SKKN một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

Tuy nhiên trong chương trình toán THCS, học sinh chỉ được làm quen với phương trình vô tỉ ở dạng đơn giản và không đưa ra phương pháp và các bước làm cụ thể.. Giúp học sinh nhận dạng đượ

A MỞ ĐẦU

I Đặt vấn đề.

1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong toán học, giải phương trình là một phần rất quan trọng trong việc dạy và học ở trường phổ thông Việc nắm vững các dạng phương trình và rèn luyện kỹ năng giải các phương trình đơn giản như: phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai là nền tảng và cơ sở để học sinh biết tư duy, biết suy luận, tìm ra phương pháp giải phương trình vô tỉ

Phương trình vô tỉ là dạng toán rất đa dạng, phong phú, đòi hỏi học sinh khi giải phương trình phải có óc quan sát, suy luận, sáng tạo, đồng thời phải biết vận dụng một cách linh hoạt nhiều kiến thức Nó giúp cho học sinh phát triển tư duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ Cho nên trong các kì thi học sinh giỏi, kì thi tuyển sinh vào THPT, kì thi đại học thường xuyên có dạng toán này

Tuy nhiên trong chương trình toán THCS, học sinh chỉ được làm quen với phương trình vô tỉ ở dạng đơn giản và không đưa ra phương pháp và các bước làm cụ thể Vì thế, khi gặp loại toán này học sinh thường rất lúng túng không biết bắt đầu như thế nào Chính vì vậy việc tổng hợp, đưa ra những phương pháp giải cụ thể là rất quan trọng đối với học sinh

2 Ý nghĩa của giải pháp mới.

Giúp làm tăng khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh

Học sinh biết suy luận theo hướng logic (suy luận theo bản đồ tư duy, suy luận thao sơ đồ phân tích….)

Giúp học sinh biết liên hệ giữa các vấn đề, dẫn tới hiệu quả học tập tốt hơn

Học sinh biết cách trao đổi thông tin với bạn thông qua hoạt động dạy học hợp tác trong nhóm của giáo viên

Giúp học sinh nhận dạng được phương trình vô tỉ, đưa ra phương pháp phù hợp từ đó yêu thích môn học và say mê với môn học, làm giảm những suy nghĩ tiêu cực trong học sinh

3 Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm.

Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện nghiên cứu tại trường THCS Đại Hưng, huyện Khoái Châu, tỉnh Hưng Yên từ năm học 2013 - 2014 đến năm học

Qua nghiên cứu chương trình, sách vở, tài liệu và nhất là qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy việc đưa ra phương pháp cụ thể để giải từng dạng phương trình vô tỉ là rất cần thiết, nó giúp cho học sinh tiếp thu và vận dụng một cách dễ dàng hơn

Trong phạm vi đề tài nhỏ này, tôi mạnh dạn tổng hợp, hệ thống, phân loại

và hướng dẫn một vài phương pháp giải phương trình vô tỉ Với hy vọng học sinh khá, giỏi lớp 9 dựa vào đó phát huy tính sáng tạo, khả năng tìm tòi lời giải

có đường lối rõ ràng Tạo một cơ sở vững chắc trước khi bước vào phổ thông trung học đồng thời tạo lòng say mê, sáng tạo trong toán học

2 Cơ sở thực tiễn.

Trong giảng dạy thì một số giáo viên ngại đào sâu kiến thức dẫn tới việc giảng dạy phần này đa phần là hướng dẫn học sinh giải các dạng đơn giản, cụ thể từng bài mà không đưa được ra các phương pháp chung

Học sinh từ việc học thụ động nên việc học tập của các em chưa hiệu quả dẫn tới một số em chán nản trong việc học Một số học sinh có khả năng học tập nhưng rất sợ khi gặp phải dạng toán này.

- Quá trình biến đổi phải chính xác Đặc biệt chú ý A2 = A khi khai căn

- Khi tìm được giá trị của ẩn phải so sánh với điều kiện ở trên để tìm nghiệm thích hợp của phương trình

- Ngoài ra học sinh nắm vững một số kiến thức liên quan cụ thể:

1 Điều kiện để A có nghĩa là A ≥ 0

6 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

7 Các phương pháp biến đổi tương đương của phương trình

8 Các phương pháp biến đổi đơn giản căn thức bậc hai

9 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

10 Các BĐT thông dụng

4 Thời gian tạo ra giải pháp

Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi đã thực hiện kể từ đầu năm học 2013 - 2014 đến năm học 2014 - 2015 đối với các em học sinh lớp

9 của nhà trường

B - NỘI DUNG I- Mục tiêu

Từ những vấn đề đã nêu ở trên và với nhiệm vụ là một giáo viên giảng dạy môn toán ở trường phổ thông thì việc giảng dạy trước hêt phải đảm bảo đúng và đủ nội dung chương trình SGK do Bộ GD - ĐT quy định còn phải bồi dưỡng học sinh giỏi tạo lòng cốt cho các em tới đây còn có thể đi thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh đòi hỏi tôi phải tập trung nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm tổng hợp thành các phương pháp giải phương trình vô tỉ Sáng kiến này được đúc rút từ thực tế giảng dạy ở lớp 9, và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS Đại Hưng từ năm học 2013 - 2014 đến năm học 2014 - 2015 Đây là vấn

đề cấp bách và đòi hỏi liên tục được bổ sung trong những năm tới, tôi sẽ đưa ra phương pháp và minh hoạ bằng các ví dụ cụ thể đồng thời rút ra những kết luận chung nhất của các phương pháp giải phương trình vô tỉ

II- Phương pháp tiến hành

II.1 Mô tả giải pháp của đề tài.

Giải pháp được cụ thể hoá thông qua các phương pháp giải phương trình

- Giải phương trình không chứa căn

- Nghiệm của phương trình là những giá trị thuộc tập xác định

Lưu ý: ở bài toán này, học sinh thường hay mắc phải sai lầm khi bình

phương hai vế không có điều kiện x− ≥1 0 Do đó làm xuất hiện nghiệm ngoại

⇔ − = − +15 x x 2 2 x− +2 1 ⇔2 x− = −2 16 2x

6

x x

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=6

Lưu ý: trong ví dụ trên học sinh dễ mắc sai lầm là cứ như vậy bình phương hai vế khi mà chưa có điều kiện để vế trái không âm.

Bình phương hai vế của (3’) ta được:

8

; 5 44

2 ' 4

1760 1764

'

0 352 84

5

16 8 )

84 19 (

4

2 1

2

2 2

−

x x

x x

x x x

2 + x = x ⇔ x =

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0

Lưu ý: ở bài toán này, sau khi biến đổi đến (4’): x2 + 9x = −x ta có thể lập luận như sau:

Vì x2 +9x ≥0nên –x ≥ 0 hay x≤ 0

Kết hợp với ĐKXĐ => x = 0 (thỏa mãn phương trình (4))

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0

Lời bình: Trong phương pháp này khi nâng lên luỹ thừa đặc biệt là căn bậc chẵn thì giáo viên cần nhấn mạnh đến điều kiện để hai vế không âm Thông thường ta chỉ áp dụng cho phương trình có chứa 4 dấu căn trở xuống đồng thời chỉ là căn thức bậc hai hoặc căn bậc ba Kết hợp với biểu thức trong căn chỉ là những biểu thức đơn giản.

c Bài tập tự giải

Giải các phương trình sau:

1) x2−7x+12 2= x−6 ( x = 3)2) x− − =2 x 1 (Vô nghiệm)

3) x− −1 5x− =1 3x−2 (vô nghiệm)4) 1− +x x+ =4 3 ( x = 0; x = - 3)

2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

2.1 Sử dụng hằng đẳng thức A n = B n

+ Giải phương trình: A x( ) =B x( ) hoặc A x( ) = −B x( ) được nghiệm x rồi

so sánh với điều kiện và kết luận

Giải phương trình (1) ta được x=1 là nghiệm

Giải phương trình (2) ta được 1 13

Ví dụ 2 Giải phương trình:

x + x+ = x+ (2) ĐKXĐ: 3

Giải phương trình x+ =3 2x+ +3 1 ta được x = - 1 là nghiệm

Giải phương trình x+ = −3 ( 2x+ +3 1) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -1

Lời bình:

Ở bài toàn này nếu ta bình phương hai vế thì bài toán trở lên rất phức tạp Ở đây ta đã khéo léo thêm vào hai vế 2x + 4 nhằm mục đích xuất hiện các biểu thức có dạng bình phương của (1) ở cả hai vế, đưa phương trình về dạng

A 2 (x)=B 2 (x) Từ đó giúp ta tìm nghiệm của phương trình một cách dễ dàng hơn.

Ở ví dụ này ta có thể giải phương trình bằng cách khác là:

Với bài toán này, khi học sinh gặp phải các em rất lúng túng không định hướng được cách làm Vì thế tôi cho các em nhận xét thấy x3 , x, x có mối quan hệ với bậc của a, b trong hằng đẳng thức (a ± b) 3 sau khi khai

triển Đồng thời hướng dẫn các em làm như sau:

ĐKXĐ: x ≥ 0

( )3 ⇔7x x−15x = −2 3 x

⇔8x x −12x+6 x − =1 x x +3x+3 x +1 ( ) (3 )3

- Giải phương trình tích nhận được

b) Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình:

3 2

3 x+ +1 3 x+ = +2 1 x +3x+2 (1)ĐKXĐ: R

(2) ⇔ x+ +3 2x x+ =1 2x+ ( x+1) (x+3)

⇔( x+ −3 2 x) ( x+ − =1 1) 0 từ đó ta tìm được 1

0

x x

=



 =

 (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 1; x = 0.

Lời bình: Trong hai ví dụ trên học sinh chỉ cần quan sát tinh mắt sẽ thấy chúng thuộc dạng đẳng thức đặc biệt do đó ta sử dụng đẳng thức đó đưa về phương trình tích rồi từ đó giải phương trình dễ dàng.

B x A

m x D x

B x

A

= +

+ +

⇔

= +

+ +

) (

) ( ) (

) (

) ( )

Giải phương trình (1’) ta được x = 5 (thỏa mãn)

Giải phương trình (2’) ta được 0x = - 6 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5

Lời bình: Trong bài toán trên học sinh có thể giải bằng cách bình phương hai

1 1

1

1 1 1 1

) ' 1 (

−

⇔

x x

x

x x

x = 2 không thuộc khoảng đang xét

Lưu ý : Ở dạng toán này học sinh thông thường khi đưa biểu thức ra ngoài dấu căn mà không kèm theo dấu giá trị tuyệt đối từ đó dẫn đến việc mất nghiệm hoặc làm xuất hiện nghiệm ngoại lai của phương trình.

Cụ thể, bài toán trên học sinh thường biến đổi như sau:

2 1

1

1 1

2 1 1 1

1

2 ) 1 1 ( ) 1 1 ( )

+

−

⇔

x x

x

x x

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 dẫn đến thiếu nghiệm của phương trình Đây là một sai lầm ta thường gặp ở học sinh

ĐKXĐ: x ≥ -1Đặt: x+ =1 y y( ≥ ⇒ − =0) x 2 y2 −3

Do đó y = 2 ( Thoả mãn)

Thay trở lại ta được: x+ 1 = 2 ⇒ x= 3 (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3

4.2 Dùng ẩn phụ đưa về hệ phương trình hữu tỷ

để đưa về hệ phương trình đối xứng Để giải được cách này thì học sinh phải được cung cấp cách giải hệ phương trình đối xứng.

Ví dụ 4 Giải phương trình:

3 (3 x + 1)2 + (3 x − 1)2 + 3 9 x2 − = 1 1 (4)

Với bài toán này học sinh dễ nhận thấy mối quan hệ giữa các biểu thức

Vì vậy các em dễ định hướng và thấy được:

5.1 Liên hợp để xuất hiện nhân tử chung

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

Ví dụ 2: Giải phương trình

x2 +12 5 3 ++ = x x2 +5 (2)

ĐKXĐ: R(2) ⇔ x2 +12 − x2 + =5 3x−5

Đề phương trình có nghiệm ta thấy VT > 0 do đó 5

3

x >

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2

Lời bình: Trong ví dụ này ta có thể nhẩm được phương trình có nghiệm x = 2

do đó ta có thể đưa phương trình về dạng ( x−2 ) ( )A x =0 cho nên ta tách phương trình thành các nhóm để khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung x – 2.

5.2 Đưa về hệ tạm

a) Phương pháp

Nếu phương trình vô tỉ có dạng A+ B C= , mà A B− =αC (trong đó

C có thể là hằng số hoặc biểu thức chứa biến) Ta có thể làm như sau:

- Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m = const) mà ta luôn có h(x)

≥ m hoặc h(x) ≤ m thì nghiệm của phương trình là các giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy ra

Để biến đổi được về các dạng như trên thì cần biến đổi lịnh hoạt dựa vào tính chất hàm số, dựa vào các bất đẳng thức đặc biệt là áp dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacôpxki

b Các ví dụ:

6.1 Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế là rời nhau khi đó phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1 Giải phương trình:

x− −1 5x− =1 3x−2 (1)

ĐKXĐ: x≥1Với x≥1 ta có x<5x ⇔ − <x 1 5x− ⇔1 x− <1 5x−1 do đó VT < 0

mà VP > 0 nên không có giá trị của x để hai vế bằng nhau do đó phương trình

(1) vô nghiệm

Lời bình: Với bài này ta có thể giải theo phương pháp nâng lên lũy thừa Nhưng nếu ta hướng dẫn học sinh đi chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau thì lời giải bài toán sẽ hấp dẫn hơn và sẽ gây được hứng thú học tập, tìm tòi, khám phá của học sinh.

x + x+ = x+ + ≥ Dấu “=” xảy ra khi x = - 1

Do đó VT 5≥ Dấu “=” xảy ra khi x = - 1

Từ đó suy ra để phương trình có nghiệm thì VT = VP = 5 Khi đó x = - 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = - 1

6.3 Sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng đối với bất đẳng thức

Ví dụ 3 Giải phương trình:

x2 − 3 x + = 4 ( x2 − 2 x + 3)( x2 − 4 x + 5) (3)

ĐKXĐ: R

Ta có:

2

) 5 4 ( ) 3 2 ( 4 3

0 1 ) 1 ( 5 4

0 2 ) 1 ( 3 2

2 2

2

2 2

2 2

+

− + +

−

= +

−

x x x

x x

x

x x

x

x x

x

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:

3 2

2 − x+

x và x2 − 4x+ 5 ta có:

) 5 4 )(

3 2 ( 4 3 :

) 5 4 )(

3 2 ( 2

) 5 4 ( ) 3 2 (

2 2

2

2 2

2 2

+

− +

−

≥ +

−

+

− +

−

≥ +

− + +

−

x x x x x

x

hay

x x x x x

x x

x

Dấu “=” xảy ra khi x2 − 2x+ 3 =x2 − 4x+ 5 ⇔ 2x= 2 ⇔ x= 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1

Ví dụ 4 Giải phương trình:

3 x+ +5 4 2x+ =4 5 3x+9 (4)

ĐKXĐ: x≥ −2Theo bất đẳng thức BunhiaCôpxki cho cặp số (3;4) và ( x+5; 2x+4)

ta có:

9 3 5 4 2 4 5 3

:

) 4 2 5 )(

4 3 ( ) 4 2 4 5 3

+

≤ + +

+

+ + + +

≤ + +

+

x x

x hay

x x

x x

Dấu “=” xảy ra ⇔

4

4 2 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 22

Lời bình: Trong hai ví dụ trên ta đã sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng của BĐT Caychy và BunhiaCôpxki để chỉ ra nghiệm của phương trình.

c Bài tập tự giải

Giải các phương trình sau

B1: Tính nhẩm một nghiệm của phương trình

B2: Chứng minh đó là ngiệm duy nhất

II.2 Phạm vi áp dụng

* Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm này:

- Những yêu cầu đó đòi hỏi giáo viên phải có thời gian, kinh phí, tâm huyết, yêu nghề, yêu trẻ, có lòng say mê tìm tòi sáng tạo Giáo viên cũng cần rèn cho học sinh ý thức, thói quen học tập nghiêm túc, rèn kĩ năng quan sát, làm việc theo sự hướng dẫn của giáo viên Đối với học sinh cần phải có tinh thần học tập bộ môn những bạn học khá giỏi giúp đỡ những bạn học yếu hơn mình có như vậy giờ học mới đảm bảo đúng tiến độ của giờ lên lớp

* Đối tượng

Đề tài có thể tùy theo mức độ, yêu cầu đối tượng học sinh mà giáo viên có thể sử dụng toàn bộ hay ít nhiều Đối với học sinh giỏi thì việc truyền thụ cho các em một số phương pháp, kỹ năng trên là cần thiết và rất có ích

* Phạm vi

Tất cả các giáo viên giảng dạy bộ môn toán đều có thể áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 9 khi ôn thi tuyển sinh hoặc ôn thi học sinh giỏi

II.3 Hiệu quả.

Tôi có làm một bài tập khảo sát với thời gian làm bài 60 phút với hai nhóm học sinh của hai lớp: Lớp thực nghiệm 9A (lớp được giảng dạy theo sáng kiến kinh nghiệm) và lớp đối chứng 9C (không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm) với đề bài như sau:

⇔ = (không thỏa mãn); x2 =13(thỏa) mãn) (0,5đ)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 13 (0,25đ)Câu 2(2điểm) x+ +3 x− =1 2 (2)

* Những kinh nghiệm rút ra từ đề tài:

Qua đây tôi nhận thấy để học sinh ham mê môn học và học sinh phát huy được trí sáng tạo, năng lực nhận thức, tư duy sâu, giải thành thạo phương trình

vô tỉ thì ta cần có một vài kinh nghiệm sau:

1- Giáo viên phải nghiên cứu kĩ bài giảng Phải chuẩn bị các cách giải bằng các phương pháp khác nhau

2- Phải hiểu và làm thành thạo cách phương pháp giải phương trình vô tỉ 3- Phải truyền thụ đầy đủ và chính xác nội dung kiến thức cơ bản, cho học sinh được làm thành thạo các bài tập cơ bản

4- Phải đọc nhiều sách nâng cao và phải chắt lọc kiến thức

5- Dạy học sinh các bài tập mở rộng phải theo tính logic để học sinh có thể chủ động sáng tạo

6- Khai thác bài toán theo nhiều hướng giải khác nhau và phát triển bài toán lên mức độ khó hơn

7- Giáo viên phải tích cực học hỏi đồng nghiệp, trau dồi kiến thức, thường xuyên bồi dưỡng kiến thức thông qua tài liệu tham khảo, qua các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh vào THPT, qua mạng Internet.

Tuy nhiên để hình thành thói quen cho học sinh đòi hỏi hoạt động đồng

bộ của các thày cô giáo giảng dạy các bộ môn trong một lớp Hơn thế nữa phương pháp dạy học này cần được triển khai trong cả quá trình học tập của các

em từ bậc Tiểu học cho đến Trung học và nhất là Cao đẳng và Đại học

Trong sáng kiến này, tôi đã cố gắng chọn lọc, sắp xếp đưa ra các phương pháp đồng thời phân dạng bài tập phù hợp với những phương pháp đó và phù hợp với đối tượng học sinh Tôi thấy các em hào hứng say mê hơn trong học toán Các em không còn phải hoảng hốt, lúng túng khi gặp phải loại toán này

Với sự nỗ lực của bản thân tôi trong việc nghiên cứu, tham khảo sách vở, tài liệu đồng thời được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến bổ ích của các đồng chí trong tổ khoa học tự nhiên trường THCS Đại Hưng cùng với sự ủng hộ nhiệt tình của các em học sinh khối 9 trường THCS Đại Hưng tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này

Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm không trách khỏi thiếu sót mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp