Bài Giảng Phương Pháp Số TRong CNHH
Trang 1PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG CÔNG NGHỆ HÓA HỌC
Mã học phần: CH3454
TS Nguyễn Đặng Bình Thành
BM:Máy & TBCN Hóa chất
Numerical Methods in Chemical Engineering
Tuần 5
Trang 2Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Nghiệm thực của phương trình – Ý nghĩa hình học.
O
y
x
Mα
g(x)h(x)
~ g(x) = h(x)
đồ thị y1 = g(x) và y2 = h(x)
- hoặc (1)
Trang 3Chương 1 Các phương pháp giải phương
đồng thời f(x) liên tục trên [a, b]
thì trong khoảng [a, b] ít nhất có
một nghiệm thực của phương
trình f(x) = 0.
O
y
xA
Ba
b
Trang 4Chương 1 Các phương pháp giải phương
trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
phi tuyến
Khoảng phân ly nghiệm (tách nghiệm)
Định nghĩa: Khoảng [a, b] nào
đó gọi là khoảng phân ly nghiệm
của phương trình f(x) = 0 nếu nó
B
a
b
f’(x) không đổi dấu
Định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b],
đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0
Trang 5Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của phương trình phi tuyến
Trang 6Chương 1 Các phương pháp giải phương
trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Cơ sở : khai triển Taylor:
- Hàm F(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại xo và lân cận xo
- Khai triển Taylor bậc n của F(x) tại xo:
);
( )!
1 (
)
( )
(
!
) (
) (
"
! 2
)
( ) ( ' ) (
) ( )
(
) 1 (
1 )
(
2
c
F n
x
x x
F n
x x
x F
x
x x
F x x x
F x
F
n
n o o
n
n o
o
o o
o o
Trang 7Chương 1 Các phương pháp giải phương
trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
- Giả sử f(x) =0 : - Có nghiệm thực α phân ly trong [a, b];
- Có đạo hàm f’(x) ≠ 0 tại x [a, b];
- Có đạo hàm cấp hai f’’(x) tại x [a, b];
- Chọn xo [a,b] khai triển Taylo bậc nhất của f(x) tại x o:
1)(')(
)()
Bỏ qua số hạng cuối f (x o)(x x o) f ('x o) 0;
;)('
x f
x
f x
)('
)(
1
1 1
x
f x
)('
n
x f
x
f x
Trang 8Chương 1 Các phương pháp giải phương
trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Ý nghĩa hình học: thay đường cong y = f(x) bằng tiếp tuyến
kẻ từ A(a,f(a)) hay B(b,f(b)), hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm gần đúng của phương trình
Đặt: - xo = a, nếu tiếp tuyến kẻ từ A;
- xo = b, nếu tiếp tuyến kẻ từ B;
Phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại [xo, f(xo)] :
Giao điểm với trục hoành (x1, y1 = 0)
);
)(
( ' )
( xo f xo x xof
);
)(
( ' )
( xo f xo x xo
Trang 9Chương 1 Các phương pháp giải phương
trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x1, f(x1) ]
; ) (
x f
x
f x
; ) (
n
x f
x
f x
x
; ) ( '
) (
1
1 1
2
x f
x
f x
x
y
OA
Bα
xo=a x1x2 b
Trang 10Chương 1 Các phương pháp giải phương
trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x1, f(x1) ]
; ) (
x f
x
f x
; ) (
n
x f
x
f x
x
; ) ( '
) (
1
1 1
2
x f
x
f x
A
B
Trang 11Chương 1 Các phương pháp giải phương
- [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của f(x) = 0;
- f có đạo hàm f’, f” với f’ và f” : + liên tục trên [a, b];
+ không đổi dấu trên [a, b];
Trang 12Chương 1 Các phương pháp giải phương
x f
x
f x
;
1 x o x
Sơ đồ tóm tắt các bước giải:
Trang 13Ví dụ Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
13
13
3
1)
3
1
f M
đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại một điểm, phương trình
có một nghiệm thực trong khoảng 1/ 3,
- Chọn khoảng chứa nghiệm [1, 2]
f(1) = 1 – 1 – 1 = - 1 <0
f(2) = 8 – 2 – 1 = 5 >0 f(1).f(2) < 0 chứa nghiệm. khoảng [1, 2]
Trang 14Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Phương trình:
) (
)
(
x f
x
f x
f(1) = -1; f(2) = 5;
f(2).f”(2) > 0 Chọn đầu tính x = 2
Trang 15Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Lập bảng tính:
x f(x)=x3-x-1 f (x)=3x2-1
) (
)
(
x f
x
f x
Trang 16Chương 1 Các phương pháp giải phương
)
(
x f
x
f x
Trang 17Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Trang 18Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Trang 19Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Trang 20Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Trang 21Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Trang 27Chương 1 Các phương pháp giải phương
Trang 28Chương 1 Các phương pháp giải phương
trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
phi tuyến
Phương pháp lặp
- Giả sử khi n ; x n nghiệm α của phương trình
phương pháp lặp hội tụ, có thể coi xn là nghiệm gần đúng
-Quá trình tính cũng có thể phân kỳ, xn ngày càng đi xa khỏi nghiệm
Sự hội tụ của quá trình tính toán
Trang 29Chương 1 Các phương pháp giải phương
Trang 30Chương 1 Các phương pháp giải phương
- [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình f(x) = 0;
- Mọi xn tính theo (*) đều a ,b ;
- Hàm φ(x) có đạo hàm hạng nhất thoả mãn điều kiện:
q - hằng số;
- Phương pháp lặp hội tụ với mọi x a ,b ;
; )
1 )
( ' x q a x b
Trang 31Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
; 2
b
a a
xo khi
Trang 32Chương 1 Các phương pháp giải phương
Trang 33Ví dụ Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
13
13
3
1)
3
1
f M
đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại một điểm, phương trình
có một nghiệm thực trong khoảng 1/ 3,
- Chọn khoảng chứa nghiệm [1, 2]
f(1) = 1 – 1 – 1 = - 1 <0
f(2) = 8 – 2 – 1 = 5 >0 f(1).f(2) < 0 chứa nghiệm. khoảng [1, 2]
Trang 34f(x) = x3 – x – 1 = 0;
- Đặt x = φ(x) = x3 – 1 ;
- Đặt x = φ(x) = x – λf(x) với
)(
1)
)1(
13
1)
1
(3
1)
- Hoặc đặt x 3 = x + 1; x (x) (x 1)1/3
3/1)(
0 x tại mọi x 1,2 đảm bảo điều kiện hội tụ
Trang 36Chương 1 Các phương pháp giải phương
)1(
)
x
Trang 37Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Trang 38Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Trang 39Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Trang 40Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Trang 41Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Trang 46Chương 1 Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến
Bài tập về nhà
Viết chương trình Pascal giải phương trình phi tuyến
F(x) = 10x-ex = 0, trong khoảng [0,2]
