HDC_ chinh thuc2

Sử dụng hệ thức lượng vào ∆MCO chứng minh được OK OM OC... - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.. Nếu thí sinh trình bày cách l

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN THI: TOÁN 9 Ngày thi: 15/12/2018

(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu

1

(3,0

điểm)

a)

2đ







24 1

x

Vậy  



24 A

1

x

b)

Với x ≥ 0 thì   



25

1

x

x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

0,25



25

1

2

(2,0

điểm)

 2( 2 2 )( 2 2 ) 2 2

M x y x x y y x y với x, y > 0 và x y 2018

Biến đổi M (x y  x2y2 2)  x2y2   x y x2y2  x2y2 0,5 Với x; y > 0  (x y )2x2 y2 2xy x 2y2�x y  x2y2 0,5 Khi đó M x y   x2y2 x2y2   x y 2018 0,5

Câu

1

(2

điểm)

�

HDC ĐỀ CHÍNH

THỨC

(2

điểm)

2 2 6 2 4 2 4

x y x y xy

+/ Nếu x0�y0 là nghiệm của phương trình 0,5 +/ Nếu x �0 ta có: x y2 26x24y24xy� x y2( 2  7) (x 2 )y2 (1)

Vì x,y  Z,x2�0 nên từ(1)  y27 là số chính phương, khi đó ta có

 

y a ( a  N)� (y a y a )(   ) 7 (2)

0,5

Vì y Z, a N y a y a �  và y a y a ;  là các ước của – 7 mà

  7 ( 7).1 ( 1).7  

Ta có các trường hợp

0,25

�   �� 

y a a thay vào (1) tính được  6

5

x (loại) ; x 2 ( t/mãn) 0,25

�   �

�

y a a thay vào (1) tính được  6

5

x (loại) ; x 2 ( t/mãn) 0,25

Câu

1

(2,0

điểm)

 43 22 12

A n n n

 43 22 12 ( 22 3)( 22 4)

�( 1)22 (�� 1)23�

Với n  N ta có : (n 1)2� �0 (n1)22 2� và (n1)2� �0 (n1)23 3� 0,75

2

(2,0

điểm)

Vi a b p M( 1)�a b k p  ( 1) ( với k  N*) 0,25

( 1)

b a b b a b b b b a b b b b k p

a b a    b b b a b b b    a b b b   0,5

Theo Femart ta có:

1 1(mod ) ( 1) 1(mod ) ( 1) 1 ( ( 1) 1)

Từ (1) và (2) ta có: a b Mb p a

Câu

điểm)

Sử dụng tính chất tiếp tuyến chứng minh được MCO vuông tại C

Sử dụng tính chất tiếp tuyến chứng minh được MDO vuông tại D

Xét (O:R) có AB là dây, H  AB, HA = HB (GT)  OH  AB ( tính chất đường kính

và dây)  MHO vuông góc tại H  MHO nội tiếp đường tròn đường kính MO (3) 0,5

Từ (1), (2) và (3)  5 điểm M, C, O, H, D cùng thuộc một đường tròn 0,5

2.(1,5

điểm)

Sử dụng hệ thức lượng vào ∆MOC chứng minh được: MC2MK MO (4) 0,5 Chứng minh ∆MKE và ∆ MHO đồng dạng  MK MO ME MH  (5) 0,5

3.(1,5

điểm)

Gọi N là giao điểm của CD và OH

Sử dụng hệ thức lượng vào ∆MCO chứng minh được OK OM OC  2R2 (6) 0,5 Chứng minh ∆OHM và ∆OKN đồng dạng  OH ON OK OM  (7) 0,5

Từ (6) và (7)  OH ON R 2 ON R2

OH

 �  Không đổi ( vì OH cố định)

 N là điểm cố định

0,5

4.(1

điểm)

Từ OH ON R 2 OH ON OA 2 OA ON

OH OA

Chứng minh ∆OAN đồng dạng ∆OHA ( c-g-c)  OAN OHA�  � 900

 NA  OA

0,25

Gọi Q là giao điểm của OE với MN

Chứng minh E là trực tâm của ∆OMN  OQ  MN tại Q

Ta có MC= MD ( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) và MD2 MC2 MK MO (8)

0,25

Chứng minh ∆MKN đồng dạng ∆MQO  MK MO MQ MN  (9)

Sử dụng hệ thức lượng vào ∆NAO  NA2 NH NO (10) 0,25 Chứng minh ∆NHM đồng dạng ∆NQO  NH NO NQ NM  (11)

Từ (8); (9); (10) và (11) ta có:

0,25

Câu

1

(1,5

điểm)

3

bc ca ab

bc ca ab abc

Đặt  1;  1 ; 1�   6

a b c (x y z; ; 0 )

3

yz x zx y xy z

0,25

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

1

Chứng minh tương tự ta có:



1



1

0,25

Cộng từng vế của (2); (3) và (4) ta có:

yz x zx y xy z x y y z z x

Dấu “=” xảy ra    2�  1; 1; 1

0,25

Lưu ý khi chấm bài:

- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm

- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp

logic Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng

Riêng câu 4 học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm chứng minh