nội dung Nguyên hàm tích phân là một chương khó, tuy nhiên qua tài liệu này nội dung đã được tóm tắt ngắn gọn, dễ dàng tiếp cận, qua đó người học có thể hiểu và vận dụng vào giải bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả
Trang 1CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I NGUYÊN HÀM
1 Khái niệm
Định nghĩa Cho hàm số f x( ) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng)
Hàm số F x ( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x ( ) trên K, nếu F x'( )= f x( ) , với mọi x K
Định lý Giả sử F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng K Khi đó
a Với mỗi hằng số C, hàm số G x( )=F x C( )+ cũng là một nguyên hàm của f x( )
b Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f x( ) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C
c Họ tất cả các nguyên hàm của f x ( ) là , trong đó F x( ) là một nguyên hàm của
f x( ) , C là hằng số bất kỳ
d Bảng các nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp u u x= ( )
kdx kx C k R= + ,
x dx 1 x 1 C( 1)
1
+
1
+
x =ln +
u =ln +
x =2 +
u =2 +
e dx e= +C
x
ln
ln
Trang 2dx x C
x
x
u
u
Ngồi ra cịn một số cơng thức thường gặp là
k k
(ax b
a
1
1
1
+
+
2 Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Định lý Nếu F x G x ( ), ( ) tương ứng là một nguyên hàm của f x g x( ), ( ) thì
a f x dx '( ) = f x( )+C
b [ ( )f x g x dx( )] = f x dx( ) g x dx F x( ) = ( )G x( )+C;
c a.f(x)dx =a f x dx aF x ( ) = ( )+C a( 0)
3 Một số phương pháp tìm nguyên hàm
a Phương pháp đổi biến số
hàm liên tục trên K và hàm số y f u)= ( liên tục sao cho f u x[ ( )] xác định trên K
Khi đĩ nếu F là một nguyên hàm của f, tức là f u du F u C( ) = ( )+ thì
f u x ]dx=F[u(x)]+C[ ( )
b Phương pháp tích phân từng phần
Một số dạng thường gặp:
Dạng 1 P x e( ) ax b+ dx P x, ( )sin(ax b dx P x cos ax b dx+ ) , ( ) ( + )
Cách giải:
Đặt u P x dv e= ( ), = ax b+ dx hoặc dv( =sin(ax b dx dv+ ) , =cos(ax b dx+ ) )
Dạng 2 P x ( )ln(ax b dx+ )
Cách giải: Đặt u=ln(ax b dv P x dx+ ), = ( )
Trang 3I TÍCH PHÂN
1 Định nghĩa Cho hàm f x( ) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K
Nếu F x ( ) là một nguyên hàm của f x ( ) thì hiệu số F b F a( )− ( )được gọi là tích phân của f x( ) từ a đến b và ký hiệu là b
a
f x dx( )
b a
f x dx( )
tích phân của f trên a b;
2 Tính chất của tích phân
Cho các hàm số f x g x ( ), ( ) liên tục trên K và a b c, , là ba số thuộc K
a
a
f x dx
f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx
k f x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
3 Một số phương pháp tính tích phân
• Phương pháp đổi biến số:
Công thức đổi biến số
u b b
f u x u x dx ( )f u du
( )
tục và u x ( ) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp f u x[ ( )] xác định trên
J; a b J,
Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách
Cách 1 Đặt ẩn phụ u u x= ( ) ( u là một hàm của x)
Cách 2 Đặt ẩn phụ x x t= ( ) ( x là một hàm số của t)
• Phương pháp tích phân từng phần
Định lý Nếu u x v x ( ), ( ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a b, là hai
số thuộc K thì
b a
u x v x dx u x v x( ) '( ) = ( ) ( ) − v x u x dx( ) '( )
Trang 44 Ứng dụng của tích phân
• Tính diện tích hình phẳng
• Nếu hàm số y f x= ( ) liên tục trên a b; thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y f x= ( ), trục hoành và hai đường thẳng x a x b= , = là
b
a
S= f x dx( )
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x= ( ), y g x= ( ) và hai đường thẳng x a x b= , = là
b a
S= f x( )−g x dx( )
• Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với
trục Ox tại các điểm a b, là b
a
V =S x dx( ) Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là
x và S(x) là một hàm liên tục a b;
• Tính thể tích khối tròn xoay
• Hàm số y f x= ( ) liên tục và không âm trên a b ; Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x= ( ), trục hoành và hai đường thẳng x a x b= , = quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay Thể tích V được tính bởi công thức
b a
V = f x dx2( )
• Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x g y= ( ), trục tung và hai đường
thẳng y c y d= , = quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay
Thể tích V được tính bởi công thức
d c
V =g y dy2( )
Trang 5CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phần 1 Tìm nguyên hàm
Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm
Bài 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số
x
3
1
c sin2xdx
x
3 2
x
3
5
x
1 ln+
x 4
(1 2 )−
Dạng 2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
Tính tích phân I = f x dx( )
Phương pháp 1 Đổi biến t=( )x , rút x theo t
+) Xác định vi phân: dx='( )t dt
+) Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f x dx g t dt( ) = ( ) Khi đó I =g t dt( )
Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
( )
+
=
x
t tan
2
=
Trang 6Hàm lẻ với sinx Đặt t=cosx
Phương pháp 2 Đổi biến x=( )t
+) Lấy vi phân dx='( )t dt
+) Biểu thị f(x) theo t và dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt Khi đó I =g t dt( )
Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ:
x a cost t
| | sin ,
t a
cost
2
x a cott t
| | tan ,
a x
a x
+
a x
a x
− +
Đặt x a= cos2t
x a b x
Bài 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số
z
3 2
2 5 +
x2 x
2
x dx e
1
x2 x
2012
−
− +
Trang 7l x dx
x
2 3
9
1−
dx
1
x
2
1
x2
4
sin cos
dx cos2 x
+ +
x4−2x2−2
x2−4x−5
2 39
x dx x
−
Dạng 3 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
Bài 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số
xe dx
cos
x xdx
c (x+ 1).lnxdx
ln
x xdx
2
2
1
dx x
+
.cos
x
e xdx
os
x dx
c x
sin
dx x
Dạng 4 Nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỷ
Bài 4 Tìm nguyên hàm
a
2 3
dx
x +
2 1
x dx x
+ +
dx
x −
d
2
3
x x
dx x
+ + +
5 6
x
dx
x x
−
− +
3 4
x
dx
x x
−
− +
g
2 2
3 1
5 6
x x
dx
x x
+ +
2
4 2
1
x
dx
x x
+ + +
2
5 6
dx
x x
− +
i
3
2
2 1 9
x x
dx x
−
2 3
1 1
dx x
+ +
−
3
xdx
x +
Dạng 5 Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác
Các bài toán cơ bản:
Trang 82 2
Phương pháp chung: Dùng các công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa về tổng các nguyên hàm cơ bản
Bài 5 Tìm các nguyên hàm:
a.cos3 cos 2x xdx b 2
s in os 2x c xdx
2 sin 2 os
c x xdx
b) Nguyên hàm của các hàm số có dạng: ( ) sinn osm
Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ của m, n để biến đổi hoặc đặt ẩn phụ cho phù
hợp
Bài 6 Tìm nguyên hàm
(sin x+cos 2 )x dx
(sin x+cos x dx)
3 4 sin
os
c x dx x
sin
dx x
sin 2xdx
sin
dx x
g
2 6
sin
os
x dx
c x
6 tan 2 os
x dx
c x
Dạng 6 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến lượng giác
Bài 7 Tìm nguyên hàm
a −x dx
x −a dx
x +a dx
a x
+
−
e (x−a b)( −x dx) f 1
(x+a x b)( + ) dx
x +a
2 2 2 1
dx
a +x +
2
2
a x b x c dx
( ) ( )
dx
x+a x b+
s inx 2 cos
dx x
+ +
2 3 sin 2 os 2
xdx
x c x
Bài 8 Tìm nguyên hàm
a
2 3
dx x
−
2
2
1
x dx
x −
2 3
dx x
+
d
2 8 sin
os
c x
dx x
dx
x+ x+
f
2
2 1
x dx
x+ x −
Trang 9g
xdx
3 s inx + cosx dx
Dạng 7 Nguyên hàm của một số hàm số mũ và lôgarit
Bài 9 Tìm nguyên hàm
a
(3 )
dx
e +e−
2 ln
x dx
x + x
(x+ 1).e x−dx
.ln
x xdx
2
dx
e +e −
x
+
Phần 2 Tính tích phân
• Dạng 1 Dùng định nghĩa và các tính chất của tích phân
Bài 10 Tính các tích phân
a
2
3 2 2
(x 3x 1)dx
−
3
2 1
1 (x ) dx x
+
2 2 0
(x x+1)dx
d
3
2
1
x − x+ dx
16
0
1
x+ − x
f
4 2 0
tan xdx
g
4
2 4
5
1 2
0
1 1
dx x
+ + +
2
0
1 cos2xdx
−
0
2x cos 2x dx
−
4
0
2 s
inx inx
dx
+ +
3 2 6
dx x
n
2
4
os5x.sin3xdx
c
2
2 0
4
−
2 2 1
ln
+ +
• Dạng 2 Tính tích phân bằng phương pháp phân tích
Bài 11 Tính tích phân
Trang 10a
1
2
0( 1)
xdx
x +
1 7 2
0 1
x dx
x +
2 3 0
os
c xdx
d
4
4
0 os
dx
2
0
sin
x inx
dx x
+
0
inx inx
x dx x
g
3
3 2 0
.sin os
4 2
1 ( 1)
dx
x x +
• Dạng 3 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
Bài 12 Tính các tích phân sau
a
2
2 25 1
(x −1) xdx
1
5 6 0
1
x x + dx
1 2 0
2
x
dx
+
d
3
2 0
1
x
dx
+ + +
2
0
os inx
c x
f
3 3 2 6
sin
os
dx x
g
2
5 0
sin xdx
2
0
1 cos x.sinx os.c xdx
−
3
1
1 ln
e
x dx x
+
k
3
3 s 0
(sin x einx).cosxdx
+
ln 2
5 0
(3+e x) e dx x
9
4
x
e dx x
Bài 13 Tính các tích phân
a
1
2
01
dx
x
+
2
2 0
2−x dx
2
2
dx
x x −
d
3
2
2 1
2
1
dx x
−
2 1
9 3x dx
x
+
0
, ( 0)
a
a x
dx a
a x
−
+
−
g
6
0
sin 2
xdx
+
8
2
dx
x x +
Bài 14 Tính các tích phân
a
1
2012
1
sinx
4 2
0sin
os os
dx
+
c
1
1
cos 1
x
xdx e
− +
Trang 11d
2
2 1
2
1 ln 1
x
x
−
−
0
sin
+
f
1
2 1
ln(x x 1)dx
−
g
2
sin
3x 1
xdx
4
0
ln(1 tanx dx)
+
2
3 0
os
x c xdx
k
2
0
1 s
1 cos
inx
dx x
+ +
1 2
0 x 3
dx
e +
1 2 0
dx
e +e
• Dạng 4 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Bài 15 Tính các tích phân
a
1
2 0
(x+1)e dx x
2
2 2 1
x
x e dx
c
6
0
(1 x) sin 3xdx
−
d
5
2
3
ln( 1)
x x− dx
0
cos
x
0
(ln ) os
e
g
2
2 1
ln(1 x)
dx x
+
2
0
cos ln(1 cos )x x dx
+
• Dạng 5 Liên kết phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần
Bài 16 Tính tích phân
a
1
2 2 3
0
x e + x + dx
5 2
ln ln(ln )
e
e
x
c
2
3 s 0
(x sin x e inx).cosxdx
• Dạng 6 Lập công thức tích phân truy hồi
Bài 17 Lập công thức tích phân truy hồi cho các tích phân sau
a
2
0
sinn n
1
0
1
n n
• Dạng 7 Ứng dụng của tích phân
Bài 18 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số sau
Trang 12b 3 2
y= x x; y =0 và 0;
2
x x
= =
y= − +x x y= − x
e
2
8
x
y x y y
x
4 3 ; 3
y= x − x+ y= −x
Bài 19 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục mỗi hình phẳng giới hạn bởi
a y= lnx; trục hoành và hai đường thẳng x= 1,x= 2
os
y= c x+x x y= x= x=
d
2 , 2 , 4 2
x
y= y= y=
Phần 3 Bài tập tổng hợp
Bài 20 Tính các tích phân
a
2
1
e
x
dx x
+
b
1
2 2 0
3
x dx
x +
2 3
4
x dx
x +
d
3
0
1
x +x dx
2
s
2 cos
inx
o
dx x
+
2
04sin 3cos 5
dx
g
2
0
sin 2 2sin os
x
dx
+
4
2
0(sinx 3cos )
dx x
+
i
2
3 0
cosx cosx cos xdx
−
k
2
s 0
(einx cos ) cosx xdx
+
2 2 0
cos
xdx
m
1
4 2
x dx
x + x +
Bài 21 Tính các tích phân
1
ln
e
x dx x
2
0
3
os x osx
c
1
3 2 0
d
1
2 0
x x+ x + dx
3 2 0
.tan
ln 3
x x
xe dx
e +
Trang 13g
1 3 2
2 0
dx
ln ln(ln )
e
e
dx
ln 2 2
x x
e dx
e +
k
2
2 1
x
dx
−
l
4
2
2 sin (ln )
e
e
dx
2 2 4 1
1 1
x dx x
− +
n
3
2 3
4
−
−
o
3
3 2 2
−
4
2 4 6
sin cot
dx
Bài 22 Tính tích phân
a
ln 3
3
ln 2 ( 1)
x x
e dx
e +
1
0
dx
−
−
− +
ln 5
ln 3 x 2 x 3
dx
e + e− −
d
3
4
sin 2
anx
dx x
1 4 6 0
1 1
x dx x
+ +
3
6 2
1 (1 )
dx
x +x
g
ln 3
0 2( 1) 1
x
e dx
1 2
2 2
0(1 )
x x
+
i
1
2 0
2x−x dx
k
1
2 2
0
1
1
x dx x
−
−
1 3 8
01
x dx x
+
2
0
sin 2 4sin os
x
dx
+
n
2 3
2
dx
x x +
4 6
0
tan 2 os
x dx
2 4
0
1 2sin
1 sin 2
x dx x
− +
q (A-05)
2
0
sin 2 s
1 3cos
inx
x
dx x
+ +
1
ln (2 ln )
e
x dx
1
1 3ln ln
e
dx x
+
t
3
2 2
ln(x −x dx)
0
2
1 2
x
dx e
+ + +
4
0
sin( )
4 sin 2 2(1 s inx cos )
x
dx
Bài 23 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a 2
y= + −x x y= x+
inx
y= y= x= x=
y= x − x+ x= y= +x
e y 12x, y 2 ,x x 1.
e
−
−
y=x y= x−x x=
Trang 14g y= +(e 1) ,x y= +(1 e x x)
h
4 3 , 3.
y= x − x+ y= +x
Bài 24 Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh
trục Ox
a 2
4 ,
y = x y=x
b y=xln ,x y= 0, x=e.
0, os s in , 0,
2
y= y= c x+x x x= x=
Bài 25 Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh
y= y= x−x
Bài 26 Tính các tích phân
a
2012 2
2012 2012 0
sin
x dx
+
1
2 1
2 ln(x 1 x dx)
−
c
2
sin
1 2012x
x dx
4
0
dx
+ + +
3 2 0
os
dx
+
4
0
x
dx x
− + +
g
2
2
4
cot
1 cos sin
x
xdx x
+
1
2 0
ln( 2) 4
x x
dx x
+
−
1 3 2
2 0
1
dx
+ +
k
8
8
2 1
os
x
dx e
+
6
0
os os
+
Bài 27 Tính các tích phân
a
4 2
x
dx
x + x +
4
0
(1 sin 2 )
+
c
3 2 1
1 ln(1 x)
dx x
Bài 28 Tính các tích phân
a
2 2
2 1
1 ln
x
xdx x
−
1
2 0
2
x −x dx
2 0
1
x dx x
+ +
TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009-2013
Trang 15Bài 1: Tính I =
2
0
(cos x 1) cos xdx
−
4 5
8−
Bài 2: Tính I =
3 ++
1
2
1
ln 3
dx x
x
16
27 ln 3 ( 4
1 +
Bài 3: Tính I = 3 −
1 1
1
dx
Bài 4: Tính I =
0
2
1 2
x
dx e
+ + +
e
+
Bài 5: Tính I = 2
1
ln (2 ln )
e
xdx
− +
Bài 6: Tính I =
1
3
e
x
2 1 2
e −
Bài 7: Tính I =
4
0
dx
+ + +
+ +
Bài 8: Tính I =
3 2 0
os
dx
+
3
Bài 9: Tính I =
4
0
x
dx x
− + +
Bài 10: Tính tích phân
3
2 1
1 ln(x 1)
x
ln 2 ln 3
−
Bài 11: Tính tích phân
4 2 0
x
=
2ln 3 3ln 2
Bài 12: Tính tích phân
/ 4
0
2
1
Bài 13: Tính tích phân
2 1
1 ln
x
x
−
Bài 14: Tính tích phân
1
2 0
2
3
−
Bài 15: Tính tích phân
2 0
1
x
x
+
=
+
