Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN..
Trang 1Phòng GD- ĐT vĩnh tờng
Trờng THCS vũ di
==========
Đề thi khảo sát HSG 02-2011
Môn: Toán 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề )
-Bài 1: (2,0điểm)
a) Xỏc định a để cho đa thức x3 - 3x + a chia hết cho (x - 1)2
b) Tỡm x biết: x2 (x -1) + 2x (1-x) = 0
Bài 2: (3điểm)
1
m n
+ +
= +
nguyờn dương của n
c) CMR: Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thỡ a2+b2 chia hết cho 13
Bài 3: (1điểm)
Tớnh tổng: S = 11.3 + 31.5 + 51.7 + … + 2009.20111
Bài 4: (4 điểm):
Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm
a) Tớnh tổng
' CC
' HC '
BB
' HB ' AA
' HA
+ +
b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC
và gúc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM
2
' CC '
BB '
AA
) CA BC AB (
+ +
+ +
đạt giỏ trị nhỏ nhất?
-(Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
Trang 2HDC Khảo sát HSG 02-2011 Bài 1: (2,0đ)
a) (1,0đ) x3 - 3x + a = (x2 - 2x +1)(x +2) + a - 2 (0,5)
b) (1,0đ) x2 (x -1) + 2x (1-x) = 0
Bài 2 (3đ)
a) Thực hiện chia
1
1
2
+
+ +
=
n
n n
1
1 +
Để m nguyên với n nguyên khi n + 1 là ớc của 1
Hay n + 1 ∈{1; -1 } Khi đó : n+1 = 1 ⇒ n = 0 ∈Z ( t/m)
n+ 1 = -1 ⇒ n = -2 ∈ Z (t/m)
b) A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) 3 +2(n+1) =
Khi đó : 3(n+1) chia hết cho 3
a2+b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13n+ 3) 2 = = 13( 13k2 +4k +13 n2 +4n +1) (0,75)
B i 3: à (1,0đ)
S = 1(1 1 1 1 1 1 ) 1(1 1 ) 1005
2 − + − + 3 3 5 + 2009 2011 − = 2 − 2011 = 2011 (1,0)
Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hỡnh đỳng
(0,25)
a)
' AA
' HA BC
'
AA 2 1
BC '
HA 2
1 S
S
ABC
HBC = = ;
(0,25)
Tương tự:
' CC
' HC S
S ABC
HAB = ;
' BB
' HB S
S ABC
HAC =
(0,25)
S
S S
S S
S ' CC
' HC '
BB
' HB
'
AA
'
HA
ABC
HAC ABC
HAB ABC
= +
b) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC:
AI
IC MA
CM
; BI
AI NB
AN
; AC
AB
IC
BI
=
=
AM IC BN CM AN
BI
1 BI
IC AC
AB AI
IC BI
AI AC
AB MA
CM
NB
AN
IC
BI
=
⇒
=
=
=
c)Vẽ Cx ⊥CC’ Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25) -Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25)
(0,5 ) (0,5)
Trang 3- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD≤ BC + CD (0,25)
⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2
4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 (0,25)
4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2
4 ' CC '
BB '
AA
) CA BC AB
(
2 2
2
2
≥ +
+
+ +
(0,25)
⇔∆ABC đều
Kết luận đúng (0,25)
⇔