Phương trình truyền nhiệt_08

Bài toán hỗn hợp thuần nhất Bài toán HP1a... Chứng minh Hàm gθ = 2Rsinθ thoả m~n các điều kiện của định lý... Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật Bài toán DE2a u ∂ ∂+ ∂ và điều ki

Chương 8

Phương trình truyền nhiệt

Đ1 Bài toán Cauchy thuần nhất

Bài toán CP1a

Suy ra họ nghiệm riêng bị chặn của bài toán CP1a

0

t ) a ( [A( )cos x B( )sin x]d

π g( )sin( )d1

Thay vào công thức (8.1.3) và biến đổi

0

t ) a ( 2

• Đổi biến β = αa t ⇒ dβ = a tdα

s =

ta2

= ta

1I(s)

Đạo hàm I(s), sau đó tích phân từng phần, nhận được phương trình vi phân

0

2

des2

ư

ξξ

πt g( )e da

ư

ξπ

ưξ

ta4

x)

(

) x (

2 / 3 3

2 2

ư

ta8

)x(t

a4

1)

(

) x (

2 / 5 5

2

2 / 3 3

2 2

ư

ta8

)x(t

a4

1)

(

) x (

2 / 5 3

2

2 / 3

2 2

thì u = u1 - u2 là nghiệm của bài toán

t

u

∂

∂ = a2

2 2

x

u

∂

∂, u(x, 0) = g1 - g2 = g

VÝ dô Gi¶i bµi to¸n

u(x, t) = +∞∫

∞

−

− +

−

++

−

ξτ

−

τξτπ

t

0

) t a ) x (

de

t

),(da2

d)t,,x(x

v

+ f(x, t)

= a2

2 2

x

u

∂

∂ + f(x, t) và u(x, 0) = 0

trong đó uα(x, t) là nghiệm của bài toán CP1α

Kết hợp các công thức (8.1.5) và (8.2.1) suy ra công thức sau đây

∞

−

− +∞

)sta2x(g

τ

−ξτ+ξ

−

∞ +

∞

−

− ξ

0

a ) x ( t

a ) x (

de

)t,(dde

t

)(ga

2

2 2

2 2

x

u

∂

∂ + 3t2 và u(x, 0) = sinx Hàm f(x, t) = t2, g(x) = sinx thoả m~n điều kiện của định lý Theo công thức (8.2.2)

t(3

Đạo hàm I(t), biến đổi và sau đó tích phân từng phần

I’(t) = +∞∫

∞

ư

ư +

π

ư

)e(de

t2

∞

ư

ư +

π

ư e ( x a t s )e s 2

t2

t(3

Nhận xét Bằng cách kéo dài liên tục các hàm liên tục từng khúc, các công thức trên vẫn

sử dụng được trong trường hợp các hàm f và g có đạo hàm liên tục từng khúc

Đ3 Bài toán giả Cauchy

Bài toán SP1a

x

v

∂

∂ + f1(x, t) và u(x, 0) = g1(x) với (x, t) ∈ 3 ì 3+Theo công thức (8.2.2) , ta có

τ

ưξτ+ξ

ư

∞ +

∞

ư

ư ξ

0

a ) x ( 1

t a ) x (

t

)(ga

2

2 2

2

Thế vào điều kiện biên

−ξτ+ξ

t a

1 e d d f ( ,t )e dt

)(ga

2

2 2

0x )x(g

de

et

)(ga

2

2 2

τ

−ξτ

+ ξ

− τ

− ξ

−

t

0 0

a ) x ( a

) x (

de

e)t,(

2 2

2 2

Do c¸c hµm f vµ g lµ hµm lÎ nªn c¸c hµm kÐo dµi lÎ f1 = f vµ g1 = g Thay vµo c«ng thøc (8.2.2) vµ sö dông tÝch ph©n (8.2.3) , ta cã

t(2

τ

−π

+∞

∞

−

− +∞

xd)t(2

2 /

3 )e dt

(ha2

2 /

3 )e dt

(ha2

2 / 5 3

2

de)t(ha

0

a x

2 / 5

3 h(t )e da

2 / 7 5

3

de)t(ha

2 2

et

)0(ha2

τπ

2 /

31 e dh(t )a

−τ

−π

2 / 7 2

2 2

/

a4

x2

3)t(ha

2

2

= a2 xx

s 2 2

2

dse)sa4

xt(h

trong đó uα(x, t) là nghiệm của bài toán SP1α

Kết hợp các công thức (8.3.1) và (8.3.2), suy ra công thức sau đây

ư ξ

ư

0

t a ) x ( t a ) x (

de

et

)(ga

2

2 2

2 /

3 )e dt

(h

τ

ưξτ

+ ξ

ư τ

ư ξ

ư

t

0 0

a ) x ( a

) x (

de

e)t,(

2 2

2

Định lý Cho f ∈ C(H, 3)∩ B(D, 3), g ∈ C(D, 3)∩ B(D, 3), h ∈ C(3+, 3)∩ B(3+, 3) thoả m~n f(0, t) = 0 và g(0) = 0

Bài toán SP1 có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức (8.3.3)

Nhận xét Phương pháp trên có thể sử dụng để giải các bài toán giả Cauchy khác

Đ4 Bài toán hỗn hợp thuần nhất

Bài toán HP1a

• Tìm nghiệm tổng quát của bài toán HP1 dạng chuỗi hàm

u(x, t) = ∑+∞

= 1 k

t l a k

l

ksine

l

ksin

ksin)x(gl

2

(8.4.8)

Định lý Cho hàm g ∈ C1(D, 3) thoả m~n g(0) = g(l) = 0 Chuỗi hàm (8.4.7) với các hệ

số ak tính theo công thức (8.4.8) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán HP1a

và các điều kiện (8.4.2), (8.4.3)

• Lập luận tương tự như bài toán CP1 suy ra tính ổn định và duy nhất nghiệm

Ví dụ Giải bài toán

k

k

)1-1π

+

=

12n

k 1)

(2n

0

3 3

Thế vào công thức (8.4.7) suy ra nghiệm của bài toán

u(x, t) = ∑+∞

=

π +

+

π n 0

t ) 1 n ( 3

)1n2(1

§5 Bµi to¸n hçn hîp kh«ng thuÇn nhÊt

l

ksin)t(

ak)t(

=

π

1 k

l

ksin)t(f

0

dxl

xksin)t,x(l

l

ksin)0(

• T×m nghiÖm bµi to¸n HP1 d−íi d¹ng

x

w

∂

∂ + f(x, t) - p’(t) -

l

x(q’(t) - p’(t)) = a2

2 2

x

w

∂

∂ + f1(x, t) w(x, 0) = 0

u(x, 0) = x vµ u(0, t) = 0, u(1, t) = e-t

• T×m nghiÖm cña bµi to¸n d−íi d¹ng u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + xe-t víi hµm v(x, t) lµ

víi f1(x, t) = xe-t

Gi¶i bµi to¸n HP1b

ek

-1)(

Tìm được các hàm

2 2

k

ee

)1k

4(k

-1)(

2 ư π 2 ư ư

ưπ

ưππ

1 k

t t ) k ( 2

2

k

xksinee

)1k

4(k

-1)(

Nhận xét Bằng cách kéo dài liên tục, các công thức trên vẫn sử dụng được trong trường hợp các hàm f và g có đạo hàm liên tục từng khúc

Đ6 Bài toán Dirichlet trong hình tròn

• Xét toán tử vi phân Laplace trong mặt phẳng

∆u(x, y) = 22 22

y

ux

u

∂

∂+

rr

u

∂

ϕ

∂ϕ

∂

∂+

ucos

rr

u

∂

ϕ

∂ϕ

∂

∂+

usin

2 2

2 2

2

sinr

1r

usinr

1usincosr

2r

usincosr

2r

ucos

ϕ

∂

∂ϕ+

∂

∂ϕ+

ϕ

∂

∂ϕϕ+

ϕ

∂

∂

∂ϕϕ

ư

∂

∂ϕ2

2 2 2

2

cosr

1r

ucosr

1usincosr

2r

usincosr

2r

usin

ϕ

∂

∂ϕ+

∂

∂ϕ+

ϕ

∂

∂ϕϕ

ưϕ

∂

∂

∂ϕϕ+

∂

∂ϕSuy ra biểu thức toạ độ cực của toán tử Laplace

∆u(r, ϕ) = 22 2 2u2

r

1r

ur

1r

u

ϕ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

2 2

ur

1r

urrr

1

ϕ

∂

∂+

• Tìm nghiệm của bài toán DE1a dạng tách biến

u(r, ϕ) = V(r)Φ(ϕ)

Thế vào phương trình (8.6.1) nhận được hệ phương trình vi phân

Phương trình (8.6.3) có họ nghiệm riêng trực giao, tuần hoàn chu kỳ T = 2π

Φk(x) = Akcoskϕ + Bksinkϕ, λk = k2 với Ak, Bk ∈ 3, k ∈ ∠

Thay vào phương trình (8.6.4) tìm họ nghiệm riêng độc lập và bị chặn

Vk(r) = Ckrk với Ck ∈ 3, k ∈ ∠

Suy ra họ nghiệm riêng độc lập của bài toán DE1a

u0 = a0 , uk(r, ϕ) = rk(akcoskϕ + bksinkϕ) với ak = CkAk , bk = CkBk , k ∈ ∠*

• Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE1a dạng chuỗi hàm

u(r, ϕ) = a0 +∑+∞

=

ϕ+

ϕ

1 k

k k

θ

1 k

k k

1

(8.6.6)

Định lý Cho g ∈ C1([0, 2π], 3) thoả m~n g(0) = g(2π) Chuỗi hàm (8.6.5) với các hệ số

ak và bk tính theo công thức (8.6.6) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1a

Chứng minh

Hàm g(θ) = 2Rsinθ thoả m~n các điều kiện của định lý Theo công thức (8.6.6)

0 k 1

Suy ra nghiệm của bài toán u(r, ϕ) = 2rsinϕ ≡ 2y

• Kí hiệu

u(z) = u(r, ϕ) với z = rei ϕ ∈ D0

Theo kết quả ở Đ8, chương 3 suy ra bài toán DE1a có nghiệm theo công thức sau đây

= ζ

ζζ

ζ

ưζ

+

ζ

)(gz

zi

2

1

= ζ

ζζ

πi | RF( )d2

1

Gi¶ sö trong h×nh trßn B(0, R) hµm g cã c¸c cùc ®iÓm kh¸c kh«ng ak víi k = 1 n Theo c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n Cauchy (4.7.6) ta cã

=

n

1 k

k)a(sF

ChuyÓn qua to¹ vÞ phøc

g(ζ) = 2R

i2

1(ei θ - e-i θ) = 2

2

2 Ri

1ζ

zi

+ζ

Ta cã

I(z) = Res[f, z] + Res[f, 0] =

iz

)Rz(

+ iz

R

= -2iz Suy ra nghiÖm cña bµi to¸n

uk(r, ϕ) = (akrk + bkr-k)coskϕ + (ckrk + dkr-k)sinkϕ víi ak , bk , ck , dk ∈ 3, k ∈ ∠*

• T×m nghiÖm tæng qu¸t cña bµi to¸n DE1b d¹ng chuçi hµm

k k

k k

k k

k k

k k

k k

k k

k k

k k

(8.6.12)

Định lý Cho các hàm g, h ∈ C1([0, 2π], 3) thoả m~n g(0) = g(2π), h(0) = h(2π) Chuỗi hàm (8.6.11) với các hệ số ak , bk , ck và dk xác định từ hệ phương trình (8.6.12) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1b

Đ7 Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật

Bài toán DE2a

u

∂

∂+

∂

và điều kiện biên

• Tìm nghiệm của bài toán DE2a dạng tách biến

• Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE2a dạng chuỗi hàm

u(x, y) = ∑+∞

= 1 k

1 k

l

ksin)yd(l

ksh

1 k

l

ksinl

dksh

dklsh

2

Định lý Cho hàm ga ∈ C1([0, l], 3) thoả m~n ga(0) = ga(l) = 0 Chuỗi hàm (8.7.4) với hệ

số ak tính theo công thức (8.7.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE2a

• Lập luận tương tự như trên, chúng ta giải các bài toán sau đây

Bài toán DE2b

Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm gb ∈ C([0, d], 3)

Tìm hàm u ∈ C(D, 3) thoả m~n phương trình Laplace

∆u = 0 với (x, y) ∈ D0

và điều kiện biên

u(l, y) = gb(y), u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0

Định lý Cho hàm gb ∈ C1([0, d], 3) thoả m~n gb(0) = gb(d) = 0 Bài toán DE2b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức

u(x, y) = ∑+∞

=

ππ

1 k

d

ksinxd

ksh

lkdsh

và điều kiện biên

u(x, d) = gc(x), u(0, x) = u(x, 0) = u(l, y) = 0

Định lý Cho hàm gc ∈ C1([0, l], 3) thoả m~n gc(0) = gc(l) = 0 Bài toán DE2c có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức

u(x, y) = ∑+∞

=

ππ

1 k

l

ksinyl

ksh

dklsh2

(8.7.7)

Bài toán DE2d

Cho D = [0, l] ì [0, d] và hàm gd ∈ C([0, d], 3)

Tìm hàm u ∈ C(D, 3) thoả m~n phương trình Laplace

∆u = 0 với (x, y) ∈ D0

và điều kiện biên

u(0, y) = gd(y), u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0

Định lý Cho hàm gd ∈ C1([0, d], 3) thoả m~n gd(0) = gd(d) = 0 Bài toán DE2d có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức

u(x, y) = ∑+∞

=

π

ưπ

1 k

d

ksin)xl(d

kshd

lkdsh

và điều kiện biên

u(x, 0) = g1(x), u(l, y) = g2(y), u(x, d) = g3(x), u(0, y) = g4(y)

• Tìm nghiệm của bài toán DE2 dưới dạng

u(x, y) = u0(x, y) + uâ(x, y) + ub(x, y) + uc(x, y) + ud(x, y)

Trong đó uα(x, y) là nghiệm của bài toán DE2α

Hàm

là nghiệm của bài toán DE sao cho uα(x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật

Do tính liên tục của hàm u(x, y) trên biên ∂D

, C =

d

)0(g)d(

D =

ld

)0(g)l(g)0(g)l(

=

ld

)0(g)d(g)0(g)d(

• ThÕ vµo ®iÒu kiÖn biªn suy ra

ga(x) = ua(x, 0) = g1(x) - g1(0) -

l

x(g1(l) - g1(0))

gc(x) = uc(x, d) = g3(x) - g3(0) -

l

x(g3(l) - g3(0))

gb(y) = ub(l, y) = g2(y) - g2(0) -

d

y(g2(d) - g2(0))

k

l

ksinyl

kshc)yd(l

ksha

π

1 k

k

d

ksin)xl(d

kshdxd

ksh

§8 Bµi to¸n Neumann

Bµi to¸n NE1

urrr

1

ϕ

∂

∂+

Thay vào phương trình (8.8.1) nhận được hệ phương trình vi phân

Φ”(ϕ) + λΦ(ϕ) = 0

Bài toán (8.8.3) có họ nghiệm riêng độc lập

u0 = a0, uk(r, ϕ) = rk(akcoskϕ + bksinkϕ) với ak = CkAk , bk = CkBk , k ∈ ∠*

• Tìm nghiệm tổng quát của bài toán NE1 dạng chuỗi hàm

u(r, ϕ) = a0 +∑+∞

=

ϕ+

ϕ

1 k

k k

k k

k h( )cosk dR

k h( )sink dR

k

1

Định lý Cho h ∈ C1([0, 2π], 3) thoả m~n h(0) = h(2π) Chuỗi hàm (8.8.4) với các hệ số

ak và bk tính theo công thức (8.8.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE1

• Lập luận tương tự như các bài toán DE2 chung ta giải các bài toán sau đây

Bài toán NE2b

u

∂

∂+

∂

0

và các điều kiện biên

u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0,

x

u

∂

∂(l, y) = hb(y)

Định lý Cho hàm hb ∈ C1([0, d], 3) Bài toán NE2b có nghiệm duy nhất và ổn định xác

định theo công thức

u(x, y) = ∑+∞

=

ππ

1 k

d

ksinxd

ksh

lkchk2

(8.8.6)

Bài toán NE2d

Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm hd ∈ C([0, d], 3)

Tìm hàm u ∈ C(D, 3) thoả m~n phương trình Laplace

∆u = 0 với (x, y) ∈ D0

và các điều kiện biên

u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0,

1 k

d

ksin)xl(d

kshd

lkchk

2

(8.8.7)

Bài toán NE2

Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và các hàm g1 , g3 ∈ C([0, l], 3) và h2 , h4 ∈ C([0, d], 3) Tìm hàm u ∈ C(D, 3) thoả m~n phương trình Laplace

ub(x, y) và ud(x, y) là nghiệm của bài toán NE2b và NE2d, còn hàm

là nghiệm của bài toán DE sao cho uα(x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật

• Lập luận tương tự như bài toán DE2 suy ra

l

)0(g)l(

C =

d

)0(g)0

Thế vào điều kiện biên suy ra

ga(x) = g1(x) - g1(0) -

l

x(g1(l) - g1(0))

gc(x) = g3(x) - g3(0) -

l

x(g3(l) - g3(0))

hb(y) = h2(y) - (B + Dy)

= h2(y) -

l

)0(g)l(

l

)0(g)0(g)l(g)l(gd

l

)0(g)0(g)l(g)l(gd

• KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.7.4), (8.7.6), (8.8.6), (8.8.7) vµ (8.8.8) suy ra c«ng thøc u(x, y) = u0(x, y) + ∑+∞

k

l

ksinyl

kshc)yd(l

ksha

π

1 k

k

d

ksin)xl(d

kshdxd

ksh

• Gi¶i c¸c bµi to¸n gi¶ Cauchy

x

u

∂

∂ + xsint ut=0 = sinx, u(0, t) = 0

x

u

∂

∂ + tsinx ut=0 = xcosx, u(0, t) = et

x

u

∂

∂ + xe-t ut=0 = sinx ,

x

u

∂

∂(0, t) = cost

• Gi¶i c¸c bµi to¸n hçn hîp sau ®©y

x

u

∂

∂ + tsinx ut=0 = sinx, u(0, t) = u(l, t) = 0

x

u

∂

∂ + 3xt2 ut=0 = 0, u(0, t) = 0, u(l, t) = Asinωt

x

u

∂

∂ + xet ut=0 = 2x, u(0, t) = 0, u(l, t) = et

• Gi¶i bµi to¸n Dirichlet trong h×nh trßn

15 ∆u = 0 víi (r, ϕ) ∈ [0, 2] × [0, 2π] vµ u r=2 = x2 - xy + 2

16 ∆u = 0 víi (r, ϕ) ∈ [0, 2] × [0, 2π] vµ u(2, ϕ) = A + Bsinϕ

17 ∆u = 0 víi (r, ϕ) ∈ [0, 1] × [0, 2π] vµ u(1, ϕ) = sin3ϕ

18 ∆u = 0 víi (r, ϕ) ∈ [0, 1] × [0, 2π] vµ u(1, ϕ) = cos4ϕ

19 ∆u = 0 víi (r, ϕ) ∈ [0, R] × [0, 2π] vµ u(R, ϕ) = 0

• Gi¶i bµi to¸n Dirichlet trong h×nh vµnh kh¨n

20 ∆u = 0 víi (r, ϕ) ∈ [1, 2] × [0, 2π] vµ u(1, ϕ) = A, u(2, ϕ) = B

21 ∆u = 0 víi (r, ϕ) ∈ [1, 2] × [0, 2π] vµ u(1, ϕ) = 1 + cos2ϕ, u(2, ϕ) = sin2ϕ

22 ∆u = 0 víi (r, ϕ) ∈ [0, R] × [0, π] vµ u(r, 0) = u(r, π) = 0, u(R, ϕ) = Aϕ

• Gi¶i bµi to¸n Dirichlet trong h×nh ch÷ nhËt

23 ∆u = 0 víi (x, y) ∈ [0, a] × [0, b]

u(0, y) = Ay(b - y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = Bsin

a

xπ, u(x, b) = 0

y

u

∂

∂(x, b) = 0

y

u

∂

∂(x, b) = 0

Tài Liệu Tham Khảo

[1] Đặng Đình Ang - Trần Lưu Cường - Huỳnh Bá Lân - Nguyễn Văn Nhân (2001)

Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, Hà nội

Nhập môn giải tích phức, Tập 1, NXB Đại học & THCN, Hà nội

[7] Nguyễn Thuỷ Thanh (1985)

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học & THCN, Hà nội

[8] Nguyễn Đình Trí - Nguyễn Trọng Thái (1977)

Phương trình vật lý - toán, NXB Đại học & THCN, Hà nội

[9] A.V Oppenheim & A.S Willsky (1997)

Signals & Systems, Prentice Hall, New Jersey