Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh trung học phổ thông đang trong giai đoạn ôn thi đại học môn toán - Một số đề thi thử đại học giúp củng cố kiến thức và rèn luyện khả năng giải toán
Trang 1Câu I 1) Đồ thị hàm số (1) đi qua gốc tọa độ ị0 = - m(0 + 1) + 0 + 2
m(0 + 1) - 1 ị m = 2
Khi đó hàm số có dạng y =-2(x + 1) + x + 2
2(x + 1) - 1 =
- x 2x + 1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số này dành cho bạn đọc
2) Giả sử đỷờng thẳng y = a(x + 1) + b tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) với mọi giá trị mạ 0 Khi đó hoành độ điểm tiếp xúc là nghiệm của hệ phỷơng trình:
−
m x m x x a x b
1
với mọi mạ 0
Từ (2) ta có a < 0 và (x + 1) =
a m
±
; thế vào (1) đỷợc -1 +
-1
a +
a m
a - 1
= a
a
±
±
±
±
m -1 + - 1
-1
a = a
-1
-1
-1 a
m -1 + -1
a + b
-1
-1
a 1 + a
-1
a = 0 (3) đúng với mọi m ạ 0 nên
− + − + − =
± −
+ −
=
⇔ =
a b= −1
Vậy đỷờng thẳng y = -(x + 1) - 1 = -x - 2 luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) với mọi giá trị của m ạ 0
Câu II 1) Xét phỷơng trình: 3sinx + 2cosx = 2 + 3tgx (1)
Điều kiện của nghiệm : xạ (2k +1)
2
π (kẻ Z) (2)
Với điều kiện (2)
Trang 2
(1)Û 3sinxcosx + 2cos2
x = 2cosx + 3sinx Û 3sinx(cosx - 1) + 2cosx(cosx - 1) = 0 Û (cosx - 1)(3sinx + 2cosx) = 0 a) cosx = 1Û x = 2kπ(kẻ Z).
b) 3sinx + 2cosx = 0Û 3
3 + 2 sinx +
2
3 + 2 cosx = 0
bởi điều kiện: cosα= 3
32 + 22
, sinα= 2
3 + 22 2
Từ đó x +α= kπÛ x = -α+ kπ(kẻ Z).
2) Ta có p2= d2+ a2- 2adcosABC^ = d2+ a2+ 2adcosBCD^ (1)
q2= c2+ a2- 2accosDAB^ = c2+ a2+ 2accosADC^ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
p2 + q2 = c2 + d2 + 2a2 + 2a(ccosADC^ + dcosBCD^ ) = c2 + d2 + 2a2 + 2a(b - a) = = c2 + d2 + 2ab
Câu III 1) Đặt x0 = 1 - m Khi đó hàm đã cho có dạng:
x2 + (m + 1)2
+ 2(x + m - 1) = y1 nếu x³ x0
x2 + (m + 1)2
- 2(x + m - 1) = y2 nếu x < x0
Parabol y1 có hoành độ đỉnh x1 = -b
2a = -1.
Parabol y2 có hoành độ đỉnh x2 = -b
2a = 1.
Để giá trị bé nhất của hàm số y = x2
+ (m + 1)2
+ 2|x + m - 1| không lớn hơn 3 thì m thỏa mãn một trong cáctrỷỳõng hợp sau:
x
1
0
1
(− ≤)
≤
y x x
2 0
0
3 1
( )≤
≤ −
m
2
− ≤ −
2
m m
+ ≤
− ≤ −
Trang 3
Û − ≤ ≤
≥
2
m
m m
2 1 2 2
≤
≥
(loại)
x
1 0
0
3 1
( )≤
≥
y x
m m
2
0
2
1
( )≤
≥
− ≤
− ≥
m
m m
2 3
1 2 0
+ ≤
− ≥
≤
≤
hoặc m
2 1
≤
≤
⇔ − ≤ ≤ (1)
m
1 0 3
( )≤
− < − <
hoặc
y x
m
m m
m
2 0
2 3
1 2
2
( )≤
− < − <
≤
< <
⇔ < ≤ (2)
Từ (1) và (2) ta có đáp số : -1Ê m Ê 2
2 . 2) Xét tổng các biệt thức của hai phỷơng trình:
∆1+∆2 = (a - 4b ) + (a - 4b )12
2
2 =
=a12 + a22 - 4(b + b )1 2 ≥ a12 + a22 - 2a a1 2= (a1 - a2)2 ³ 0
(vì a1a2 ³ 2(b1 + b2))
ị hoặc∆1 ³ 0 hoặc∆2 ³ 0 hoặc cả∆1,∆2 ³ 0
ị hoặc một trong hai phỷơng trình hoặc cả hai phỷơng trình có nghiệm
Trang 4
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
Câu IVa
Số cách chọn bất kì là 350 50.49.48
31
Số cách để trong nhóm 3 người có cặp sinh đôi (chỉ có thể có 1 cặp sinh đôi và 1 người nữa bất kì) ; để lập được một nhóm như thế ta chia thành 2 "giai đoạn"
Đưa một cặp vào nhóm : có 4 cách ;
Đưa thêm một người nữa : có 48 cách
Suy ra có 4 48 = 192 cách để trong nhóm có cặp sinh đôi Vậy số cách không có cặp sinh đôi là
19600 ư 192 = 19408 cách
Câu Va
1) Trước hết ta đưa phương trình của (d) về dạng pháp dạng : 3 4 16
5 ư5 + 5 = , suy ra khoảng cách từ F (3, 0) đến đường thẳng (d) là :
3.3 4.0 16 25
Từ đó suy ra đường tròn tâm F (3, 0) tiếp xúc với đường thẳng (d) có bán kính R = 5, có phương trình :
(x 3)ư +y =25 hay x2+y2ư6x 16 0ư =
2) Parabol có tiêu điểm F (3, 0) và có đỉnh tại O (0,0) có phương trình chính tắc là : y2=2px với
p
3
2 = , suy ra p = 6 Vậy ta có phương trình của parabol (P) là : y2=12x
Từ phương trình đường thẳng (d) ta có :
3x = 4y ư 16 (1) Thay (1) vào phương trình của parabol (P) :
2
y =4.3x 4(4y 16)= ư ⇔ y2ư16y 64 0+ = ⇔(y 8)ư 2= 0
Phương trình này có nghiệm duy nhất, chứng tỏ ràng đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P)
Ta có tung độ của tiếp điểm là yo=8, thay giá trị này vào phương trình của parabol (P) ta có
x
3
= Vậy tiếp điểm cần tìm là 16
3
Câu IVb
1) Do SD ⊥ (ABCD) nên các tam giác SDC và SDA vuông ở D
Vì AB ⊥ DA nên theo định lí ba đường vuông góc ta có : AB ⊥ SA
Vậy ∆ SAB vuông ở A
Bạn đọc có thể nhờ các kết quả đó và dùng giả thiết,
chứng tỏ được rằng : ∆ SBC vuông ở B (SA a 2= , SB a 3= , SC a 5= )
2) Gọi O là trung điểm của SC Do SDC 90n= o và SBC 90n= o
nên DO = BO = OS = OC Vậy O là tâm mặt cầu qua
4 điểm S, C, D, B Bán kính của mặt cầu này bằng :
BC a 5
2 = 2
3) Vì CD//AB nên CD//(SAB) ⇒ MN// CD Vậy thiết diện MNCD là hình thang Hơn nữa, do CD ⊥ (SDA) nên CD ⊥ (SDA) nên CD ⊥ MD Vậy MNCD là hình thang vuông
Diện tích thiết diện MNCD là :
2