Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác-NC

Trong tam giác ABC, với BC=a, CA=b, AB=c, ta có:A b c 2 2 2 2 cos Từ định lí trên, hãy phát biểu bằng lời công thức tính một cạnh của tam giác theo hai cạnh còn lại và côsin của góc xen

,

: Cho tam gi¸c biÕt hai c¹nh vµ gãc

Bµi to¸n

µ gãc



   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

a

b c

A

)

:

Gi¶i

a AC AB

AC AB



 

.cos

2 2

)

b BC BC



 AC AB2

 

AC AB AC AB

AC AB AC AB A

§Æt

H·y viÕt l¹i c«ng thøc (1)!

BC a CA b AB c  

Trong tam giác ABC, với BC=a, CA=b, AB=c, ta có:

A

b c

2 2 2 2 cos

Từ định lí trên, hãy phát biểu bằng lời công thức tính một cạnh của tam giác theo hai cạnh còn lại và côsin của góc xen giữa hai cạnh đó.

Khi tam giác ABC

vuông, định lý côsin trở thành

định lý quen thuộc nào?

1 Định lý côsin trong tam giác

b c

Trong tam giác ABC, với BC=a, CA=b, AB=c, ta có:

2 2 2 2 cos

90

Từ định lý côsin suy ra Nhận xét:

90 90

Kết quả sẽ nh thế nào

nếu A là góc nhọn hoặc A là góc tù?

1 Định lý côsin trong tam giác

b c

2 2 2 2 cos

HÖ qu¶:

Cã thÓ tÝnh ® îc c¸c

gãc A, B, C khi biÕt 3 c¹nh a, b, c cña tam gi¸c ABC kh«ng ?

cos

2

A

bc



cos

2

B

ca



cos

2

C

ab



1 §Þnh lý c«sin trong tam gi¸c

Trong tam gi¸c ABC, víi BC a CA b AB c   ta cã

Cho tam gi¸c cã c¸c c¹nh vµ gãc TÝnh c¹nh

TÝnh gãc

0

60

A B

C

4

b 

3

a 

?

c 

Gi¶i:

2

0

bc

2

a  R O

c

b

( ; )

2 sin , 2 sin , 2 sin

Cho tam giác vuông tại nội tiếp đ ờng tròn Chứng minh rằng

Bài toán

2:

:

Giải:

Vì A  nên a  R và A  =1

2 sin

Do đó a  R A

sin

B

a

  b a sin B 2 sinR B

sinC c

a

  c a sinC 2 sinR C

Kết quả của bài toán trên có đúng cho tam

giác ABC bất kỳ

không?

A A

O

'

A

C B

A

a O

( ; )

2 sin , 2 sin , 2 sin

Cho tam giác không vuông nội tiếp đ ờng tròn Chứng minh rằng:

Bài toán 3:

a  R A b  R B c  R C

sin sin '

Kẻ đ ờng kính của đ ờng tròn Hãy chứng tỏ

trong cả hai tr ờng hợp nhọn hoặc tù.

Từ đó hoàn thành lời giải của bài

Gợi ý:

=

toán!

BAC

C

2 Định lý sin trong tam giác.

2 sin sin sin

R

Với mọi tam giác ABC, ta có

trong đó R là bán kính đ ờng tròn

ngoại tiếp tam giác ABC.

A

O a

b c

R

B

C

0 87 0 62

500

Ví dụ 2: Một chiếc thuyền đang neo đậu

ở vị trí C trên biển và hai ng ời ở các vị trí

quan sát A và B cách nhau 500m Họ đo đ

ợc góc CAB=870 và góc CBA=620 Tính

các khoảng cách AC và BC.

87 , 62 , 500 Xét tam giác ABC có A  B  c 

sin sin sin

Theo định lí sin ta có a b c

A  B  C

0 0

sin 500.sin87

969, 47( ) sin sin 31

c A

C

0

sin 500.sin 62

857,17( )

c B

Giải:

5, 7, 10.

3sin 5sin 2sin 0

: Cho tam giác có Chứng minh rằn

Ví dụ 3

g:

ABC a b c

Giải:

sin ; sin ; sin

Theo định lí sin ta có: a b c

3sin 5sin 2sin 3 5 2 15 35 20 0

b c

Hệ quả:

2 2 2

cos

2

b c a A

bc

 



2 2 2

cos

2

c a b B

ca

 



2 2 2

cos

2

a b c C

ab

 



1 Định lý côsin trong tam giác

2 2 2 2 cos

Trong tam giác ABC, với

ta có

BC a CA b AB c  

A

O a

b c

R

2

.

Với mọi tam giác , ta có

trong đó là bán kính đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác

R A

ABC

C

B R

B

C

A

2 Định lý sin trong tam giác

2

3

4

5

Bài 1: Cho tam giác ABC Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a2 = b2+ c2 + 2bc cosA

b2 = a2+ c2 - 2ac cosC

a2 = c2- b2 +2ab cosC

2 sin

a R

A



sin sin

B b









Mệnh đề

60 , 1( ), 2( ).

Bà : Cho tam giác có

Độ dài cạnh bằng:

BC

cos

C

7( ), 6( ), 3( ) : Cho tam giác có

Khẳng định nào sau đây là đún

Bài 4

g

Tam giác vuông.

60 , 1( ).

: Cho tam gi¸c cã B¸n kÝnh ® êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c b»ng:

ABC

c

19, 20, 21, 22, 23 64, 65

2 2 2

cos

2

A

bc

 



cos sin

A A



sin

2

Ta cã a

A

R



cot A



 



R abc

 



2 2 2

cot A cot B cotC a b c R

abc

 

cot

Nh vËy: b c a

abc

 



cot

T ¬ng tù: c a b

abc

 



cotC a b c R

abc

 



abc

: Chøng minh r»ng, trong mäi tam gi¸c

Gi¶i: