Bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính một chiều

Ríi r⁄c hâa b i to¡n thu“n theo bi‚n khæng gian.. Ph÷ìng ph¡p gradient li¶n hæp... ành lþ ¢ ÷æc chøngminh xong.

Möc löc

Trang

1.1 Giîi thi»u b i to¡n 8

1.2 Ríi r⁄c hâa b i to¡n 14

1.2.1 Ríi r⁄c hâa b i to¡n thu“n theo bi‚n khæng gian 14 1.2.2 Ríi r⁄c b i to¡n thu“n theo bi‚n thíi gian 16

Ch÷ìng 2 B i to¡n x¡c ành nguçn cho ph÷ìng tr…nh truy•n nhi»t tuy‚n t‰nh mºt chi•u 19 2.1 B i to¡n bi‚n ph¥n 20

2.2 Ríi r⁄c b i to¡n bi‚n ph¥n 22

2.3 Ph÷ìng ph¡p gradient li¶n hæp 25

2.4 V‰ dö sŁ 28

T i li»u tham kh£o 35

Danh s¡ch h…nh v‡

= 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u = 0:01 (b¶n ph£i) H m trång

! ÷æc cho bði cæng thøc (2.28) 30 2.2 V‰ dö 2: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vîi nhi„u

= 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u = 0:01 (b¶n ph£i) H m trång

! ÷æc cho bði cæng thøc (2.28) 30 2.3 V‰ dö 3: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vîi nhi„u

= 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u = 0:01 (b¶n ph£i) H m trång

! ÷æc cho bði cæng thøc (2.28) 31 2.4 V‰ dö 1: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vîi nhi„u

= 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u = 0:01 (b¶n ph£i) H m trång

! ÷æc cho bði cæng thøc (2.29) 32 2.5 V‰ dö 2: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vîi nhi„u

= 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u = 0:01 (b¶n ph£i) H m trång

! ÷æc cho bði cæng thøc (2.29) 32 2.6 V‰ dö 3: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vîi nhi„u

= 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u = 0:01 (b¶n ph£i) H m trång

33

Danh s¡ch b£ng

2.1 Tham sŁ hi»u ch¿nh , sŁ b÷îc l°p n , sai sŁ kf fn kL2(0;T )

v gi¡ trà phi‚m h m J (fn ) (h m trång ! ÷æc cho theo

cæng thøc (2.28) 31

2.2 Tham sŁ hi»u ch¿nh , sŁ b÷îc l°p n , sai sŁ kf fn kL2(0;T )

v gi¡ trà phi‚m h m J (fn ) (h m trång ! ÷æc cho theo cæng thøc (2.29)) 33

Trong nhi•u nghi¶n cøu thüc t‚, h m nguçn trong qu¡ tr…nh truy•nnhi»t l khæng bi‚t v y¶u cƒu cƒn ph£i x¡c ành tł mºt v i thæng sŁ taquan s¡t ÷æc hay o ÷æc [1, 2, 4, 5] ¥y l c¡c b i to¡n ng÷æc x¡c ành h

m v‚ ph£i hay mºt phƒn h m v‚ ph£i (h m nguçn) cıa ph÷ìng tr…nhtruy•n nhi»t V… nhœng øng döng quan trång trong thüc t‚ n¶n câr§t nhi•u nghi¶n cøu c£ v• lþ thuy‚t v gi£i sŁ ¢ ÷æc ph¡t tri”n [1, 3, 5,6]

B i to¡n ng÷æc n y l b i to¡n °t khæng ch¿nh Mºt b i to¡n ÷æc gåi l

°t ch¿nh theo ngh¾a Hadamard n‚u thäa m¢n t§t c£ c¡c i•u ki»n:

i) Tçn t⁄i nghi»m; ii) Nghi»m l duy nh§t; iii) Nghi»m phö thuºc li¶n töc v

o dœ ki»n b i to¡n N‚u ‰t nh§t mºt trong c¡c i•u ki»n tr¶n khæng thäam¢n th… b i to¡n ÷æc gåi l °t khæng ch¿nh B i to¡n °t khæng ch¿nhth÷íng g¥y ra nhi•u v§n • nghi¶m trång v… l m cho c¡c nghi»m sŁ cŒi”n khæng Œn ành, tøc l mºt sai sŁ nhä trong dœ ki»n ƒu v o câ th” d¤ntîi sai sŁ lîn b§t k… vîi nghi»m Ta câ th” x†t v‰ dö sau ¥y:

X†t chuØi Fourier

1

X

an cos nt = f(t) (a0; a1; : : : ; ): (0.1)n=0

Chån an = an + ; n 1 v a0 = a0 Trong chu'n cıa l2, ta câ

câ th” d¤n tîi sai kh¡c b§t k… Łi vîi h m v‚ ph£i f(t).

Nºi dung lu“n v«n ÷æc tr…nh b y trong 2 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 giîi thi»u mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà, ph÷ìng tr…nh truy•nnhi»t mºt chi•u d⁄ng tŒng qu¡t, b i to¡n thu“n, ph÷ìng ph¡p sai ph¥nhœu h⁄n ríi r⁄c b i to¡n thu“n

Ch÷ìng 2 nghi¶n cøu b i to¡n x¡c ành h m v‚ ph£i b‹ng c¡ch sß döngph÷ìng ph¡p bi‚n ph¥n k‚t hæp vîi hi»u ch¿nh Tikhonov, cæng thøcgradient cıa phi‚m h m möc ti¶u ÷æc t‰nh thæng qua nghi»m cıa b ito¡n li¶n hæp c£ trong tr÷íng hæp li¶n töc ( ành lþ 2.1) v trong tr÷ínghæp ríi r⁄c ( ành lþ 2.2) Trong ch÷ìng n y, chóng tæi công tr…nh

b y l⁄i ph÷ìng ph¡p gradient li¶n hæp ” t…m cüc ti”u phi‚m h m möc ti¶u.Lu“n v«n công tr…nh b y mºt v i v‰ dö sŁ minh håa cho c¡c ph÷ìngph¡p sŁ • xu§t vîi c¡c t‰nh ch§t kh¡c nhau cıa h m v‚ ph£i cƒn t…m

Tr÷îc h‚t, tæi xin ÷æc b y tä lÆng bi‚t ìn ch¥n th nh v s¥u s›c ‚n

TS Nguy„n Thà Ngåc Oanh ng÷íi ¢ trüc ti‚p h÷îng d¤n lu“n v«n, cæt“n t…nh ch¿ b£o v hØ træ tæi t…m ra h÷îng nghi¶n cøu, ti‚p c“nthüc t‚, t…m ki‚m t i li»u, xß lþ v ph¥n t‰ch sŁ li»u, gi£i quy‚t v§n • ”tæi câ th” ho n th nh lu“n v«n khoa håc n y

Ngo i ra, trong qu¡ tr…nh håc t“p, nghi¶n cøu v thüc hi»n • t i tæicÆn nh“n ÷æc nhi•u sü quan t¥m, gâp þ, gióp ï cıa quþ thƒy cæ,çng nghi»p, b⁄n b– v ng÷íi th¥n Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c ‚n:Nhœng ng÷íi th¥n trong gia …nh ¢ hØ træ, t⁄o i•u ki»n thu“n læicho tæi trong suŁt thíi gian tæi theo håc khâa th⁄c sÿ t⁄i tr÷íng Tr÷íng

Quþ thƒy cæ Khoa To¡n Tin v quþ thƒy cæ phÆng o t⁄o KHCN v HTQT, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc ⁄i håc Th¡i Nguy¶n ¢ truy•n

⁄t cho tæi nhœng ki‚n thøc bŒ ‰ch trong suŁt hai n«m håc vła qua.B⁄n b–, çng nghi»p luæn ºng vi¶n, hØ træ tæi trong qu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cøu!

Tæi xin tr¥n trång c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, ng y 25 th¡ng 6 n«m 2020

Håc vi¶n

Ø Thà Tuy‚t Nga

Ch֓ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n

Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n ÷æc

sß döng trong lu“n v«n nh÷: mºt sŁ khæng gian h m, b i to¡n thu“n,ành ngh¾a nghi»m y‚u v ph÷ìng ph¡p sai ph¥n ríi r⁄c b i to¡n thængqua l÷æc ç Crank-Nicolson

1.1 Giîi thi»u b i to¡n

Cho = (0; L) R and Q = (0; L) (0; T ); S = f0; 1g (0; T ) X†tph÷ìng tr…nh

8 ut (a(x; t)ux)x + b(x; t)u = f(t)’(x; t) + g(x; t); (x; t) 2 Q;

Trong â a, b v ’ trong khæng gian L1(Q), g 2 L2(Q), f 2 L2(0; T )

v u0 2 L2( ) Gi£ sß r‹ng a a > 0 vîi a l h‹ng sŁ v b 0 Hìn nœa,

vîi ’ l h‹ng sŁ

ành ngh¾a 1.1 (B i to¡n thu“n) [5] Khi c¡c h» sŁ a(x; t); b(x; t), i•uki»n ban ƒu u0, c¡c h m v‚ ph£i ¢ bi‚t (gçm f(t); ’(x; t); g(x; t)),

÷æc gåi l b i to¡n ng÷æc.

Tr÷îc khi i v o ành ngh¾a nghi»m y‚u cıa h» ph÷ìng tr…nh (1.1),chóng tæi sß döng mºt sŁ ành ngh¾a v• khæng gian Sobolev H1( ),

H01( ), H1;0(Q), H1;1(Q) ÷æc giîi thi»u trong t i li»u [7] nh÷ sau

ành ngh¾a 1.3 Khæng gian H1( ) l t“p hæp cıa t§t c£ c¡c h m u(x)

2 L2( ) câ ⁄o h m suy rºng ux 2 L2( ); vîi t‰ch væ h÷îng

Z (u; v)H1 ( ) := (uv + u x v x ) dx:

ành ngh¾a 1.4 Khæng gian H01( ) l t“p hæp c¡c h m thuºc H1( )tri»t ti¶u tr¶n bi¶n, tøc l

H01( ) = fu 2 H1( ) : u(0) = u(L) = 0g:

ành ngh¾a 1.5 Khæng gian H1;0(Q) l t“p t§t c£ c¡c h m u(x; t) 2

L2(Q)câ ⁄o h m suy rºng ux 2 L2(Q) vîi t‰ch væ h÷îng

ZZ (u; v) H 1;0 (Q) := (uv + u x v x ) dxdt:

Qành ngh¾a 1.6 Khæng gian H1;1(Q) l

L2(Q) câ ⁄o h m suy rºng ux 2 L2(Q) v

t“p t§t c£ c¡c h m u(x; t) 2 ut

2 L2(Q) vîi t‰ch væ h÷îng

ZZ (u; v) H 1;1 (Q) := (uv + uxvx + utvt) dxdt:

Qành ngh¾a 1.7 Khæng gian H01;0(Q) l t“p t§t c£ c¡c h m u(x; t) 2

H1;0(Q) tri»t ti¶u tr¶n bi¶n S, tøc l

H01;0(Q) = fu 2 H1;0(Q) : u S = 0g:

ành ngh¾a 1.8 Khæng gian H01;1(Q) l t“p t§t c£ c¡c h m u(x; t) 2

H1;1(Q) tri»t ti¶u tr¶n bi¶n S, tøc l

H01;1(Q) = fu 2 H1;1(Q) : u S = 0g:

Ngo i ra chóng tæi sß döng mºt sŁ kh¡i ni»m sau ¥y:

ành ngh¾a 1.9 (Kh£ vi Fr†chet) Cho X; Y l c¡c khæng gian nach, U l l¥n c“n cıa i”m x nh x⁄ F : U ! Y ÷æc gåi l kh£ vi Fr†chet t⁄i

Ba-x n‚u tçn t⁄i ¡nh Ba-x⁄ tuy‚n t‰nh li¶n töc A : X ! Y thäa m¢n

khkXh!0

Khi â to¡n tß tuy‚n t‰nh A ÷æc gåi l ⁄o h m Fr†chet cıa F:

Cho B l mºt khæng gian Banach, ta ành ngh¾a

L2(0; T ; B) = fu : u(t) 2 B a e t 2 (0; T ) and kukL2 (0;T ;B) < 1g;

W (0;T ) L (0;T ;H 0 ( )) L (0;T ;(H 0 ( )) )

Nghi»m cıa b i to¡n (1.1) ÷æc hi”u theo ngh¾a nghi»m y‚u nh÷ sau:

ành ngh¾a 1.10 Nghi»m y‚u trong khæng gian W (0; T ) cıa b i to¡n (1.1) l h m u(x; t) 2 W (0; T ) thäa m¢n flng thøc

8 ut (a(x; t)ux)x + b(x; t)u = f^

ành lþ 1.1 Cho u 2 W (0; T ) l nghi»m cıa b i to¡n thu“n

8ut (a(x; t)ux)x + b(x; t)u = bQ; (x; t) 2 Q; (1.8)

Chøng minh Nh¥n hai v‚ ph÷ìng tr…nh ƒu ti¶n cıa b i to¡n thu“n

u t pdxdt a(x; t)u x pdxdt + bupdxdt = b Q pdxdt:

Sß döng cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn cho v‚ tr¡i flng thøc tr¶n, tanh“n ÷æc

Tł cæng thøc (1.10), sß döng cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn cho sŁh⁄ng ƒu ti¶n cıa v‚ tr¡i, ta câ

Q bupdxdt0

hu; ptiH1 ( ) 0 ;H 1 ( )dt + hu; pijtt=0=T + ZZ

Q a(x; t)uxpxdxdt +ZZ

Q

Ta câ i•u ph£i chøng minh.

Möc ti¶u: Nghi¶n cøu b i to¡n ng÷æc x¡c ành l⁄i th nh phƒn ch¿phö thuºc thíi gian trong v‚ ph£i tł quan s¡t t‰ch ph¥n Tøc l ta x¥ydüng l⁄i h m f(t) trong h m v‚ ph£i tł quan s¡t t‰ch ph¥n

Zlu(x; t) = !(x)u(x; t)dx = h(t); t 2 (0; T ); (1.13)

trong â !(x) 2 L1( ) l h m trång v R

!(x)dx > 0, dœ ki»n quan s¡t h ÷æcgi£ thi‚t trong khæng gian L2(0; T )

Ta k‰ hi»u nghi»m u(x; t) cıa (1.1) l u(x; t; f) (ho°c k‰ hi»u l u(f) n‚u khæng câ g… nhƒm l¤n) ” nh¤n m⁄nh sü phö thuºc cıa nghi»m v

h m ch÷a bi‚t f(t) Sß döng ph÷ìng ph¡p b…nh ph÷ìng tŁi thi”u [5], tax¥y düng l⁄i h m ch÷a bi‚t f(t) b‹ng c¡ch chuy”n b i to¡n th nh b i to¡nbi‚n ph¥n cüc ti”u hâa phi‚m h m möc ti¶u

1

J0(f) = 2 k lu(f) h kL22 (0;T ) : (1.14)

14tr¶n L2(0; T ).

” Œn ành hâa b i to¡n bi‚n ph¥n, ta k‚t hæp vîi ph÷ìng ph¡p hi»uch¿nh Tikhonov cüc ti”u hâa phi‚m h m hi»u ch¿nh

1klu(f) hkL2

2 (0;T ) + kf f kL22 (0;T ) (1.15)

vîi l tham sŁ hi»u ch¿nh ÷æc chån ti¶n nghi»m v f l ÷îc l÷æng cıa f 2

L2(0; T ) N‚u > 0, b i to¡n t…m cüc ti”u cıa phi‚m h m möc ti¶u (1.15)

câ nghi»m duy nh§t tr¶n L2(0; T )

1.2 Ríi r⁄c hâa b i to¡n

1.2.1 Ríi r⁄c hâa b i to¡n thu“n theo bi‚n khæng gian

Chia kho£ng (0; L) th nh Nx kho£ng con tr¶n l÷îi •u

0 = x0 < x1 < < xN x = L vîi xk+1 xk = h = L=Nx:

Kþ hi»u uk(t) (ho°c uk n‚u khæng câ g… nhƒm l¤n) l gi¡ trà cıa h m ut⁄i x = xk: Ta công sß döng kþ hi»u t÷ìng tü cho Ta x§p x¿ c¡c t‰chph¥n trong ph÷ìng tr…nh (1.3) nh÷ sau

ZZ

ut dxdtQ

ZZ

a(x; t)ux xdxdtQ

ZZ

b(x; t)u dxdtQ

ZZ

f ’ dxdtQ

ZZ

g dxdtQ

BŒ • 1.1 Vîi mØi t, ma tr“n h» sŁ x¡c ành bði h» (1.24) l nßa x¡c ành d÷ìng.

1.2.2 Ríi r⁄c b i to¡n thu“n theo bi‚n thíi gian

” ríi r⁄c ho n to n b i to¡n, ta sß döng l÷æc ç Crank-Nicolson ” ríi r⁄c (1.24) theo bi‚n thíi gian Ta chia nhä kho£ng (0; T ) th nh Nt

kho£ng con bði l÷îi •u 0 = t0 < t1 < < tM = T vîi tm+1 tm = t = T =M, m l ch¿ sŁ theo bi‚n thíi gian Kþ hi»u um = u(tm); m =

Kþ hi»u ( ; ) v k k t÷ìng øng l t‰ch væ h÷îng v chu'n Euclide trong

khæng gian RNx Ta nh“n ÷æc k‚t qu£ v• t‰nh Œn ành cıa l÷æc ç saiph¥n nh÷ sau

(( ; ) + t( ; ) + 4 ( ;)

Ch֓ng 2

B i to¡n x¡c ành nguçn cho ph÷ìng

tr…nh truy•n nhi»t tuy‚n t‰nh mºt

Z

trong â !(x) 2 L1( ) l h m trång v R

!(x)dx > 0, dœ ki»n quan s¡t h ÷æcgi£ thi‚t trong khæng gian L2(0; T )

Vîi möc ‰ch â, chóng tæi s‡ ÷a b i to¡n v• b i to¡n bi‚n ph¥n cücti”u hâa phi‚m h m möc ti¶u, çng thíi ch¿ ra cæng thøc gradient cıaphi‚m h m c£ d⁄ng li¶n töc v ríi r⁄c thæng qua nghi»m cıa b i to¡n li¶nhæp Thu“t to¡n ÷æc sß döng t…m cüc ti”u cıa phi‚m h m möc ti¶u lthu“t to¡n gradient li¶n hæp çng thíi trong ch÷ìng n y, chóng tæicông tr…nh b y mºt v i thß nghi»m sŁ ” minh håa cho c¡c ph÷ìngph¡p ¢ • xu§t

2.1 B i to¡n bi‚n ph¥n

Nh÷ ¢ giîi thi»u ð Ch÷ìng 1, ta s‡ sß döng ph÷ìng ph¡p b…nhph÷ìng tŁi thi”u ÷a b i to¡n v• b i to¡n bi‚n ph¥n cüc ti”u hâa phi‚m h mmöc ti¶u ( ¢ ÷æc ¡nh sŁ l⁄i cho ti»n theo dªi) d÷îi ¥y

Phi‚m h m (2.2) l kh£ vi Fr†chet v cæng thøc gradient cıa phi‚m

h m ÷æc cho thæng qua ành lþ d÷îi ¥y

ành lþ 2.1 Phi‚m h m J kh£ vi Fr†chet v cæng thøc gradient rJ (f) t⁄i

f câ d⁄ng

Z

vîi p(x; t) l nghi»m cıa b i to¡n li¶n hæp (2.3)

Chøng minh Ta chó þ r‹ng, n‚u Œi chi•u thíi gian trong b i to¡n li¶nhæp (2.3) th… ta nh“n ÷æc d⁄ng cıa b i to¡n thu“n (1.1) Do v“y n‚unghi»m cıa b i to¡n li¶n hæp ÷æc hi”u theo ngh¾a nghi»m y‚u th…tçn t⁄i duy nh§t nghi»m y‚u trong khæng gian W (0; T ) cho b i to¡nli¶n hæp

Kþ hi»u h ; i l t‰ch væ h÷îng trong L2(0; T ) Cho bi‚n ph¥n nhä f

21cıa f, ta câ

J0(f + f) J0(f) = 2klu(f + f) hkL22 (0;T ) 2 klu(f) hkL22 (0;T )

= hl u(f); lu(f) hi + 1 kl u(f)kL22 (0;T );

2trong â u(f) l nghi»m cıa b i to¡n

Nh÷ v“y, J0 kh£ vi Fr†chet v gradient cıa J0 câ d⁄ng

Z

rJ0(f) = ’(x; t)p(x; t)dx:

Tł flng thøc n y, ta nh“n ÷æc cæng thøc (2.4) ành lþ ¢ ÷æc chøngminh xong

2.2 Ríi r⁄c b i to¡n bi‚n ph¥n

Ti‚p theo trong möc n y, chóng tæi ríi r⁄c phi‚m h m möc ti¶u J0(f)nh÷ sau:

Do â x§p x¿ lhfu(f) cıa lu(f) câ d⁄ng

lhu(f) = (lh0u(f); lh1u(f); : : : ; lhM u(f))vîi

N x Xk

lhmu(f) = h !kuk;m(f); m = 0; 1; : : : ; M: (2.8)

=0

” cüc ti”u hâa phi‚m h m (2.6) b‹ng ph÷ìng ph¡p gradient li¶nhæp, tr÷îc ti¶n ta cƒn t‰nh gradient cıa phi‚m h m möc ti¶u J0h; t(f)thæng qua ành lþ sau ¥y

ành lþ 2.2 Gradient rJ0h; t(f) cıa h m möc ti¶u J0h; t t⁄i f ÷æc cho

23 bði

m=0trong â l nghi»m cıa b i to¡n ríi r⁄c

Nh¥n væ h÷îng hai v‚ cıa ph÷ìng tr…nh ƒu ti¶n trong (2.10) vîi v†c

Chó þ V… ma tr“n Łi xøng, ta câ vîi m = 0; : : : ; M

fk+1 = fk + kdk; dk = 8 J (fk ) k k 1 n‚u k = 0; (2.21)

:trong â

k = k rJ (fk) k2 ; k = argmin J (fk + dk): (2.22)

k rJ (f ) k

lu(f) = lu~[f] + lu [u0; g] := Af + lu[u0; g]

trong â Af := lu~[f] l to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n tł L2(0; T ) v o

⁄o h m cıa J (fk + dk) theo câ d⁄ng:

dJ (fk + dk) = kAdkkL22 (0;T ) + hAdk; lu(fk) hiL 2 (0;T )

d

+ kdkk2

L2(0;T ) + hdk; fk f iL2(0;T ) :

(1.27) vîi f ÷æc thay bði gi¡ trà ban ƒu x§p x¿ f0 v °t k = 0.

B÷îc 2 T‰nh gradient r0 = J (f0) ÷æc cho bði cæng thøc (2.9)b‹ng vi»c gi£i b i to¡n li¶n hæp (2.10) Sau â, °t d0 = r0:

B÷îc 3 T‰nh

0 = kr0k2

klhd0k2 + kd0k2

28trong â lhd0 ÷æc t‰nh tł l÷æc ç (1.27) vîi f ÷æc thay bði d0 v g(x; t)

= 0; u0 = 0 Ti‚p theo, °t

f1 = f0 + 0d0:B÷îc 4 Vîi k = 1; 2; , t‰nh rk = J (fk); dk = rk + kdk 1; trongâ

k = krkk2

k = krkk2

klhdkk2 + kdkk2vîi lhdk ÷æc t‰nh tł l÷æc ç (1.27) vîi f ÷æc thay bði dk v g(x; t) =0; u0 = 0 Ti‚p theo, °t

fk+1 = fk + kdk:

Trong möc n y, chóng tæi tr…nh b y mºt v i v‰ dö sŁ minh håacho thu“t to¡n • xu§t Cho T = 1, chóng tæi thß nghi»m thu“t to¡n x¥ydüng l⁄i th nh phƒn ch¿ phö thuºc thíi gian f(t) trong h m v‚ ph£i cho

<0 ng÷æc l⁄i

:

Lþ do chån c¡c h m n y l møc º trìn kh¡c nhau vîi h m ph£i t…m V

‰ dö thø nh§t l h m trìn, v‰ dö thø hai h m li¶n töc nh÷ng khængkh£ vi t⁄i t = 0:5 v v‰ dö cuŁi còng l h m gi¡n o⁄n

Khi thüc hi»n c¡c v‰ dö sŁ n y, chóng tæi chån h m u l nghi»m cıaph÷ìng tr…nh (1.1), chån h m ’ v f, sau â t‰nh h m g trong v‚ ph£i cıa(1.1) Khi câ u chóng tæi t‰nh lu = h v °t nhi„u dœ ki»n quan s¡t h, c¡cthß nghi»m sŁ ÷æc thüc hi»n vîi nhi„u kh¡c nhau, thu“t to¡n

Cho u(x; t) = sin( x)(1 t), u0(x) = sin( x), ’(x; t) = (x2 + 5)(t2 + 5)

v sau â cho h m f lƒn l÷æt l c¡c h m trong V‰ dö 1, V‰ dö 2, V‰ dö

3, sau â t‰nh g(x; t) Łi vîi quan s¡t lu chóng tæi chån h m trång sau

C¡c k‚t qu£ sŁ ÷æc minh håa tł H…nh 2.1-H…nh 2.6 Tł c¡c k‚tqu£ n y ta câ th” th§y r‹ng c¡c thu“t to¡n l hœu hi»u m°c dò nhi„u ƒu v

o kh¡ lîn 10% Trong B£ng 1 v B£ng 2, chóng tæi li»t k¶ t÷ìng øngcıa tham sŁ hi»u ch¿nh, sai sŁ L2 , sŁ b÷îc l°p v gi¡ trà cıa h m möc ti¶u.

H…nh 2.1: V‰ dö 1: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vîi nhi„u = 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u

= 0:01 (b¶n ph£i) H m trång ! ÷æc cho bði cæng thøc (2.28).

H…nh 2.2: V‰ dö 2: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vîi nhi„u = 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u

= 0:01 (b¶n ph£i) H m trång ! ÷æc cho bði cæng thøc (2.28).

H…nh 2.3: V‰ dö 3: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vîi nhi„u = 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u

= 0:01 (b¶n ph£i) H m trång ! ÷æc cho bði cæng thøc (2.28).

H…nh 2.4: V‰ dö 1: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vîi nhi„u = 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u

= 0:01 (b¶n ph£i) H m trång ! ÷æc cho bði cæng thøc (2.29).

H…nh 2.5: V‰ dö 2: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vîi nhi„u = 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u

= 0:01 (b¶n ph£i) H m trång ! ÷æc cho bði cæng thøc (2.29).

H…nh 2.6: V‰ dö 3: So s¡nh nghi»m ch‰nh x¡c v nghi»m sŁ vîi nhi„u = 0:1 (b¶n tr¡i) v nhi„u

= 0:01 (b¶n ph£i) H m trång ! ÷æc cho bði cæng thøc (2.29).

J (f n ) (h m trång ! ÷æc cho theo cæng thøc (2.29)).