skkn môn toán thpt phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

Qua những năm côngtác trực tiếp giảng dạy và đặc biệt trong những năm học vừa qua tôi đượcphân công dạy luyện thi đại học, chương trình đào tạo và bồi dưỡng họcsinh giỏi, tôi luôn suy ng

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong giáo dục vấn đề đổi mới, cải cách nhằm nâng cao chất lượngdạy và học là một vấn đề được rất nhiều người quan tâm Bản thân tôi làmột giáo viên dạy bộ môn toán Trung học phổ thông Qua những năm côngtác trực tiếp giảng dạy và đặc biệt trong những năm học vừa qua tôi đượcphân công dạy luyện thi đại học, chương trình đào tạo và bồi dưỡng họcsinh giỏi, tôi luôn suy nghĩ làm thế nào để học sinh và giáo viên vừa họcvừa nghiên cứu thuận lợi nhất, để cải tiến phương pháp giảng dạy sao chohọc sinh tiếp thu bài học nhanh nhất và đạt hiệu quả cao nhất

Với đặc thù của bộ môn, tôi nhận thấy rằng việc học tập và nghiêncứu theo các chuyên đề tạo điều kiện rất thuận lợi cho học sinh tiếp thukiến thức sâu sắc, nắm vấn đề logic và phân dạng bài tập Tuy nhiên, việc

sử dụng các chuyên đề hiện nay còn gặp rất nhiều khó khăn như: Cácchuyên đề còn thiếu nhiều, chất lượng các chuyên đề chưa đáp ứng đượcyêu cầu thực tế, tỉ lệ học sinh tiếp thu kiến thức theo chuyên đề rất ít

Trong quá trình thực hiện còn có nhiều khó khăn cũng như thuận lợivậy tôi mạnh dạn đưa ra ý kiến để đồng nghiệp tham khảo và góp ý

II-MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Giúp hình thành cho học sinh kỹ năng ứng dụng giải bài tập về “phương

trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” trong

các bài tập ôn thi học sinh giỏi và ôn thi quốc gia dành cho bậc Trung họcphổ thông

- Giáo viên tham gia dạy luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi làmcăn cứ nghiên cứu

III-ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU

- Đối tượng: “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông

không chuyên” và các đề tài liên quan.

IV-NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Trao đổi với giáo viên cùng chuyên môn để tìm ra hướng nghiên cứu vàtiếp cận đề tài có hiệu quả nhất

- Tìm hiểu thực trạng và khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh vềchuyên đề này

- Rút ra bài học kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy củagiáo viên

V-GIỚI HẠN ĐỀ TÀI

Do thời gian nghiên cứu hạn hẹp nên đề tài chỉ nghiên cứu một vấn

đề “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không

chuyên” trong số rất nhiều vấn đề của toán học.

Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa

2

ôn luyện có hiệu quả thì bên cạnh sách giáo khoa mà các em có sẵn thì

hệ thống các chuyên đề mà giáo viên chuẩn bị là rất cần thiết

2 Chuẩn bị thực hiện đề tài:

- Thông qua thực tiễn giảng dạy

- Sưu tầm tài liệu, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

1 Khái niệm :

Lí thuyết “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ

thông không chuyên” là một phần lí thuyết được giảng dạy trong

trường phổ thông thuộc chương trình cơ bản, chương trình nâng cao vàchuyên ban của môn toán

2 Ý nghĩa của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng dành cho học

sinh Trung học phổ thông :

Chuyên đề này và một số chuyên đề khác như: "phương trình hàm",

"lí thuyết đồng dư trong số học", "bất đẳng thức", "giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất", "hệ phương trình", “phương pháp tọa độ trong mặtphẳng”… của cùng tác giả là trợ thủ đắc lực cho việc ôn luyện thi đạihọc và luyện thi học sinh giỏi bộ môn toán Trung học phổ thông dànhcho học sinh không học theo chương trình chuyên ban

vào việc ôn luyện thi đại học và luyện thi học sinh giỏi bộ môn toánTrung học phổ thông đặc biệt có hiệu quả với học sinh không chuyên.

Vì lí do học sinh không chuyên thời gian ôn luyện ngắn, thời gian họcchương trình không chuyên kéo dài nên học sinh không đủ thời gian học

ôn cả chương trình nâng cao

Nhìn về góc độ phương pháp ngoài việc thể hiện tính cụ thể, trừutượng các chuyên đề toán còn góp phần giúp cho học sinh không họctheo chương trình chuyên ban tiếp cận với việc ôn luyện thi đại học vàluyện thi học sinh giỏi dễ dàng hơn khi sử dụng chúng đúng lúc, đúngcách, xen kẽ vào quá trình học chính khoá, để cập nhật, mở rộng kiếnthức toán học, để giải quết vấn đề dạy học khám phá,…

Tóm lại các chuyên đề toán học nói chung chuyên đề “phương trình vô

tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” nói riêng có

ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả của quá trình dạy học

3 Nguyên tắc sử dụng chuyên đề toán học:

- Sử dụng đúng lúc, đúng nội dung và phương pháp dạy học đảm bảo họcsinh ôn luyện tiếp cận được, đảm bảo không phân tán tư tưởng của họcsinh khi tiến hành các hoạt động học tập tiếp theo

- Tránh sử dụng nhiều loại chuyên đề cùng một lần

- Sử dụng đủ cường độ: nguyên tắc này chủ yếu đề cập nội dung vàphương pháp dạy học sao cho thích hợp với trình độ tiếp thu và lứa tuổicủa học sinh

Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa

4

III-NỘI DUNG VÀ CÁCH THỰC HIỆN

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

1 PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

 = − + = − − ⇔ − − = ⇔ 

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − +x2 3x− =2 2m x x+ − 2

Bài 3: Cho phương trình: x2− − =1 x m

-Giải phương trình khi m=1

-Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 4: Cho phương trình: 2x2+mx− = −3 x m

-Giải phương trình khi m=3

-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

2 PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC

Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa

6

a) Phương pháp

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích (x x A x− 0) ( ) = 0 ta có thể giải phương trình A x( ) = 0 hoặc chứng minh A x( ) = 0 vô nghiệm , chú ý điều

kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A x( ) = 0 vô

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 2 Giải phương trình sau : x2+12 5 3+ = x+ x2+5

Giải: Để phương trình có nghiệm thì :

3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường.

-Nếu bài toán có chứa f x( ) và f x( ) khi đó đặt t = f x( ) (với điều kiện

tối thiểu là t ≥0 đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết

phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ).

-Nếu bài toán có chứa f x( ), g x( ) và f x( ). g x( ) =k (với k là hằng

số) khi đó có thể đặt : t = f x( ), khi đó g x( )= k t

Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa

8

-Nếu bài toán có chứa f x( ) ± g x( ) ; f x g x( ) ( ) và f x( ) +g x( ) =k khi đó

x= a t với 0 t≤ ≤π

-Nếu bài toán có chứa x2−a2 thì đặt sin

a x

Bài 1: Giải phương trình:

x x

3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một

phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát.

Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau

Bài 3 Giải phương trình sau : 4 x+ − =1 1 3x+2 1− +x 1−x2

Giải:

Nhận xét : đặt t = 1−x, pttt: 4 1 + =x 3x+ + 2t t 1 +x (1)

Ta rt x= −1 t2 thay vo thì được pt: 2 ( ) ( )

3t − + 2 1 +x t+ 4 1 + − =x 1 0Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t

2 1 x 48 x 1 1

không có dạng bình phương Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo ( ) (2 )2

1 −x , 1 +x

Cụ thể như sau : 3x= − − +(1 x) (2 1 +x) thay vào pt (1) ta được:

Bài 4 Giải phương trình: 2 2x+ +4 4 2− =x 9x2+16

m m

Vậy phương trình có 3 nghiệm

Bài tập: Giải các phương trình sau:

Nhận xét: Để sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi

phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn α β; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :

3 3

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá

quen thuộc Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( )=k

Bước 2: Xét hàm số y= f x( )

Bước 3: Nhận xét:

• Với x x= 0 ⇔ f x( ) = f x( ) 0 =k do đó x0 là nghiệm

• Với x x> 0 ⇔ f x( ) > f x( ) 0 =k do đó phương trình vô nghiệm

• Với x x< 0 ⇔ f x( ) < f x( ) 0 =k do đó phương trình vô nghiệm

• Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( )=g x( )

Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa

13

Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f x( )và g(x) có những tính chất tráingược nhau và xác định x0 sao cho f x( ) 0 =g x( ) 0

Bước 3: Vậy x0là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f u( )= f v( )

Bước 2: Xét hàm số y= f x( ), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

y 1

-1 Vậy phương trình có nghiệm khi -1<m<1 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Giải - Đặt t= x+1;t≥0 Phương trình trở thành: 2 2 2t t= − + ⇔ = − + + 1 m m t 2t 1 - XÐt hµm sè y= − + +t2 2t 1; t ≥0; ’y = − +2t 2 t 0 1 +∞

y’ + 0

-y 2

1 -∞

Theo yêu cầu bài toán đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số 2 2 1; 0 y= − + +t t t ≥ Do đó m≤2 Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm: 2 4 5 4 2 x − x+ = +m x x− . Giải - Đặt 2 2 2 ( ) 4 5; '( ) ; '( ) 0 2 4 5 x t f x x x f x f x x x x − = = − + = = ⇔ = − + . BBT: x 0 2 +∞

f’(x) - 0 +

f(x) 5 +∞

1

Khi đó phương trình đã cho trở thành m t= + − ⇔ + − − = 2 t 5 t2 t 5 m 0 1 ( ) Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa

15

- Nếu phương trình (1) có 2 nghiệm t1, t2 thì t1+ t2 =-1 Do đó (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t ≥ 1.

- Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm khi phương trình (1) có nghiệm t∈(1; 5)

- Xét hàm số g(t)=t2+t-5 Ta đi tìm m để phương trình g(t)=m có đúng 1 nghiệm t∈(1; 5)

Từ BBT suy ra -3<m< 5 là điều kiện m cần tìm

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

- Xét

2

t t

t

− + +

+ Ta có f(t) liên tục trên 0; 2 Phương trình

đã cho có nghiệm khi (*) có nghiệm t thuộc 0; 2 min ( ) 0; 2 f t m max ( ) 0; 2 f t

= + ≤ ∀ ∈  

2

2

4

'( ) 0, 0; 2

( 2)

t t

Suy ra f(t) nghịch biến trên 0; 2

Suy ra min ( )f t f( 2) 2 1;ma x ( )f t f(0) 1

Vậy 2 1 − ≤ ≤m 1.

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

3 + +x 6 − −x (3 +x)(6 −x) =m có nghiệm.

Giải:Đặt t= f x( )= 3+ +x 6−x với x∈ −[ 3;6] thì

' '( )

2 (6 )(3 )

t f x

− − +

x -3 3/2 6 +∞

f’(x) ║ + 0 - ║

f(x) | 3 2 |

3 3

Vậy t∈[3;3 2] Phương trình (1) trở thành 2 2 9 9 2 2 2 t t t− − = ⇔ − + + =m t m (2) Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm t∈[3;3 2] đường thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y= 2 9 2 2 t t − + + với t∈[3;3 2] Ta có y’=-t+1 nên có Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa

17

C KẾT LUẬN

1 Ý nghĩa

Bất cứ một vấn đề khoa học nào, khi đưa ra cũng cần có thời gian

kiểm nghiệm Nhưng với việc sử dụng chuyên đề “phương trình vô tỷ

dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” vào ôn luyện

thi đại học và luyện thi học sinh giỏi toán Trung học phổ thông là hếtsức cần thiết Tuy nhiên tôi vẫn đưa vấn đề này ra trao đổi cùng mọingười để trong thời gian tới việc ôn luyện thi đại học và luyện thi họcsinh giỏi toán được tốt hơn

- Cần có kế hoạch lâu dài về việc ôn luyện.

Trên đây là ý kiến của tôi với kinh nghiệm thực tế, có tham khảo ý kiếncủa nhiều đồng nghiệp có kinh nghiệm và tham khảo một số tài liệuchuyên môn Tuy nhiên, trong quá trình thực hiện không thể tránh đượcnhững sai sót Rất mong ý kiến đóng góp của đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1- Bộ sách giáo khoa 10, 12 ( nhà xuất bản giáo dục )

2- Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi bậc Trung học phổ thông mônToán (Vụ Trung học phổ thông Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo)

3- Bộ đề ôn thi đại học (Nhà xuất bản giáo dục)

4- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học phổ thông(Phan Huy Khải)

5- Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi (Nguyễn Văn Mậu)

6- Phương pháp giải phương trình, hệ phương trình (Lê Hoành Phò)7- Tài liêu bồi dưỡng giáo viên hè (Nguyễn Tự Cường-Đại học QuyNhơn)

Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa

21

I Thực trạng về trình độ và điều kiện học tập của học sinh

II Cơ sở lý luận

III Nội dung và phương pháp thực hiện

C Kết luận

Tài liệu tham khảo

TRANG133351618