SKKN PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ ÁNH mới

I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI a. Cơ sở lý luận Để bắt kịp với xu thế hội nhập và phát triển của xã hội, đòi hỏi con người phải tìm tòi và sáng tạo trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu. Trong đó việc phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong quá trình dạy học. Đối với môn khoa học tự nhiên đặc biệt là môn toán thì việc dẫn dắt cho học sinh hiểu được một khái niệm, nắm bắt được phương pháp giải một bài toán là cả một quá trình làm việc hết sức nghiêm túc của cả thầy và trò. Trong bộ môn toán việc dẫn dắt học sinh giải một bài toán từ dễ tới khó tưởng chừng như đơn giản nhưng trong một lớp lại có nhiều đối tượng học tập khác nhau; nên việc dạy của giáo viên nhiều khi cũng gặp những khó khăn nhất định. Nhằm phát hiện những học sinh có năng lực, phát huy năng lực tư duy của học sinh, trong quá trình giải toán người giáo viên toán phải có trình độ chuyên môn vững vàng, có kinh nghiệm giảng dạy và có niềm say mê với nghề. Trong trường THCS môn toán có một vị trí quan trọng, các kiến thức của môn toán là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác và hoạt động hiệu quả ở mọi lĩnh vực trong cuộc sống hàng ngày. Đồng thời môn toán còn giúp học sinh có năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và giá trị thẩm mỹ. Ngoài việc hình thành cho học sinh một hệ thống các khái niệm, các định luật một cách vững chắc thì việc hình thành phương pháp giải của các dạng toán có tầm đặc biệt quan trọng và là vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học toán. Đối với học sinh trung học cơ sở việc giải bài tập toán cũng là một hình thức chủ yếu trong việc học toán. b. Cơ sở thực tiễn Qua thực tế dạy học của cá nhân nhiều năm ở bộ môn Toán 9 và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi phân môn đại số do trường phân công. Tôi đã tổng hợp các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh hàng năm kết hợp với giáo viên trong tổ phân tích sai lầm và tìm ra phương pháp giải tối ưu nhất cho từng bài toán về giải phương trình vô tỉ. Phân tích và hướng dẫn học sinh giỏi giải các bài toán về phương trình vô tỉ trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quý Đôn hàng năm để phát hiện những sai lầm của học sinh trong giải toán. Gợi ý và định hướng học sinh giỏi giải các bài toán về phương trình vô tỉ và các bài toán liên quan đến rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai đăng trên tạp chí “TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ” và “TOÁN TUỔI THƠ 2” để phát hiện những sai lầm của học sinh trong các bước biến đổi. Tham khảo các tài liệu liên quan đến phương trình vô tỉ, chọn lọc, sắp xếp tìm ra các phương pháp giải tối ưu nhất cho từng dạng toán viết thành chuyên đề làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, xây dựng thành sáng kiến kinh nghiệm “ Một số giải pháp khắc phục sai lầm khi giải phương trình vô tỉ” 2. XÁC ĐỊNH MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường THCS, tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy rằng : trong chương trình Toán THCS các bài toán về tìm x, giải phương trình rất phong phú và thú vị, quan trọng đối với các em học sinh. Ở bậc THCS đòi hỏi ta phải tìm ra cách làm hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức để giải quyết, chính vì các bài toán về giải phương trình không theo khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi người dạy phải có cách phân tích logic, biết kết hợp giữa kiến thức cũ và kiến thức mới một cách có hệ thống, định hướng cho tìm bài giải. Với mục đích: Tìm ra cách giải hay và ngắn gọn cho các bài toán. Đánh giá và phân loại học sinh trong từng giai đoạn nghiên cứu. Đưa ra các bài toán có tính tổng quát đơn giản cho học sinh nhận diện và tìm hiểu. Tích cực hóa hoạt động học tập, hình thành thói quen tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nghiên cứu phân tích, định hướng cách áp dụng các giải pháp để giải phươmg trình vô tỉ bằng cách: nâng lên lũy thừa, vận dụng hằng đẳng thức, đặt ẩn phụ, dùng biểu thức liên hợp, giải phương trình vô tỉ bằng cách đánh giá, vận dụng bất đẳng thức. 4. ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM Học sinh khối 9 trường THCS thị trấn Phù Mỹ – Phù Mỹ – Bình Định, năm học 2016 – 2017 đến nay.

là cả một quá trình làm việc hết sức nghiêm túc của cả thầy và trò Trong bộ môn toán việc dẫndắt học sinh giải một bài toán từ dễ tới khó tưởng chừng như đơn giản nhưng trong một lớp lại cónhiều đối tượng học tập khác nhau; nên việc dạy của giáo viên nhiều khi cũng gặp những khókhăn nhất định Nhằm phát hiện những học sinh có năng lực, phát huy năng lực tư duy của họcsinh, trong quá trình giải toán người giáo viên toán phải có trình độ chuyên môn vững vàng, cókinh nghiệm giảng dạy và có niềm say mê với nghề

Trong trường THCS môn toán có một vị trí quan trọng, các kiến thức của môn toán là công

cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác và hoạt động hiệu quả ở mọi lĩnh vực trongcuộc sống hàng ngày Đồng thời môn toán còn giúp học sinh có năng lực và phẩm chất trí tuệ, rènluyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởngđạo đức và giá trị thẩm mỹ Ngoài việc hình thành cho học sinh một hệ thống các khái niệm, cácđịnh luật một cách vững chắc thì việc hình thành phương pháp giải của các dạng toán có tầm đặcbiệt quan trọng và là vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học toán Đối với học sinh trung học

cơ sở việc giải bài tập toán cũng là một hình thức chủ yếu trong việc học toán

b Cơ sở thực tiễn

Qua thực tế dạy học của cá nhân nhiều năm ở bộ môn Toán 9 và tham gia bồi dưỡng họcsinh giỏi phân môn đại số do trường phân công Tôi đã tổng hợp các đề thi học sinh giỏi cấphuyện, cấp tỉnh hàng năm kết hợp với giáo viên trong tổ phân tích sai lầm và tìm ra phương phápgiải tối ưu nhất cho từng bài toán về giải phương trình vô tỉ

Phân tích và hướng dẫn học sinh giỏi giải các bài toán về phương trình vô tỉ trong các đềthi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quý Đôn hàng năm

để phát hiện những sai lầm của học sinh trong giải toán

Gợi ý và định hướng học sinh giỏi giải các bài toán về phương trình vô tỉ và các bài toánliên quan đến rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai đăng trên tạp chí “TOÁN HỌC VÀ TUỔI

TRẺ” và “TOÁN TUỔI THƠ 2” để phát hiện những sai lầm của học sinh trong các bước biếnđổi.

Tham khảo các tài liệu liên quan đến phương trình vô tỉ, chọn lọc, sắp xếp tìm ra cácphương pháp giải tối ưu nhất cho từng dạng toán viết thành chuyên đề làm tài liệu bồi dưỡng học

sinh giỏi, xây dựng thành sáng kiến kinh nghiệm “ Một số giải pháp khắc phục sai lầm khi giải

phương trình vô tỉ”

2 XÁC ĐỊNH MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường THCS, tôi đi sâu nghiên cứu nội dungchương trình và qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy rằng : trong chương trình Toán THCS các bàitoán về tìm x, giải phương trình rất phong phú và thú vị, quan trọng đối với các em học sinh Ởbậc THCS đòi hỏi ta phải tìm ra cách làm hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức để giảiquyết, chính vì các bài toán về giải phương trình không theo khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi ngườidạy phải có cách phân tích logic, biết kết hợp giữa kiến thức cũ và kiến thức mới một cách có hệthống, định hướng cho tìm bài giải Với mục đích:

- Tìm ra cách giải hay và ngắn gọn cho các bài toán

- Đánh giá và phân loại học sinh trong từng giai đoạn nghiên cứu

- Đưa ra các bài toán có tính tổng quát đơn giản cho học sinh nhận diện và tìm hiểu

- Tích cực hóa hoạt động học tập, hình thành thói quen tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo,nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức, đem lạiniềm vui, hứng thú học tập cho học sinh

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu phân tích, định hướng cách áp dụng các giải pháp để giải phươmg trình vô tỉ bằngcách: nâng lên lũy thừa, vận dụng hằng đẳng thức, đặt ẩn phụ, dùng biểu thức liên hợp, giải phươngtrình vô tỉ bằng cách đánh giá, vận dụng bất đẳng thức

4 ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM

Học sinh khối 9 trường THCS thị trấn Phù Mỹ – Phù Mỹ – Bình Định, năm học 2016 –

2017 đến nay

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, lý thuyết

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

+ Thực nghiệm thực tế giảng dạy:

+ Kinh nghiệm dạy học của cá nhân

+ Tham khảo về chuyên môn của đồng nghiệp.

- Phương pháp khảo sát thực nghiệm:

+ Khảo sát điều tra theo phiếu phỏng vấn thăm dò

+ Kết quả thực tế trong các cuộc thi Học sinh giỏi các cấp

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Đánh giá kết quả học tập và mức độ tư duy của học sinh sau khi tiếp cận các phương pháp giải

6 PHẠM VI VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Phạm vi nghiên cứu

Hệ thống một số phương pháp giải phương trình vô tỉ và chỉ ra những sai lầm thường mắcphải của học sinh khi giải các dạng toán về phương trình vô tỉ

Thời gian nghiên cứu

- Viết dưới dạng chuyên đề dùng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi từ năm học 2016 –2017

- Xây dựng thành chuyên đề hoàn chỉnh áp dụng giảng dạy học kì I năm học 2017 – 2018

- Triển khai áp dụng trong toàn trường năm học 2018 – 2019

- Hoàn thiện vào tháng 10/2019

II NỘI DUNG

1 NHỮNG NỘI DUNG LÝ LUẬN CÓ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Phương trình là một chủ đề chính trong chương trình toán phổ thông Trong chươngtrình Toán bậc THCS, phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt 4 năm học, bắt đầu

từ những bài toán “Tìm x biết ” ở lớp 6 , tìm nghiệm của đa thức ở lớp 7 đến giải phương trìnhbậc nhất ở cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình bậc hai ở học

kì II Đại số lớp 9 Trong đó phương trình vô tỉ (phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn) sách giáokhoa và sách bài tập chỉ lướt qua, nhưng trong các kì thi tuyển sinh vào lớp10 THPT, thi tuyểnvào trường chuyên lớp chọn, các kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh lại thường xuyên có bàitoán này Nếu giáo viên không chú ý trang bị tốt kiến thức và phương pháp giải hợp lí thì học sinhkhó vượt qua được Vấn đề đặt ra là làm thế nào để giúp học sinh giải tốt các dạng phương trình

vô tỉ? Khi gặp bất cứ một bài toán về phương trình vô tỉ nào học sinh cũng có thể tìm ra hướnggiải đúng và hạn chế được những sai lầm đáng tiếc trong quá trình giải toán

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở môn Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi phân môn đại

số tôi đã sưu tầm, chọn lọc tích luỹ và sáng tác thêm một số bài toán mới viết thành đề tài “ Một

số giải pháp khắc phục sai lầm khi giải phương trình vô tỉ” trong khuôn khổ chương trình

toán bậc THCS, nhằm giúp học sinh tránh được những sai lầm khi giải phương trình vô tỉ Từ đótrang bị cho học sinh một số phương pháp để giải các bài toán về phương trình vô tỉ Với mongmuốn trao đổi kinh nghiệm cùng các bạn đồng nghiệp để có thêm một chuyên đề bồi dưỡng độituyển dự thi học sinh giỏi các cấp được hoàn thiện

Trên thực tế khi giảng dạy, tôi nhận thấy rằng các bài toán cực trị là một trong những phầntrọng tâm của việc dạy nâng cao, bồi dưỡng kiến thức cho học sinh khá giỏi trong trường THCS,thế nhưng thực trạng học sinh trường chúng tôi không có hứng thú với loại toán này, bởi lẽ cácbài toán cực trị trong trường THCS không theo một phương pháp nhất định nên các em rất “ khónhằn ” với dạng bài toán này, các em không biết bắt đầu từ đâu, không biết vận dụng phươngpháp nào để giải quyết bài toán Nhưng có phải tất cả lỗi là ở các em không? Phải chăng các emcần có sự hướng dẫn, cần có sự làm quen với những dạng bài toán này, trong khi người giáo viên

là người chủ động hướng dẫn các em Vì những dạng bài toán này không thể chỉ đọc trong sáchgiáo khoa là sẽ thâu tóm được các cách làm và nó đòi hỏi cần phải có sự tư duy, sáng tạo, sự nhìnnhận đúng đắn để tìm được cách giải hay, dễ hiểu nhất Đôi khi giáo viên lại quá gò bó, áp đặt các

em phải làm theo cách này, cách kia làm chậm đi khả năng tư duy của các em dẫn tới các em cảmthấy nhàm chán Chính vì vậy khi gặp phải dạng toán giải phương trình vô tỉ rất nhiều học sinhgiải được nhưng không đạt điểm tối đa vì mắc những sai lầm hết sức đáng tiếc

Tập nghiệm của phương trình là S = {0; 3− }

Phân tích sai lầm: x = - 3 không phải là nghiệm của phương trình, thay x = -3 vào (1) thì x + 2

= - 1 < 0

Sai lầm: Đặt điều kiện sai dẫn đến kết luận nghiệm thiếu chính xác

Hướng khắc phục: Điều kiện: x ≥- 2,

Phân tích sai lầm: phương trình (2) không phải luôn có nghiệm với mọi x thuộc R vì khi thay x

= 4 vào phương trình (2) thì 5 – 2x = - 3 < 0 (không thoả mãn) mà phương trình (2) có nghiệm x

≤.(2) ⇔ 4x2 – 20x + 25 = (5 – 2x )2 ⇔4x2 – 20x + 25 = 25 – 20x + 4x2 ⇔ 0x = 0

Kết luận: Phương trình có nghiệm với mọi x

52

≤

Ví dụ 3: Giải phương trình: x− −2 x2− =4 0 (3)

(Đề kiểm tra HKI năm học 2010 – 2011)

Lời giải của học sinh như sau:

Điều kiện : x2 – 4 ≥0 ⇔x ≥2 hoặc x ≤ −2

 − ≥

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình S = { }2

nghiệm.

Ví dụ 4: Giải phương trình : 4x2−4x+ = +1 x 3 (4)

Lời giải của học sinh như sau:

(4) ⇔ (2x−1)2 = + ⇔x 3 2x− = + ⇔ =1 x 3 x 4

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

Nhận xét : phương trình (1) còn có một nghiệm x =

23

−

Phân tích sai lầm: Lời giải trên học sinh bỏ sót điều kiện x + 3 0≥ và xét thiếu trường hợp 2x –

Trường hợp : x ≥2 Giải như trên

bổ sung trường hợp :1≤ ≤x 2 ta có (*) ⇔ 4 = x + 3 ⇔ x = 1 ( thoả mãn)

Kết luận : Phương trình có 2 nghiệm : x1 = 1 ; x2 = 5

Chú ý : Khi dạy bài “ Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = A ” Cần ghi nhớ cho học

Sai lầm 3: Sai lầm khi vận dụng qui tắc khai phương một tích, một thương để biến đổi tương

đương các phương trình học sinh xét thiếu trường hợp dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm

Nhận xét: Ta thấy ngay x = 0 là một nghiệm của phương trình mà HS đã bỏ qua Việc chia 2 vế

cho x đã làm mất nghiệm của phương trình.

Phân tích sai lầm:

+ Không xét trường hợp x = 0 để suy ra nghiệm của phương trình.

+ Chưa xét đầy đủ các trường hợp x > 0 và trường hợp x < 0.

Hướng khắc phục: Trường hợp: x = 0 ⇔x = 0 là 1 nghiệm của phương trình.

Trường hợp x < 0 thì (10) viết về dạng: −x (1− + −x) x (2−x) =2 −x (3−x) (10’)

Vì −x > 0 nên chia 2 vế (10’) cho −x ta được: 1− +x 2− =x 2 3−x

Do x < 0 nên 1− <x 3−x và 2− <x 3−x

Suy ra 1− +x 2− <x 2 3−x Do đó x < 0 Không thoả mãn phương trình

Trường hợp x > 3 Giải như trên

Kết luận : Phương trình có 1 nghiệm x = 0

Ví dụ 7: Giải phương trình: x x( − +5) x x( −2) = x x( +3) (7)

Lời giải của học sinh như sau:

Điều kiện:

02

x x

* Ta có x = 0 là 1 nghiệm của phương trình (7)

* Với x ≠ 0, chia 2 vế phương trình cho x ta được:

1010

33

x

x x

x x

Hướng khắc phục: Trường hợp x = 0 là 1 nghiệm của phương trình

Trường hợp x 5≥ Giải như trên và loại nghiệm x = -

10

3 (không thoả mãn)

Bổ sung trường hợp x ≤ −3.(trình bày ở phần sau)

Đó là những sai lầm mà học sinh nào cũng có thể mắc phải khi vận dụng công thức

A B = A B , ngay cả giáo viên chúng ta nếu không để ý cũng khó tìm được nguyên nhân đãn

đến sai lầm trong hai ví dụ trên

Sai lầm 4: Biến đổi đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn xét thiếu trường hợp xảy ra

dẫn đến phương trình thừa hoặc thiếu nghiệm.

Ví dụ 8: Giải phương trình: (x−3)(x2− −x 6) =x2+7x+12 (8)

Lời giải của học sinh như sau:

Vậy phương trình (8) có 2 nghiệm x1 = 3; x2 = 7.

Nhận xét: Lời giải của học sinh thoả mãn 2 nghiệm tìm được, các em không ngờ rằng phương

Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm : x1 = 3; x2 = 7; x3 = 2

Để tránh sai lầm trên khi dạy mục “Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ” Giáo viên cần chú ý cho

x x

+

− = 4 (9)

Lời giải của học sinh như sau:

Điều kiện: x > 3 hoặc x ≤- 1

Đặt (x – 3)

13

x x

x x

+

− = 1 ⇔(x – 3)(x + 1) = 1 ⇔x2 – 2x – 4 = 0 Phương trình này có 2nghiệm x1 = 1 + 5 ( thoả mãn ) ; x2 = 1 - 5 ( thoả mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm : x1 = 1 + 5 ; x2 = 1 - 5

Nhận xét: x = 1 - 5 không là nghiệm của phương trình HS bỏ qua trường hợp t = - 4 làm mất

nghiệm x = 1 - 20 của phương trình

Phân tích sai lầm:

+ Đặt điều kiện t ≥0 nên loại trường hợp t = - 4 làm mất nghiệm.

+ Chưa xét kĩ từng trường hợp nên dẫn đến thừa nghiệm x = 1 - 5

Hướng khắc phục: Điều kiện: x > 3 hoặc x ≤- 1

Đặt (x – 3)

13

x x

31

3

x x

x x x

Phương trình này có 2 nghiệm x1 = 1 + 5 ( nhận ) ; x2 = 1 - 5 ( loại)

Từ (14”) suy ra x < 3 Kết hợp với điều kiện ta có x ≤ - 1

(14”) ⇔(x – 3)(x + 1) = 16 ⇔x2 – 2x – 19 = 0

Phương trình này có 2 nghiệm x3 = 1 + 20 ( loại) ; x4 = 1 - 20 ( nhận)

Vậy nghiệm của phương trình : x = 1 + 5 ; x = 1 - 20

Để tránh sai lầm trên khi dạy mục “Đưa thừa số vào trong dấu căn ” Giáo viên cần chú ý cho

HS công thức:

2 2

Phân tích sai lầm: Dễ dàng nhận ra lời giải sai lầm ngay bước biến đổi đầu tiên, khi khử mẫu

của vế trái để đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai mà không để ý đến giá trị tuyệt đối, nên làm mất nghiệm x = -3

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = -3

Để tránh sai lầm trên khi dạy mục “Khử mẫu của biểu thức lấy căn ” cần ghi nhớ cho học

Nhận xét : Học sinh thực hiện các phép biến đổi tương đương và giải phương trình trên rất hoàn

hảo, nhưng khi thử lại ta thấy x1 = 4; x2 =

7

2 không là nghiệm của phương trình

Phân tích sai lầm: Học sinh không tìm điều kiện xác định của phương trình (16) Nếu học sinh tìm đúng điều kiện xác định của phương trình thì có thể kết luận phương trình vô nghiệm ngay từ đầu.

Hướng khắc phục: Điều kiện xác định:

Vậy phương trình vô nghiệm

Sai lầm 7: Khi dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình học sinh không chú đến điều kiện ẩn phụ dẫn đến thừa nghiệm.

Ví dụ 12: Giải phương trình: 4x2+5x+ −1 4x2−4x+ =4 9x−3

( Đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quý Đôn – năm học 2007 – 2008)

Lời giải của học sinh như sau:

Nếu a = b ta có: 4x2+5x+1 = 4x2−4x+4 ⇔ 4x2 + 5x + 1 = 4x2 – 4x + 4 ⇔x =

1

3 ( chọn)

65 không là nghiệm của phương trình

Phân tích sai lầm: Lời giải bộc lộ sai lầm trong trường hợp xét a + b – 1 = 0;

vì b = 4x2−4x+4 = (2x−1)2+ ≥3 3 1> Suy ra a + b > 1 ( loại )

Hướng khắc phục: Trong trường hợp a + b – 1 = 0

Lập luận vì b = 4x2−4x+4 = (2x−1)2+ ≥3 3 1> Suy ra a + b > 1 ( loại )

Hoặc: Xét như sau để loại nghiệm:

Ví dụ 13: Giải phương trình: x 2 - x+5 = 5 (13) ( Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2007)

Lời giải của học sinh như sau:

− +

; x4 =

1 172

không là nghiệm của phương trình

Phân tích sai lầm: HS sai lầm từ bước đặt điều kiện x ≥- 5 Điều kiện của phương trình chính xác là x ≥ 5 hoặc x ≤ − 5

− −

Cách 2: Giải xong thử các nghiệm vào phương trình đã cho để kết luận nghiệm.

Sai lầm 8: Sai lầm khi vận dụng bất đẳng thức

Phương trình (3) có 3 nghiệm x1 = 1; x2 = 1 – 2 ; x3 = 1 + 2 ( thoả mãn )

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm : x1 = 1; x2 = 1 – 2 ; x3 = 1 + 2

Nhận xét: x2 = 1 – 2 không là nghiệm phương trình

Phân tích sai lầm: Với điều kiện 1− ≤ ≤x 3 thì phép biến đổi

Phương trình (3) có 3 nghiệm x1 = 1 (thoả mãn); x2 = 1 – 2 (loại) ; x3 = 1 + 2 ( thoả mãn ) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x1 = 1; ; x2 = 1 + 2

Ghi nhớ: - Điều kiện xác định của phương trinh

-Phép biến đổi tương đương các phương trình

-Thử lại nghiệm thoả mãn với phương trình đã cho hay không

-Kết luận nghiệm của phương trình

Sai lầm 9: Khi thực hiện các phép biến đổi tương đương các phương trình học sinh đã sử dụng chính điều kiện bài toán dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm.

Nhận xét: Với cách giải bài toán trên ta thấy con đường đi đến đích của học sinh thật suôn sẻ.

Mới nhìn ta thật sự cuốn hút bởi cách giải trên và không phát hiện sai sót gì? Nhưng khi thử lạithì x = 1 không là nghiệm của phương trình

Phân tích sai lầm: Khi thực hiện phép biến đổi tương đương từ (22’) sang (22”) thực chất đây là phép biến đổi hệ quả chứ không phải là phép biến đổi tương đương vì đã sử dụng điều kiện của

chính bài toán Điều này chưa chắc đúng với mọi x

Hướng khắc phục: Thử trực tiếp nghiệm vào phương trình (22) ta thấy x = 0 ( thoả mãn), x =1( không thoả mãn) Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

3 MÔ TẢ, PHÂN TÍCH CÁC GIẢI PHÁP

3.1.1 -Hệ thống hoá kiến thức cơ bản và bổ sung một số kiến thức mở rộng

a Định nghĩa:

Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong căn thức.

b Các bước giải phương trình vô tỉ ( Dạng thông thường):

- Tìm điều kiện xác đinh của phương trình.

- Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về dạng phương trình đã học.

- Giải phương tìm được.

- Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện xác định và kết luận nghiệm.

*Chú ý: Với những phương trình có tập xác định là R và trong quá trình biến đổi phương

trình không cần thêm điều kiện thì phải thử lại với nghiệm tìm được.

c Các kiến thức cơ bản về căn thức:

- Một số âm không có căn bậc chẵn.

- Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế của phương trình để được phương trình tương đương thì phải đặt điều kiện cho hai vế không âm.

A

A2 =

22

2

A A B

f(x) > 0g(x) > 0 (2)

h (x) > 0Với điều kiện (2) hai vế của phương trình (1) không âm nên bình phương hai vế của phương trình (1) và rút gọn ta được:

2

)()()]

([)()

(

2 f x g x x

h x g x

(3)Phương trình (3) có dạng (1) nên tiếp tục giải theo phương pháp của dạng (1)

Đối chiếu nghiệm tìm được của (3) với điều kiện xác định rồi kết luận nghiệm

Tuỳ theo từng trường hợp, ta đưa về giải phương trình vô tỉ (căn bậc n)

Dạng 5: f(x) + g(x)+n f(x).g(x) =h(x) (1)

Điều kiện : f(x) > 0

g(x) > 0Đặt ẩn phụ a = f(x)+ g(x) (a > 0)

)()()

()

(

2 f x g x a

x g x

=

Đưa phương trình (1) về các phương trình đã biết cách giải để giải

3.2 Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ

Trong phần trên tôi đã đưa ra các ví dụ cụ thể ứng với từng đơn vị kiến thức và phân tích sailầm của học sinh khi giải phương trình vô tỉ Vậy làm thế nào để học sinh khắc phục được những

sai lầm đó và khi gặp bất cứ dạng phương trình vô tỉ nào thuộc phạm vi chương trình trung học

cơ sở học sinh cũng có thể giải được Tôi xin giới thiệu một số giải pháp sau:

Giải pháp 1: Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa

Phương pháp chung:

- Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình (ĐKXĐ)

- Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn thức bậc hai, bậc ba …

Dạng 1: A x( )=B x( ) [ ]2

( ) 0, ( ) 0( ) ( )

x

x − =

− (2.b) ( bài 43b/ 50 – sbt)

x x

* Ta có x = 0 là 1 nghiệm của phương trình (4b)

* Với x ≥5, chia 2 vế phương trình cho x ta được:

1010

33

x

x x

x x

− (loại)

* Với x ≤-3 thì phương trình (4b) viết về dạng

⇔ 2 (5−x)(2−x) = x – 10 Phương trình vô nghiệm vì x ≤-3

Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 0; x2 = 6

Dạng 5: A(x)+ B(x) = C(x)+ D(x)

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình (tìm ĐKXĐ)

Với x ≥ 4 ⇒ vế trái của phương trình (*) luôn là một số dương ⇒ phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 0

Dạng 6: Nâng lên luỹ thừa bậc ba

Lập phương hai vế để làm mất căn bậc ba là dạng toán học sinh cũng có thể gặp trong các đề thi Tôi xin giới thiệu ví dụ sau để các bạn tham khảo

(6c) ⇔ x + 1 + 3x + 1 + 33(x+1)(3x+1)( 3 x+ +1 33x+1)

= x – 1 (*)Thay 3 x+ +1 33x+ =1 3 x−1 vào (*) ta được:

33(x+1)(3x+1)(x− = −1) 3(x+ ⇔1) 3 x+1( 3(x−1)(3x+ +1) 3(x+1)2)

= 03

2

3 3

3 3

⇔  = ⇔  =

Thử lại ta thấy x = - 1( thoả mãn); x = 0 ( không thoả mãn)

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = - 1

* Xây dựng bài toán vận dụng:

Tuỳ theo mức độ yêu cầu bài tập đối với trình độ của học sinh ta có thể xây dựng lớp bài toán theo cácdạng trên:

d) x2 - x+5 = 5 (Đề thi HSG môn toán lớp 9 cấp tỉnh năm học 2006 – 2007)

Bài 2: Giải các phương trình :

a) x2− + =x 8 4 2− x

b) 2x+ +1 x− =3 4

x+ x−

= 2Bài 5: Giải các phương trình sau

Phương pháp chung: Với dạng toán này ta phải biến đổi để biểu thức dưới dấu căn xuất hiện bình

phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu hai biểu thức rồi vận dụng hằng đẳng thức

2(2x 5)

⇔ − = 5 – 2x ⇔ 2x− = −5 5 2x ⇔2x− ≤5 0 ⇔ x

52

≤

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

5/2

x x

- Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối xét từng trường hợp

- Hoặc dùng bất đẳng thức A + B ≥ + ≥A B 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A.B ≥0

1 2

1 3

x x

Giải pháp 3: Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

1 Đặt một ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai

Đưa về phương trình bậc hai At 2 + Bt + C = 0

Giải phương trình bậc hai tìm t, rồi suy ra nghiệm của phương trình.

Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa

a) (1) ⇔3(2x2 + 5x + 3) + 2 = 5 2x2+5x+3

Đặt 2x2+5x+3 = t (t≥0)

⇒ t2 = 2x2+ 5x + 3 khi đó phương trình (1a) trở thành 3t2 – 5t + 2 = 0 (*)

Ta có: 3 + (-5) + 2 = 0, nên phương trình (*) có hai nghiệm t1 = 1 (thỏa mãn);

− +

; x4 =

45 36936

t2 – 3t + 2 = 0 từ đó tìm được t1 = 1 (thỏa mãn); t2 = 2 (thỏa mãn)

- Với t1 = 1 thì x2+ +x 1 = 1 ⇔x2 + x = 0 Phương trình này có 2 nghiệm:

x = 0; x = -1

- Với t2 = 2 thì x2+ +x 1 = 2 ⇔ x2 + x - 3 = 0 Phương trình có 2 nghiệm:

Giải phương trình, ta được: t = 2 (thỏa mãn);

12t5

= − (không thỏa)Với t = 2⇔ 2 x− + x = ⇔2 2x x− 2 = ⇔1 x2−2x 1 0+ =

Vậy phương trình (3) có nghiệm x = 1

Nhận xét: Dựa vào công thức tổng quát và tuỳ theo đối tượng học sinh của lớp bồi dưỡng

mà giáo viên có thể sáng tạo ra các bài toán cùng dạng loại phù hợp

Xác định: px2+qx r+ = t và ax2 + bx + c = A(x), trong đó

p = q

ta có lớp bài tậpvận dụng:

Giả sử: Xuất phát từ phương trình bậc hai: 2t2 – 3t + 1 = 0

Đưa về phương trình bậc hai : αt 2 + β t + k = 0

Giải phương trình bậc hai tìm t, rồi suy ra x.

Sau đay tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình: (x – 3)(x + 1) + 3(x – 3)

13

x x

x x

+

− = t không biến đổi (x – 3)(x + 1) theo t

Nếu phát hiện [(x – 3)

13

x x

x x

Phương trình này có 2 nghiệm x3 = 1 + 20 ( loại) ; x4 = 1 - 20 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình : x = 1 + 5 ; x = 1 - 20

Ví dụ 2: Giải phương trình: (x + 3)(x - 1) + 2(x +3)

13

x x

−+ = 8

Phân tích : Nếu bình phương 2 vế thì phương trình trở thành phương trình bậc 4 rấtphức tạp

Nếu đặt

13

x x

−+ = t không biến đổi (x +3)(x - 1) theo t

Nếu phát hiện [(x +3)

13

x x

−+ ]2 = (x + 3)(x - 1) thì giải quyết được bài toán

Lời giải:

Điều kiện: x < -3 hoặc x≥1

Đặt t = (x + 3)

13

x x

−+ ⇒ t2 = (x + 3)(x - 1)

Phương trình này có 2 nghiệm x3 = 1 + 20 ( loại) ; x4 = 1 - 20 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình : x = 1 + 2 2 ; x = 1 - 20

Xây dựng bài toán vận dụng:

Xuất phát từ phương trình bậc hai t2 + 2t – 8 = 0

Chọn t = (x +3)

13

x x

−+ , suy ra t2 = (x – 3)(x + 1) ta ví dụ 2Xuất phát từ phương trình bậc hai t2 + 7t – 8 = 0

t = (x +2010)

20112010

x x

++ , suy ra t2 = (x + 2010)(x + 2011) ta có ví dụ 4

p x

q x + B + C

( )( )

p x

q x = 0, đặt

( )( )

p x

q x = t

Đưa về phương trình bậc hai At 2 + Ct + B = 0

Giải phương trình tìm t, rồi suy ra x

Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa

x

− ++ = 2 ⇔x2 – 5x - 3 = 0

1

2 ⇔4x2 – 5x + 3 = 0 Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình (3) có 2 nghiệm x1 = 2

Ta tìm được: x1 = 3+ 13 (thỏa mãn); x2 = 3− 13 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm: x1 = 3+ 13 ; x2 = 3− 13

Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 0

Đối với phương trình (*) ta cũng có thể chia 2 vế cho 2x + 1

Ví dụ 4: Giải phương trình: x4 + 2x3 +2x2 – 2x + 1 = ( x3 + x)

2

1 x x

Xây dựng bài toán vận dung:

Từ cách giải tổng quát giúp giáo viên có thể tạo ra nhiều bài toán mới chỉ cần xácđịnh p(x), q(x)

Ví dụ: p(x) = x + 2; q(x) = x2 – 2x + 4 ta có:

2.q(x) = 2x2 – 4x + 8; 2p(x) = 2x + 4

suy ra 2[p(x) – q(x)] = 2x2 – 6x + 4 ta có đề thi GVDG cấp huyện Phù Mỹ năm học 2011 – 2012

Hoặc từ phương trình bậc hai t2 – 3t + 2 = 0 (*) ta chọn t = 2

x2 + x + 1 > 0 được phương trình 2x2 + 7x + 2 – 3 5x3+6x2+6x+1 = 0

Dạng 4:

Phương trình dạng: a(P(x) + Q(x)) + b ( P x( )+ Q x( )) 2= a P x Q x( ) ( ) + c

Phương pháp giải:

Đặt t = P x( )+ Q x( ) ⇒ =t2 P x( )+Q x( ) 2+ P x Q x( ) ( )

Đưa về phương trình bậc hai : αt2+β δt+ =0

Giải phương trình bậc hai tìm t, rồi suy ra x.

Vậy phương trình có một nghiệm là : x = 46 - 1984

⇔ 4 x− 2 = 0 ⇔ 4 - x2 = 0 ⇔ x1 = 2 ; x2 = - 2 (thoả mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = 2 ; x2 = - 2

Xây dựng bài tập vận dụng:

Xuất phát từ phương trình bậc hai t2 + 2t – 8 = 0 (*)

- Chọn t = x - x−5thay vào (*) ta được phương trình: 2x2 + x - x−5 - 2x x−5= 3

- Chọn t = x + x+3thay vào (*) ta được phương trình:

x x

+

− = 4

b) (x + 2)(x + 4) + 5(x + 2)

42

x x

++ = 0

c) (x + 2010)(x + 2011) + 7(x + 2010)

20112010

x x

++ = 8

d) (x – 5)(x + 1) + 3(x – 5)

15

x x

+

− = 4

Bài 4: Giải các phương trình sau

a) 2x2 – 5x + 2 = 4 2(x3−21x−20)