Bài giảng Giải tích 1: Chương 2.2 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Ứng dụng đạo hàm cung cấp cho người học các kiến thức: Taylor Maclaurint, quy tắc Lôpital, khảo sát, vẽ đồ thị hàm số. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng -

Giải tích 1

Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Nội dung -

II Qui tắc Lôpital

1) Xác định trong lân cận của điểm x 0 và f x( 0)  g x( 0).2) Tồn tại đạo hàm hữu hạn f x'( ),0 g x'( )0  0

Khi đó:

0 0

0 0

Định lý 2 (Qui tắc Lôpital )

Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:

II Qui tắc Lôpital

1) Khả vi trong khoảng (a,b).

( )lim

Chứng minh

II Qui tắc Lôpital

Định lý 2 (Qui tắc Lôpital )

Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:

II Qui tắc Lôpital

1) Khả vi trong khoảng (a,b).

Chứng minh

II Qui tắc Lôpital

( )( )

(ứng với hai giá trị của t ở trên)

x x

f x a

Ví dụ.

Tìm tiệm cận của đồ thị arctan 2

(1 )

x y

x x



Tiệm cận đứng: có hai điểm gián đoạn x = 0 và x = 1

Hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t):

Nếu x(t): hàm chẳn, y(t): hàm lẻ, thì đồ thị đốixứng qua Ox

Nếu x(t): hàm lẻ, y(t): hàm chẵn, thì đồ thị đốixứng qua Oy

Nếu x(t) và y(t) cùng lẻ, thì đồ thị đối xứng quagốc O

Tiệm cận của đường cong tham số x = x(t), y = y(t):

0

lim ( )lim ( )

Các bước vẽ đường cong tham số x = x(t), y = y(t):

1) Khảo sát hàm một biến x = x(t) theo t.

4) Tìm tiệm cận và một số điểm đặc biệt của x(t), y(t)

2) Khảo sát hàm một biến y = y(t) theo t.

3) Lập trên cùng bảng biến thiên hai hàm x(t) và y(t).

5) Vẽ Dựa vào bảng biến thiên: từ trái qua phải, xét xbiến thiên và y biến thiên trên từng đoạn

Ví dụ.

Khảo sát vẽ đồ thị hàm y  y x( ) cho bởi p/trình tham số

,4(1 ) 8( 1)

2

38( 1)

'

(2 3)( )

1) Tìm miền xác định, tính tuần hoàn, chẵn (đồ thị

đối xứng qua Ox, lẻ: qua Oy)

Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực r  r   

2) Tính đạo hàm của r theo 

3) Lập bảng biến thiên của hàm r( )

Nếu hàm tuần hoàn chu kỳ T thì chỉ cần khảo sát trên

một chu kỳ hoặc rồi quay đồ thị quanh

gốc O một góc T đến khi không sinh ra nhánh mới.

4) Tìm tiệm cận Để đơn giản dùng đổi biến:

Các bước vẽ đường cong trong toạ độ cực r  r   

và dùng cách tìm tiệm cận của hàm tham số 

5) Tìm các điểm đặc biệt, dựa vào BBT vẽ

Chú ý: Nếu r < 0, thì lấy điểm nằm đối xứng qua gốc O

Xoay hình đã vẽ xung quanh gốc O một góc 2 đến khi

đến khi không sinh ra hình mới, được đồ thị trên toàn MXĐ

Lấy đối xứng qua trục Ox:

quay quanh gốc

O một góc 

Hình trên: y  cos 2x

Hình dưới: r  cos 2

I Tính giới hạn (sử dụng qui tắc Lôpital)

2 0

ln(1 )1) lim

tan

x

x x x



 

/ 4

ln(tan )2) lim

cot 2

x

x x

arctan( 1)4) lim

x

x e

1/ 2

e

1

116) lim

x x

x

x

x x

1

e

1

e

3 2 31) x  t  2t  t y,   2 3t  t

II Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm sau

t t

( ) 1.5cos cos(30 ); ( ) 1.5sin( ) sin(30 )

x t  t  t y t  t  t

I Vẽ các hình sau

( ) sin( cos(100 )); ( ) cos( sin(100 ))

x t  t  t y t  t  t

( ) 2sin(2 ); ( ) 2cos(5 )

( ) sin(2 ); ( ) sin( sin(2 ))

( ) sin(4 ); ( ) cos(3 )

x t  t t y t  t  t

( ) cos(8 ); ( ) sin(5 )

x t  t y t  t

( ) cos(8 ); ( ) sin(5 )

x t  t y t  t

2 4

sin (2.4 ) cos (2.4 )

2 3

sin (1.2 ) cos (6 )

sin(8 / 5)

1 2sin(3 )

r   

cos( / 3)

r  

r  

5