Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là đường cao hạ từ A của tam giác SAC.. a Tính thể tích khối chóp S.ABC b CMR: SC vuông góc với mpAB’C’ c Tính thể tích khối chóp S.AB’C’... b Tính đường
Trang 1BT- HHKG GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
………*………….
Bài 1: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân có AB =
BC = a Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là đường cao hạ từ A của tam giác SAC
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) CMR: SC vuông góc với mp(AB’C’)
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’
Giải
a
a
a
C'
B'
z
y
x
C
B A
S
Chon hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho: A≡O( 0; 0; 0), B(a ; 0 ; 0), C(a ; a ; 0), S(0 ; 0 ;a), B’( )
2
; 0
; 2
a a
a) V =
6
1 [OB.OC].OS
.OB=(a;0;0) , OC =( a a; ;0) , OS =(0;0;a)
.[OB,OC]=(0;0;a2)
.[OB.OC].OS =a3
Vậy V =
6
2
a
b) Ta có: AC’⊥SC (1)
SC (a ; a ; -a), = AB'=(a2;0; 2a)
' '
0 2
0 2 '
2 2
AB SC AB
SC a
a AB
Từ (1) và (2) ta suy ra : SC⊥(AB'C')
Trang 2c) + ( ): 0 ( ): 0
)
;
; ( )
(
) 0
; 0
; 0 ( :
)
−
=
O qua
α α
) 1
; 1
; 1 (
)
; 0
; 0 (
R t t a z
t y
t x d SC
u VTCP
a S
qua
∈
−
=
=
=
⇒
−
=
=
→
=
∩
3
2
; 3
; 3 ' )
6
1
OC OS OB
=
2
; 0
; 2
3
2
; 3
; 3
=
2
; 0 ( ,'
2
a OS
3
a OC OS
Vậy VSAB’C’ =
36 6
6
1 a3 = a3
Bài 2: Cho hình chóp tam giác OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau và OA = a, OB = b, OC = c
a) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn
b) Tính đường cao OH của hình chóp
Giải
H z
y
x
C
B
A O
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O(0 ; 0 ; 0) như hình vẽ Khi đó A(a ; 0 ; 0), B( 0 ; b ; 0) C(0 ; 0 ; c)
a) AB (-a ; b ; 0) , = AC (-a ; 0 ; c)=
+ +
2 2 2
a
a AC
AB
AC
AB
A < 90o
Tương tự ta chứng minh được tam giác ABC có ba góc nhọn
Trang 3B) Phương trình mp(ABC): + + =1⇔bcx+acy+abz−abc=0
c
z b
y a x
OH = d(O,(ABC)) =
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
abc b
a c a c b
abc
+ +
= +
+
−
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h Gọi I
là trung điểm cạnh SC
a) Tính khỏang cách từ S đến mặt phẳng (ABI )
b) Mặt phẳng (ABI ) cắt SD tại J Tính thể tích khối chóp S.ABIJ
Giải
M
z
y x
O
S
B A
a) Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O là tâm O của đáy, trục Ox chứa
OA, trục Oy chứa OB, trục Oz chứa OS
Khi đó: A
0
; 0
; 2
2
a
, B
0
; 2
2
;
2
2
a
, S(0 ; 0 ; h)
SO∩AI =M , M là trọng tâm của tam giác SAC nên M(0 ; 0 ; )
3
h
3 2
2 2
h
z a
y a
x
2 2 2
9 4
2 9
2 2
2
a h ah
h a a
+
= + +
=
b) VSABIJ = S ABIJ.d
3
1
ABIJ là hình thang cân , SABIJ = ( ) ( , )
2
1
AB J d IJ
2
( 2
1
AB I d a
a+
Trang 4I là trung điểm của SC nên I(- )
2
; 0
; 4
a
−
=
2
; 0
; 4
2
−
2
2
; 2 2
4
, 4
3
; 4
2
; 4
2
=
d(I, AB) = [ ]
AB
AB AI,
=
4
9
4h2 + a2
SABIJ =
16
9 4 3 4
9 4
4
3a h2 + a2 = a h2 + a2
Vậy VSABIJ =
8 9
4
2 16
9 4 3 3
2 2
2
a h
ah a
h
+ +
• Ta chứng minh được
8 8
3 8
.
.
V V
V
V
ABCD S ABIJ
S ABCD
S
ABIJ
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, đường cao hình chóp
bằng a Mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc với SC cắt SC tại M Tính thể tích khối chóp S.ABM
Giải
a
O
M z
y x
S
C
B A
Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc tọa độ O là trọng tâm của tam giác ABC , trục Ox qua trung điểm AB, Oy song song AB, Oz chứa đường cao hình chóp
Khi đó A
0
; 2
; 6
a
, B
0
; 2
; 6
3 a
a
, C
3
3
a
, S( 0 ; 0 ; a)
Trang 5
−
−
3
3
Đường thẳng SC:
−
=
=
−
=
⇒
=
→
t a a z y
t
a x SC SC
u VTCP
S qua
0 3 3
6
3 3
3 : )
−
−
⇒
=
SC n VTPT
B
qua
(2)
Thế (1) vào (2) ta có t =
8
5 Vậy M
−
8
3
; 0
; 24
3
Ta có
=
−
−
−
=
−
−
=
8
5
; 0
; 24
3 5 ,
; 2
; 6
3 ,
; 2
; 6
SM a
a a
SB a
a a SA
, 6
3
; 0
;
SM SB SA
a a
SB
−
=
Vậy VSABM = [ ] 52883
, 6
SM SB
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy và SA = 2a Gọi M và N lần lượt là trung diểm các cạnh SA, SD
a) Tính khỏang cách từ đỉnh S tới mp(BCM)
b) Tính khỏang cách giữa hai đường thẳng SB và CN
Giải
z
y
x
N M
S
D
C B
A
Trang 6Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O là điểm A, AB thuộc trục Ox, AD thuộc trục Oy, AS thuộc trục Oz
Khi đó A(0 ; 0 ; 0) , B(a ; 0 ; 0) , C(a ; a ; 0) , D(0 ; a ; 0) , S(0 ; 0 ; 2a) , M(0 ; 0 ; a) , N(0 ;
2
a
; a)
a) BC =(0 ; a ; 0), BM =(-a ; 0 ; a)
[ ]=
=
→
BM
BC
n , (a2 ; 0 ; a2) = a2(1 ; 0 ; 1)
Phương trình mp(BCM): 1(x – a) + 1(z – 0) = 0 ⇔ x + z – a = 0
d(S, (BCM)) =
2 2
=
−
b) BS (- a ; 0 ; 2a), = CN =(- a ; −a2 ; a), SC (a ; a ; -2a)=
=
⇒
2
;
;
a a CN
4
a a CN
⇒
[BS,CN].SC=−a3
d(SB,CN) [ ]
2 2
3 ,
,
2
3
a a
a CN
BS
SC CN BS
=
−
=
Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1
a) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BB’ Chứng minh rằng AC’⊥MN b) Gọi P là tâm của mặt CDD’C’ Tính thể tích khối chóp A’.MNP
Giải
M
N
O
z
y
x
P
D' C'
B' A'
D C B
A
Trang 7a) Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với A AB thuộc Ox, AD thuộc Oy , AA’ thuộc Oz
Khi đó M(0 ;
2
1 , 0), N(1 ; 0 ;
2
1
2
1
; 2
1
; 1
=
A’(0 ; 0 ; 1), C(1 ; 1 ; 0) ⇒ A'C=(1 ; 1 ; -1)
2
1 2
1 1 '
2
1
;
1
;
2
1
) 1
; 2
1
; 0 ( ' ), 2
1
; 1
; 2
1 ( ' ), 2
1
; 0
;
1
(
A
=
−
−
−
−
4
1
; 2
1 1 2 1
0 1
; 2
1 2 1
1 2
1
; 2
1 1 2
1 0 '
,
'N A P
A
1 8
1 0 ' '
,
'N A P A M = + − =−
A
8
7 6
1 '
' , ' 6
1
=
−
=
M A P A N