CHUYÊN đề 6 góc và KHOẢNG CÁCH

có đáy là tam giác vuông tại C,CH vuông góc với AB tại H , I là trung điểm của đoạn HC.. KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019 Cho hình chóp SABCD có đáyABCD là hình thoi tâm O,

Dạng 1.1 Góc của đường thẳng với mặt phẳng

Câu 1 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông tại C,

AC a=

, BC = 2a

, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a=

Góc giữa đường thẳng SB và mặtphẳng đáy bằng

và BC= 3a

(minh họa như hình vẽ bên)

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)

Câu 5 (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hình chóp S ABC. cóSAvuông góc với mặt phẳng (ABC)

SA= 2a Tam giácABC vuông cân tại B và AB a=

( minh họa như hình vẽ bên)

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)

bằng

A

045

060

030

090

Câu 6 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hình chóp S ABC. có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)

,2

030

060

090

Câu 7 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có tất cả các cạnhbằng a Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên) Tang của góc giữa đường thẳng BM và

mặt phẳng (ABCD)

bằng

22

33

23

13

Câu 8 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hình chóp S ABC. có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)

,2

=

SA a

, tam giác ABCvuông cân tại B và AB a= 2

(minh họa như hình vẽ bên) Góc giữa đường thẳng

a

SA=

Tính gócgiữa SC và mặt phẳng ( ABCD)

33

23

13

Câu 13 (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho khối chóp S ABC. có

bằng

A

24

22

32

23

Câu 15 (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tam giác S ABC. có đáy làtam giác đều cạnh a Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Biết SCtạo với mặtphẳng đáy một góc 60

3

α =

3cos

3

α =

3cos

10

α =

D

1cos

M N

lần lượt là trung điểm SB CD, Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC)

A

55

B

5510

C

3 510

D

2 55

Câu 17 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác đều

B

34

C

2 55

D

14

Câu 19 (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông tại C,

CH

vuông góc với AB tại H , I là trung điểm của đoạn HC Biết SI vuông góc với mặt phẳng đáy,

· 90

ASB= °

Gọi O là trung điểm của đoạn AB, O′

là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI Góc tạo bởiđường thẳng OO′

Dạng 1.2 Góc của đường thẳng với đường thẳng

Câu 21 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông gócvới nhau và OA OB= =OC

Gọi M là trung điểm của BC ( tham khảo hình vẽ bên dưới) Góc giữa haiđường thẳng OM và AB bằng

A

045

B

090

C

030

D

060

Câu 22 (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tứ diện ABCD với

A

34

cosϕ =

B

030

C

060

D

14

cosϕ =

Câu 23 (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Cho hình hộp chữnhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′

, biết đáy ABCD là hình vuông Tính góc giữa A C′

A

045

090

060

030

Câu 25 (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương

ABCD A B C D′ ′ ′ ′

; gọi M

là trung điểm của B C′ ′

Góc giữa hai đường thẳng AM

C

6 1365

D

1365

Câu 27 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′

có tâm O. Gọi I là

tâm của hình vuông A B C D′ ′ ′ ′

và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho

12

(tham khảo hìnhvẽ) Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC D′ ′)

và (MAB) bằng

A

7 8585

B

6 8585

C

17 1365

D

6 1365

Câu 28 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′

có tâm O Gọi I làtâm của hình vuông A B C D′ ′ ′ ′

và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO=2MI

(tham khảo hìnhvẽ) Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC D′ ′)

và (MAB) bằng

A

7 8585

B

17 1365

C

6 1365

D

6 8585

Câu 29 (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD

15

25

Câu 30. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′

có các cạnh AB=2, AD=3;AA′=4

Góc giữa hai mặtphẳng (AB D′ ′)

và (A C D′ ′ )

là α Tính giá trị gần đúng của góc α

Câu 31 (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp SABCD có đáy

ABCD

là hình thoi tâm O, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Biết AB SB a= =

,6

090

C

060

045

Câu 34 (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp SABCDcó đáy là

hình thang vuông ABCD tại A và D, cạnh bên A vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a= 2

A

030

060

045

D

1arcsin

4

 

 ÷

 

Câu 35 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

ABCD A B C D

có mặt ABCD là hình vuông,

6'

045

060

090

Câu 36 (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho hình lập phương

Câu 37 (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình hộp chữnhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′

có đáy ABCD là hình vuông, AC′ =a 2

Gọi ( )P

làmặt phẳng qua AC′

12

13

33

Câu 38 (THPT HÀM RỒNG THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho lặng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′

có diện tích tam giác ABC bằng 2 3 Gọi M ,N ,P lần lượt thuộc các cạnh AA′

,BB′,CC′, diện tích tam

giác MNP bằng 4 Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC)

a

B

53

a

C

2 23

a

D

55

a

B

22

bằng

A

22

a

217

a

2114

a

2128

a

217

a

22

a

D

2128

a

153

a

217

a

157

A

21.14

a

B

2.2

a

C

21.7

a

D

21.28

a

B

33

a

C

53

a

D

32

a

63

a

32

B

3a 22

C

2a5

D

2a 33

Câu 48 (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chop S ABC.

có đáy là tam giác vuông tại A, AB a=

, AC a= 3

, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a

.Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:

A

5719

a

B

2 5719

a

C

2 319

a

D

2 3819

a

Câu 49 (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác đều.

a

d =

52

a

d =

23

a

d=

Câu 50 (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho khối chóp S ABCD. có

đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD)

a

B

1010

a

C

22

a

D

105

a

Câu 51 (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC

là tam giác vuông tại A

a

37

a

319

a

2 319

a

37

a

217

a

155

a

Câu 53 (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp đều S ABCD. , cạnh đáy

bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60°

a

C

32

với SA a= 6

Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)

A a 2 B a 3 C

22

a

32

a

Câu 55 (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD

là hình thang vuông tại Avà B, AB BC a= = , AD=2 a

Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với

trung điểm H của AD và

6.2

a

d =

D

155

B 1

C

12

D

13

Câu 57 (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoicạnh a,

ABC = °

Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC=2a

Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)là

A

155

a

22

a

25

a

5 303

a

32

a

62

a

Câu 59 (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD.

có đáy ABCD là hình bình hành tâm O; mặt phẳng (SAC)

vuông góc với mặt phẳng (SBD)

Biết khoảng

cách từ O đến các mặt phẳng (SAB) (, SBC) (, SCD)

lần lượt là 1; 2; 5 Tính khoảng cách d từ O đến mặtphẳng (SAD)

A

1920

d =

2019

d=

C d = 2

22

d =

Dạng 2.2 Khoảng cách của đường thẳng với đường thẳng

Câu 60 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′

có cạnh bằng a ( thamkhảo hình vẽ bên ).Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C′ ′

bằng

A

32

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a= .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và

SB

bằng

A

62

a

B

23

BC = a

, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a=

Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD, SC bằng

A

4 2121

a

B

2 2121

a

C

3012

a

D

306

a

2 55

a

D

22

Câu 65 (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′

là:

A

64

a

B

36

a

C

54

a

Khoảng cáchgiữa hai đường thẳng SA và BC bằng:

A

47

a

B

3 1313

a

C

67

a

D

34

A

32

a

23

a

34

a

Câu 69 (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD

là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a

B

55

Câu 70 (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ¢ ¢ ¢

có tất cả các cạnh đều bằng a Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB¢ bằng

A

21 7

a

B

3 2

a

C

7 4

a

D

2 2

A

90629

a

B

60929

a

C

60919

a

D

60029

Klà hình chiếu vuông góc của B xuống AC Tính độ dài d

đoạn vuông góc chung của SA và BK

A

11911

B

4 22913

C

2595

D

4 11915

Câu 73 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều

2105

d=

4 21015

d=

2 21015

d =

127

2

d =

13

2

d =

123

lần lượt lấy các điểm E F, sao cho EFsong song BG

Khoảng cách giữa hai đường thẳng DG

và EFbằng

A

2 32779

a

23779

a

2 23779

a

5 237316

Câu 79 (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD

sao cho khoảng cách từ điểm A đến ∆

là nhỏ nhất và khoảng cách lớn nhất giữa hai đườngthẳng ∆

A d =4 11.

B d=2 22.

C

22.2

d=

D d = 22.

Câu 82 (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho hình hộp ABCDA B C D′ ′ ′ ′

có tất cả các cạnh đều bằng 1 vàcác góc phẳng ở đỉnh A đều bằng 60°

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′

và A C′ ′

A

2211

211

211

311

Dạng 2.3 Khoảng cách của đường với mặt

Câu 83 (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là

hình thang vuông tại A và D, SD vuông góc với mặt đáy (ABCD)

,

AD= a SD a=

Tính khoảngcách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng (SAB)

A

a.2

2a.3

D

a 3.2

Câu 84. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA=2a Gọi M là trung điểm của SD Tính khoảng cách d giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ACM)

A

32

vuông tại C nên

Câu 3. Chọn C

Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)

, suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)

Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) là ·MBH

Khi đó ta có

·

214tan

3

3 24

a MH MBH

(tam giác SAC vuông tại A)

Tam giác ABC vuông cân tại B nên AC =AB 2 2= a

Ta có AC=a 2

Vì AC là hình chiếu của SC lên (ABCD)

nên góc giữa SC và (ABCD)

tan

32

a SCA

Câu 12.

Trong tam giác SOD dựng MH SO H OD// , ∈

ta có MH ⊥(ABCD)

.Vậy góc tạo bởi BMvà mặt phẳng (ABCD)

Tam giác SAB vuông ở A

Ta gọi E F, lần lượt là trung điểm của

hay Elà hình chiếu vuông góc của N lên (SAC)

Từ đó ta có được, góc giữa MNvà (SAC)là góc giữa MNvà CI

Suy ra, gọi Qlà góc giữa MNvà (SAC)thì

a MO

d O AM AMO

kẻ IK ⊥SH

tại K.Theo giả thiết SI ⊥(ABC)

Do tam giác ABC vuông tại C và SAB vuông tại S nên 2

AB

Xét hai tam giác vuông CHO và SHO có CO SO=

, cạnh OH chung nên ∆CHO= ∆SHO(c.g.c)

Vậy:

2sin

22

a

Suy ra góc (·OM AB, ) =(·OM MN, )

Xét ·OMN

Trong tam giác OMN có

22

Câu 23. Vì ABCD là hình vuông nên BD⊥ AC

.Mặt khác AA′⊥(ABCD)⇒BD⊥ AA′

a a

a a

2

a

=

Có

52

2

=.Suy ra

·AMN = °45

.Vậy (AM BC, ′ =) (AM MN, ) = ·AMN = °45

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Gọi Q là trung điểm của AA', khi đó mặt phẳng (AB C' ')

song song với mặt phẳng (MNQ)

nên góc giữa

Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho A′(0;0;0), B′(1;0;0), D′(0;1;0)

Suy ra:

1 1 2(1;0;0), ; ;

.Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC D′ ′)

chính là góc giữa 2 đường thẳng (MN ML, )

Gọi cạnh hình lập phương là 1 Ta có

106

,

346

Suy ra cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC D′ ′)

là

7 8585

và D H′

Gọi M trung điểm SA Ta có ∆SAB

cân tại B⇒BM ⊥SA (1)

Vì SO⊥(ABCD)⇒SO⊥BD

, lại có O trung điểm BD ⇒ ∆SBD

cân tại S nên SD SB a= = ⇒ ∆SAD

cân tại D nên DM ⊥SA (2)

Lại có (SAB) (∩ SAD) =SA (3)

( ) ( ) ( A BC' ; ABC ) (·AI A I; ′ ) ·A IA′

Theo đề bài ta suy ra

22

2 32

A I a a AI

Gọi O là tâm đáy, và K

là hình chiếu vuông góc của O trên SC.

( )2 ( )2

22

a AK

và (C BD' )

bằng

060

và (BCD A′ ′)

là 90°

.

và (ABCD)

có điểm chung A

và lần lượt chứa hai đường thẳng song song MN, BD

nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua A

và song song với

,

MN BD

.Trên hai mặt phẳng ( )P

và ( ABCD)

lần lượt có hai đường thẳng AC′

và AC cùng vuông góc với d nêngóc giữa hai mặt phẳng ( )P

và (ABCD)

chính là góc giữa AC′

và AC, bằng góc ·CAC′

Xét tam giác'

C CA

vuông tại C có:

2cos

22

có hình chiếu trên mặt ( ABCD)

là hình vuông ABCD nên:2

IH =SI +IK = a + a = a ⇒ =

là giao điểm của AC

Ta có:

2

Vậy: d C SBD( ;( ))

21.7

Gọi E F G, , lần lượt là trung điểm của BD CD, và trọng tâm tam giác BCD

Tam giác BCD đều nên suy ra

AK =

hay

2 57( ,( ))

19

a

d A SBC =

Câu 49.

H O

D S

4

a a

Nhận xét Trong thực hành làm toán trắc nghiệm ta nên áp dụng bài toán sau:

Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau và H là hình chiếu của O lên mặt phẳng

a a

Xét tam giác SOI vuông tại O ta có:

3.tan 60

, suy ra tam giác ADE đều

Khi đó C là trung điểm của ED và AC⊥ED

Gọi M là trung điểm củaCD, K là hình chiếu của H lên SM

Tam giác HCD vuông tại H có CD a= 2

và

22

là chân đường cao kẻ từ A

lên BC,C' là chân đường cao kẻ từ C lên AB.Gọi H

là giao của AA’ với CC’ suy ra H là trực tâm của tam giácABC. Ta dễ dàng chứng

Ta có: Tam giác OAA' vuông tại O, có OH là đường cao Suy ra :

ABC= ° ⇒ ∆ABC, ∆ACD

là các tam giác đều cạnh a.Xét ∆SAC

là hình thoi cạnh a,

ABC= ° ⇒ ∆ABC, ∆ACD

là các tam giác đều cạnh a

4

a

=.Xét ∆SAC

a a

a a

=

155

a

doSO là đường cao của tam giác đều cạnh 2a

Từ giả thiết suy ra tam giác BCD và tam giác ABD

là tam giác đều ⇒CD⊥OD

Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và A C′ ′

bằng khoảng cách giữa mặt phẳng song

C D

B A

S

K H

Gọi O là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm SA, ta có:SC//(BMD)

a OH

3

a OH

+ +

+) Ta có: (BC′,(AA′C C′ ) ) =BC A¼ ′ =30o

+) Mặt khác (BC′, ABC( ) ) =C BC¼′ =α

+) Gọi

2 23

Do hình chóp S ABC. đều nên SG là đường cao của hình chóp (G là trọng tâm tam giác đềuABC ) Kẻ

MH ⊥SA

tại Hthì MH là đoạn vuông góc chung của SA vàBC

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng MH

a OH a

Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A¢ trên B C¢ ¢ và AI.

3 2 3 2

a a a a

nên khoảng cách giữa AD

(2 )

2

B B AH

a a

2 34.tan45

C A

Nhận xét: Các dạng toán về khoảng cách nếu có thể thì nên sử dụng các quan hệ song song và tỉ lệ để đưa

về tính khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp.

Gọi N là trung điểm của AC

Ta có BC//(SMN)⇒d BC SM( , ) =d BC SMN( ,( ) ) =d B SMN( ,( ) ) =d A SMN( ,( ) )

là trung điểm BD Do S ABCD

là khối chóp tứ giác đều nên ABCD

là hình vuông và SO⊥(ABCD)

DN GF= = DM

Từ đó ta có DNFG

và BEND

là hai hình bình hành và (BDG) (// NEF)

Trên đoạn thẳng OD

lấy điểm K sao cho

13

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với O H≡

79711

2 2.

là hình chiếu vuông góc của A lên (BCD). Khi đó ta có H là trực tâm của tam giác BCD.

Với mọi đường thẳng ∆

a AH

Gọi H là trung điểm của AB.

Khi đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Vì SA SB SC= =

nên( )

1 Vẽ hình hộp, yếu tố vẽ hình quan trọng, giúp bạn tư duy “nét” nhất cho bài toán Các cạnh của hình hộp

bằng 1 và góc phẳng tại đỉnh A bằng 60°

cho ta thêm dữ kiện hình hộp xiên có đáy là hình thoi

2 Kiến thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

Cách 1: Là độ dài đoạn vuông góc chung giữa a và b

Trong quá trình dẫn dắt ra lời giải bài toán ta giới thiệu cả 3 cách xác định khoảng cách.

Cách sử dụng trong bài toán này là cách 2 Tính khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng song song với đường thẳng ấy

3 Kiến thức khoảng cách từ 1 điểm đến đến một mặt phẳng Không xác định trưc tiếp khoảng cách từ điểm

đó tới mặt phẳng mà xác định gián tiếp từ điểm khác mà ta nhìn được khoảng cách dễ dàng hơn, còn gọi là

đổi điểm.

d A C AB′ ′ ′ =d A C′ ′ ACB′ =d C( ′;(ACB′) ) =d B ACB( ;( ′) )

4 Thu gọn bài toán tính các yêu tố trong hình hộp xiên sang tính các yếu tố trong hình tứ diện Hay ta có bài

toán mới đơn giản hơn và có nhiều cách giải hơn

Tính chiều cao hạ từ đỉnh B của tứ diện BACB′