Bài tập tích phân có nhiều cách giải P1

Phan thu hai | CAC BAI TOAN TiCH PHAN CO NHIEU CACH GIAI Để giúp cho các em có cách nhìn sâu sắc hơn về các phương pháp và cách thức giải như đã trình bày ở phần thứ nhất, cũng như giú

Phan thu hai | CAC BAI TOAN TiCH PHAN CO NHIEU CACH GIAI

Để giúp cho các em có cách nhìn sâu sắc hơn về các phương pháp và cách thức giải như đã trình bày ở phần thứ nhất, cũng như giúp cho các em có thể tư duy một bài toán nhanh nhất đáp ứng được yêu cầu đổi mới của việc học và thi

đó là sự sáng tạo trong làm bài, tư đy nhanh và độc lập Chúng tôi giới thiệu tới các em 50 bài tập có lời giải mà mỗi bài tập ở đây được sử dụng tối thiểu là

2 cách tính Đây cũng là một cách thức rèn luyện để chuẩn bị tốt cho lộ trình thi trắc nghiệm vì trắc nghiệm về bản chất đòi hỏi các em học sinh mot tu dity

nhanh và áp dụng một cách giải ngắn nhất cho một bài toán

Việc đưa ra tối thiểu là 2 cách tính ở đây ta phải hiểu là có thể l bài toán

chúng tôi sẽ trình bày tối thiểu bằng 2 phương pháp giải hoặc trong cùng | phương pháp giải nhưng lại có nhiều hình thức giải khác nhau Đặc biệt những cách giải mà chúng tôi trình bày ở đây không phải đã là hết tất cá các phương pháp tính của bài toán, các em nên suy luận để tìm tòi các phương pháp tính khác Căn cứ vào hình thức của hàm số dưới dấu tích phân mà chúng tôi chia thành từng nhóm sau :

¡— NHỮNG BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ HỮU TỈ

Cách ¡ : Dùng đổi biến bằng biện pháp lượng giác hoá

Dat x = tan? >dx= (1+ tan? tar

57

Gidi :

Cách 1 : Ta tách tích phân băng biện pháp thêm bớt kết hợp với ẩn phụ

Ir Dat t= V2 tanu => dt = V2(1+ tan? w\du

thì cách l hoàn toàn không thể xử

lí được vì khi đặt x — 1 = ¡ thì không đổi được cận, tuy nhiên cách 2 lại thực

x hiện một cách bình thường

Bài toán này có vẻ khá dễ dàng với nhiều bạn tuy nhiên ta để ý rằng trong

bài toán trên nếu bậc của(3— 2x?) không phải là 3 mà cao hơn nữa, ví dụ như

bậc 200 chang hạn, khi đó cách I sé quá khó khăn để thực hiện được, nhưng nếu sử dụng phương pháp như cách 2 hoặc cách 3 thì bài toán lại được thực hiện một cách dễ dàng Và ở đây phương pháp dùng vi phân theo cách 3 là đơn giản và hiệu quả hơn

Bài 5 :

x?-3 Tính tích phân 7 = —

đến đây, bạn có thể nhận thấy nếu tiếp tục làm như vậy sẽ khá dài dòng, mặc

dù về mặt lí thuyết thì chắc chắn thực hiện được

Cách 2 : Dùng cách thức tách tích phân nhưng kết hợp với đổi biến

Nhân cả tử và mẫu của hàm dưới dấu tích phân với x

v2 x(x? —3) l= | ——_—_

i x? (x4 43x7 +2)

dx

65

2 -1I [24

Các em lưu ý thông qua bài toán này chúng ta thấy việc đồng nhất 2 vế để

tìm A, 8, C không nhất thiết phải giải hệ 3 phương trình 3 ẩn như chúng tôi đã

<5] ints tify —in +2 —In +3 + ine 4 |

=3(GIn2~2In4+ a5) =2In| 3)

67

Cách 2 : Dùng phương pháp đổi biến, kết hợp với tách tích phân

Cách I giải quyết được bài toán nhưng có vẻ khá dài, nếu ta để ý mot chit

thì sẽ có được cách làm khác ngắn gọn hơn Nhận xét thấy mẫu số viết lại được như sau :

Sau đó sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta sẽ tìm được A, B, C, D Tuy nhiên ta thấy rằng mặc dù vẫn có thể đi đến lời giải nhưng thực hiện theo phương pháp này khá dài và phức tạp

Cách 3 : Nếu một học sinh khá hơn và thuần thục ki năng đưa biểu thức vào vi phân có thể thực hiện như sau :

Cách ! : Trong phần l các em đã được xem một cách giải bằng phương

pháp thêm bớt khá đơn giản đó là :

Tuy nhiên bài toán này cũng bằng phương pháp thêm bớt theo công thức

Cách 2 : Dùng đổi biến bằng biện pháp lượng giác hoá

Dat x =cotu=> dx =—(1+cot? wdu

Đổi biến : resus t.xev3 oust

Cách 1 : Sử dụng công thức để tách tích phân

Sử dụng phân tích — -4 + 2 + = + rẽ rồi sử dụng phương

x(@A“+l X x7 x x t+l

pháp đồng nhất hệ số để tìm ra A, B, C, D Tuy nhiên cách này khá dai dòng

Ta có thể làm đơn giản việc tìm các hệ số A, B, C, D bằng cách thêm bớt trên tử

số của biểu thức dưới dấu tích phân như cách 2 sau đây :

Cách 2 : Sử dụng thêm bớt để tách tích phân

2 (x“ˆ+l)—x 1 1

j= [EE ane f5- 3 Jax

i

73

_2ợ-l) _ 2 Teh 8 ~Inlzl =S~In 2+5I0( >), 2 \2

Il - NHUNG BAI TOAN VE HAM SO VO Ti

Cách I : Dùng đổi biến bằng biện pháp lượng giác hoá

Đặt yet Saxe sin tdt

cost cos’ t

74

Bài I5 :

[ dx Tính tích phân /= | —==—

J2 XV x?—I Giải :

Cách 1 : Đổi biến

Dat Vx? —-L ate x =P 41> xdx = td

7

Dat x =

78

Dat [x-;] =! int => dx =- eosid

Qua hai cách giải trên thì các em đều thấy việc áp dụng vi phân so với dat

ẩn phụ là hiệu quả hơn rất nhiều

Dat x = 2008 sint > dx = 2008 costdt

` du LYE eal a1 d(l-u) " đ(l+”)

0 (q—uŸ ) 2 ò (I—#+) 2 i l—u 2 j l+u

biết sử dụng tích phân ở cách 3 theo chú ý ở bài 12 phần thứ hai thì sẽ đơn

giản hơn rất nhiều

Cách 1 : Vì biểu thức dưới dấu tích phân có 3+ x” nên ta có thể sử dụng

cach dat x = X3 tanr, các em có thé giải tiếp tục như bài số 20, nhưng các em

cũng cần lưu ý là cách giải này khá dài

84

Theo cach thong thudng ta cé thé dat x =2tanr dé đưa về tích phân hàm

lượng giác, việc giải tiếp giành cho bạn đọc vì đây là phương pháp đổi biến

bằng biện pháp lượng giác quen thuộc mà chúng tôi đã trình bày ở rất nhiều