Phương trình và hệ phương trình vi phân

Bài Giảng Phương Pháp Số TRong CNHH

Trang 1

PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG CÔNG NGHỆ HÓA HỌC

Mã học phần: CH3454

TS Nguyễn Đặng Bình Thành

BM:Máy & TBCN Hóa chất

Tuần 9-10

Trang 2

Chương 3

Phương trình và hệ phương trình vi phân

Mở đầu. Các bài toán thường gặp có thể 2 loại:

điều kiện bổ sung (điều kiện ban đầu) đã cho tại không quá một điểm

C - hằng số tích phân, phụ thuộc điều kiện ban đầu

- Mỗi giá trị của C 1 nghiệm xác định

- Xác định C cần biết thêm 1 điều kiện ban đầu, ví dụ

- Nghiệm tổng quát : y = x2 + x + C; (b)

y(x=1) = 2; (c) (b) C = 0;

Nghiệm của (a) là y = x2 + x thoả mãn (a) và (c).Bài toán tìm hàm số y(x) thoả mãn p/t vi phân (a) và điều kiện

Trang 3

Chương 3

Bài toán Côsi đối với phương trình vi phân cấp 1:

( 2 ) - điều kiện Côsi hay điều kiện ban đầu

Trang 4

Chương 3

* Bài toán biên.

Bài toán giải phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được cho tại nhiều hơn 1 điểm

- Cho khoảng [a, b];

- Tìm hàm y = y(x) trên [a, b] thoả mãn:

Trong nhiều trường hợp giải gần đúng

y’ + p(x)y’ +q(x,y) = f(x); a ≤ x ≤ b ( 3 )với điều kiện y(a) = α; y(b) = β ( 4 )

Trang 5

Chương 3

Giải bài toán Côsi.

Phương pháp chuỗi Taylo. y’ = f(x, y); x0 ≤ x ≤ X

y(x0) = η ;Khai triển nghiệm y(x) tại x = x0:

⋅⋅

⋅ +

− +

⋅⋅

⋅ +

− +

k

x

y x

x

y x

x

y x

(

! 2

) (

( )

)

( 2

0

0 0

0

);

, (

)) (

, (

) (

' x0 f x0 y x0 f x0 η

)' ' (

y

f x

y

x x

f x

y x f y

∂

∂ +

y

f x

x

f x

∂

∂ +

∂

Trang 6

− +

⋅⋅

⋅ +

− +

k

x

y x

x

y x

x

y x

(

! 2

) (

( )

)

( 2

0

0 0

Trang 7

Chương 3

3.1 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler

- Là phương pháp số;

- Xác định từng giá trị của y(x) theo giá trị cụ thể của x

bảng các giá trị x và y(x) tương ứng

Nội dung: - Chia [x0, X] n đoạn bằng các nút xi cách đều

xi Lưới sai phân trên [x0, X]

xi – nút của lưới; h - bước của lưới: h = const;

- y(x) nghiệm đúng của (1), (2)

y’ = f(x,y); x0 ≤ x ≤ X

y(x ) = η ;

( 1 )( 2 )

Trang 8

Chương 3

Thành lập công thức tính:

- y(xi) – giá trị đúng của y(x) tại xi;

- yi – giá trị gần đúng tính được của y(xi);

- Giả sử đã biết ui, cần tính ui+1 tại xi+1

- Khai triển Taylor tại xi; h đủ nhỏ bỏ qua các số hạng cuối

);

)(

( )

; )

( xi+1 − xi = h y ′ ( xi) = f ( xi, y ( xi) ) ;

( , ( ) ) ;

) ( )

( )

Trang 9

Chương 3

- Điều kiện ban đầu y0 = η

Nhận xét: - Đơn giản, không phải giải p/trình nào, thuận tiện

lập trình giải trên máy tính

y’ = f(x,y); x0 ≤ x ≤ X

y(x0) = η ;

( 1 )( 2 )

ih x

xi+1 = i +

Trang 10

Chương 3

- Đánh giá sai số: Sau khi tính được u tại xi với bước h: u(xi,h)

tính u(xi, h/2) nghiệm sai số :

; 2

, )

, ( )

( 2

x y x

y

h x

Trang 11

Chương 3

- Ấn định số khoảng chia n; - Tính h = (x – x0)/n ;

- Tính xi = x0 + ih; - Đặt y0 = η

- Tính yi+1 = yi + h.f(xi,yi) với i = 0, 1, 2, , n ;

- Đặt y(xi, h) = yi; thay h = h/2 tính lại;

- Đặt y(xi,h/2) = yi; y(xi, h/2) ~ y(xi)

2

, )

, ( )

( 2

x y x

y

h x

Trang 12

0 (

2 '

y

x y

y

Trang 13

0 (

2 '

y

x y

y

Trang 14

0 (

2 '

y

x y

y

Trang 15

Chương 3

3.2 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp hình

thang

Phương pháp Ơle có độ chính xác không cao

Thay (9)

[ ( , ) ( , ) ] ; 2

* 1 1

u*i+1 trong (11) được tính theo công thức Ơle:

Đã chứng minh được phương pháp này có độ chính xác cấp 2:

).

( 0

; )

Trang 16

Chương 3

3.2 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp hình

thang

;

) 1

( 1

)

(

1 − − ≤ ε

+ + i k

) 0

) 1

( 1 1

)

(

+ +

i i

i i i

* 1 1

Trang 17

Chương 3

3.2 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Kutta

Runge-Bậc 2:

trong đó

);

( 2

1

2 1

);

, (

.

);

, (

1 2

1

k y

h x

f h k

y x

f h k

i i

i

+ +

=

(15)

Trang 18

Chương 3

1

3 2

(

);

2

, 2

(

);

, (

2 1

3

1 2

1

k k

y h x

f h k

k y

h x

f h k

y x f h k

i i

+

− +

=

+ +

=

(17)

Trang 19

Chương 3

3.2 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp

( 6

1

4 3

2 1

yi+ = i + + + + (16)

);

,(

);

2

,2

(

);

2

,2

(

);

,(

2 3

1 2

1

k y

h x

f h k

k y

h x

f h k

k y

h x

f h k

y x f h k

i i

++

=

++

=

++

=

(17)

Trang 20

0 (

2 '

y

x y

y

Trang 21

0 (

2 '

y

x y

Trang 22

0 (

2 '

y

x y

Trang 23

Chương 3

3.3 Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp

.,

,,(

).,

.,

,,(

).,

.,

,,(

2 1

2 1 2

2

2 1 1

1

n n

n

n n

y y

y x f y

y y

y x f y

y y

y x f y

Trang 24

Chương 3

3.3 Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp

Euler

Công thức Euler:

( 23 )

h i x

x

y y

y x f

h y

y

y y

y x f

h y

y

y y

y x f

h y

y

i n i

i i

n i

n

i n i

i i

i n i

i i

.

) , ,

, ,

(

, ,

(

) , ,

, ,

(

, ,

2 ,

1 ,

1

,

, ,

2 ,

1 2

, 2 1

,

2

, ,

2 ,

1 1

, 1 1

h = −

Trang 28

Chương 3

3.3 Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp Euler

0 (

1 )

0 (

cos sin

sin cos

2 1

' 2

2 1

' 1

y y

x y

y

x y

y

Trang 29

Chương 3

3.4 Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp Runge-Kutta

Trang 30

Chương 3

Trang 31

Chương 3

Trang 32

Chương 3

Trang 33

Chương 3

Trang 34

Chương 3

Trang 35

D C

B A

k

k k

3

1

2

⇒ +

+

⇔ +

Biết:

Tại t = 0: CA = CA,0, CB = CB,0, CC = CC,0, CD = CD,0, CE = CE,0.

Các hằng số tốc độ phản ứng:

)) /(

exp(

)) /(

exp(

, 1 ,

0 , 1 2

, 1 ,

0 , 1 1

RT E

k k

RT E

k k

r a r

f a f

Trang 36

A D

C B D

C B

A C

C B D

C B

A B

D C B

A A

C C k dC

C C k C

C

k dt

dC

C C k C

C k C

C

k dt

dC

C C k C

C k C

C

k dt

dC

C C k C

C

k dt

dC

2 1

3 2

1

3 2

1

2 1

Trang 37

C B

D C

B A

k k

+

⇔ +

+

⇔ +

exp(

)) /(

exp(

)) /(

exp(

, 2 ,

0 , 2 3

, 1 ,

0 , 1 2

, 1 ,

0 , 1 1

RT E

k k

RT E

k k

RT E

k k

f a f

r a r

f a f

Trang 38

D C B

A D

C B D

C B

A C

C B D

C B

A B

D C B

A A

C C k C

C k

dC dC

C C k C

C

k dt

dC

C C k C

C k C

C

k dt

dC

C C k C

C k C

C

k dt

dC

C C k C

C

k dt

dC

2 1

3 2

1

3 2

1

2 1

Trang 39

Chương 3

Phương trình và hệ phương trình vi phân3.5 Ứng dụng

Khảo sát động học của một hệ phản ứng phức tạp

Trang 41

Chương 3

Trang 43

Chương 3

Tiêu đề	Phương trình và hệ phương trình vi phân
Trường học	Đại học Bách Khoa Hà Nội
Chuyên ngành	Toán Ứng Dụng trong Kỹ Thuật Hóa Học
Thể loại	Giáo trình
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	0,95 MB