Qua những năm công tác trực tiếp giảng dạy và đặc biệt trong những năm học vừa qua tôi được phân công dạy luyện thi đại học, chương trình đào tạo và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi luôn suy
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ
I-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong giáo dục vấn đề đổi mới, cải cách nhằm nâng cao chất lượng dạy và học là một vấn đề được rất nhiều người quan tâm Bản thân tôi là một giáo viên dạy bộ môn toán Trung học phổ thông Qua những năm công tác trực tiếp giảng dạy và đặc biệt trong những năm học vừa qua tôi được phân công dạy luyện thi đại học, chương trình đào tạo và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi luôn suy nghĩ làm thế nào để học sinh và giáo viên vừa học vừa nghiên cứu thuận lợi nhất, để cải tiến phương pháp giảng dạy sao cho học sinh tiếp thu bài học nhanh nhất và đạt hiệu quả cao nhất
Với đặc thù của bộ môn, tôi nhận thấy rằng việc học tập và nghiên cứu theo các chuyên đề tạo điều kiện rất thuận lợi cho học sinh tiếp thu kiến thức sâu sắc, nắm vấn đề logic và phân dạng bài tập Tuy nhiên, việc
sử dụng các chuyên đề hiện nay còn gặp rất nhiều khó khăn như: Các chuyên đề còn thiếu nhiều, chất lượng các chuyên đề chưa đáp ứng được yêu cầu thực tế, tỉ lệ học sinh tiếp thu kiến thức theo chuyên đề rất ít
Trong quá trình thực hiện còn có nhiều khó khăn cũng như thuận lợi vậy tôi mạnh dạn đưa ra ý kiến để đồng nghiệp tham khảo và góp ý
II-MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Giúp hình thành cho học sinh kỹ năng ứng dụng giải bài tập về “phương
trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” trong
các bài tập ôn thi học sinh giỏi và ôn thi quốc gia dành cho bậc Trung học phổ thông
- Giáo viên tham gia dạy luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi làm căn cứ nghiên cứu
III-ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU
- Đối tượng: “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông
không chuyên” và các đề tài liên quan.
- Khách thể: Học sinh Trung học phổ thông không chuyên toán
Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
1
Trang 2IV-NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Trao đổi với giáo viên cùng chuyên môn để tìm ra hướng nghiên cứu và tiếp cận đề tài có hiệu quả nhất
- Tìm hiểu thực trạng và khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh về chuyên đề này
- Rút ra bài học kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo viên
V-GIỚI HẠN ĐỀ TÀI
Do thời gian nghiên cứu hạn hẹp nên đề tài chỉ nghiên cứu một vấn
đề “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không
chuyên” trong số rất nhiều vấn đề của toán học.
Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
2
Trang 3B NỘI DUNG
CỦA HỌC SINH
1 Thực trạng chung:
Học sinh Trung học phổ thông không chuyên khi tiếp cận kiến thức chuyên nội dung kiến thức khá trừu tượng nên việc tiếp thu kiến thức còn nhiều khó khăn Bên cạnh đó thời gian dành cho ôn luyện khá ít, việc học tập nghiên cứu ở nhà còn hạn chế Vì vậy, để các em học tập,
ôn luyện có hiệu quả thì bên cạnh sách giáo khoa mà các em có sẵn thì
hệ thống các chuyên đề mà giáo viên chuẩn bị là rất cần thiết
2 Chuẩn bị thực hiện đề tài:
- Thông qua thực tiễn giảng dạy
- Sưu tầm tài liệu, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp
1 Khái niệm :
Lí thuyết “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ
thông không chuyên” là một phần lí thuyết được giảng dạy trong
trường phổ thông thuộc chương trình cơ bản, chương trình nâng cao và chuyên ban của môn toán
2 Ý nghĩa của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng dành cho học
sinh Trung học phổ thông :
Chuyên đề này và một số chuyên đề khác như: "phương trình hàm",
"lí thuyết đồng dư trong số học", "bất đẳng thức", "giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất", "hệ phương trình", “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”… của cùng tác giả là trợ thủ đắc lực cho việc ôn luyện thi đại học và luyện thi học sinh giỏi bộ môn toán Trung học phổ thông dành cho học sinh không học theo chương trình chuyên ban
Việc sử dụng các chuyên đề nói chung, chuyên đề “phương trình vô
tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” nói riêng
Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
3
Trang 4vào việc ôn luyện thi đại học và luyện thi học sinh giỏi bộ môn toán Trung học phổ thông đặc biệt có hiệu quả với học sinh không chuyên
Vì lí do học sinh không chuyên thời gian ôn luyện ngắn, thời gian học chương trình không chuyên kéo dài nên học sinh không đủ thời gian học
ôn cả chương trình nâng cao
Nhìn về góc độ phương pháp ngoài việc thể hiện tính cụ thể, trừu tượng các chuyên đề toán còn góp phần giúp cho học sinh không học theo chương trình chuyên ban tiếp cận với việc ôn luyện thi đại học và luyện thi học sinh giỏi dễ dàng hơn khi sử dụng chúng đúng lúc, đúng cách, xen kẽ vào quá trình học chính khoá, để cập nhật, mở rộng kiến thức toán học, để giải quết vấn đề dạy học khám phá,…
Tóm lại các chuyên đề toán học nói chung chuyên đề “phương trình vô
tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” nói riêng có
ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả của quá trình dạy học
3 Nguyên tắc sử dụng chuyên đề toán học:
- Sử dụng đúng lúc, đúng nội dung và phương pháp dạy học đảm bảo học sinh ôn luyện tiếp cận được, đảm bảo không phân tán tư tưởng của học sinh khi tiến hành các hoạt động học tập tiếp theo
- Tránh sử dụng nhiều loại chuyên đề cùng một lần
- Sử dụng đủ cường độ: nguyên tắc này chủ yếu đề cập nội dung và phương pháp dạy học sao cho thích hợp với trình độ tiếp thu và lứa tuổi của học sinh
Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
4
Trang 5III-NỘI DUNG VÀ CÁCH THỰC HIỆN
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1 PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dạng 1 : Phương trình A B A B 0 x D (*)
A B
∈
= ⇔ = ≥ ⇔ =
Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của A≥ 0 hay
0
B≥
0
B
A B
A B
≥
= ⇔ =
Dạng 3: Phương trình
+)
0 0 2
A
≥
(chuyển về dạng 2)
+) 3 A+ 3 B = 3C ⇒ + +A B 3 3 A B. ( 3 A+ 3 B) =C
và ta sử dụng phép thế :3 A+ 3 B C= ta được phương trình :
3
3
Ví dụ 1: Giải phương trình sau : x+ +3 3x+ =1 2 x+ 2x+2
Giải:
Điều kiện x≥ 0
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:
1 + x+ 3 3x+ = + 1 x 2 x x2 + 1 , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :
3x+ − 1 2x+ = 2 4x− x+ 3
Bình phương hai vế ta có : 6x2 + 8x+ = 2 4x2 + 12x ⇔ =x 1
Thử lại x=1 thỏa mãn
Ví dụ 2: Giải phương trình sau :
3
2
1
3
x
+
Giải:
Điều kiện : x≥ − 1
Bình phương 2 vế phương trình?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Ta có nhận xét : 3 1 2
3
x
x
giải như sau :
3
2
1
3
x
x
+
+
Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
5
Trang 6Bình phương 2 vế ta được:
3
1
x x
= − + = − − ⇔ − − = ⇔
Thử lại :x= − 1 3,x= + 1 3 l nghiệm
Bài 1: Giải phương trình:
a) x2 − = − 1 x 1
b) x− 2x+ = 3 0
c) x2 + x+ = 1 1
e) 3x− + 2 x− = 1 3
f) 3 + −x 2 − =x 1 g) x+ = − 9 5 2x+ 4 h) 3x+ − 4 2x+ = 1 x+ 3
(x+ 3) 10 −x = x − −x 12
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − +x2 3x− = 2 2m x x+ − 2
Bài 3: Cho phương trình: x2 − − = 1 x m
-Giải phương trình khi m=1
-Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 4: Cho phương trình: 2x2 +mx− = − 3 x m
-Giải phương trình khi m=3
-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
2 PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC
a) Phương pháp
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích (x x A x− 0) ( ) = 0 ta có thể giải phương trình A x( ) = 0 hoặc chứng minh A x( ) = 0 vô nghiệm , chú ý điều
kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A x( ) = 0 vô
nghiệm
b) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình sau :
3x − 5x+ − 1 x − = 2 3 x − − −x 1 x − 3x+ 4
Giải:
Ta nhận thấy : (3x2 − 5x+ − 1) (3x2 − 3x− = − 3) 2(x− 2) v
(x2 − − 2) (x2 − 3x+ 4) = 3(x− 2)
Ta có thể trục căn thức 2 vế :
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 2 Giải phương trình sau : x2 + 12 5 3 + = x+ x2 + 5
Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
6
Trang 7Giải: Để phương trình có nghiệm thì :
3
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng
(x− 2) ( )A x = 0, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :
Dễ dàng chứng minh được : 2 2 2 2 3 0, 5
3
x
Ví dụ 3 Giải phương trình :3 x2 − + = 1 x x3 − 2
Giải :Đk x≥ 3 2
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
3
2
3 2
3
3
2 5
x
x
+
=
− +
3
2
3
3 9
2 5
x
<
− +
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường.
-Nếu bài toán có chứa f x( ) và f x( ) khi đó đặt t = f x( ) (với điều kiện tối thiểu là t ≥ 0 đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết
phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ).
-Nếu bài toán có chứa f x( ), g x( ) và f x( ). g x( ) =k (với k là hằng số) khi đó có thể đặt : t = f x( ), khi đó g x( ) k
t
=
-Nếu bài toán có chứa f x( ) ± g x( ) ; f x g x( ) ( ) và f x( ) +g x( ) =k khi đó
có thể đặt: t = f x( ) ± g x( ) suy ra
2
( ) ( )
2
Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
7
Trang 8-Nếu bài toán có chứa a2 −x2 thì đặt x= asint với
2 t 2
cos
x= a t với 0 t≤ ≤π
-Nếu bài toán có chứa x2 −a2 thì đặt
sin
a x
t
2 2
t∈ − π π
cos
a
x
t
2
-Nếu bài toán có chứa x2 +a2 ta có thể đặt x= a.tant với ;
2 2
t∈ − π π
Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
8
Trang 9Bài 1: Giải phương trình:
a) 2 2
2 8 12 2
b) 2x2 − 5 2x2 + 3x+ = − − 9 3x 3
4 6 2 8 12
d) 3x2 + 15x+ 2 x2 + 5x+ = 1 2
(x+ 4)(x+ − 1) 3 x + 5x+ = 2 6
2x + 5x+ − 2 2 2x + 5x− = 6 1 g) x2 + 3x+ − 2 2 2x2 + 6x+ = − 2 2 h) 2 2
11 31
i) (x+ 5)(2 − =x) 3 x2 + 3x
Bài 2: Giải phương trình:
a) 3 ( 2)3 ( 2)
1+ 1−x 1−x − 1+x = +2 1−x
1 − −x 2x 1 −x − 2x + = 1 0
64x − 112x + 56x − = 7 2 1 −x
e) 2 1235
1
x x
x
−
f) ( 3) ( 1) (4 3) 1 3
3
x
x
+
−
Bài 3: Cho phương trình: 1 1 2
−
-Giải phương trình với 2 2
3
-Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 4: Cho phương trình: 2(x2 − 2x) + x2 − 2x− − = 3 m 0
-Giải phương trình với m = 9 -Tìm m để phương trình có nghiệm
3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một
phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x
-Từ những phương trình tích ( x+ − 1 1)( x+ − + = 1 x 2) 0,
( 2x+ − 3 x)( 2x+ − + = 3 x 2) 0
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm
thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương
trình tích mà ta xuất phát
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp
giải được thể hiện qua các ví dụ sau
Bài 1 Giải phương trình :x2 + −(3 x2 + 2)x= + 1 2 x2 + 2
1
t
=
Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
9
Trang 10
Bài 2 Giải phương trình : (x+ 1) x2 − 2x+ = 3 x2 + 1
Giải:
Đặt : 2
Khi đó phương trình trở thành : ( ) 2
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có ∆ chẵn
1
t
=
Từ một phương trình đơn giản : ( 1 − −x 2 1 +x)( 1 − − +x 2 1 +x) = 0, khai triển ra ta sẽ được pt sau
Bài 3 Giải phương trình sau : 4 x+ − = 1 1 3x+ 2 1 − +x 1 −x2
Giải:
Nhận xét : đặt t = 1 −x, pttt: 4 1 + =x 3x+ + 2t t 1 +x (1)
Ta rt x= − 1 t2 thay vo thì được pt: 2 ( ) ( )
3t − + 2 1 +x t+ 4 1 + − =x 1 0 Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t
2 1 x 48 x 1 1
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo ( ) (2 )2
1 −x , 1 +x
Cụ thể như sau : 3x= − − +(1 x) (2 1 +x) thay vào pt (1) ta được:
Bài 4 Giải phương trình: 2 2x+ + 4 4 2 − =x 9x2 + 16
Giải
Bình phương 2 vế phương trình:
4 2x+ + 4 16 2 4 −x + 16 2 −x = 9x + 16
Ta đặt : ( 2)
t = −x ≥ Ta được: 2
9x − 16t− 32 8 + x= 0
Ta phải tách 9x2 =α2 4( −x2) + +(9 2α) x2 − 8α làm sao cho ∆t có dạng
chình phương
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt
được mục đích
Bài tập: Giải các phương trình sau:
(4x− 1) x + = 1 2x + 2x+ 1 b) x2 − = 1 2x x2 − 2x
c) x2 − = 1 2x x2 + 2x d) 2 2
3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ.
a) Dạng thông thường: Đặt u=α( )x v, =β( )x và tìm mối quan hệ giữa
( )x
α và β( )x từ đó tìm được hệ theo u,v Chẳng hạn đối với phương
Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
10
Trang 11
trình: m a− f x( ) +m b+ f x( ) =c ta có thể đặt: ( )
( )
m m
từ đó suy ra
u +v = +a b Khi đó ta có hệ
u v c
Ví dụ: Giải phương trình: x3 + = 1 2 2 3 x− 1
Đặt y= 3 2x− ⇔ 1 y3 + = 1 2x
Phương trình trở thành
3
3
1
1 2
2
1 5
1 2
2
x y
Vậy phương trình có 3 nghiệm
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) 3 2 − = −x 1 x− 1
b) 3 9 − = −x 2 x− 1
c) x− x− − − 1 (x 1) x+ x2 − =x 0
b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai:
2
e bc
α β
= +
Cách giải: Đặt: dy e+ = ax b+ khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
2 2 2
Nhận xét: Để sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi
phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn α β; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :
(αx+β)n = p a x b n ' + + ' γ là chọn được
c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba.
e bc
α β
= +
Cách giải: Đặt dy e+ = 3 ax b+ khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
11
Trang 12
( )
3 3
3 3
⇔
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) x+ = 1 x2 + 4x+ 5
b) 3x+ = − 1 4x2 + 13x− 5
c) x3 + = 2 3 3 3 x− 2
d) 4 9 2
28
x
g) x3 + = 1 2 2 3 x− 1 h) x3 35 −x x3( + 3 35 −x3) = 30 i) 4x2 − 13x+ + 5 3x+ = 1 0 j) 4x2 − 13x+ + 5 3x+ = 1 0
30 4 2004 30060 1 1
f)3 3x− = 5 8x3 − 36x2 + 53 25 −
3
l) 3 6x+ = 1 8x3 − 4x− 1
3 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá
quen thuộc Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:
Hướng 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) =k
Bước 2: Xét hàm số y= f x( )
Bước 3: Nhận xét:
• Với x x= 0 ⇔ f x( ) = f x( ) 0 =k do đó x0 là nghiệm
• Với x x> 0 ⇔ f x( ) > f x( ) 0 =k do đó phương trình vô nghiệm
• Với x x< 0 ⇔ f x( ) < f x( ) 0 =k do đó phương trình vô nghiệm
• Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 2: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) =g x( )
Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f x( )và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định x0 sao cho f x( ) 0 =g x( ) 0
Bước 3: Vậy x0là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 3: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f u( ) = f v( )
Bước 2: Xét hàm số y= f x( ), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
Bước 3: Khi đó f u( ) = f v( ) ⇔ =u v
Ví dụ 1: Giải phương trình : (2x+ 1 2) ( + 4x2 + 4x+ 4) (+ 3 2x + 9x2 + 3) = 0
2x 1 2 2x 1 3 3x 2 3x 3 f 2x 1 f 3x
Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
12
Trang 13
Xét hàm số ( ) ( 2 )
f t =t + t + , là hàm đồng biến trên R, ta có 1
5
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
x + + −x x − + =x m.
Giải: Xét hàm số y= x2 + + −x 1 x2 − +x 1
Miền xác định: D=R
− + >
'
' 0 (2 1) 1 (2 1) 1
(2 1)(2 1) 0
(2 1) ( 1) (2 1) ( 1)
y
Hàm số đồng biến
→−∞ →−∞
→+∞
+ + − − +
=
2
lim 1.
x
x y
y
+ BBT
x -∞ +∞
y’ +
y 1
-1 Vậy phương trình có nghiệm khi -1<m<1 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Giải - Đặt t= x+ 1;t≥ 0 Phương trình trở thành: 2 2 2t t= − + ⇔ = − + + 1 m m t 2t 1 - XÐt hµm sè y= − + +t2 2t 1; t ≥ 0; ’y = − + 2t 2 t 0 1 +∞
y’ + 0
-y 2
1 -∞
Theo yêu cầu bài toán đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số 2 2 1; 0 y= − + +t t t ≥ Do đó m≤ 2 Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm: Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa
13