chuyen de dai so 10

CHƯƠNG I: TẬP HỢP -MỆNH ĐỀ§1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Định nghĩa : Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai.. Khi đó Px là điều kiện đủ để có QxQx là điều

CHƯƠNG I: TẬP HỢP -MỆNH ĐỀ

§1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Định nghĩa :

Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai Một mệnh đề không thể vừa

đúng hoặc vừa sai

2.Mệnh đề phủ định:

Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P Ký hiệu là P Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng

Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì P : “ 3 ≤ 5 ”

3 Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo :

Cho 2 mệnh đề P và Q Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo Ký hiệu là P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng Q sai

Cho mệnh đề P ⇒ Q Khi đó mệnh đề Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của P ⇒ Q

4 Mệnh đề tương đương

Cho 2 mệnh đề P và Q Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu P ⇔ Q.Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả P và Q cùng đúng

5 Phủ định của mệnh đề “ ∀x∈ X, P(x) ” là mệnh đề “∃x∈X, P(x)”

Phủ định của mệnh đề “ ∃x∈ X, P(x) ” là mệnh đề “∀x∈X, P(x)”

Ví dụ:

Cho x là số nguyên dương ;P(x) : “ x chia hết cho 6” ; Q(x): “ x chia hết cho 3”

Ta có : • P(10) là mệnh đề sai ; Q(6) là mệnh đề đúng

• ( )P x : “ x không chia hết cho 6”

• Mệnh đề kéo theo P(x)⇒ Q(x) là mệmh đề đúng

• “∃x∈ N*, P(x)” đúng có phủ định là “∀x∈ N*, P(x)” có tính sai

B: BÀI TẬP

Bài 1: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, và mệnh đề đó đúng hay sai :

a) Ở đây là nơi nào ? b) Phương trình x2 + x – 1 = 0 vô nghiệm

c) x + 3 = 5 d) 16 không là số nguyên tố

Bài 2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau :

a) “Phương trình x2 –x – 4 = 0 vô nghiệm ”

b) b) “ 6 là số nguyên tố ”

c) c) “∀n∈N ; n2 – 1 là số lẻ ”

Bài 3: Xác định tính đúng sai của mệnh đề A , B và tìm phủ định của nó :

A = “ ∀x∈ R : x3 > x2 ” B = “ ∃ x∈ N , : x chia hết cho x +1”

Bài 4: Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và xét tính đúng sai của nó và phát biểu mệnh đề đảo :

a) P: “ ABCD là hình chữ nhật ” và Q:“ AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”

b) P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10”

c) P: “Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q :“ Góc B = 450 ”

Bài 5: Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng 2 cách và và xét tính đúng sai của nó

a) P : “ABCD là hình bình hành ” và Q : “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”

b) P : “9 là số nguyên tố ” và Q: “ 92 + 1 là số nguyên tố ”

Bài 6:Cho các mệnh đề sau

a) P: “ Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC vuông góc với BD”

b) Q: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác đều”

c) R : “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10 ”

- Xét tính đúng sai của các mệnh đề và phát biểu mệnh đề đảo :

- Biểu diễn các mệnh đề trên dưới dạng A ⇒ B

Bài 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “ x > x2” , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Bài 9: Hãy xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và lập phủ định của nó :

a) ∀x∈N : x2 ≥ 2x b) ∃x∈ N : x2 + x không chia hết cho 2 c)

∀x∈Z : x2 –x – 1 = 0

Bài 10 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng

a) A : “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2”

b) B: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác đều ”

c) C: “ Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương ”

d) D : “Hình thoi có 1 góc vuông thì là hình vuông”

Bài 11:Phát biểu thành lời các mệnh đề ∀x: P(x) và ∃x : P(x) và xét tính đúng sai của chúng :

§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO PHÉP SUY LUẬN TOÁN HỌC

A:

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1:Trong toán học định lý là 1 mệnh đề đúng

Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)”

2: Chứng minh phản chứng đinh lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” gồm 2 bước sau:

- Giả sử tồn tại x0 thỏa P(x0)đúng và Q(x0) sai

- Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn

3: Cho định lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” Khi đó

P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)Q(x) là điều kiện cần để có P(x)

4: Cho định lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” (1)

Nếu mệnh đề đảo “∀x∈X , Q(x) ⇒ P(x)” đúng được gọi là dịnh lý đảo của (1)

Lúc đó (1) được gọi là định lý thuận và khi đó có thể gộp lại

“∀x∈X , P(x) ⇔ Q(x)” Gọi là P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)

B: BÀI TẬP :

Bài 1: Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ ”

a) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có cùng diện tích

b) Số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3

c) Một hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân

Bài 2: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh :

a) Với n là số nguyên dương, nếu n2 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3

b) Chứng minh rằng 2 là số vô tỷ c) Với n là số nguyên dương , nếu n2 là số lẻ thì n là số lẻ

Bài 3: Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ”

a)Nếu trong mặt phẳng,2 đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì

2 đường thẳng đó // với nhau

b)Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau

c)Nếu số nguyên dương a tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5

d)Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vuông góc với nhau

Bài 4: Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ”

a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau

b) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau

c) số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6

d) Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì 4 cạnh bằng nhau

Bài 5: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

a) Nếu a≠b≠c thì a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca b) Nếu a.b chia hết cho 7 thì a hoặc b chia hết cho 7

c) Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0

Bài 6 :Cho các đinh lý sau, định lý nào có định lý đảo, hãy phát biểu :

a) “Nếu 1 số tự nhiên chia hết cho 3 và 4 thì chia hết cho 12”

b) “Một tam giác vuông thì có trung tuyến tương ứng bằng nửa cạnh huyền ”c) “Hai tam giác đồng dạng và có 1 cạnh bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”

d) “Nếu 1 số tự nhiên n không chia hết cho 3 thì n2 chia 3 dư 1”

§3: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

1 Tập hợp là khái niệm của toán học Có 2 cách trình bày tập hợp

a) Liệt kê các phần tử : VD : A = {a; 1; 3; 4; b} hoặc N = { 0 ; 1; 2; ; n ;

} b) Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp ; dạng A = {{x/ P(x)} VD : A = {x∈ N/ x lẻ và x < 6} ⇒ A = {1 ; 3; 5} * Tập con : A⊂ B ⇔(x, x∈A ⇒ x∈B) Cho A ≠ ∅ có ít nhất 2 tập con là ∅ và A 2 Các phép toán trên tập hợp : Phép giao Phép hợp Hiệu của 2 tập hợp A∩B = {x /x∈A và x∈B} A∪B = {x /x∈A hoặc x∈B} A\ B = {x /x∈A và x∉B} Chú ý: Nếu A ⊂ E thì CEA = A\ B = {x /x∈E và x∉A}

3 các tập con của tập hợp số thực Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn Đoạn [a ; b] {x∈R/ a ≤ x ≤ b} Khoảng (a ; b ) Khoảng (-∞ ; a) Khoảng(a ; + ∞) {x∈R/ a < x < b} {x∈R/ x < a} {x∈R/ a< x } Nửa khoảng [a ; b) Nửa khoảng (a ; b] Nửa khoảng (-∞ ; a] Nửa khoảng [a ; ∞ ) {∈R/ a ≤ x < b} {x∈R/ a < x ≤ b} {x∈R/ x ≤ a} {x∈R/ a ≤ x } B: BÀI TẬP : Bài 1.Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử. a/ A={0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12} ///////////// [ ] ///

)/////////////////////

////////////( )//////

///////////////////(

////////////[ ) //////

////////////( ] //////

]/////////////////

//////////////////[

1 12

1 , 6

1 2

Xác định các tập hợp sau A ∩ B ; A \ B ; B \ A ; A∪B

Bài 7: Cho A = {x∈N / x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}

a) Xác định AUB ; A∩B ; A\B ; B\ A b) CMR : (AUB)\ (A∩B) = (A\B)U(B\ A)

Bài 8: Cho A = {2 ; 5} ; B = {5 ; x} C = {x; y; 5} Tìm các giá trị của cặp số (x ; y) để tập hợp A = B = C

Bài 9: Xác định các tập hợp sau bẳng cách nêu tính chất đặc trưng

A = {0 ; 1; 2; 3; 4} B = {0 ; 4; 8; 12;16} C = Đường trung trực đoạn thẳng AB

D = {9 ; 36; 81; 144} E= {-3 ; 9; -27; 81} F = Đường tròn tâm I cố định có bán kính = 5 cm

Bài 10: Biểu diễn hình ảnh tập hợp A ; B ; C bằng biểu đồ Ven

Bài 13: a) Xác định các tập hợp X sao cho {a ; b}⊂ X ⊂ {a ; b ;c ;d ; e}

b)Cho A = (1 ; 2} ; B = {1 ; 2 ; 3; 4; 5} Xác định các tập hợp X sao cho A ∪ X = B

c) Tìm A; B bietá A∩ B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ; 9;10}

Bài 14: Cho A = {x∈R/ x ≤ -3 hoặc x >6 }; B={x∈R / x2 – 25 ≤ 0}

a) Tìm các khoảng , doạn, nửa khoảng sau : A\B ; B\ A ; R \ ( A∪B); R \ (A∩B) ; R \(A\B)

b)Cho C={x∈R / x ≤ a} ; D={x∈R / x ≥ b } Xác định a và b biết rằng

C∩B và D∩B là các đoạn có chiều dài lần lượt là 7 và 9 Tìm C∩D

Bài 17: Cho Tv = tập hợp tất cả các tam giác vuông

T = tập hợp tất cả các tam giác

Tc = tập hợp tất cả các tam giác cân

Tđ = tập hợp tất cả các tam giác đều

Tvc= tập hợp tất cả các tam giác vuông cânXác định tất cả các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trên

Bài 18: Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê

Bài 20: Cho E = {x∈N/1 ≤ x < 7}

A= {x∈N / (x2-9)(x2 – 5x – 6) = 0}

B = {x∈N/x là số nguyên tố ≤ 5}

a) Chứng minh rằng A⊂ E và B ⊂ E b) Tìm CEA ; CEB ; CE(A∩B)

c) Chứng minh rằng : E \ (A ∩B)= (E \A) ∪ ( E \B)

E \ (A∪B) = ( E \A) ∩ ( E \ B)

Bài 21 : Cho A ⊂ C và B⊂ D , chứng minh rằng (A∪B)⊂ (C∪D)

a) CMR : A \(B∩ C) = (A\B)∪(A\C)b) CMR : A \(B∪ C) = (A\B)∩(A\C)

Bài22 Mỗi học sinh lớp 10E đều chơi bĩng đá hoặc bĩng chuyền Biết rằng cĩ 25

chơi bĩng đá ,20 bạn chơi bĩng chuyền và 10 bạn chơi cả hai mơn thể thao này Hỏi lớp 10E cĩ bao nhiêu học sinh

a/ Dùng kí hiệu đoạn , khoảng , nửa khoảng để viết lại các tập hợp trên

b/ Biểu diễn các tập hợp A , B , C , D trên trục số

c/ Xác định các tập hợp sau :

C D , D B , C B , D A , C A , B A , D C , D B , C B , D A , C

R ;

A \

R ;

A B)\

(D ; B\

C) (A ; C B)

2 R x

C

Xác định tập hợp : A∩B ; A ∪ B ; A ∩ C ; B ∩ C ; B ∪ C , A∩B∩C

CHƯƠNG II: HÀM SỐ Dạng 1: Tìm tập xác định của các hàm số

Phương pháp: Cho hàm số y=f(x)

*Ta tìm đk xác định của biểu thức f(x)rồi suy ra tập xác định của hàm số

 Chú ý:

1 f(x)= xác định với đk A(x) ≠ 0

2 f(x)= xác định với đk A(x)≥ 0

3 f(x)= xác định với đk A(x)>0

• Nếu biểu thức f(x) có nhiều đk thì phải lấy giao của các đk đó

• Nếu hàm số f(x) cho bởi nhiều biểu thức trong từng miền khác nhau , ta phải lấy hợp của các miền đó

• Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A⊂ D

Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

3 )

3 )

2 2

1 )

1 )

x x

− +

=

+ + i) y= x- 5+ 9- x2 k)

3 4

3 2

2 + +

+

=

x x

Bài 3: Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra:

x x

2 14

−

=

−

Dạng 2: Xét sự biến thiên của đồ thị hàm số

Phương pháp: Cho hàm số y=f(x )có tập xđ là D; K⊂ D

c) y x= 2− 4x; (–∞; 2), (2; +∞) d) y= 2x2+ 4x+ 1; (–∞; 1), (1; +∞).e) y

=

− ; (–∞; 2), (2; +∞)

B i 3: à Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác

định (hoặc trên từng khoảng xác định):

1 +

=

Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

Phương pháp: Cho hàm số y=f(x )có tập xđ là D

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:

• Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.

• Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).

+ Nếu f(–x) = f(x), ∀x ∈ D thì f là hàm số chẵn.

+ Nếu f(–x) = –f(x), ∀x ∈ D thì f là hàm số lẻ.

Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

+ Nếu ∃x ∈ D mà f(–x) ≠± f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ.

Bài 1Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

• Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R.

+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R.

• Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b).

Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d′): y = a′x + b′:

+ (d) song song với (d′) ⇔ a = a′ và b ≠ b′.

+ (d) trùng với (d′) ⇔ a = a′ và b = b′.

Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y ax b= + ta cĩ thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và

y = –ax – b, rồi xố đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hồnh.

Bài 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị của hàm số y= − +2x k x( +1):

a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M(–2 ; 3)

c) Song song với đường thẳng y = 2.x

Bài 4. Xác định a và b để đồ thị của hàm số y ax b = + :

a) Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8)

b) Đi qua điểm M(4; –3) và song song với đường thẳng d: y 2x 1

3

= − +

c) Cắt đường thẳng d 1 : y  2= x+5 tại điểm cĩ hồnh độ bằng –2 và cắt đường thẳng

d 2 : y=–3x+4 tại điểm cĩ tung độ bằng –2

d) Song song với đường thẳng y 1 x

e) Đi qua điểm: M(4; -3) và song song với đường thẳng y = 2x - 2004

g) Đi qua điểm: N(1; -1) và vuơng gĩc với đường thẳng y = -2x + 1

Bài 5. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho ba đường thẳng sau phân

Baứi 9. Với giỏ trị nào của m thỡ đồ thị của cỏc cặp hàm số sau song song với nhau:

a) Tuỳ theo m, xét sự biến thiên của hàm số

b) CMR đths luôn đi qua 1 điểm cố định

c) Tìm m để (dm) và 2 đờng thẳng sau đồng quy: y = -x + 11, y = x + 3

2

= − làm trục đối

xứng, hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuơng dưới khi a < 0.

Chú ý: Để vẽ đường parabol ta cĩ thể thực hiện các bước như sau:

= − và hướng bề lõm của parabol.

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

Bài 1. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Bài 3. Xác định parabol (P) biết:

a) (P): y ax= 2+bx+2 đi qua điểm A(1; 0) và cĩ trục đối xứng x 3

2

= b) (P): y ax= 2 +bx+3 đi qua điểm A(–1; 9) và cĩ trục đối xứng x= − 2

c) (P): y ax= 2+bx c+ đi qua điểm A(0; 5) và cĩ đỉnh I(3; –4)

d) (P): y ax= 2+bx c+ đi qua điểm A(2; –3) và cĩ đỉnh I(1; –4)

e) (P): y ax= 2+bx c+ đi qua các điểm A(1; 1), B(–1; –3), O(0; 0)

f) (P): y x = 2 + bx c + đi qua điểm A(1; 0) và đỉnh I cĩ tung độ bằng –1

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của mỗi hàm số sau luơn cắt trục hồnh tại hai

điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị luơn chạy trên một đường thẳng cố định:

a) y x2 mx m2 1

4

= − + − b) y x= 2−2mx m+ 2−1

Bài 5. Vẽ đồ thị của hàm số y = − +x2 5x+ 6 Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số

m, số điểm chung của parabol y= − +x2 5x+ 6 và đường thẳng y m =

Bài 6. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

+ không giao nhau; + tiếp xúc nhau ; + cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

b) Trờng hợp tiếp xúc, tìm h.độ tiếp điểm

Bài 10:.Cho hàm số:

y = x2 - 2mx + m2 - 1 (P)

a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số

b) CMR đồ thị luôn cắt trục hoành

c) CMR khi m thay đổi, đỉnh của (P) luôn chạy trên 1 đờng thẳng cố định

Bài 11Cho Parabol: y = x2 - 3x + 2 (P)

Viết phương trỡnh tiếp tuyến với (P) biết:

a) Tiếp tuyến qua M(1; -4) ;Tiếp tuyến // đường thẳng y = 2x - 1

b) Tiếp tuyến vuụng gúc đt 3y + x - 15 = 0

c) Tiếp tuyến tiếp xỳc (P): y = -x2 + 7x – 11

Bài 12.Cho họ Parabol (Pm):

y = x2 + (2m + 1)x + m2 - 1

a) Tỡm tập hợp đỉnh của (Pm) khi m thay đổi

b) CMR: ∀ m, đt y = m luụn cắt (Pm) tại 2 điểm phõn biệt A, B và độ dài AB khụng phụ thuộc m.; CMR: (Pm) luụn tiếp xỳc với 1 đt cố định

y = 4x2 - (4m - 1)x + 4m - 1 (Pm) Tỡm m để giỏ trị Min(Pm) trờn [-2; 0]

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRèNH

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết

như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: