3 Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ d m đi qua Câu 4: 3 điểm Cho tam giác vuông cân ABC vuông ở A, AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổ
Trang 1Tuyển chọn đề thi HSG toán 9
http://quanghieu030778.violet.vn/
Sở giáo dục và đào tạo
Môn thi : Toán Mã số: .
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 1 trang
Cõu 1:(2 điểm)
1) Tính: A= 9+ 17 + 9− 17 − 2
2) Tính: B=( 6 − 2 10 5 3)( + ) 2 − 3
2.2009
2009 1 2008 1
D=
Không dùng máy tính hãy so sánh C và D
Câu 2: (2điểm)
1) Cho đa thức f x( ) = 1.2 2.3 3.4 + + + +x x.( + 1) Tìm x để f x( ) = 2010
2) Giải hệ phơng trình:
x y z 6
+ + =
Câu 3: (2điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ ( )1;1 và điểm A di động A m;0( )
1) Viết phơng trình họ đờng thẳng ( )d m vuông góc với AB tại A
2) Chứng minh rằng không có 3 đờng thẳng nào của họ ( )d m đồng qui
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ ( )d m đi qua
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là
điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đờng thẳng PD
a) Tính số đo góc NEB
b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5: (1điểm)
Cho các số a1 , a , ,a 2 2009 đợc xác định theo công thức sau:
=
n
2 a
(2n 1)( n n 1) với n = 1, 2, …, 2008.
Trang 2Chứng minh rằng: a + a + + a1 2 2009 < 2008
2010
Hết
Sở giáo dục và đào tạo
Môn thi : Toán Mã số: .
Hớng dẫn chấm gồm trang
H ớng dẫn chấm
m
Câu
1
2
điểm
1)
0,5điểm
2
=
18 2 17 18 2 17 4
2
2
=
0,25
2 17 1
17 1 17 1 2 2 17 2
2 17 1
−
2)
0,5điểm
( 6 2 10 5 3)( ) 2 3
B= − + − =( 3 1 10 5 3 − )( + ) 2 2 − 3
( 3 1 10 5 3)( ) (2 2 3)
3 1 10 5 3 3 1
0,25
( ) (2 )
3 1 10 5 3
= − + = −(4 2 3 10 5 3)( + ) = 10 2( − 3 2)( + 3) = 10 0,25
3)
1,0điểm
2009 1 2008 1
2009 1 2008 1 2009 1 2008 1
2009 1 2008 1
=
2009 1 2008 1
2009 1 2008 1
=
0,25
2009 1 2008 1
2009 1 2008 1
=
2009 2008 2009 2008
2009 1 2008 1
=
4017
2009 1 2008 1
=
0,25
Mà 4017 4018 2.2009 < =
4018
2009 − + 1 2008 − 1
0,25
Câu
2
2
1)
1,0điểm
Ta có f x( ) = 1.2 2.3 3.4 + + + +x x.( + 1)
⇒ 3.f x( ) = 1.2.3 2.3.3 3.4.3 + + + +x x.( + 1 3)
1.2 3 0 2.3 4 1 3.4 5 2 x x 1 x 2 x 1
0,25
H
’
A B
C
D E
H M
N
I
P
O K
45 0
Trang 30 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 x 1 x x 1 x x 1 x 2
( ) ( )
3
f x = x x+ x+
Để f x( ) = 8 ⇔ 1 .( 1) ( 2) 8
3x x+ x+ = ⇔ x x.( + 1) (x+ = 2) 24
⇔ x3 + 3x2 + 2x− 24 0 = ⇔ (x3 − 2x2) (+ 5x2 − 10x) +(12x− 24) = 0 0,25
⇔ (x− 2) (x2 + 5x+ 12) = ⇔ 0 2 2 0
5 12 0
x
− =
+ + =
( ) ( )
1 2
0,25
Giải phơng trình ( )1 ta đợc x = 2 Giải phơng trình ( )2 Vô nghiệm Vậy với x = 2 thì f x( ) = 8.
0,25
2)
1,0điểm
2 2 2
xy yz zx 1 (2)
x y z 14 (3)
+ + =
+ + =
(1) ⇒ (x + y + z)2 = 36 ⇒ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 36 ⇒ xy + yz + zx = 11 (kết hợp với (3))
(2) ⇒ xy + yz = zx – 1
⇒ xy + yz + zx = 2zx – 1
⇒ 2zx = 12
⇒ zx = 6
⇒ xy + yz = 5
⇒ y(x + z) = 5 (4)
0,25
Mà y + x + z = 6 ⇒ x + z = 6 – y
(4) ⇒ y(6 – y) = 5
⇒ y(6 – y) = 5
⇒ (y – 1)(y – 5) = 0
⇒ =y 5y 1=
0,25
+) Với y = 1 thì (4) ⇒ x + z = 5 ⇒ x = 5 – z
mà zx = 6 ⇒ (5 – z)z = 6 ⇒ (z – 2)(z – 3) = 0
0,25
+) Với y = 5 thì (4) ⇒ x + z = 1 ⇒ x = 1 – z
mà zx = 6 ⇒ (1 – z)z = 6
⇒(z 1
2
− )2 = 23
4
− (phơng trình vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là S ={(3; 1; 2),(2; 1; 3)}
0,25
Câu
3 0,75điểm 1) Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b (d)
(m 1)
0,25
Trang 4
−
⇒ − =
−
x 1
1 y
m 1
m 1 my y x 1
y(1 m) x m
Gọi phơng trình họ đờng thẳng ( )d m là y = a’x + b’
Vì ( )d m ⊥AB tại A nên a.a’ = - 1 ⇒ = −
−
⇒ y = (m – 1)x + b’
0,25
Vì ( )d m đi qua A(m; 0) ta có: 0 = (m – 1)m + b’
Vậy họ đờng thẳng ( )d m cần tìm là: y = (m – 1)x + (m – m2)
≠
(m 1)
0,25
2)
0,5điểm
Giả sử 3 đờng thẳng trong họ (dm) đồng qui tại điểm (xo; yô) ⇒ yo = (m – 1)xo + (m – m2)
⇔m2 – m(xo + 1) + xo + yo = 0
0,25
Vì phơng trình trên là phơng trình bậc hai ẩn m nên chỉ có nhiều nhất 2 nghiệm ⇒ Chỉ có 2 đờng thẳng trong họ (dm) đi qua điểm (xo; yo)
Vậy không có 3 đờng thẳng nào của họ (dm) đồng qui
0,25
3)
0,75điểm
Gọi các điểm N(x1; y1) mà chỉ có đờng thẳng trong họ (dm) đi qua
⇒ y1 = (m – 1)x1 + m – m2
⇒ m2 – m(x1 + 1) + x1 + y1 = 0
0,25
Vì chỉ có 1 đờng thẳng trong họ (dm) đi qua N nên phơng trình trên chỉ
có 1 nghiệm
1 1 1
x + 1 - 4 x + y = 0
0,25 ⇔ = − 2
1 1
y
4 Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol ⇔ = − 2
1 1
y
4
0,25
Câu 4
3điểm
1)
0,5điểm
Trang 52)
0,5điểm
0,25
3)
1,0điểm
Vẽ đờng tròn đờng kính AB Gọi giao của HN với đờng tròn là I 0,25
Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB
Câu 5
1 điểm
=
n
2 a
0,25
Do đó
= −
1 2 2009
1 1
2010
0,25
Mặt khác:
−
−
2
2009 1
0,25
nên 1− 1 < 2008
2010
2009 Vậy a + a + + a1 2 2009 < 2008
5
3 điểm
Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB
+) Xét ∆DCP và ∆DBE có:
ã = ã
DCP DBE (so le trong)
DC = DB (AD là trung truyến của ∆ABC)
ã = ã
CDP BDE (đối đỉnh)
⇒ ∆DCP = ∆DBE (g.c.g) ⇒ CP = BE (1)
+) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân
giác của àAnên MNAP là hình vuông
⇒ AN = AP ⇒CP = BN (2)
0,25
Trang 6⇒ NEB 45ã =
+) Gọi O là trung điểm của EN
Ta có∆BEN và ∆EHN là tam giác vuông có chung cạnh huyền EN
nên bốn điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O
Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K
Khi đó:
ã =1ã
2 (ãKONgóc ngoàicủa tam giác cân OHN)
ã = 1ã
2 (ãKOBgóc ngoài của tam giác cân OHB)
⇒ OHN OHB ã − ã =1(KON KOBã −ã ) = 1.900
⇒ BHN 45 ã = 0
Vậy có BHN BEN 45 ã = ã = 0 (3)
Chứng minh tơng tự ta có: NHA NPA 45 ã = ã = 0 (4)
Từ (3) và (4) có AHB 90 ã = 0và NH là đờng phân giác của góc ãAHB
Gọi H’ là hình chiếu của H trên AB
Khi đó SAHB = 1AB.HH'
2
Do đó SAHB lớn nhất khi HH’ lớn nhất
Điểm H chạy trên cung tròn đờng kính AB nên HH’ lớn nhất khi nó
bằng bán kính, tức là khi H≡D Khi đó M ≡ D
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5