4) ta có:
yz x zx y xy z x y y z z x
Dấu “=” xảy ra ⇔ = = = ⇔ =2 1; = 1; =1
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp
logic Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng
Riêng câu 4 học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm chứng minh