Bài giảng Giải tích 1: Chương 4.1 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Chương này gồm có các nội dung: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-Giải tích 1 Chương 4.

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một.

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Nội dung

I Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2Định nghĩa phương trình không thuần nhất

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

( ) ( ) ( ), (1)

y  p x y  q x y  f x

trong đó p x q x f x( ), ( ), ( ) là các hàm liên tục

Định nghĩa phương trình thuần nhất

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

( ) ( ) 0, (2)

y  p x y  q x y trong đó p x q x( ), ( ) là các hàm liên tục

I Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

0

Cấu trúc nghiệm của phương trình không thuần nhất

là nghiệm tổng quát của pt không thuần nhất

Tập hợp các nghiệm của phương trình thuần nhất là

là nghiệm riêng của pt thuần nhất (2)

y x



I Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

1 1 2 2

0( )

chỉ cần tìm một nghiệm riêng y x1( ) của pt thuần nhất.

Ví dụ Giải phương trình x y2 ''  xy'  y  4x3 (1)

Phương trình thuần nhất: y'' 1 y' 12 y 0 (2)

Đoán một nghiệm riêng của pt thuần nhất: y x1( )  x

Tìm nghiệm riêng thứ hai của (2):

Nghiệm tổng quát của (1): y tq  y0  y r  C x1  C x2 ln | |x x3

Ví dụ Giải phương trình ''   '

Đoán một nghiệm riêng: y x1( )  sin x

Tìm nghiệm riêng thứ hai của (2):

Đoán một nghiệm riêng: y x1( )  x

Tìm nghiệm riêng thứ hai của (2):

x dx x

II Ptrình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

Định nghĩa phương trình không thuần nhất hệ số hằng

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình

'' '

( ), (1)

y  py  qy  f x

trong đó p q, là hằng số, và f(x) là hàm liên tục.

Định nghĩa phương trình thuần nhất hệ số hằng

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình

'' '

0, (2)

y  py  qy trong đó p q, là các hằng số

Giải phương trình thuần nhất: y''  py'  qy  0, (2)Phương trình đặc trưng: k2  pk  q  0

TH 1: PTĐT có hai nghiệm thực phân biệt k k1, 2

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

Trường hợp chung: Phương pháp biến thiên hằng số.Xét hai trường hợp đặc biệt:

TH 1: f x( )  P x e n( ) x , P n(x) là đa thức bậc n

Tìm y r ở dạng: y r  x e Q x s x n( )

s = 0, nếu  không là nghiệm của pt đặc trưng

s = 1, nếu  là nghiệm đơn của pt đặc trưng

s = 2, nếu  là nghiệm kép của pt đặc trưng

TH 2: f x( )  ex P x n( ) cos  x Q m( )sinx  x

Tìm y r ở dạng: y r  x e s x H k ( ) cosx  x T x k ( )sin  x

s = 0, nếu   i không là nghiệm của pt đặc trưng

s = 1, nếu   i là nghiệm đơn của pt đặc trưng

: hai đa thức bậc k  max{ , }m n với các hệ số cần tìm

Ví dụ Giải phương trình y''  4 y'  3y  sin 2x

k   i

Ví dụ Giải phương trình y''  y'  2y  2 sin x  cos x

II Hệ pt vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng.

Hệ phương trình vi phân (n phương trình, n hàm số)

dx

a x a x a x f t dt

dx

a x a x a x f t dt

II Hệ pt vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng

1 2

n n

Nghiệm của hệ là hàm véctơ trên khoảng (a,b) có toạ

độ là các hàm khả vi liên tục trên (a,b) và thoả hệ:

II Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Cấu trúc nghiệm của hệ tuyến tính (2)

Phương pháp khử

Nội dung phương pháp khử là đưa hệ phương trình viphân về phương trình vi phân cấp cao hơn bằng cáchđạo hàm một phương trình rồi khử các hàm chưa biết

x t  C e  C e

Thay vào pt (2): 4x1'  3x2'  x2'' 14x1  24x2 (3)

Giải phương trình này ta được x t2( )  C e1 t  C e2 2t  C e3 3t

Thay vào (4) ta được x t1( )

Thay vào đầu của hệ ta được x t3( )

Thay vào pt đầu của hệ ta được x t2( )

Thay vào pt hai của hệ ta được x t3( )

Phương pháp trị riêng, véctơ riêng

'

2 2

Phương pháp trị riêng, véctơ riêng

A  PTP với T là ma trận tam giác

Đây là hệ tam giác,giải từ dưới lên

2 1

  có một VTR độc lập tuyến tính 3

1 1 1

Chọn  1 2

2 1 1

t t

Nhận xét:

sau khi khử ta được phương trình vi phân tuyến tính

cấp cao của một pt Phương trình đặc trưng của pt nàytrùng với pt đặc trưng của ma trận A, hoặc trong một sốGiải hệ X '  AX  F t( ) bằng phương pháp khử:

trường hợp trùng với phương trình tối thiểu của A

Phương pháp khử: 1) Khử lần lượt từng biến trong hệ.2) trong quá trình khử: đạo hàm hai vế

Hệ 3 pt, 3 ẩn: khử dễ dàng, hệ nhiều pt nhiều ẩn: khó

Nội dung ôn tập

-I) Giới hạn và liên tục: Cách tìm giới hạn hàm, liên tục hàm số.

II) Đạo hàm và vi phân: đạo hàm và vi phân của hàm y = f(x),

hàm tham số, hàm ẩn Công thức Taylor, Maclaurint.

Ứng dụng đạo hàm: các bài toán liên quan, khảo sát vẽ.

III) Tích phân: 1) Tích phân bất định, tích phân xác định

Tích phân suy rộng loại một và hai: tính tphân, khảo sát hội tụ.

IV) phương trình vi phân:

1) Phương trình vi phân cấp 1: chỉ có 5 loại đã học: Tách biến, tuyến tính, đẳng cấp, toàn phần (không có thừa số tích phân), Bernoulli.

3) Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng: Phương pháp khử, phương pháp trị riêng, véctơ riêng ( trường hợp chéo được ) 2) Phương trình vi phân cấp hai HỆ SỐ HẰNG.

Ứng dụng hình học của tích phân: có 4 ứng dụng đã học.

Đề mẫu cuối kỳ 1

-Câu 1 Tính

arcsin 3

0

cosh lim

Câu 6 Giải phương trình vi phân y '  y  x y

Câu 5 Tìm thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi

Tiệm cận xiên.

2

2

lim ( )lim ( )

( ) 4

t

y t a

   là tiệm cận xiên.

2

( ) 3lim

( ) 20

t

y t a

Câu 5 y1  x  arctan ,x y2  x  arctan x

Câu 7 Phương trình đặc trưng: k2  3k  2 0  k1  1 k2  2

Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0  C e1 x  C e2 2x

Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng:

Đề mẫu cuối kỳ 2

-Câu 1 Tính

2 0

x





3 22

ln

1 arctan

Câu 6 Giải phương trình vi phân y ' x  y  1  x  y  1

Câu 5 Tìm diện tích bề mặt tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi

Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút.

Giải đề mẫu cuối kỳ 2

x

f x a

( 1)

4 ( 1)

d t I

x

f x

x x

Nếu 2 / 3   1   1/ 3 , thì tích phân hội tụ khi  1

Câu 5 x  a t(  sin ),t y  a(1  cos ), 0t  t 2

Câu 7 Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất: y0  C e1 2t  C te2 2t

Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng:

y  x e

Nghiệm riêng của y''  4y'  4y  cos x :

Thay vào (4) ta được x t1( )

Thay vào đầu của hệ ta được x t2( )

Đạo hàm hai vế pt thứ 3: '  '' ' ' 

1

8 9 3