Bài giảng Giải tích 1: Chương 2.1 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm, vi phân, định lý giá trị trung bình, công thức Taylor, công thức Maclaurint. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng -

Giải tích 1

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

f x

I Đạo hàm

Định nghĩa (đạo hàm phải)

Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0

'

0

f  x

Định nghĩa (đạo hàm trái)

Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0

Định nghĩa (đạo hàm vô cùng)

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 , khi và chỉ khi

nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x 0 và

hai đạo hàm này bằng nhau

x x

x x

Ví dụ

Tìm f x' ( ), biết f x( )  x2  3 | | 2x 

Tại điểm x = 0:

2 2

Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, suy

ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0

x x

x

x x

x x x

0

1arctan

2

x

x f

2

x

x f

7 tan

cos

u u

u



' '

2

8 cot

sin

u u

u





Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic

Đạo hàm của hàm ngược.

Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số.

'

( )( )

( )( )





Định nghĩa (đạo hàm cấp cao)

Công thức Leibnitz (tính đạo hàm cấp cao)

Dùng qui nạp ta chứng minh được

Phương pháp tính đạo hàm cấp cao.

1) Sử dụng các đạo hàm cấp cao của một số hàm đã biết

2) Phân tích thành tổng các hàm “đơn giản”

3) Phân tích thành tích của hai hàm: f.g, trong đó f là hàm

công thức Leibnitz

4) Sử dụng khai triển Maclaurint, Taylor (sẽ học)

Đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp

n y

n y

2

11

2

11

n n

n y

Định lý

Hàm số y = f(x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f x'( 0)

a) Nếu f khả vi tại x0 Khi đó: f x( 0  x)  f x( 0)  A  x (x)

Vi phân của hàm f(x) tại x0: d f x ( 0 )  f ' ( x 0 ) d x

từ tính chất của đạo hàm

 

2) d  f    df ,  R

Vi phân của hàm hợp.

( )( )

Vi phân của hàm cho bởi phương trình tham số

( )( )

'

( )( )

Ví dụ Cho f x( )  x3  x. 2  2x 1

a) Tính f và df , nếu x thay đổi từ 2 đến 2.01

b) Tính f và df , nếu x thay đổi từ 2 đến 2.05

Ví dụ a) Tìm vi phân cấp 1 tại của f  x  3

4

f

Ví dụ Bán kính của hình cầu đo được là 21cm, với

Thể tích hình cầu là:

sai số không quá 0.05cm Hỏi sai số lớn nhất của thể

tích hình cầu đo được so với thể tích thực là bao nhiêu?

3

43

Vi phân cấp cao của hàm hợp ( )

III Các định lý về giá trị trung bình

Định lý Rolle Cho hàm y = f(x).

1) Liên tục trên đoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b)

III Các định lý về giá trị trung bình

3)

Định lý Lagrange Cho hàm y = f(x)

1) Liên tục trên đoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b)   c( )a b, ( ) : '

Định lý Cauchy Cho hai hàm y = f(x) và y = g(x)

1) Liên tục trên đoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b)   c a b,  :

' '

Hàm f x( ) khả vi trên đoạn [1,3] và bằng 0 tại các điểm

Trên hai đoạn [1,2] và [2,3] đối với hàm f(x) thỏa mãn tất

cả các điều kiện của định lý Rolle

Tồn tại ít nhất hai điểm của khoảng (1,3) tại đó f x '( ) 0

1, 1

x

x

f x

x x

Vậy f(x) khả vi, liên tục trên đoạn [0,2] Theo đlý Lagrange

Trên đoạn [0,2], hàm khả vi và liên tục.

Áp dụng đlý Lagrange, ta có:

Ví dụ Giả sử f (0)  3,(x f x) '( )  5 Hỏi giá trị lớn nhất

của f(2) có thể là bao nhiêu?

Hàm f x( )  arctan x liên tục và khả vi trên đoạn [a,b].

IV Công thức Taylor, Maclaurint

Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n trong lân cận x 0

Mục đích Tìm một đa thức bậc n, sao cho:

2) P x n( ) là xấp xĩ tốt nhất cho hàm f(x) trong lân cận

của x0 ( tức là f x( )  P x n( ) là VCB bậc cao hơn (x  x0)n )

IV Công thức Taylor, MaclaurintĐịnh nghĩa

Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n trong lân cận x 0

Taylor của hàm f(x) trong lân cận của x0

IV Công thức Taylor, Maclaurint

điểm x0 Công thức Taylor của f(x) đến cấp n tại x0 là:

Phần dư ghi ở dạng Peano

    0  

n n

n

x  x

Khi không quan tâm đến phần dư, sử dụng dạng Peano

Phần dư ghi ở dạng Lagrange

Khai triển Taylor tại x0 = 0 gọi là khai triển Maclaurint

Khai triển Maclaurint của một số hàm thường gặp

Khai triển Maclaurint của một số hàm thường gặp

Có thể dùng phương pháp sau để nhớ các khai triển

1

dx x

Các ứng dụng của công thức Taylor, Maclaurint

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 3 của hàm

2

1( )

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 5 của hàm

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm

Nhân tử và mẫu cho 1 + x, ta được:

2 2

1( )

Đổi biến, đặt:

Ví dụ Tìm khai triển Taylor tại x0 = 2 đến cấp 3 của hàm

2

1( )

x x

Ví dụ Tính giới hạn  3  2

3 0

lim

x x

Ví dụ Tính giới hạn

2 0

1 2 tanlim

x x

Ví dụ Tính giới hạn  2  3

0

3lim

Phần dư trong khai triển Maclaurint của hàm y = cos x là

I Tìm đạo hàm cấp n

1

1) (x 1)2x

32) ln

3

x x

I Tìm khai triển Maclaurint đến cấp n

2 2

3

x x

n e

2 2

4 2

x  x  x   x

I Tìm khai triển Taylor tại x0 đến cấp n

I Tính giới hạn

2

4 0



arctan

3 0

5) lim

x x

I Tính giới hạn

sin 0

6) lim

x x

sin7) lim

tan

x x

8) lim

sin

x x

725



1/ 3

2 0

12) lim

x x

arcsin14) lim

x x

17

5

1283

2 0

16) lim

x x

x x

1 420) lim

x x

e

5cos12

12

74

25