Bài giảng Giải tích 1: Chương 1 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục cung cấp cho người học các kiến thức: Giới hạn của dãy số thực, giới hạn của hàm số, liên tục của hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng -

Giải tích 1

Chương 1: Giới hạn và liên tục

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân

Mục tiêu của môn học Toán 1

Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán,

biết vận dụng giải các bài toán cụ thể.

Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa

học kỹ thuật.

Giới hạn và liên tục

Đạo hàm và vi phân

Tích phân hàm một biến

Phương trình vi phân

Nhiệm vụ của sinh viên.

Đi học đầy đủ.

Làm tất cả các bài tập cho về nhà.

Đọc bài mới trước khi đến lớp.

Đánh giá, kiểm tra.

Thi giữa học kỳ: trắc nghiệm (20%), 20 câu hỏi/ 45 phút

Thi cuối kỳ: thi viết (80%), thời gian 90 phút.

liệu tham khảo

Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,… Phép tính vi phân hàm một biến NXBGD, 2005

Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng Bài tập toán cao cấp 1.

James Stewart Calculus, fifth edition, 2005.

http://tanbachkhoa.edu.vn

Công Khanh Giải tích một biến NXB Đại học quốc gia

I Giới hạn của dãy số thực

Nếu giới hạn của dãy là hữu hạn, thì dãy được gọidãy hội tụ.



Số không là giới hạn của dãy số , nếu

a không là giới hạn của dãy  u n , nếu tồn tại số

dương   0 để với mọi số tự nhiên n tìm được số tự

Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn

Ta nói tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn)khi và chỉ khi:

Nếu dãy hội tụ đến hai số a và b, thì a = b.

Mệnh đề 1 (tính duy nhất của giới hạn)

 u n

::

n n

n n

Tính chất của giới hạn

Ta cóđều hội tụ

Nếu các dãy    u n , v n hội tụ và  u n  a v, n  b , thì

nói dãy bị chặn trên, nếu

nói dãy là dãy tăng, nếu

Cho 3 dãy sao cho

n n

1

n n

k

n u

11

n n

dụ

5lim

a b

Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

Mệnh đề 4 (định lý Weierstrass)

Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

Cho  u n tăng và bị chặn trên

Tập S  u u1, 2,  khác rỗng và bị chặn trên

Theo nguyên lý Supremum, có supS = a.

Theo định nghĩa của supS:   0,n0 a    u n0  a

Chứng tỏ dãy truy hồi

là dãy tăng và bị chặn trên

Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này

Dùng qui nạp, chứng tỏ u  n 2

Giả sử  n k u: n  2 Khi đó với n  k 1

Vậy dãy bị chặn trên

là dãy giảm và bị chặn dưới.

Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này





Định nghĩa (dãy con)

Cho dãy   u n  u u1, 2, ,u n, 

kỳ nhưng phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải

của nó được lấy từ dãy  u n theo một cách chọn bấtDãy con của dãy  u n là một dãy  u n k mà các phần tử

Nếu dãy có giới hạn là a, thì mọi dãy con của nó

Chú ý

Thường sử dụng mệnh đề 5 để chứng tỏ không tồn tạigiới hạn của dãy:

/ Nếu tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau, thì

không tồn tại giới hạn của dãy ban đầu

2/ Nếu tồn tại một dãy con phân kỳ, thì dãy ban đầu

phân kỳ

Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn

dụ:

 

1

2 11

n

n

n n

Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k

Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau

Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1

Vậy dãy đã cho không có giới hạn

Số e

n n

n e

Các phương pháp tìm giới hạn của dãy:

Dùng các biến đổi đại số ( nhân lượng liên hiệp, sửdụng các đẳng thức quen biết, …)

dụ Tìm giới hạn của dãy

dụ Tìm giới hạn của dãy

dụ Tìm giới hạn của dãy

2 3

sin cos lim

dụ Tìm giới hạn của dãy

dụ Tìm giới hạn của dãy

3 2

sin( !)lim

dụ Tìm giới hạn của dãy

2

3 1 2

2

3lim

5

n

n

n n

dụ Tìm giới hạn của dãy

dụ Tìm giới hạn của dãy

3 ( 1)lim

1

n n

n n

100 2 2 5

n n

n n n

( 1) 6 55) lim

5 ( 1) 6

n n n

n n n n

lg

n

n n

 

16



2 3

311) lim

n n

118) lim

21 m

5

n n

n n

2

5

4

n n

n n

n n

1/ 3

n

n n







45



0



12

2 1)

2

n n

1

n n

1

n n n



3



12

 

2 11)

5 1

n n

n u

1

n n  n 

!7)

n

n n

2

arctan8)

n n



14

CMR không tồn tại các giới hạn lim sin , lim cos