Bài giảng Giải tích 1: Chương 3.2 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân (tt) cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng -

Giải tích 1

Chương 3: Tích phân suy rộng

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

I Tích phân suy rộng loại mộtBài toán

Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi đường cong:

Tích phân suy rộng loại một

được gọi là tích phân suy rộng loại một

Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một

Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng

1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp)

Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz)

Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

dx S

dx x



1

1 lim

dx x

Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

0

2

1

dx x

(ln )ln

Ví dụ Tính tích phân 2

dx I

2

x I

Ví dụ Tính

5 10

dx I

10 5

1 1

1

dx I

0

Ví dụ Tính

 2 3/ 2

0

arctan 1

0

arctan

1 1

x x

  ln | | x a   Tích phân phân kỳ.

Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)

0

1 1

1

Tích phân hàm không âm

và khả tích trên

f x  g x ở lân cận của . Khi đó:

1) Nếu ( ) hội tụ, thì hội tụ

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2

1 2 sin 3

dx I



 , nên I hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.

Chú ý (trong tiêu chuẩn 1):

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2

1 sin 3

dx I

dx x

Tích phân hàm không âm

và khả tích trên

( ) lim

( )

x

f x K

Để khảo sát sự hội tụ của ( )

Hội tụ tuyệt đối

Nếu ( ) hội tụ, thì hội tụ

để sử dụngđược hai tiêuchuẩn so sánh

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

dx I

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

dx I

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

dx I

 



3 3/

Ví dụ Chứng minh tích phân hội tụ và tính

2

dx I

t   x  t 2  x2  1  2 tdt  2 xdx

xdx I

Ví dụ Chứng minh tích

phân hội tụ và tính 4 2

dx I

2 4

Ví dụ Chứng minh tích phân phân kỳ và tính giới hạn

x x

e

dt t

t x

x x

e

dt t

x x

1lim

t x

x x

e

dt t

e







Sai! vì f(x) có dấu tùy ý, không sử dụng so sánh được

Xét tích phân hàm không âm 2

J



  hội tụ (tươngtự ví dụ trước)

Tích phân đã cho hội tụ, nhưng không hội tụ tuyệt đối

vẫn chưa kết luận t/phân ban đầu phân kỳ.

2) Với tích phân có hai điểm suy rộng

I Tích phân suy rộng loại haiĐịnh nghĩa

Điểm x0 được gọi là điểm kỳ dị của đường cong y = f(x),

loại hai của f(x)

trên đoạn [a,b]

I Tích phân suy rộng loại hai

I Tích phân suy rộng loại hai

Tích phân suy rộng loại

hai của f(x) trên đoạn [a,b]

I Tích phân suy rộng loại hai

Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phânsuy rộng loại một

Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phânsuy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ

Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn

so sánh cho tích phân hàm không âm

Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim ( ) : ( )

Cho x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất của f(x) trên [a,b]

Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị

Ví dụ Tính tích phân

4

dx I

( 2)lim

2

t t

d x x

lim 2 2

t t

Ví dụ Tích phân

3

dx I

Vậy tích phân I1 phân kỳ

Suy ra tích phân đã cho phân kỳ

Ví dụ Tính tích phân

1

0 (2 ) 1

dx I

21

21

dt t

 



1 0

Tích phân hàm không âm

và khả tích trên

f x  g x ở lân cận của trái của b. Khi đó:

1) Nếu ( ) hội tụ, thì hội tụ

Trường hợp x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất

Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị duy nhất

Tích phân hàm không âm

và khả tích trên

( ) lim

( )

x b

f x K

Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)

1 1

1

x dx I

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

0

5tan

x x







Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

2

2 0

sin

x

x x

I Tính các tích phân sau

3

11)

(5 3)3)

( 1)4)

2 0

16)

37)

8)

1

x

dx x







2 0

111)

112)

113)

cosh ( )x dx





2 0

4 0

16)

1

x

dx e







2 2 2

1

e e

3 1

 2 20

1

1230)

1

x

dx x





3 9



2 3 3 13 4

3 3



13 4







3 / 2 2

32)

( 3)

dx x

ln34) xdx

1

dx x







1 4

1 10

2 5 5 1 3

1 64

 3 3 

1

5 3 0

236)

15



5 5

(2 )

x dx

13)

 

2

  

12

 