Bài tập tích phân có nhiều cách giải P2

& sinx = A — Bsinx + A + Bcosx © A-B=I A=0,5 Nhu vậy ta sẽ đổi biến x thành biến / tuy nhiên đây là một cách giải rất dài và phức tạp, trong quá trình tính toán các em không nên dùng và

-_l | sina _! tal 2 sing,

phân) thì các em sẽ dùng việc đặt ẩn phụ đặc biệt để tìm ra tích phân liên kết

với tích phân A còn nếu là tích phân bất định (họ nguyên hàm) thì ta tự phải đi

tìm tích phân liên kết với nó Đến đây chúng tôi tiếp tục trình bày thêm 3 cách

& sinx = (A — B)sinx + (A + B)cosx © A-B=I A=0,5

Nhu vậy ta sẽ đổi biến x thành biến / tuy nhiên đây là một cách giải rất dài

và phức tạp, trong quá trình tính toán các em không nên dùng và chúng tôi chỉ hướng dẫn ở đây với tính chất tham khảo mà không giải ra cụ thể vì tính hiệu quả không cao Thông qua 5 cách giải trên thì các em sẽ nhận thấy được tính hiệu quả của cách thức nào khi giải các bài tính tích phân hàm lượng giác mà hàm này chỉ chứa toàn sinx, cosx bậc nhất

Vì hàm dưới đấu tích phân là hàm lẻ đối với sinx nên

Dat t= cosx => dt =—sin xdx

90

Sử dụng tích phân từng phan cho J = Fes *a

1 sin (x + a)sin (x + b)

bày cụ thể, để nghị các em xem lại phần lí thuyết ở phần thứ nhất để tự giải

Cách l -

Hàm dưới dấu tích phân là hàm chan với cả sinx và cosx nên ta có thể đặt

í = tanx, tuy nhiên nếu thực hiện theo cách đổi biến này, ta sẽ dẫn đến tích phân của một hàm hữu tỈ rất khó Tuy nhiên nếu thực hiện biến đổi lượng giác ham

dưới dấu tích phân ta sẽ có được một cách giải khác nhanh và ngắn hơn

6 cos’ x(tan x +2) 6 cos” x(tan x +2) ọ (tanx+2)

Cách 3 : Đối biến

Các em lưu ý có thể biến đổi mẫu số của hàm số dưới dấu tích phân :

sinx+2cosx= 5{ 4 sin x +—= 2 eosx ]> vŠcos(x=0)

(với Te = sin ti = cosœ ) Từ đó các em có thể đặt t= x—œ Cách làm này

tương tự như cách 7ƒ bài 32, tuy nhiên cách giải này chúng tôi không trình bày

mà đề nghị các em tự giải tiếp

Bài toán này thoạt đầu mới nhìn qua thì các em lại dễ nhầm rằng đã được

giải tại bài 32 nhưng nếu quan sát kĩ thì bài toán này khác bài toán trước ở cận của tích phân và nếu tích phân có cận này thì các em xem cách giải đặt x= a hoặc cách giải tìm tích phân liên kết thì có được chăng Chúng tôi gợi

ý để các em tự giải vì có như vậy các em mới hiểu đúng bản chất của những cách dùng tích phân liên kết

hàm lẻ đối với cos2x nên ta sử dụng công thức đổi biến số

Dat t = sin2x=> dt = 2cos2xdx

6 (sin.x + cos x)" (sin x + cos xy

Dat f = sinx + cosx=> dt = (cosx — sinx)dx

Tuy nhiên bài trên có thể sử dụng phương pháp đưa vào vi phân chứ không

nhất thiết phải sử dụng đổi biến số, gợi ý

[= pases cos) + = Í| 5 - 22082 +cat? xa

, sin’ x x~ASH“X sin” x

2 2 tre: 2

mon sin* x m sin* x

#⁄4(cosx) 1 cos x an” x|3 R 3 l

= tan x.4(tan x) + | =———— 3 +Inlcos x Í 3 =1-—In2

Cách 1 tuy không đơn giản như các cách sau nhưng các em có thể dễ nhận

thấy đây là cách thức khá tổng quát dùng để giải các tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân có dạng tan"x hoặc cotx với ø eÑÏ;z>3 Tuy nhiên ø cũng

không thể quá lớn vì mỗi lần tách tích phân chỉ giảm được 2 bậc

Dùng vi phân sau khi biến đổi sinˆx = 1 — cos*x

106

Như vậy bài toán này đề bài đã hướng dẫn một phương pháp tách cụ thể và

ta chỉ việc sử dụng quy đồng mẫu thức chung cho hai vế rồi đồng nhất hai tử số

Trong bài 30 phân thứ nhất thì các em đã được xem xét cách tính tích

0

phan / = | h(x)dx r6i nhung trên thực tế thì cách giải này chỉ mang tính chất

—TL

2

là áp dụng hướng dẫn của đầu bài mà chưa đạt được tính ngắn gọn, chúng tôi

xin đề cập một cách giải bài toán này đơn giản hơn sau đây :

=- [——-,; "dx = 2] Đen va êm l2 - [Sar

Tim /= PP

sin x + COs x Gidi :

Các em có thể dùng cách đặt tan =í nhưng khá phức tạp, vì vậy chúng tôi không trình bày ở đây

Bài 4I :

h

4 Tính tích phân 7 = Ỉ cos® xdx

0 Giải :

Cách ¡ : Dùng biến đổi và tách tích phân

hơn cách / và lại cùng kiểu biến đổi nên chúng tôi không trình bày ở đây mà chỉ nên nên để các em tham khảo

đó là một hàm lẻ đối với sinx và cũng là lẻ với cosx, do đó

ta có thể đặt ¢ = sinx hoặc 7 = cosx nhưng tinh ý một chút ta sẽ thấy vì hàm này

có nhiều sinx hơn nên sử dụng cách đặt / = sinx thì thực hiện sé dé dang hơn cach dat ¢ = cosx

Các em chú ý bài toán ở biến r các em có thể tham khảo cách giải ở bài 17

1

sf 3 COSXjlc

COSX—COS” x _ cos” x _ tanx

rồi dùng vi phân chứ không nhất thiết phải đặt ẩn phụ

Tính I¡ : Để ý rằng vsin2x = J1 — (sin x— cos x)“

Nên ta đặt sin/ = sin x — cOS x —© cOS fđf = (cos x + sin x)đx

cos x —sin.x+- cos2x

be +] “I 207% +2e* +1

e' = r thì sẽ được một tích phân vô tỉ ở đạng quen thuộc Tuy nhiên do cách nay

dài nên chúng tôi chỉ giới thiệu cho các em như là 1 cách thức để tham khảo

lúc này các em có thể đặt

116

Đổi cận x=0=>/=l;:x=l—==e

Hl 2 lƒ+ pe +)

Sử dụng vi phân ta sẽ được lời giải ngắn gọn như sau :

¡= [xÌ 2+In? xz(Inx)= sim xa(InỶ x+2)

_1 Ÿn? x+2) | == (393-292)

2 4/3

1

Các em nên lưu ý tới việc sử dụng vi phân còn việc đổi biến như cách I thì

các em có quyền thực hiện rất nhiều kiểu khác nhau như em có thể đặt Inˆx = ¡ hoặc 2 + Inˆx = ¿ thì bài toán vẫn ra được kết quả Tuy nhiên trên thực tế để giải

quyết một bài toán có nhiều cách cùng là đổi biến thì ta nên chọn lượng để đặt

ấn phụ càng lớn thì bài toán càng đơn giản, đơn cử như Đề (hi tuyển sinh đại

118

học, cao đẳng năm 2004 - khối B : I= (Ra các em có thể đặt

2008 c2008+x 1 dy y= e x

302n

Giải hệ (1) và (2) ta có/= ——————| 20e Š_ -2008|

(2008)” +(20) Cách 2 : Dùng tích phân từng phần

Bai 49:

1

Tinh tich phan / = fe" x4dx

0 Gidi :

Cach 1:

Đây là một bài không quá khó, bằng cách sử dụng phương pháp tích phân

từng phần ta có thể giải được bài toán này tuy nhiên sẽ khá đài vì phải sử dụng

tích phân từng phần 4 lần Đề nghị các em đặt 3Ÿ = w và eŸdx = dv và tiếp tục

giải

Cách 2 :

Ta có thể giải bài này bằng cách nhận xét như sau

Ta dễ thấy : (ƒ(x)e”)' =((x)+ ƒ'G))e” => JŒ@œ)+7@)e*4 =/(@)e"

nên ta sẽ giải bài tập này như sau :

I=Íe lo! +4x3)—~4(x)+3x2)+12(x2+2x)~24(x+ 1) +24 Jax

l=-te -t m2 i} e lai = ~ln2 - J etd(- t)= Ind

Cách 2 : Dùng tích phân từng nhân,

Tuy nhiên đây là một cách phức tạp và dài hơn hai cách kia rất nhiều Các

em cũng có thể dựa vào các cách giải trên để giải quyết bài toán trong Đề thi

Với 50 bài tập trên thì chúng tôi đêu cố gắng chỉ ra những phương pháp tối

uu trong hau hết các bài giải Đối với những cách giải quá dài hoặc không có tính sáng tạo, trùng lặp thì chúng tôi chỉ hướng dẫn các em hoặc thậm chí không đề cập đến Việc trình bày phần này ty có nhiều cố gắng nhưng không tránh khỏi sơ xuất hoặc bỏ qua những cách giải thú vị khác mong các em tự tìm

tòi bổ sung Đặc biệt là các ví dụ ở trên có thể chưa khái quát hết được vì còn nhiều ví dụ khác hay hơn nhưng với mong muốn là tạo sự nhìn nhận đúng vai

trò của từng phương pháp tính cũng như hiệu quả của tính đào sâu trong nghiên cứu học tập cho mỗi học sinh nên chúng tôi đã cố gắng viết và tạo

những cách nhìn nhận mới hơn về phần tính tích phân này

123